Własności funkcji wykładniczej

Logarytm odpowiada na pytanie: do której potęgi podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę?

$$3^4=81 \quad\Rightarrow\quad \log_3 81=4$$

Warto rozpisać potęgi trójki: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$.

Odpowiedź: C. $4$.

Dla funkcji wykładniczej $a^x$ przy podstawie $a>1$ funkcja jest rosnąca. Tutaj $a=3>1$.

Sprawdzenie: $f(0)=1$, $f(1)=3$, $f(2)=9$ — wartości rosną.

Odpowiedź: B. rosnąca.

$$f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1$$

(zmienna jest w wykładniku)

Odpowiedź: B. $a^x$.

Sposób 1 — osobno każdy logarytm:

$$\log_2 8=3 \quad (\text{bo } 2^3=8),\qquad \log_2 4=2 \quad (\text{bo } 2^2=4)$$

$$3+2=5$$

Sposób 2 — wzór na logarytm iloczynu:

$$\log_a x+\log_a y=\log_a(x\cdot y)$$

$$\log_2 8+\log_2 4=\log_2 32=5 \quad (\text{bo } 2^5=32)$$

Oba sposoby dają ten sam wynik — drugi bywa niezbędny, gdy pojedyncze logarytmy nie są „ładne”.

Odpowiedź: $5$.

Dziedzina: potęgę o dodatniej podstawie można obliczyć dla dowolnego wykładnika, więc:

$$D=\mathbb{R}$$

Zbiór wartości: potęga o dodatniej podstawie jest zawsze dodatnia, ale nigdy nie osiąga zera:

$$ZW=(0,\,+\infty)$$

Uwaga: przedział jest otwarty — wartość $0$ nie należy do zbioru wartości.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}$, $ZW=(0,\,+\infty)$.

$$f(5)=2^5=32$$

Odpowiedź: $32$.

Pojedyncze logarytmy nie są liczbami całkowitymi, więc korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:

$$\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}$$

Podstawiamy:

$$\log_5 100-\log_5 4=\log_5\frac{100}{4}=\log_5 25$$

Obliczamy:

$$\log_5 25=2 \quad (\text{bo } 5^2=25)$$

Odpowiedź: $2$.

Dla $x=0$ mamy $a^0=1$ niezależnie od podstawy, więc każdy wykres przechodzi przez punkt $(0,\,1)$.

Dla porównania: wykres funkcji logarytmicznej przechodzi przez $(1,\,0)$.

Odpowiedź: C. $(0,\,1)$.

Każda liczba do potęgi zero daje $1$:

$$f(0)=7^0=1$$

Odpowiedź: $1$.

Logarytm jest określony tylko dla liczb dodatnich.

Dlaczego: $\log_2 x=y$ oznacza $2^y=x$. Potęga o podstawie dodatniej zawsze daje wynik dodatni — nie da się otrzymać zera ani liczby ujemnej.

$$D=(0,\,+\infty)$$

Uwaga na odpowiedź C: zero nie należy do dziedziny, bo żadna potęga dwójki nie jest równa zeru.

Odpowiedź: B. $x>0$.

Podstawa $a=\frac13$ mieści się w przedziale $(0,\,1)$, więc funkcja jest malejąca.

Sprawdzenie na wartościach:

$$f(0)=1,\qquad f(1)=\tfrac13,\qquad f(2)=\tfrac19$$

Wartości maleją, choć pozostają dodatnie.

Odpowiedź: malejąca, bo $0<\frac13<1$.

Bo $a^0=1$ dla każdej podstawy $a$, więc zawsze $(0,1)$.

Odpowiedź: C. $(0,1)$.

Krok 1 — sprowadzamy obie strony do tej samej podstawy:

$$32=2^5$$

$$2^x=2^5$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc z równości potęg o tej samej podstawie wynika równość wykładników:

$$x=5$$

Sprawdzenie: $2^5=32$ ✔

Odpowiedź: $x=5$.

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność:

$$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac14$$

Uwaga: wynik jest dodatni, mimo ujemnego wykładnika — funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych.

Odpowiedź: $f(-2)=\frac14$.

Dla podstawy $a>1$ funkcja wykładnicza jest rosnąca.

