Wielomiany — zastosowania

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x-3=0$$

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x=3$$

Odpowiedź: B. $0$ i $3$.

Przyrównujemy każdy czynnik do zera:

$$x=2,\quad x=-1,\quad x=5$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 2,\ 5\}$.

Krok 1 — przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^3-4x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^2-4)=0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$x(x-2)(x+2)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=0,\quad x=2,\quad x=-2$$

Uwaga: nie wolno dzielić przez $x$ — straciłoby się pierwiastek $x=0$.

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ 0,\ 2\}$.

Dla dużych dodatnich $x$ sześcian rośnie nieograniczenie:

$$x\to+\infty \Rightarrow x^3\to+\infty$$

Odpowiedź: C. $+\infty$.

Przyrównujemy czynniki do zera:

$$x=-3 \quad\text{(krotność 1)},\qquad x=1 \quad\text{(krotność 2)}$$

Odpowiedź: $x=-3$ i $x=1$.

Stopień nieparzysty → ramiona w przeciwnych kierunkach. Współczynnik dodatni → prawe w górę:

$$x\to-\infty:\ W\to-\infty,\qquad x\to+\infty:\ W\to+\infty$$

Odpowiedź: A. lewe w dół, prawe w górę.

Krok 1 — wyłączamy $x$:

$$x(x^2-2x-3)=0$$

Krok 2 — rozkładamy trójmian:

$$x(x-3)(x+1)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=0,\quad x=3,\quad x=-1$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 0,\ 3\}$.

Krok 1 — grupujemy:

$$(x^3+x^2)-(4x+4)=0 \quad\Rightarrow\quad x^2(x+1)-4(x+1)=0$$

Krok 2 — wspólny nawias:

$$(x+1)(x^2-4)=0 \quad\Rightarrow\quad (x+1)(x-2)(x+2)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=-1,\quad x=2,\quad x=-2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ -1,\ 2\}$.

Trzy różne pierwiastki ($1$, $2$, $3$) — wykres przecina oś $OX$ w trzech punktach.

Odpowiedź: D. $3$.

W $x=-2$ (krotność nieparzysta): wykres przecina oś $OX$, zmieniając znak.

W $x=3$ (krotność parzysta): wykres dotyka osi i odbija się, nie zmieniając znaku.

Reguła: krotność nieparzysta → przecięcie; parzysta → odbicie.

Odpowiedź: przecięcie w $-2$, odbicie w $3$.

Czynnik $x^2$ daje pierwiastek $x=0$ o krotności $2$, a $(x-1)$ daje $x=1$:

$$x=0 \ \text{(podwójny)},\qquad x=1$$

Odpowiedź: B. $0$ (podwójny) i $1$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2\ge0$:

$$t^2-5t+4=0 \quad\Rightarrow\quad (t-1)(t-4)=0$$

Krok 2 — wracamy do $x$:

$$x^2=1 \Rightarrow x=\pm1,\qquad x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ -1,\ 1,\ 2\}$.

Krok 1 — wymiary podstawy. Po wycięciu i zagięciu bok podstawy to $10-2x$, a wysokość $x$.

Krok 2 — objętość:

$$V(x)=x(10-2x)^2$$

Krok 3 — rozwijamy:

$$V(x)=x(100-40x+4x^2)=4x^3-40x^2+100x$$

Dziedzina: $0

Odpowiedź: $V(x)=4x^3-40x^2+100x$.

Stopień parzysty → oba ramiona w tę samą stronę (jak parabola).

Kierunek: współczynnik dodatni → oba w górę, ujemny → oba w dół.

Odpowiedź: A. w tę samą stronę.

Krok 1 — miejsca zerowe: $x=1$ i $x=-2$.

Krok 2 — parabola o ramionach w górę jest dodatnia poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$.

Szukamy liczby, której sześcian to $-8$:

$$(-2)^3=-8 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Uwaga: sześcian (potęga nieparzysta) zachowuje znak, więc jest tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Odpowiedź: C. $-2$.

Krok 1 — grupujemy:

$$(x^3-3x^2)-(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x^2(x-3)-1(x-3)=0$$

Krok 2 — wspólny nawias:

$$(x-3)(x^2-1)=0$$

Krok 3 — rozkładamy różnicę kwadratów:

$$(x-3)(x-1)(x+1)=0$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=3,\quad x=1,\quad x=-1$$

Sprawdzenie dla $x=3$: $27-27-3+3=0$ ✔

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 1,\ 3\}$.

Krok 1 — miejsca zerowe: $x=-2$, $x=0$, $x=2$ (wszystkie pojedyncze).

Krok 2 — ramiona. Stopień $3$, współczynnik wiodący dodatni: lewe w dół, prawe w górę.

Krok 3 — znak w przedziałach (metoda wstęgowa, zmiana znaku przy każdym pierwiastku):

• $x<-2$: ujemny,
• $-2
• $0
• $x>2$: dodatni.

Kontrola dla $x=1$: $1\cdot(-1)\cdot3=-3<0$ ✔ (przedział $0

Odpowiedź: pierwiastki $-2,0,2$; znak $-,+,-,+$; lewe ramię w dół, prawe w górę.

Krok 1 — miejsca zerowe: $0$, $1$, $2$.

Krok 2 — znak w przedziałach. Współczynnik dodatni, stopień nieparzysty:

• $x<0$: ujemny,
• $0
• $1
• $x>2$: dodatni.

Krok 3 — nierówność $\le0$ obejmuje przedziały ujemne oraz miejsca zerowe (bo nieostra):

$$x\in(-\infty,\ 0\rangle\cup\langle1,\ 2\rangle$$

Uwaga. Przy nierówności nieostrej pierwiastki dołączamy (w nich wielomian równa się zeru).

Odpowiedź: $x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle1,2\rangle$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik:

$$x^3+x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x^2+1)=0$$

Krok 2 — analiza czynników. Iloczyn jest zerem, gdy:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x^2+1=0$$

Krok 3 — drugi czynnik. Równanie $x^2+1=0$ daje $x^2=-1$, co nie ma rozwiązań rzeczywistych (kwadrat jest nieujemny).

Krok 4 — wniosek. Jedynym rozwiązaniem rzeczywistym jest $x=0$. $\qquad ∎$

Interpretacja graficzna. Wykres $x^3+x$ jest rosnący (suma dwóch funkcji rosnących), więc przecina oś $OX$ tylko raz.