Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany $30^\circ$ ma miarę:
Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu. Ile ma stopni?
Dwa kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają miary $x$ i $40^\circ$. Ile wynosi $x$?
Styczna do okręgu w punkcie styczności jest do promienia:
Kąt środkowy ma $100^\circ$. Jaki jest kąt wpisany oparty na tym samym łuku?
Z punktu poza okręgiem poprowadzono dwie styczne. Odcinki styczne od tego punktu do punktów styczności są:
Promień okręgu wynosi $5$, a odległość punktu $P$ od środka to $13$. Oblicz długość odcinka stycznej od $P$ do punktu styczności.
Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg. Kąt $A$ ma $85^\circ$, kąt $B$ ma $95^\circ$. Oblicz kąty $C$ i $D$.
Ile punktów wspólnych ma styczna z okręgiem?
Kąt między styczną a cięciwą wynosi $50^\circ$. Ile wynosi kąt wpisany oparty na tej cięciwie po drugiej stronie?
Prosta jest styczna do okręgu, gdy jej odległość od środka jest:
W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przy wierzchołkach $A$ i $C$ wynoszą $3x$ i $x$. Oblicz oba kąty.
Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg, a bok $AB$ jest średnicą. Kąt $A$ ma $35^\circ$. Oblicz pozostałe kąty trójkąta.
Twierdzenie Ptolemeusza dotyczy czworokąta:
Kąt wpisany oparty na łuku stanowiącym $\frac14$ okręgu ma ile stopni?
W kwadracie wpisanym w okrąg twierdzenie Ptolemeusza daje związek (bok $a$, przekątna $d$):
Z punktu $P$ odległego o $10$ od środka okręgu o promieniu $6$ poprowadzono styczną. Oblicz długość odcinka stycznej oraz pole trójkąta utworzonego przez $P$, środek okręgu i punkt styczności.
Czworokąt wpisany w okrąg ma boki $a=3$, $b=5$, $c=6$, $d=4$ (w kolejności) oraz jedną przekątną $e=7$. Korzystając z twierdzenia Ptolemeusza, oblicz drugą przekątną $f$.
Dwa kąty wpisane w okrąg oparte są na łukach, które razem tworzą cały okrąg. Jeden kąt środkowy ma $140^\circ$. Oblicz oba kąty wpisane oparte na tych łukach.
Wykaż, że kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty (twierdzenie Talesa o okręgu).
Kąt środkowy oparty na danym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:
$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\alpha_{\text{wpisany}}$$
Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) jest prosty. To narzędzie do rozpoznawania trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg.
Przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$. To warunek konieczny i wystarczający wpisania czworokąta w okrąg.
Styczna ma z okręgiem jeden punkt wspólny i jest prostopadła do promienia w punkcie styczności. Prosta jest styczna, gdy odległość środka od niej równa się promieniowi ($d=r$).
Dwa odcinki styczne z jednego punktu zewnętrznego są równe.
$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$
Dla czworokąta wpisanego w okrąg iloczyn przekątnych równa się sumie iloczynów boków przeciwległych.
Kąt wpisany to połowa środkowego (nie odwrotnie). Prostopadłość stycznej do promienia tworzy trójkąt prostokątny — klucz do zadań ze styczną.
Co robi: wiąże przekątne i boki czworokąta wpisanego w okrąg.
Elementy: $e,f$ to przekątne, $a,b,c,d$ kolejne boki.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.