Odpowiedź: A. rosnąca.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$27=3^3 \quad\Rightarrow\quad 3^{2x-1}=3^3$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$2x-1=3$$

Krok 3 — rozwiązujemy równanie liniowe:

$$2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Sprawdzenie: $3^{2\cdot2-1}=3^3=27$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Gdy $x$ dąży do minus nieskończoności, wartości $2^x$ zbliżają się do zera, ale nigdy go nie osiągają:

$$\lim_{x\to-\infty}2^x=0$$

Asymptotą poziomą jest oś OX, czyli prosta $y=0$.

Odpowiedź: D. $y=0$.

Dla podstawy $0

Odpowiedź: B. malejąca.

O monotoniczności funkcji wykładniczej $f(x)=a^x$ decyduje podstawa:

$$a>1 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad 0

Tutaj $a=\frac12$, czyli $0maleje w całej dziedzinie.

Sprawdźmy na liczbach:

$$f(0)=1,\qquad f(1)=\tfrac12,\qquad f(2)=\tfrac14$$

Wartości faktycznie maleją.

Odpowiedź: A.

Funkcja $2^x$ jest rosnąca, a $100>99$, więc:

$$2^{100}>2^{99}$$

Ile razy większa:

$$\frac{2^{100}}{2^{99}}=2^{100-99}=2$$

Odpowiedź: $2^{100}$ jest dwa razy większa.

Krok 1 — sprowadzamy do tej samej podstawy:

$$16=2^4$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$2^x=2^4 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — dziedzina. Argument logarytmu musi być dodatni:

$$x-1>0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$

Krok 2 — przechodzimy na postać wykładniczą. Zapis $\log_2 A=3$ oznacza $A=2^3$:

$$x-1=2^3=8$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=9$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $9>1$ ✔

Sprawdzenie w równaniu: $\log_2(9-1)=\log_2 8=3$ ✔

Uwaga: w równaniach logarytmicznych wyznaczenie dziedziny to nie formalność — rozwiązania spoza niej trzeba odrzucić.

Odpowiedź: $x=9$.

Krok 1 — wzór. Przesunięcie w górę to dodanie stałej na zewnątrz:

$$g(x)=2^x+3$$

Krok 2 — asymptota. Skoro cały wykres przesunął się o $3$ w górę, asymptota też:

$$y=3$$

Zbiór wartości zmienia się na $(3,\,+\infty)$.

Odpowiedź: $g(x)=2^x+3$; asymptota $y=3$.

Krok 1 — zapisujemy prawą stronę jako potęgę $3$:

$$\frac{1}{9}=3^{-2}$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$3^x=3^{-2} \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Odpowiedź: $x=-2$.

Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść $a$, aby otrzymać $1$:

$$a^0=1 \quad\Rightarrow\quad \log_a 1=0$$

Każda liczba dodatnia podniesiona do potęgi zerowej daje $1$, więc wynik nie zależy od podstawy.

Druga zależność warta zapamiętania: $\log_a a=1$, bo $a^1=a$.

Odpowiedź: D. $0$.

Funkcja $3^x$ jest rosnąca (podstawa $>1$), więc większy wykładnik daje większą wartość:

$$3^5=243>81=3^4 \ ✔$$

Dla porównania: przy podstawie $\frac12$ (funkcja malejąca) większy wykładnik daje mniejszą wartość, więc C jest fałszywe. Podobnie $3^{-1}=\frac13<1=3^0$.

Odpowiedź: A.

Funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie:

$$f(x)>0$$

Odpowiedź: D. $(0,\infty)$.

Krok 1 — zamieniamy drugi czynnik na podstawę $2$. Ze wzoru na zmianę podstawy:

$$\log_5 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 5}$$

Krok 2 — podstawiamy do iloczynu:

$$\log_2 5\cdot\frac{\log_2 8}{\log_2 5}=\log_2 8$$

Czynnik $\log_2 5$ się skraca.

Krok 3 — obliczamy:

$$\log_2 8=3$$

Reguła ogólna: $\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$ — podstawy „skracają się” jak ogniwa łańcucha.

Odpowiedź: $3$.

Dziedzina: logarytm jest określony tylko dla argumentów dodatnich:

$$D=(0,\,+\infty)$$

Zbiór wartości: logarytm przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste:

$$ZW=\mathbb{R}$$

Obserwacja: funkcja logarytmiczna jest odwrotna do wykładniczej — ich dziedziny i zbiory wartości zamieniają się miejscami.

Odpowiedź: $D=(0,\,+\infty)$, $ZW=\mathbb{R}$.

$$125=5^3 \quad\Rightarrow\quad 5^x=5^3 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Odpowiedź: $x=3$.

