Twierdzenie sinusów
Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 9
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Na czworokącie wypukłym \(ABCD\) o bokach długości: \(|AB|=3\), \(|BC|=3\), \(|CD|=5\) oraz \(|DA|=8\), opisano okrąg.
Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.
Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek $|AC|^{2}=|BC|^{2}+|AB|\cdot|BC|$.
W okrąg o promieniu \(4\) wpisano trójkąt \(ABC\). Długość boku \(AB\) jest równa \(6\). Bok \(BC\) ma długość \(4\sqrt{3}\) i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.
Oblicz długość boku \(AC\) trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.
Oblicz obwód czworokąta $ABCD$.
W trójkącie \(ABC\) kąt \(BAC\) jest dwa razy większy od kąta \(ABC\).
Wykaż, że prawdziwa jest równość \(|BC|^2-|AC|^2=|AB|\cdot|AC|\).
Podstawa \(AB\) trójkąta równoramiennego \(ABC\) ma długość 8 oraz \(|\sphericalangle BAC|=30^\circ\). Oblicz długość środkowej \(AD\) tego trójkąta.
Dany jest trójkąt ostrokątny \(ABC\) o bokach długości \(a\), \(b\), \(c\) i kątach \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \(\frac{b^2+c^2-a^2}{a^2+c^2-b^2}=\frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}\).
Obiekty \(A\) i \(B\) leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami \(B\) i \(C\) jest równa 400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami \(A\) i \(B\) i podaj wynik, zaokrąglając go do jednego metra.
📘Teoria 1
Twierdzenie sinusów: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$
Twierdzenie cosinusów: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
- Wyznaczanie boków i kątów trójkąta dowolnego
- Nawigacja i kartografia
- Geometria przestrzenna
∑Wzory 1
Stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały; $R$ — promień okręgu opisanego.
Przykład: $a=10$, $\alpha=30^\circ$: $2R=20$, więc $R=10$.
🧩Quizy 2
✍Zadania dodatkowe 60
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $13$, a jedna z przyprostokątnych — $5$. Pole tego trójkąta jest równe
Pole trójkąta równobocznego o boku $6$ jest równe
Pole trójkąta, w którym dwa boki mają długości $8$ i $5$, a kąt między nimi ma miarę $30^\circ$, jest równe
Romb ma bok długości $4$ i kąt ostry $30^\circ$. Pole tego rombu jest równe
Równoległobok ma boki długości $5$ i $6$ oraz kąt rozwarty $120^\circ$. Pole tego równoległoboku jest równe
W trójkącie dwa boki mają długości $5$ i $8$, a kąt między nimi ma miarę $60^\circ$. Trzeci bok ma długość
W trójkącie $ABC$ bok $BC$ ma długość $10$, a kąt $BAC$ ma miarę $30^\circ$. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy
Trójkąt ma boki długości $6$, $8$ i $10$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- Ten trójkąt jest prostokątny.
- Pole tego trójkąta jest równe $48$.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
W okrąg o promieniu $4\sqrt3$ wpisano trójkąt równoboczny. Oblicz długość boku tego trójkąta.
W trójkącie $ABC$ dane są $|AB|=6$, $|AC|=10$ oraz $|\angle BAC|=120^\circ$. Oblicz długość boku $BC$ oraz pole trójkąta $ABC$.
W trójkącie dwa boki mają długości $7$ i $8$, a kąt między nimi ma miarę $120^\circ$. Oblicz długość trzeciego boku.
W trójkącie bok $a=6$ leży naprzeciw kąta $\alpha=45^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Trójkąt ma boki długości $5$, $7$ i $8$. Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciw boku długości $7$ oraz pole trójkąta.
W trójkącie $ABC$: $|BC|=10$, $|\angle BAC|=30^\circ$, $|\angle ABC|=45^\circ$. Oblicz długości boków $AC$ i $AB$.
W trójkącie równobocznym $ABC$ o boku $6$ punkt $D$ leży na boku $BC$ i $|BD|=2$. Oblicz $|AD|$ oraz $\sin\angle BAD$.
Równoległobok ma boki długości $5$ i $8$ oraz kąt ostry $60^\circ$. Oblicz długości jego przekątnych.
Pole trójkąta jest równe $12\sqrt3$, a dwa jego boki mają długości $6$ i $8$. Oblicz długość trzeciego boku. Rozważ wszystkie przypadki.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=8$, $|AC|=5$, $|\angle BAC|=60^\circ$. Oblicz długość dwusiecznej $AD$ kąta $BAC$.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=6$, $|AC|=4$, a środkowa $AM$ ma długość $\sqrt{19}$. Oblicz $|BC|$ i miarę kąta $BAC$.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=5$, $|BC|=8$, $|CA|=7$. Oblicz miarę kąta $ABC$, pole trójkąta, promienie okręgów opisanego i wpisanego oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$.
