Układy równań (2)

W metodzie podstawiania wyznaczamy jedną zmienną z jednego równania i wstawiamy do drugiego, otrzymując równanie z jedną niewiadomą.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — porównujemy prawe strony:

$$x^2=x+2 \quad\Rightarrow\quad x^2-x-2=0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$(x-2)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{lub}\ x=-1$$

Krok 3 — obliczamy $y$:

$$x=2\Rightarrow y=4,\qquad x=-1\Rightarrow y=1$$

Odpowiedź: $(2,\ 4)$ oraz $(-1,\ 1)$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2$, gdzie $t\ge0$:

$$t^2-5t+4=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$(t-1)(t-4)=0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \ \text{lub}\ t=4$$

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=1\Rightarrow x=\pm1,\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,-1,1,2\}$.

Porównujemy: $x^2=-1$. Kwadrat nie może być ujemny, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Geometrycznie: parabola $y=x^2$ leży nad osią, a prosta $y=-1$ pod nią — nie przecinają się.

Odpowiedź: C. $0$.

Krok 1 — z pierwszego równania $y=5-x$.

Krok 2 — podstawiamy do drugiego:

$$x(5-x)=6 \quad\Rightarrow\quad -x^2+5x-6=0 \quad\Rightarrow\quad x^2-5x+6=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$(x-2)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{lub}\ x=3$$

Krok 4 — pary: $(2,\ 3)$ oraz $(3,\ 2)$.

Odpowiedź: $(2,3)$ i $(3,2)$.

Podstawienie $t=x^2$ zamienia równanie czwartego stopnia na kwadratowe.

Ważne zastrzeżenie: $t=x^2\ge0$, więc ujemne wartości $t$ odrzucamy — nie dają rozwiązań rzeczywistych.

Odpowiedź: A. $t=x^2$, $t\ge0$.

Krok 1 — porównujemy:

$$x^2-2x=3 \quad\Rightarrow\quad x^2-2x-3=0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$(x-3)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{lub}\ x=-1$$

Krok 3 — dla obu $y=3$:

$$(3,\ 3) \quad\text{oraz}\quad (-1,\ 3)$$

Interpretacja: pozioma prosta $y=3$ przecina parabolę w dwóch punktach.

Odpowiedź: $(3,3)$ i $(-1,3)$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2\ge0$:

$$t^2-13t+36=0$$

Krok 2 — wyróżnik i pierwiastki:

$$\Delta=169-144=25,\qquad t=\frac{13\pm5}{2}$$

$$t_1=9,\qquad t_2=4$$

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=9\Rightarrow x=\pm3,\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm2$$

Odpowiedź: $x\in\{-3,-2,2,3\}$.

Porównujemy: $x^2=2x-1$, czyli $x^2-2x+1=0$, więc $(x-1)^2=0$.

To pierwiastek podwójny $x=1$ — prosta jest styczna do paraboli, więc jest tylko jeden punkt wspólny $(1,\ 1)$.

Odpowiedź: D. jedno rozwiązanie.

Krok 1 — dodajemy równania stronami. Wyrazy $y$ się znoszą:

$$2x^2=8 \quad\Rightarrow\quad x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2$$

Krok 2 — obliczamy $y$ z pierwszego równania:

$$y=7-x^2=7-4=3$$

Krok 3 — pary: $(2,\ 3)$ oraz $(-2,\ 3)$.

Uwaga: $y$ zależy od $x^2$, więc dla obu wartości $x$ wychodzi to samo $y$.

Odpowiedź: $(2,3)$ i $(-2,3)$.

$$x^4=16 \quad\Rightarrow\quad x^2=4 \quad(\text{bo } x^2\ge0)$$

$$x=\pm2$$

Rozwiązanie $x^2=-4$ odrzucamy. Zostają dwa rozwiązania rzeczywiste.

Odpowiedź: B. dwa.

Krok 1 — iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x^2-4=0 \quad\text{lub}\quad x^2-1=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy każdy:

$$x=\pm2 \quad\text{lub}\quad x=\pm1$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,-1,1,2\}$.

Krok 1 — układ:

$$x+y=10,\qquad x^2+y^2=58$$

Krok 2 — korzystamy z tożsamości. $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$:

$$58=100-2xy \quad\Rightarrow\quad xy=21$$

Krok 3 — mamy sumę $10$ i iloczyn $21$. Liczby to pierwiastki $t^2-10t+21=0$:

$$(t-3)(t-7)=0 \quad\Rightarrow\quad t=3 \ \text{lub}\ t=7$$

Sprawdzenie: $9+49=58$ ✔

Odpowiedź: liczby to $3$ i $7$.

