Trójkąty prostokątne

Definicja sinusa kąta ostrego:

$$\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw kąta}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

Skrót pamięciowy: „sinus = naprzeciw przez przeciwprostokątną”.

Odpowiedź: B.

$$\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przeciwległa}}{\text{przeciwprostokątna}}$$

Dla porównania: $\cos\alpha$ to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej, a $\tg\alpha$ — stosunek obu przyprostokątnych.

Odpowiedź: B. przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.

Sinus — naprzeciw ($3$) przez przeciwprostokątną ($5$):

$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$

Cosinus — przy kącie ($4$) przez przeciwprostokątną ($5$):

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Sprawdzenie jedynką: $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{9+16}=5$$

Krok 2 — funkcje kąta $\alpha$ naprzeciw boku $3$:

$$\sin\alpha=\frac35=0{,}6,\qquad \cos\alpha=\frac45=0{,}8$$

Kontrola jedynką trygonometryczną: $0{,}36+0{,}64=1$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=0{,}6$, $\cos\alpha=0{,}8$.

1. Druga przyprostokątna: $\sqrt{169-25}=12$.
2. $P=\tfrac12\cdot5\cdot12=30$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — brak $\tfrac12$; C — pomnożono przez przeciwprostokątną.

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac35}{\frac45}=\frac35\cdot\frac54=\frac34$$

Interpretacja: tangens to również stosunek przyprostokątnej naprzeciw do przyprostokątnej przy kącie: $\frac34$.

Odpowiedź: $\tg\alpha=\frac34$.

Podstawiamy wartości kątów szczególnych:

$$\sin 30^\circ=\tfrac12,\qquad \cos 60^\circ=\tfrac12,\qquad \tg 45^\circ=1$$

$$\tfrac12+\tfrac12+1=2$$

Odpowiedź: $2$.

1. $P=\dfrac{6^2\sqrt3}{4}=\dfrac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to wysokość trójkąta.

To wartość z tablicy kątów szczególnych:

$$\cos 60^\circ=\frac12$$

Zależność: $\cos 60^\circ=\sin 30^\circ$, bo kąty $60^\circ$ i $30^\circ$ są dopełniające.

Odpowiedź: C. $\frac12$.

Korzystamy z definicji sinusa:

$$a=c\sin30^\circ=10\cdot\tfrac12=5$$

Warto zapamiętać: w trójkącie o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ bok naprzeciw kąta $30^\circ$ jest zawsze połową przeciwprostokątnej.

Odpowiedź: C. $5$.

1. $P=\tfrac12\cdot8\cdot5\cdot\sin30^\circ=20\cdot\tfrac12=10$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — użyty $\sin60^\circ$ zamiast $\sin30^\circ$.

Korzystamy z definicji sinusa:

$$\sin 30^\circ=\frac{a}{c} \quad\Rightarrow\quad a=c\cdot\sin 30^\circ$$

Podstawiamy:

$$a=10\cdot\frac12=5$$

Odpowiedź: przyprostokątna ma długość $5$.

$$\tg 60^\circ=\sqrt3,\qquad \tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$$

$$\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{3}{3}=1$$

Ogólna reguła: $\tg\alpha\cdot\tg(90^\circ-\alpha)=1$ — tangensy kątów dopełniających się do prostego są odwrotnościami.

Odpowiedź: $1$.

1. $P=a^2\sin\alpha=16\cdot\tfrac12=8$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pole kwadratu o boku $4$.

Przyprostokątna przy kącie łączy się z przeciwprostokątną przez cosinus:

$$\cos 60^\circ=\frac{b}{c} \quad\Rightarrow\quad c=\frac{b}{\cos 60^\circ}$$

Podstawiamy $b=4$, $\cos 60^\circ=\frac12$:

$$c=\frac{4}{\frac12}=8$$

Odpowiedź: przeciwprostokątna ma długość $8$.

Tangens równa się jeden, gdy obie przyprostokątne są równe — a to zachodzi w trójkącie równoramiennym prostokątnym.

$$\tg 45^\circ=\frac{a}{a}=1$$

Odpowiedź: A. $45^\circ$.

1. $P=ab\sin\alpha=30\cdot\sin120^\circ=30\cdot\tfrac{\sqrt3}2=15\sqrt3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — użyte $\cos60^\circ$; C — pominięte $\tfrac{\sqrt3}{2}$ jako $\sqrt3$.

Jedynka trygonometryczna zachodzi dla dowolnego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Nie trzeba znać wartości $\sin 40^\circ$ — wynik to $1$.

Odpowiedź: A. $1$.

Krok 1 — model. Wysokość leży naprzeciw kąta $60^\circ$, a drabina jest przeciwprostokątną.