W trójkącie o bokach $a=3$, $b=4$ i kącie $\gamma=90^\circ$ bok $c$ jest równy
W trójkącie o bokach $a$, $b$ i kącie $\gamma$ zawartym między nimi długość trzeciego boku $c$ spełnia
W trójkącie $a=2$, $b=2$, $\gamma=60^\circ$ bok $c$ jest równy
W trójkącie kąt $\alpha=45^\circ$, a bok leżący naprzeciw niego ma długość $a=6\sqrt2$. Promień $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy
W trójkącie $a=5$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz bok $c$.
Twierdzenie sinusów wiąże bok trójkąta z
W trójkącie $\dfrac{a}{\sin\alpha}=8$ oraz $\sin\alpha=\tfrac12$. Bok $a$ jest równy
W trójkącie $a=10$, $\sin\alpha=\tfrac12$. Średnica okręgu opisanego $2R$ jest równa
W trójkącie $b=6$, $\sin\beta=1$. Bok $a$, dla którego $\sin\alpha=\tfrac12$, jest równy
W trójkącie $a=10$, $\alpha=30^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego $R$.
W trójkącie $2R=16$, a $\sin\alpha=\tfrac12$. Bok $a$ jest równy
Który zapis to twierdzenie sinusów?
W trójkącie $b=6$, $\sin\beta=1$. Średnica okręgu opisanego $2R$ jest równa
W trójkącie kąty $\alpha=30^\circ$ i $\beta=90^\circ$, bok $a=4$. Bok $b$ jest równy
W trójkącie $a=6$, $\alpha=30^\circ$, $\beta=45^\circ$. Oblicz bok $b$.
W trójkącie $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, $a=4$, $\sin\alpha=\tfrac12$, $\sin\beta=1$. Bok $b$ jest równy
W trójkącie $a=6$, $\sin\alpha=\tfrac12$. Średnica okręgu opisanego $2R$ jest równa
Twierdzenie sinusów to
W trójkącie $2R=10$, $\sin\alpha=\tfrac12$. Bok $a$ jest równy
W trójkącie $a=8$, $\alpha=30^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego $R$.
Twierdzenie cosinusów dla boku $c$ ma postać:
Twierdzenie sinusów mówi, że:
W trójkącie $a=6$, $b=8$, a kąt między nimi $\gamma=60^\circ$. Oblicz bok $c$.
W trójkącie $a=10$, $\alpha=30^\circ$, $\beta=45^\circ$. Oblicz bok $b$ (użyj $\sin30^\circ=\frac12$, $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$).
Dla $\gamma=90^\circ$ twierdzenie cosinusów sprowadza się do:
W trójkącie $a=5$, $b=7$, $c=8$. Oblicz $\cos\gamma$ (kąt naprzeciw boku $c$).
W trójkącie $a=4$, $b=4$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz $c$ (twierdzenie cosinusów).
W twierdzeniu sinusów stała $2R$ to:
Kąty trójkąta to $\alpha=40^\circ$, $\beta=60^\circ$. Oblicz $\gamma$.
Wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi to $P=\frac12 ab\sin\gamma$. Oblicz pole dla $a=6$, $b=10$, $\gamma=30^\circ$.
Twierdzenia cosinusów używamy najczęściej, gdy dane są:
W trójkącie $b=3$, $c=5$, $\alpha=60^\circ$. Oblicz $a$ (twierdzenie cosinusów).
Promień okręgu opisanego na trójkącie wynosi $R=5$. Bok $a$ leży naprzeciw kąta $\alpha=30^\circ$. Oblicz $a$.
Jeśli w twierdzeniu cosinusów $\cos\gamma\lt 0$, to kąt $\gamma$ jest:
W trójkącie $a=7$, $b=5$, $c=3$. Sprawdź, czy trójkąt jest rozwartokątny (zbadaj kąt naprzeciw najdłuższego boku).
Ile wynosi $\cos120^\circ$?
Dwa statki wypływają z portu pod kątem $60^\circ$. Jeden płynie $30$ km, drugi $40$ km. Jak daleko są od siebie?
W trójkącie $\alpha=45^\circ$, $\beta=105^\circ$, $a=8$. Oblicz bok $b$ ($\sin105^\circ\approx0{,}966$, $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707$).
Oblicz pole trójkąta o bokach $a=5$, $b=6$ i kącie między nimi $\gamma=150^\circ$ ($\sin150^\circ=\frac12$).
Wykaż, że w trójkącie równobocznym o boku $a$ twierdzenie cosinusów daje tożsamość (potwierdza długość boku).