Każde równanie to wykres (parabola i prosta). Rozwiązania układu to współrzędne ich punktów wspólnych.

Liczba rozwiązań: $0$, $1$ (styczność) lub $2$ — zależnie od położenia prostej względem paraboli.

Odpowiedź: A. punkty przecięcia.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $x^2$:

$$x^2\left(x^2-8\right)=0$$

Krok 2 — dwa przypadki:

$$x^2=0 \quad\text{lub}\quad x^2=8$$

Krok 3 — rozwiązania:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x=\pm2\sqrt2$$

Uwaga: tu wygodniejsze było wyłączenie czynnika niż podstawienie — $x=0$ łatwo przeoczyć przy $t=x^2$.

Odpowiedź: $x\in\{-2\sqrt2,\ 0,\ 2\sqrt2\}$.

Podstawienie $t=x^2\ge0$ daje $t^2+3t+2=0$, czyli $(t+1)(t+2)=0$, więc $t=-1$ lub $t=-2$.

Obie wartości są ujemne, a $t=x^2\ge0$ — więc odrzucamy obie. Brak rozwiązań rzeczywistych.

Wniosek: gdy oba pierwiastki po podstawieniu są ujemne, równanie dwukwadratowe nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: C. brak rozwiązań.

Krok 1 — podstawiamy $y=x+1$ do pierwszego równania:

$$x^2+(x+1)^2=25$$

Krok 2 — rozwijamy:

$$x^2+x^2+2x+1=25 \quad\Rightarrow\quad 2x^2+2x-24=0$$

Krok 3 — dzielimy przez $2$ i rozkładamy:

$$x^2+x-12=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+4)=0$$

$$x=3 \quad\text{lub}\quad x=-4$$

Krok 4 — obliczamy $y=x+1$:

$$x=3\Rightarrow y=4,\qquad x=-4\Rightarrow y=-3$$

Interpretacja geometryczna. Prosta przecina okrąg o promieniu $5$ w dwóch punktach: $(3,4)$ i $(-4,-3)$.

Sprawdzenie: $9+16=25$ ✔, $16+9=25$ ✔

Odpowiedź: $(3,4)$ i $(-4,-3)$.

Krok 1 — warunek wspólnych punktów:

$$x^2=x+m \quad\Rightarrow\quad x^2-x-m=0$$

Krok 2 — styczność oznacza jeden punkt wspólny, czyli pierwiastek podwójny:

$$\Delta=0$$

Krok 3 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-m)=1+4m$$

Krok 4 — przyrównujemy do zera:

$$1+4m=0 \quad\Rightarrow\quad m=-\frac14$$

Interpretacja. Dla $m=-\frac14$ prosta dotyka paraboli w jednym punkcie; dla $m>-\frac14$ przecina ją w dwóch, dla $m<-\frac14$ omija.

Odpowiedź: $m=-\frac14$.

Krok 1 — układ równań. Niech boki to $x$ i $y$:

$$2(x+y)=28,\qquad xy=48$$

Krok 2 — upraszczamy pierwsze:

$$x+y=14$$

Krok 3 — suma $14$, iloczyn $48$. Boki to pierwiastki równania:

$$t^2-14t+48=0 \quad\Rightarrow\quad (t-6)(t-8)=0$$

$$t=6 \quad\text{lub}\quad t=8$$

Sprawdzenie: obwód $2\cdot14=28$ ✔, pole $6\cdot8=48$ ✔

Odpowiedź: boki $6$ i $8$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=x^2$, gdzie $t\ge0$:

$$t^2+bt+c=0$$

Krok 2 — analiza za pomocą wzorów Viète'a. Gdyby to równanie miało pierwiastki $t_1$, $t_2$, to:

$$t_1+t_2=-b<0,\qquad t_1 t_2=c>0$$

Krok 3 — wnioskowanie. Iloczyn dodatni oznacza jednakowe znaki pierwiastków, a suma ujemna — że oba są ujemne.

Krok 4 — sprzeczność z podstawieniem. Skoro oba $t$ są ujemne (lub nie istnieją rzeczywiste, gdy $\Delta<0$), a musi być $t=x^2\ge0$, żadne nie daje rozwiązania dla $x$. $\qquad ∎$

Sprawdzenie: $x^4+3x^2+2=0$ ($b=3$, $c=2$) nie ma pierwiastków rzeczywistych ✔