Twierdzenie cosinusów (1)
Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 21
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$.
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=6\), \(|AC|=4\) oraz \(|\angle CAB|=60^\circ\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole trójkąta \(ABC\) jest równe
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=6\), \(|AC|=4\) oraz \(|\angle CAB|=60^\circ\) (zobacz rysunek).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku \(BC\) trójkąta \(ABC\) jest równa
Na czworokącie wypukłym \(ABCD\) o bokach długości: \(|AB|=3\), \(|BC|=3\), \(|CD|=5\) oraz \(|DA|=8\), opisano okrąg.
Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=5\), \(|AC|=2\) oraz \(\cos|\sphericalangle BAC|=\frac{3}{5}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku \(BC\) tego trójkąta jest równa
W okrąg o promieniu \(4\) wpisano trójkąt \(ABC\). Długość boku \(AB\) jest równa \(6\). Bok \(BC\) ma długość \(4\sqrt{3}\) i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.
Oblicz długość boku \(AC\) trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.
Pole trójkąta ostrokątnego o bokach \(5\) i \(8\) jest równe \(12\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa
Na okręgu jest opisany czworokąt \(ABCD\). Bok \(AD\) tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku \(AB\), a przekątna \(BD\) ma długość równą \(6\). Ponadto spełnione są następujące warunki:
\(\cos(\angle ADB)=\frac{7}{8}\), \(\;|\angle BCD|=90^\circ\) oraz \(\;|AB|\gt\sqrt{15}\).
Oblicz długość boku \(BC\) tego czworokąta.
W trójkącie \(ABC\) kąt \(BAC\) jest dwa razy większy od kąta \(ABC\).
Wykaż, że prawdziwa jest równość \(|BC|^2-|AC|^2=|AB|\cdot|AC|\).
Podstawa \(AB\) trójkąta równoramiennego \(ABC\) ma długość 8 oraz \(|\sphericalangle BAC|=30^\circ\). Oblicz długość środkowej \(AD\) tego trójkąta.
Dany jest trójkąt ostrokątny \(ABC\) o bokach długości \(a\), \(b\), \(c\) i kątach \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \(\frac{b^2+c^2-a^2}{a^2+c^2-b^2}=\frac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha}\).
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(a\) i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.
Dany jest trójkąt o bokach długości \(1,\ \tfrac32,\ 2\). Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta.
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa \(a\). Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę \(45^\circ\). Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.
📘Teoria 1
Twierdzenie sinusów: $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}=2R$
Twierdzenie cosinusów: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
- Wyznaczanie boków i kątów trójkąta dowolnego
- Nawigacja i kartografia
- Geometria przestrzenna
∑Wzory 1
Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt.
Przykład: $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$: $c^2=25+64-40=49$, $c=7$.
🧩Quizy 1
✍Zadania dodatkowe 60
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $13$, a jedna z przyprostokątnych — $5$. Pole tego trójkąta jest równe
Pole trójkąta równobocznego o boku $6$ jest równe
Pole trójkąta, w którym dwa boki mają długości $8$ i $5$, a kąt między nimi ma miarę $30^\circ$, jest równe
Romb ma bok długości $4$ i kąt ostry $30^\circ$. Pole tego rombu jest równe
Równoległobok ma boki długości $5$ i $6$ oraz kąt rozwarty $120^\circ$. Pole tego równoległoboku jest równe
W trójkącie dwa boki mają długości $5$ i $8$, a kąt między nimi ma miarę $60^\circ$. Trzeci bok ma długość
W trójkącie $ABC$ bok $BC$ ma długość $10$, a kąt $BAC$ ma miarę $30^\circ$. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy
Trójkąt ma boki długości $6$, $8$ i $10$. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
- Ten trójkąt jest prostokątny.
- Pole tego trójkąta jest równe $48$.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
W okrąg o promieniu $4\sqrt3$ wpisano trójkąt równoboczny. Oblicz długość boku tego trójkąta.
W trójkącie $ABC$ dane są $|AB|=6$, $|AC|=10$ oraz $|\angle BAC|=120^\circ$. Oblicz długość boku $BC$ oraz pole trójkąta $ABC$.
W trójkącie dwa boki mają długości $7$ i $8$, a kąt między nimi ma miarę $120^\circ$. Oblicz długość trzeciego boku.
W trójkącie bok $a=6$ leży naprzeciw kąta $\alpha=45^\circ$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Trójkąt ma boki długości $5$, $7$ i $8$. Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciw boku długości $7$ oraz pole trójkąta.
W trójkącie $ABC$: $|BC|=10$, $|\angle BAC|=30^\circ$, $|\angle ABC|=45^\circ$. Oblicz długości boków $AC$ i $AB$.
W trójkącie równobocznym $ABC$ o boku $6$ punkt $D$ leży na boku $BC$ i $|BD|=2$. Oblicz $|AD|$ oraz $\sin\angle BAD$.
Równoległobok ma boki długości $5$ i $8$ oraz kąt ostry $60^\circ$. Oblicz długości jego przekątnych.
