Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej — powtórzenie

$$\Delta=b^2-4ac$$

Odpowiedź: B. $b^2-4ac$.

$a=1$, $b=-6$, $c=5$:

$$\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16$$

Odpowiedź: $\Delta=16$.

1. Postać kanoniczna $a(x-p)^2+q$: $p=3$, $q=-5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — z nawiasu $(x-3)$ odczytujemy $p=3$ (wzór ma postać $a(x-p)^2+q$); $-3$ byłoby dla $(x+3)$.

Krok 1 — delta (z zad. 2): $\Delta=16$, $\sqrt{\Delta}=4$.

Krok 2 — wzory na pierwiastki:

$$x_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad x_2=\frac{6+4}{2}=5$$

Sprawdzenie: $1\cdot5=5=c$ ✔ (wzór Viète’a).

Odpowiedź: $x_1=1$, $x_2=5$.

1. $p=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{6}{2}=3$, więc oś symetrii: $x=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — oś symetrii paraboli jest pionowa, ma równanie $x=p$.

Współczynnik $a=3>0$, więc ramiona skierowane w górę.

Odpowiedź: C. w górę.

1. Iloczyn równa się zero, gdy $x+1=0$ lub $x-5=0$: $x=-1$ lub $x=5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — współczynnik $-2$ nie jest miejscem zerowym.

Krok 1 — pierwsza współrzędna:

$$p=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2$$

Krok 2 — druga współrzędna:

$$q=f(2)=4-8+1=-3$$

Odpowiedź: $W=(2,-3)$.

1. $a=-1\lt 0$ — ramiona w dół, wierzchołek $(2,4)$ jest najwyżej.
2. $ZW=(-\infty,4]$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — ramiona w górę byłyby dla $a\gt 0$; C — pierwsza współrzędna wierzchołka dotyczy argumentów.

Dla $\Delta<0$ nie ma pierwiastków rzeczywistych — parabola nie przecina osi $OX$.

Odpowiedź: A. $0$.

1. Miejsca zerowe są symetryczne względem osi: $\dfrac{1+x_2}{2}=4 \Rightarrow x_2=7$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to odległość od osi, a nie drugie miejsce zerowe; B — odbicie względem zera.

Krok 1 — delta:

$$\Delta=49-48=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1$$

Krok 2 — pierwiastki:

$$x_1=\frac{7-1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{7+1}{2}=4$$

Odpowiedź: $x\in\{3,4\}$.

1. $f(x)=(x-2)^2-1=x^2-4x+4-1=x^2-4x+3$.
2. $b=-4$, $c=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — przepisano $q$ jako $c$; wyraz wolny to $p^2+q$.

Krok 1 — wierzchołek (z zad. 5): $W=(2,-3)$.

Krok 2 — postać kanoniczna $f(x)=a(x-p)^2+q$:

$$f(x)=(x-2)^2-3$$

Sprawdzenie: $(x-2)^2-3=x^2-4x+4-3=x^2-4x+1$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=(x-2)^2-3$.

1. $p=\dfrac{4}{2}=2$, $a=1\gt 0$ — funkcja maleje na lewo od wierzchołka: $(-\infty,2]$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — to zbiór, na którym $f(x)\le0$ (między miejscami zerowymi), a nie przedział monotoniczności.

Przecięcie z osią $OY$ dla $x=0$:

$$f(0)=1 \quad\Rightarrow\quad (0,1)$$

Wskazówka: to zawsze wyraz wolny $c$.

Odpowiedź: D. $(0,1)$.

1. 1. $p=\dfrac{-6}{-2}=3$, $f(3)=-9+18-5=4$, ramiona w dół → największa wartość $4$ — prawda.
2. 2. $f(0)=-5$, więc wykres przecina $Oy$ w $(0,-5)$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Krok 1 — $a=-2<0$, więc parabola ma maksimum w wierzchołku.

Krok 2 — argument:

$$p=-\frac{8}{2\cdot(-2)}=-\frac{8}{-4}=2$$

Krok 3 — wartość największa:

$$f(2)=-8+16-3=5$$

Odpowiedź: dla $x=2$ wartość największa $5$.

1. $f(x)=a(x-1)^2+3$.
2. $P$: $-5=a\cdot(3-1)^2+3 \Rightarrow 4a=-8 \Rightarrow a=-2$.

Odpowiedź: $f(x)=-2(x-1)^2+3$

Postać iloczynowa: $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$$1\cdot(x-2)(x-(-3))=(x-2)(x+3)$$

Odpowiedź: B. $(x-2)(x+3)$.

1. a) Postać iloczynowa: $f(x)=a(x+1)(x-5)$. Punkt $(2,-9)$: $a\cdot3\cdot(-3)=-9 \Rightarrow a=1$. $f(x)=x^2-4x-5$.
2. b) $p=\dfrac{-1+5}{2}=2$, $q=f(2)=4-8-5=-9$. $W=(2,-9)$.
3. c) $a\gt 0$: $ZW=[-9,\infty)$.
4. d) Rośnie na prawo od wierzchołka: $[2,\infty)$.