Krok 2 — sinus:

$$h=6\sin60^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3$$

Krok 3 — przybliżenie:

$$3\sqrt3\approx5{,}2\ \text{m}$$

Kontrola sensu: wysokość musi być mniejsza od długości drabiny — i jest ✔

Odpowiedź: około $5{,}2$ m.

1. $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\tfrac12=89-40=49$, $c=7$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — policzone dla $120^\circ$ ($\cos=-\tfrac12$); D — Pitagoras, choć kąt nie jest prosty.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$

Wyciągamy pierwiastek. Kąt jest ostry, więc sinus dodatni:

$$\sin\alpha=\frac{12}{13}$$

Rozpoznanie: to trójkąt $5$–$12$–$13$.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{12}{13}$.

Krok 1 — druga przyprostokątna. Przy kącie $45^\circ$ tangens wynosi $1$, więc obie przyprostokątne są równe:

$$b=8$$

Krok 2 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{64+64}=8\sqrt2\approx11{,}31$$

Reguła: w trójkącie o kątach $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$ przeciwprostokątna to bok razy $\sqrt2$.

Odpowiedź: $b=8$, $c=8\sqrt2$.

1. Tw. sinusów: $\dfrac{|BC|}{\sin\angle A}=2R \Rightarrow \dfrac{10}{\tfrac12}=20=2R$, więc $R=10$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — to $2R$, czyli średnica.

Dla $45^\circ$ obie przyprostokątne są równe, więc ich stosunek to $1$:

$$\tg 45^\circ=\frac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

$$P=\frac12 ab\sin\gamma=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\frac12=15$$

Uwaga: kąt musi leżeć między podanymi bokami — to warunek stosowania tego wzoru.

Odpowiedź: D. $15$.

1. 1. $36+64=100$ — z twierdzenia odwrotnego do tw. Pitagorasa trójkąt jest prostokątny — prawda.
2. 2. $P=\tfrac12\cdot6\cdot8=24\ne48$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Model: drabina to przeciwprostokątna, wysokość na ścianie to przyprostokątna naprzeciw kąta $60^\circ$.

$$\sin 60^\circ=\frac{h}{6} \quad\Rightarrow\quad h=6\cdot\sin 60^\circ$$

Podstawiamy:

$$h=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx5{,}2\ \text{m}$$

Kontrola sensu: wysokość jest mniejsza od długości drabiny ($5{,}2<6$) ✔

Odpowiedź: drabina sięga na $3\sqrt3\approx5{,}2$ m.

Krok 1 — z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$

Kąt jest ostry, więc sinus jest dodatni:

$$\sin\alpha=\frac{12}{13}$$

Krok 2 — tangens:

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{12/13}{5/13}=\frac{12}{5}=2{,}4$$

Rozpoznanie: trójka $5$–$12$–$13$.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{12}{13}$, $\tg\alpha=\frac{12}{5}$.

1. $R=\dfrac{a\sqrt3}{3} \Rightarrow a=\dfrac{3R}{\sqrt3}=\sqrt3R=\sqrt3\cdot4\sqrt3=12$.

Odpowiedź: $12$

Z tablicy kątów szczególnych:

$$\tg 30^\circ=\frac{\sin 30^\circ}{\cos 30^\circ}=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$$

Uwaga: $\tg 30^\circ$ i $\tg 60^\circ=\sqrt3$ to liczby wzajemnie odwrotne.

Odpowiedź: B. $\frac{\sqrt3}{3}$.

To jedynka trygonometryczna, prawdziwa dla dowolnego kąta:

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$

Skąd wynika: z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta o przeciwprostokątnej $1$.

Odpowiedź: B. $1$.

1. Tw. cosinusów: $|BC|^2=36+100-2\cdot6\cdot10\cdot\cos120^\circ=136+60=196$, więc $|BC|=14$.
2. Pole: $P=\tfrac12\cdot6\cdot10\cdot\sin120^\circ=30\cdot\tfrac{\sqrt3}2=15\sqrt3$.

Odpowiedź: $|BC|=14$, $P=15\sqrt3$

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — sinus kąta naprzeciw krótszej przyprostokątnej ($6$):

$$\sin\alpha=\frac{6}{10}=\frac35$$

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35=0{,}6$.

Krok 1 — którą funkcję wybrać. Znamy przyprostokątną przyległą ($50$ m), a szukamy przeciwległej — to tangens.

Krok 2 — rachunek:

$$h=50\cdot\tg30^\circ=50\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{50\sqrt3}{3}$$

Krok 3 — przybliżenie:

$$h\approx28{,}9\ \text{m}$$

Odpowiedź: około $28{,}9$ m.