Pole trójkąta jest równe $12\sqrt3$, a dwa jego boki mają długości $6$ i $8$. Oblicz długość trzeciego boku. Rozważ wszystkie przypadki.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=8$, $|AC|=5$, $|\angle BAC|=60^\circ$. Oblicz długość dwusiecznej $AD$ kąta $BAC$.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=6$, $|AC|=4$, a środkowa $AM$ ma długość $\sqrt{19}$. Oblicz $|BC|$ i miarę kąta $BAC$.
W trójkącie $ABC$: $|AB|=5$, $|BC|=8$, $|CA|=7$. Oblicz miarę kąta $ABC$, pole trójkąta, promienie okręgów opisanego i wpisanego oraz wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$.
W trójkącie o bokach $a=3$, $b=4$ i kącie $\gamma=90^\circ$ bok $c$ jest równy
W trójkącie o bokach $a$, $b$ i kącie $\gamma$ zawartym między nimi długość trzeciego boku $c$ spełnia
W trójkącie $a=2$, $b=2$, $\gamma=60^\circ$ bok $c$ jest równy
W trójkącie kąt $\alpha=45^\circ$, a bok leżący naprzeciw niego ma długość $a=6\sqrt2$. Promień $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy
W trójkącie $a=5$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz bok $c$.
Dla kąta $\gamma=90^\circ$ twierdzenie cosinusów przyjmuje postać
W trójkącie $a=3$, $b=4$, $\gamma=90^\circ$. Bok $c$ jest równy
W trójkącie $a=2$, $b=2$, $\gamma=60^\circ$. Bok $c$ jest równy
Twierdzenie cosinusów to
W trójkącie $a=5$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$. Oblicz $c^2$.
W trójkącie $a=1$, $b=1$, $\gamma=120^\circ$. Bok $c$ jest równy
W trójkącie $a=6$, $b=8$, $\gamma=90^\circ$. Bok $c$ jest równy
Gdy kąt $\gamma$ jest rozwarty, to $c^2$ jest
W trójkącie $a=7$, $b=5$, $c=8$. Wartość $\cos\gamma$ (kąt naprzeciw $c$) jest równa
W trójkącie $a=3$, $b=5$, $\gamma=120^\circ$. Oblicz długość boku $c$.
Dla $\gamma=90^\circ$ twierdzenie cosinusów daje
W trójkącie $a=9$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Bok $c$ jest równy
W trójkącie $a=4$, $b=3$, $\gamma=60^\circ$. Wartość $c^2$ jest równa
W trójkącie $a=2$, $b=3$, $\gamma=60^\circ$. Wartość $c^2$ jest równa
W trójkącie $a=5$, $b=12$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz długość boku $c$.
Twierdzenie cosinusów dla boku $c$ ma postać:
Twierdzenie sinusów mówi, że:
W trójkącie $a=6$, $b=8$, a kąt między nimi $\gamma=60^\circ$. Oblicz bok $c$.
W trójkącie $a=10$, $\alpha=30^\circ$, $\beta=45^\circ$. Oblicz bok $b$ (użyj $\sin30^\circ=\frac12$, $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$).
Dla $\gamma=90^\circ$ twierdzenie cosinusów sprowadza się do:
W trójkącie $a=5$, $b=7$, $c=8$. Oblicz $\cos\gamma$ (kąt naprzeciw boku $c$).
W trójkącie $a=4$, $b=4$, $\gamma=90^\circ$. Oblicz $c$ (twierdzenie cosinusów).
W twierdzeniu sinusów stała $2R$ to:
Kąty trójkąta to $\alpha=40^\circ$, $\beta=60^\circ$. Oblicz $\gamma$.
Wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi to $P=\frac12 ab\sin\gamma$. Oblicz pole dla $a=6$, $b=10$, $\gamma=30^\circ$.
Twierdzenia cosinusów używamy najczęściej, gdy dane są:
W trójkącie $b=3$, $c=5$, $\alpha=60^\circ$. Oblicz $a$ (twierdzenie cosinusów).
Promień okręgu opisanego na trójkącie wynosi $R=5$. Bok $a$ leży naprzeciw kąta $\alpha=30^\circ$. Oblicz $a$.
Jeśli w twierdzeniu cosinusów $\cos\gamma\lt 0$, to kąt $\gamma$ jest:
W trójkącie $a=7$, $b=5$, $c=3$. Sprawdź, czy trójkąt jest rozwartokątny (zbadaj kąt naprzeciw najdłuższego boku).
Ile wynosi $\cos120^\circ$?
Dwa statki wypływają z portu pod kątem $60^\circ$. Jeden płynie $30$ km, drugi $40$ km. Jak daleko są od siebie?
W trójkącie $\alpha=45^\circ$, $\beta=105^\circ$, $a=8$. Oblicz bok $b$ ($\sin105^\circ\approx0{,}966$, $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\approx0{,}707$).
Oblicz pole trójkąta o bokach $a=5$, $b=6$ i kącie między nimi $\gamma=150^\circ$ ($\sin150^\circ=\frac12$).
Wykaż, że w trójkącie równobocznym o boku $a$ twierdzenie cosinusów daje tożsamość (potwierdza długość boku).