Krok 1 — sprowadzamy obie strony do podstawy $2$:

$$4=2^2,\qquad 8=2^3$$

$$\left(2^2\right)^x=2^3$$

Krok 2 — korzystamy ze wzoru $(a^m)^n=a^{mn}$:

$$2^{2x}=2^3$$

Krok 3 — porównujemy wykładniki:

$$2x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\frac32$$

Sprawdzenie: $4^{3/2}=\left(\sqrt4\right)^3=2^3=8$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac32=1{,}5$.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$:

$$\left(\frac23\right)^0=1$$

Odpowiedź: C. $1$.

Ujemny wykładnik to odwrotność:

$$\left(\tfrac13\right)^{-2}=3^2=9$$

Odpowiedź: A. $9$.

Podstawiamy $x=0$ do wzoru funkcji:

$$f(0)=a^0=1$$

Zachodzi to dla każdej dopuszczalnej podstawy, więc wszystkie wykresy funkcji wykładniczych przecinają oś OY w tym samym punkcie $(0,\,1)$.

Uwaga na kolejność współrzędnych: odpowiedź A ma te same liczby, ale zamienione miejscami — punkt $(1,\,0)$ leży na osi OX, a funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości $0$.

Dla porównania: wykres funkcji logarytmicznej przechodzi przez $(1,\,0)$.

Odpowiedź: B. $(0,\,1)$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$27=3^3 \quad\Rightarrow\quad 3^x>3^3$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki. Podstawa $3>1$, więc funkcja jest rosnąca i znak nierówności zostaje bez zmian:

$$x>3$$

Odpowiedź: $x\in(3,\,+\infty)$.

Krok 1 — prawa strona jako potęga $2$: $8=2^3$.

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$x+1=3 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Odpowiedź: $x=2$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$16=2^4 \quad\Rightarrow\quad 2^x>2^4$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki. Podstawa $2>1$, więc funkcja jest rosnąca i znak nierówności pozostaje bez zmian:

$$x>4$$

Kluczowa uwaga: gdyby podstawa mieściła się w przedziale $(0,\,1)$, funkcja byłaby malejąca i znak nierówności trzeba by odwrócić. Przykładowo $\left(\frac12\right)^x>\frac{1}{16}$ daje $x<4$.

Odpowiedź: $x\in(4,\,+\infty)$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$\frac18=\left(\frac12\right)^3 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac12\right)^x>\left(\frac12\right)^3$$

Krok 2 — kluczowa uwaga. Podstawa $\frac12$ należy do przedziału $(0,\,1)$, więc funkcja jest malejąca — przy porównywaniu wykładników odwracamy znak nierówności:

$$x<3$$

Sprawdzenie dla $x=0$: $\left(\frac12\right)^0=1>\frac18$ ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,3)$.

Krok 1 — wspólna podstawa $2$: $4=2^2$, więc $4^x=2^{2x}$.

Krok 2 — porównujemy:

$$2^{2x}=2^1 \quad\Rightarrow\quad 2x=1 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac12$$

Odpowiedź: $x=\frac12$.

Pierwszy logarytm. Szukamy wykładnika dającego $\frac19$:

$$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac19 \quad\Rightarrow\quad \log_3\frac19=-2$$

Drugi logarytm. Podstawą jest teraz $\frac13$:

$$\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9 \quad\Rightarrow\quad \log_{\frac13} 9=-2$$

Obserwacja: oba wyniki są równe $-2$. Odwrócenie podstawy i odwrócenie argumentu jednocześnie nie zmienia wartości logarytmu.

Uwaga: logarytm może być ujemny — to nie błąd. Ujemny wynik oznacza tylko, że argument jest mniejszy od $1$ przy podstawie większej od $1$.

Odpowiedź: oba logarytmy wynoszą $-2$.

Zmiana wewnątrz wykładnika przesuwa wykres poziomo, a minus oznacza ruch w prawo.

Sprawdzenie: punkt $(0,\,1)$ przechodzi na $(1,\,1)$, bo $2^{1-1}=2^0=1$ ✔

Odpowiedź: B. o $1$ w prawo.

Funkcja wykładnicza jest zawsze dodatnia, więc $2^x=-4$ jest niemożliwe.

Odpowiedź: C. nie ma rozwiązań.

Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Wykładnik „wychodzi przed” logarytm jako czynnik:

$$\log_a x^3=3\log_a x$$

Sprawdźmy na liczbach dla $a=2$, $x=4$:

$$\log_2 4^3=\log_2 64=6 \qquad \text{oraz} \qquad 3\log_2 4=3\cdot2=6$$

Zgadza się. Odpowiedź A dałaby $2^3=8$ — to zupełnie co innego.