Korzystamy ze wzoru na pole z sinusem kąta:

$$P=\frac12 ab\sin\gamma$$

Podstawiamy $a=8$, $b=6$, $\gamma=30^\circ$:

$$P=\frac12\cdot8\cdot6\cdot\sin 30^\circ=\frac12\cdot48\cdot\frac12=12$$

Odpowiedź: $P=12$.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{25+144}=13$$

Krok 2 — obwód:

$$O=5+12+13=30$$

Krok 3 — pole (przyprostokątne są podstawą i wysokością):

$$P=\frac{5\cdot12}{2}=30$$

Ciekawostka: obwód i pole wychodzą liczbowo takie same, choć mają różne jednostki.

Odpowiedź: obwód $30$, pole $30$.

Sinus i cosinus są równe tylko dla kąta, przy którym obie przyprostokątne są równe — to $45^\circ$.

$$\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$

Odpowiedź: C. $45^\circ$.

Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnej $\frac{a}{2}$ i przeciwprostokątnej $a$:

$$h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}$$

Przez trygonometrię: $h=a\sin60^\circ=\frac{a\sqrt3}{2}$ ✔

Odpowiedź: C. $\frac{a\sqrt3}{2}$.

Model: wysokość wieży to przyprostokątna naprzeciw kąta, odległość to przyprostokątna przy kącie. Wiąże je tangens:

$$\tg 45^\circ=\frac{h}{20} \quad\Rightarrow\quad h=20\cdot\tg 45^\circ$$

Podstawiamy $\tg 45^\circ=1$:

$$h=20\cdot1=20\ \text{m}$$

Wniosek: przy kącie $45^\circ$ wysokość równa się odległości — to szczególny, łatwy do zapamiętania przypadek.

Odpowiedź: wieża ma $20$ m wysokości.

Krok 1 — model. Przebyta droga to przeciwprostokątna, a wzniesienie to bok naprzeciw kąta nachylenia.

Krok 2 — rachunek:

$$h=2000\cdot0{,}087=174\ \text{m}$$

Odpowiedź: około $174$ m.

Sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej do przeciwprostokątnej. Przyprostokątna jest zawsze krótsza od przeciwprostokątnej, więc iloraz mieści się między $0$ a $1$.

$$0<\sin\alpha<1$$

To samo dotyczy cosinusa kąta ostrego.

Odpowiedź: A.

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Kąt prosty kwadratu zostaje przepołowiony:

$$\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$$

Kontrola: $\tg45^\circ=\frac{a}{a}=1$ ✔

Odpowiedź: A. $45^\circ$.

Przyprostokątna naprzeciw kąta $30^\circ$ (przez sinus):

$$a=12\cdot\sin 30^\circ=12\cdot\frac12=6$$

Przyprostokątna przy kącie $30^\circ$ (przez cosinus):

$$b=12\cdot\cos 30^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\approx10{,}39$$

Sprawdzenie Pitagorasem: $6^2+(6\sqrt3)^2=36+108=144=12^2$ ✔

Odpowiedź: przyprostokątne mają $6$ i $6\sqrt3\approx10{,}39$.

Krok 1 — bok naprzeciw kąta $60^\circ$:

$$a=20\sin60^\circ=20\cdot\frac{\sqrt3}{2}=10\sqrt3$$

Krok 2 — bok naprzeciw kąta $30^\circ$:

$$b=20\cos60^\circ=20\cdot\frac12=10$$

Krok 3 — pole:

$$P=\frac{10\sqrt3\cdot10}{2}=50\sqrt3\approx86{,}6$$

Kontrola Pitagorasem: $300+100=400=20^2$ ✔

Odpowiedź: $10\sqrt3$ i $10$, pole $50\sqrt3$.

Model trójkąta. Tangens $\frac34$ oznacza przyprostokątną naprzeciw $=3$, przy kącie $=4$.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

Krok 2 — odczytujemy funkcje:

$$\sin\alpha=\frac{3}{5},\qquad \cos\alpha=\frac{4}{5}$$

Sprawdzenie: $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34=\tg\alpha$ ✔

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac35$, $\cos\alpha=\frac45$.

Krok 1 — wysokość (bok naprzeciw kąta):

$$h=80\cdot0{,}766\approx61{,}3\ \text{m}$$

Krok 2 — odległość pozioma (bok przyległy):

$$d=80\cdot0{,}643\approx51{,}4\ \text{m}$$

Kontrola Pitagorasem: $61{,}3^2+51{,}4^2\approx3758+2642=6400=80^2$ ✔

Odpowiedź: wysokość około $61{,}3$ m, odległość pozioma około $51{,}4$ m.

Model: przekątna kwadratu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego, a bok — przyprostokątna przy kącie $45^\circ$.

$$\cos 45^\circ=\frac{\text{bok}}{\text{przekątna}} \quad\Rightarrow\quad d=\frac{5}{\cos 45^\circ}=\frac{5}{\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{10}{\sqrt2}=5\sqrt2$$

Sprawdzenie: to zgadza się ze wzorem na przekątną kwadratu $d=a\sqrt2=5\sqrt2$ ✔

Odpowiedź: $d=5\sqrt2\approx7{,}07$ cm.

