Twierdzenie cosinusów (2)
Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 2
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=6\), \(|AC|=4\) oraz \(|\angle CAB|=60^\circ\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku \(BC\) trójkąta \(ABC\) jest równa
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=5\), \(|AC|=2\) oraz \(\cos|\sphericalangle BAC|=\frac{3}{5}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku \(BC\) tego trójkąta jest równa
📘Teoria 1
Twierdzenie sinusów: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$
Twierdzenie cosinusów: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
- Wyznaczanie boków i kątów trójkąta dowolnego
- Nawigacja i kartografia
- Geometria przestrzenna
∑Wzory 1
Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.
Przykład: $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$: $c^2=25+64-40=49$, $c=7$.
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 45
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
W trójkącie dwa boki mają długości $7$ i $8$, a kąt między nimi ma miarę $120^\circ$. Oblicz długość trzeciego boku.
W trójkącie bok $a=6$ leży naprzeciw kąta $\alpha=45^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Trójkąt ma boki długości $5$, $7$ i $8$. Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciw boku długości $7$ oraz pole trójkąta.
W trójkącie $ABC$: $|BC|=10$, $|\angle BAC|=30^\circ$, $|\angle ABC|=45^\circ$. Oblicz długości boków $AC$ i $AB$.
W trójkącie równobocznym $ABC$ o boku $6$ punkt $D$ leży na boku $BC$ i $|BD|=2$. Oblicz $|AD|$ oraz $\sin\angle BAD$.
Równoległobok ma boki długości $5$ i $8$ oraz kąt ostry $60^\circ$. Oblicz długości jego przekątnych.
Pole trójkąta jest równe $12\sqrt3$, a dwa jego boki mają długości $6$ i $8$. Oblicz długość trzeciego boku. Rozważ wszystkie przypadki.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=8$, $|AC|=5$, $|\angle BAC|=60^\circ$. Oblicz długość dwusiecznej $AD$ kąta $BAC$.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=6$, $|AC|=4$, a środkowa $AM$ ma długość $\sqrt{19}$. Oblicz $|BC|$ i miarę kąta $BAC$.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=5$, $|BC|=8$, $|CA|=7$. Oblicz miarę kąta $ABC$, pole trójkąta, promienie okręgów opisanego i wpisanego oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$.
Dla kąta $\gamma=90^\circ$ twierdzenie cosinusów przyjmuje postać
W trójkącie $a=3$, $b=4$, $\gamma=90^\circ$. Bok $c$ jest równy
W trójkącie $a=2$, $b=2$, $\gamma=60^\circ$. Bok $c$ jest równy
Twierdzenie cosinusów to
W trójkącie $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$. Oblicz $c^2$.
W trójkącie $a=1$, $b=1$, $\gamma=120^\circ$. Bok $c$ jest równy
W trójkącie $a=6$, $b=8$, $\gamma=90^\circ$. Bok $c$ jest równy
Gdy kąt $\gamma$ jest rozwarty, to $c^2$ jest
W trójkącie $a=7$, $b=5$, $c=8$. Wartość $\cos\gamma$ (kąt naprzeciw $c$) jest równa
W trójkącie $a=3$, $b=5$, $\gamma=120^\circ$. Oblicz długość boku $c$.
Dla $\gamma=90^\circ$ twierdzenie cosinusów daje
W trójkącie $a=9$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Bok $c$ jest równy
W trójkącie $a=4$, $b=3$, $\gamma=60^\circ$. Wartość $c^2$ jest równa
W trójkącie $a=2$, $b=3$, $\gamma=60^\circ$. Wartość $c^2$ jest równa
W trójkącie $a=5$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz długość boku $c$.
Twierdzenie cosinusów dla boku $c$ ma postać:
Twierdzenie sinusów mówi, że:
W trójkącie $a=6$, $b=8$, a kąt między nimi $\gamma=60^\circ$. Oblicz bok $c$.
W trójkącie $a=10$, $\alpha=30^\circ$, $\beta=45^\circ$. Oblicz bok $b$ (użyj $\sin30^\circ=\frac12$, $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$).
Dla $\gamma=90^\circ$ twierdzenie cosinusów sprowadza się do:
W trójkącie $a=5$, $b=7$, $c=8$. Oblicz $\cos\gamma$ (kąt naprzeciw boku $c$).
W trójkącie $a=4$, $b=4$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz $c$ (twierdzenie cosinusów).
W twierdzeniu sinusów stała $2R$ to:
Kąty trójkąta to $\alpha=40^\circ$, $\beta=60^\circ$. Oblicz $\gamma$.
Wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi to $P=\frac12 ab\sin\gamma$. Oblicz pole dla $a=6$, $b=10$, $\gamma=30^\circ$.
Twierdzenia cosinusów używamy najczęściej, gdy dane są:
W trójkącie $b=3$, $c=5$, $\alpha=60^\circ$. Oblicz $a$ (twierdzenie cosinusów).
Promień okręgu opisanego na trójkącie wynosi $R=5$. Bok $a$ leży naprzeciw kąta $\alpha=30^\circ$. Oblicz $a$.
Jeśli w twierdzeniu cosinusów $\cos\gamma\lt 0$, to kąt $\gamma$ jest:
W trójkącie $a=7$, $b=5$, $c=3$. Sprawdź, czy trójkąt jest rozwartokątny (zbadaj kąt naprzeciw najdłuższego boku).
Ile wynosi $\cos120^\circ$?
Dwa statki wypływają z portu pod kątem $60^\circ$. Jeden płynie $30$ km, drugi $40$ km. Jak daleko są od siebie?
W trójkącie $\alpha=45^\circ$, $\beta=105^\circ$, $a=8$. Oblicz bok $b$ ($\sin105^\circ\approx0{,}966$, $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707$).
Oblicz pole trójkąta o bokach $a=5$, $b=6$ i kącie między nimi $\gamma=150^\circ$ ($\sin150^\circ=\frac12$).
Wykaż, że w trójkącie równobocznym o boku $a$ twierdzenie cosinusów daje tożsamość (potwierdza długość boku).