Odpowiedź: C.

Obliczamy każdą:

$$2^3=8,\qquad 3^2=9,\qquad 2^{-1}=\tfrac12,\qquad 1=1$$

Porządkujemy:

$$\tfrac12<1<8<9$$

Odpowiedź: $2^{-1}<1<2^3<3^2$.

Krok 1 — prawa strona: $27=3^3$.

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$2x-1=3 \quad\Rightarrow\quad 2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Sprawdzenie: $3^{2\cdot2-1}=3^3=27$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Krok 1 — dziedzina. Oba argumenty muszą być dodatnie:

$$x>0 \quad \text{oraz} \quad x-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>2$$

Krok 2 — łączymy logarytmy wzorem na logarytm iloczynu:

$$\log_3\left[x(x-2)\right]=1$$

Krok 3 — przechodzimy na postać wykładniczą:

$$x(x-2)=3^1=3$$

Krok 4 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$x^2-2x-3=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{ lub } \ x=-1$$

Krok 5 — konfrontujemy z dziedziną. Warunek to $x>2$, więc $x=-1$ odrzucamy.

Sprawdzenie dla $x=3$: $\log_3 3+\log_3 1=1+0=1$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Potęga o dodatniej podstawie zawsze daje wynik dodatni:

$$a^x>0 \quad \text{dla } a>0$$

Dlatego zbiór wartości to $(0,\,+\infty)$ — funkcja nigdy nie osiąga zera ani wartości ujemnych. Wartość $1$ osiąga dla $x=0$.

Odpowiedź: D. ujemnych ani zera.

$$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18$$

Odpowiedź: B. $\frac18$.

Krok 1 — budujemy wzór. Po każdej godzinie liczba mnoży się przez $2$, więc po $t$ godzinach mnożnikiem jest $2^t$:

$$N(t)=500\cdot2^t$$

Krok 2 — obliczamy dla $t=6$:

$$N(6)=500\cdot2^6=500\cdot64=32\,000$$

Sprawdzenie krokami: $500 \to 1000 \to 2000 \to 4000 \to 8000 \to 16\,000 \to 32\,000$ — sześć podwojeń ✔

Warto zauważyć: wzrost wykładniczy jest bardzo szybki — w ciągu doby liczba bakterii przekroczyłaby $8$ miliardów.

Odpowiedź: $N(t)=500\cdot2^t$; po $6$ godzinach będzie $32\,000$ bakterii.

Krok 1 — nierówność:

$$200\cdot2^t>3000 \quad\Rightarrow\quad 2^t>15$$

Krok 2 — sprawdzamy kolejne potęgi dwójki:

$$2^3=8<15,\qquad 2^4=16>15$$

Zatem najmniejsze całkowite $t$ to $4$.

Krok 3 — weryfikacja:

$$N(4)=200\cdot16=3200>3000 \ ✔$$

$$N(3)=200\cdot8=1600<3000$$

Odpowiedź: po $4$ godzinach.

Krok 1 — lewa strona (dodajemy wykładniki):

$$2^{x+3}=32$$

Krok 2 — prawa strona: $32=2^5$.

Krok 3 — porównujemy:

$$x+3=5 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Odpowiedź: $x=2$.

Szukamy wykładnika dla podstawy $10$:

$$10^3=1000 \quad\Rightarrow\quad \log_{10} 1000=3$$

Logarytm dziesiętny zapisujemy często krócej jako $\log 1000$ — pominięcie podstawy oznacza właśnie $10$.

Praktyczna wskazówka: logarytm dziesiętny z liczby będącej potęgą dziesiątki to po prostu liczba zer: $\log 100=2$, $\log 10\,000=4$.

Odpowiedź: A. $3$.

Krok 1 — symetria względem osi OY to zamiana $x$ na $-x$:

$$g(x)=2^{-x}$$

Krok 2 — przekształcamy wzór:

$$2^{-x}=\left(2^{-1}\right)^x=\left(\frac12\right)^x$$

Krok 3 — monotoniczność. Podstawa $\frac12$ należy do $(0,\,1)$, więc funkcja jest malejąca.

Wniosek ogólny: odbicie funkcji rosnącej względem osi OY daje funkcję malejącą.

Odpowiedź: $g(x)=\left(\frac12\right)^x$; funkcja malejąca.