Krok 1 — odcinek odcięty przy dłuższej podstawie:

$$14-8=6$$

Krok 2 — wysokość. Przy kącie $45^\circ$ trójkąt jest równoramienny, więc wysokość równa się temu odcinkowi:

$$h=6$$

Krok 3 — ramię ukośne (przeciwprostokątna):

$$l=6\sqrt2\approx8{,}49$$

Krok 4 — pole:

$$P=\frac{(14+8)\cdot6}{2}=66$$

Odpowiedź: $h=6$, ramię $6\sqrt2$, pole $66$.

Model. Powstaje trójkąt prostokątny: odcinek na północ ($300$ m) to przyprostokątna przy kącie $30^\circ$, a droga statku na wschód to przyprostokątna naprzeciw tego kąta.

Wiąże je tangens:

$$\tg 30^\circ=\frac{\text{droga}}{300} \quad\Rightarrow\quad \text{droga}=300\cdot\tg 30^\circ$$

Podstawiamy $\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$:

$$\text{droga}=300\cdot\frac{\sqrt3}{3}=100\sqrt3\approx173{,}2\ \text{m}$$

Odpowiedź: statek przebył $100\sqrt3\approx173$ m.

Krok 1 — czym jest kąt depresji. To kąt między poziomem a linią obserwacji w dół. Jest on równy kątowi nachylenia mierzonemu od strony łodzi (kąty naprzemianległe).

Krok 2 — odległość przy $30^\circ$. Wysokość leży naprzeciw kąta, a odległość jest bokiem przyległym:

$$\tg30^\circ=\frac{45}{d} \quad\Rightarrow\quad d=\frac{45}{\tg30^\circ}=\frac{45}{\frac{\sqrt3}{3}}=45\sqrt3\approx77{,}9\ \text{m}$$

Krok 3 — odległość przy $45^\circ$:

$$d=\frac{45}{\tg45^\circ}=\frac{45}{1}=45\ \text{m}$$

Krok 4 — interpretacja. Odległość zmalała o około $32{,}9$ m. To zgodne z intuicją: im bliżej łódź, tym bardziej stromo trzeba patrzeć w dół.

Warto zauważyć: przy kącie $45^\circ$ odległość równa się wysokości — bo $\tg45^\circ=1$.

Odpowiedź: około $77{,}9$ m, a po zmianie kąta $45$ m.

Krok 1. Obliczenie długości przyprostokątnej \(AB\).
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymamy:
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\
|AB|^2+2^2=(2\sqrt{10})^2 \\
|AB|^2+4=4\cdot10 \\
|AB|^2+4=40 \\
|AB|^2=36 \\
|AB|=6 \quad\lor\quad |AB|=-6$$

Długość odcinka musi być oczywiście dodania, zatem \(|AB|=6\).

Krok 2. Obliczenie sinusa kąta \(\gamma\).
Sinus kąta to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej, zatem::
$$\sin\gamma=\frac{|AB|}{|AC|} \\
\sin\gamma=\frac{6}{2\sqrt{10}} \\
\sin\gamma=\frac{3}{\sqrt{10}}$$

W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna $=a\sqrt{2}$, gdzie $a$ to przyprostokątna. Stąd $a\sqrt{2}=8$, czyli $a=\dfrac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$.

Obwód: $2a+8=2\cdot 4\sqrt{2}+8=8\sqrt{2}+8=8\left(\sqrt{2}+1\right)$.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta \(T_{1}\).
Z treści zadania wynika, że trójkąt \(T_{1}\) ma przyprostokątne o długości \(5\) i \(12\), zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej:
$$5^2+12^2=c^2 \\
25+144=c^2 \\
c^2=169 \\
c=13 \quad\lor\quad c=-13$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość boku jest dodatnia, zatem zostaje nam \(c=13\).

Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Z treści zadania wynika, że drugi trójkąt \(T_{2}\) ma przeciwprostokątną o długości \(26\), czyli ma przeciwprostokątną dwa razy dłuższą od trójkąta \(T_{1}\).


To oznacza, że skala podobieństwa tych trójkątów wynosi \(k=2\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(T_{2}\).
Obliczmy najpierw pole trójkąta \(T_{1}\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \\
P=30$$

Zgodnie z własnościami trójkątów podobnych, jeśli skala podobieństwa figur jest równa \(k\) to pole powierzchni figury podobnej będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku oznaczałoby to, że pole trójkąta \(T_{2}\) będzie \(4\) razy większe od pola trójkąta \(T_{1}\), zatem:
$$P=4\cdot30 \\
P=120$$