Krok 1 — model funkcją wykładniczą. Co rok razy $\frac12$:

$$m(t)=80\cdot\left(\tfrac12\right)^t$$

Krok 2 — po $3$ latach:

$$m(3)=80\cdot\left(\tfrac12\right)^3=80\cdot\tfrac18=10\ \text{g}$$

Odpowiedź: $10$ g.

Krok 1 — dostrzegamy strukturę. Zauważmy, że $9^x=\left(3^2\right)^x=\left(3^x\right)^2$, więc równanie jest kwadratowe względem $3^x$.

Krok 2 — podstawienie. Niech $t=3^x$, przy czym $t>0$ (potęga jest zawsze dodatnia):

$$t^2-4t+3=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$(t-1)(t-3)=0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \ \text{ lub } \ t=3$$

Oba wyniki są dodatnie, więc oba są dopuszczalne.

Krok 4 — wracamy do zmiennej $x$:

$$3^x=1 \quad\Rightarrow\quad x=0$$

$$3^x=3 \quad\Rightarrow\quad x=1$$

Sprawdzenie dla $x=1$: $9-4\cdot3+3=9-12+3=0$ ✔

Odpowiedź: $x=0$ lub $x=1$.

Krok 1 — wzór. Co roku zostaje $80\%$ wartości, czyli mnożnik $0{,}8$:

$$W(t)=60\,000\cdot0{,}8^t$$

Krok 2 — wartość po $2$ latach:

$$W(2)=60\,000\cdot0{,}64=38\,400\ \text{zł}$$

Sprawdzenie krokami: po roku $60\,000\cdot0{,}8=48\,000$, po drugim $48\,000\cdot0{,}8=38\,400$ ✔

Uwaga: spadek o $20\%$ dwa razy to nie spadek o $40\%$ — drugi procent liczy się od mniejszej kwoty.

Odpowiedź: $W(t)=60\,000\cdot0{,}8^t$; po $2$ latach $38\,400$ zł.

Krok 1 — wspólna podstawa $3$: $9=3^2$, $27=3^3$.

$$9^x=(3^2)^x=3^{2x}$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$3^{2x}=3^3 \quad\Rightarrow\quad 2x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac32$$

Odpowiedź: $x=\frac32$.

Krok 1 — wzór na procent składany:

$$K_n=10\,000\cdot1{,}05^n$$

Krok 2 — układamy nierówność:

$$10\,000\cdot1{,}05^n>12\,000 \quad\Rightarrow\quad 1{,}05^n>1{,}2$$

Krok 3 — sprawdzamy kolejne lata podanymi przybliżeniami:

$$1{,}05^3\approx1{,}158<1{,}2 \qquad \text{(za mało)}$$

$$1{,}05^4\approx1{,}216>1{,}2 \qquad \text{(wystarczy)}$$

Krok 4 — kwota po czwartym roku:

$$K_4\approx10\,000\cdot1{,}216=12\,160\ \text{zł}$$

Kontrola sensu: po trzech latach byłoby około $11\,580$ zł — jeszcze poniżej progu, a po czwartym już powyżej ✔

Odpowiedź: $K_n=10\,000\cdot1{,}05^n$; kapitał przekroczy $12\,000$ zł po $4$ pełnych latach.

Krok 1 — miejsce zerowe. Rozwiązujemy $f(x)=0$:

$$2^x-4=0 \quad\Rightarrow\quad 2^x=4=2^2 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 2 — asymptota. Wykres $y=2^x$ przesunięto o $4$ w dół, więc asymptota też się przesuwa:

$$y=-4$$

Krok 3 — zbiór wartości. Skoro $2^x>0$, to $2^x-4>-4$:

$$ZW=(-4,\,+\infty)$$

Sprawdzenie: $f(0)=1-4=-3$, co mieści się w $ZW$ ✔

Odpowiedź: miejsce zerowe $x=2$, asymptota $y=-4$, $ZW=(-4,\,+\infty)$.

Krok 1 — obliczamy $f(x+1)$:

$$f(x+1)=2^{x+1}$$

Krok 2 — korzystamy z własności potęg $2^{x+1}=2^x\cdot2^1$:

$$f(x+1)=2^x\cdot2=2\cdot2^x=2f(x) \qquad ∎$$

Interpretacja. Zwiększenie argumentu o $1$ podwaja wartość — to istota wzrostu wykładniczego o podstawie $2$.

Sprawdzenie: $f(3)=8$, $f(4)=16=2\cdot8$ ✔