Odpowiedź: a) $f(x)=x^2-4x-5$; b) $W=(2,-9)$; c) $[-9,\infty)$; d) $[2,\infty)$

Krok 1 — równanie niezupełne (brak wyrazu $bx$):

$$2x^2=8 \quad\Rightarrow\quad x^2=4$$

Krok 2 — pierwiastki:

$$x=\pm2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,2\}$.

Krok 1 — wyłączamy $x$ przed nawias (brak wyrazu wolnego):

$$x(x+5)=0$$

Krok 2 — iloczyn zerowy:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x+5=0$$

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x=-5$$

Odpowiedź: $x\in\{-5,0\}$.

Oś symetrii to $x=p=2$ (pierwsza współrzędna wierzchołka).

Odpowiedź: C. $x=2$.

Krok 1 — miejsca zerowe (z zad. 3): $x_1=1$, $x_2=5$.

Krok 2 — kształt paraboli. $a=1>0$ — ramiona w górę, wartości dodatnie poza pierwiastkami.

Krok 3 — odczyt:

$$x\in(-\infty,1)\cup(5,+\infty)$$

Uwaga: nierówność ostra „$>$” — końce otwarte.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,1)\cup(5,+\infty)$.

$$\Delta=36-36=0$$

Dla $\Delta=0$ jest jedno (podwójne) miejsce zerowe: $x=\frac{6}{2}=3$.

Odpowiedź: A. $1$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Delta:

$$\Delta=16-4\cdot(-1)\cdot(-3)=16-12=4,\qquad \sqrt{\Delta}=2$$

$$x_1=\frac{-4-2}{-2}=3,\qquad x_2=\frac{-4+2}{-2}=1$$

Krok 2 — kształt. $a=-1<0$ — ramiona w dół, wartości dodatnie między pierwiastkami.

Krok 3 — nierówność „$\ge$” — końce domknięte:

$$x\in\langle1,\ 3\rangle$$

Odpowiedź: $x\in\langle1,3\rangle$.

Krok 1 — zmienne. Niech liczby to $x$ i $10-x$. Iloczyn:

$$P(x)=x(10-x)=-x^2+10x$$

Krok 2 — to parabola z $a=-1<0$, ma maksimum w wierzchołku:

$$x=-\frac{10}{2\cdot(-1)}=5$$

Krok 3 — wartość:

$$P(5)=5\cdot5=25$$

Wniosek. Przy ustalonej sumie iloczyn jest największy, gdy liczby są równe ($5$ i $5$).

Odpowiedź: największy iloczyn to $25$.

Krok 1 — postać kanoniczna z wierzchołkiem:

$$f(x)=a(x-1)^2-4$$

Krok 2 — wyznaczamy $a$ z punktu $(3,0)$:

$$0=a(3-1)^2-4 \quad\Rightarrow\quad 0=4a-4 \quad\Rightarrow\quad a=1$$

Krok 3 — wzór:

$$f(x)=(x-1)^2-4=x^2-2x-3$$

Sprawdzenie: $f(3)=9-6-3=0$ ✔

Odpowiedź: $f(x)=x^2-2x-3$.

Sposób 1 — postać kanoniczna. Uzupełniamy do kwadratu:

$$x^2+2x+5=(x^2+2x+1)+4=(x+1)^2+4$$

Ponieważ $(x+1)^2\ge0$, to $(x+1)^2+4\ge4>0$ dla każdego $x$. $\quad∎$

Sposób 2 — delta. $\Delta=4-20=-16<0$ oraz $a=1>0$, więc parabola leży w całości nad osią $OX$ — potwierdza wynik.

Wniosek: najmniejsza wartość funkcji to $4$ (w $x=-1$), więc wszystkie wartości są dodatnie.

Postać kanoniczna $f(x)=2(x-2)^{2}+4$ ma wierzchołek $(2,4)$ i ramiona skierowane w górę, więc najmniejsza wartość funkcji to $4>0$ — brak miejsc zerowych (F).

Osią symetrii jest prosta pionowa przez wierzchołek: $x=2$ — prawda (P).

Wierzchołek paraboli ma odciętą $x=\pi\approx 3,14$, a ramiona są skierowane w dół. Ponieważ $\pi\in\langle 0,6\rangle$, największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku, czyli dla $x=\pi$.

Odpowiedź: C.

Dla paraboli o ramionach w dół wartość najmniejsza na przedziale jest w tym końcu, który leży dalej od wierzchołka $x=\pi\approx 3,14$.

Odległości: $|0-\pi|\approx 3,14$, $|6-\pi|\approx 2,86$. Dalej jest $x=0$, więc najmniejszą wartość funkcja przyjmuje dla $x=0$.

Odpowiedź: A.

Postać kanoniczna: $f(x)=a(x-3)^{2}$; z $f(0)=-9$ mamy $9a=-9$, więc $a=-1$ (ramiona w dół).

Parabola o ramionach w dół maleje na prawo od wierzchołka, czyli w przedziale $\langle 3,+\infty)$.

Odpowiedź: D.

$g(x)=-(x-3)^{2}-1$, wierzchołek $(3,-1)$, ramiona w dół — największa wartość to $-1<0$.

1. Fałsz. Skoro wartości $g$ są zawsze ujemne, funkcja nie ma miejsc zerowych.

2. Prawda. Przesunięcie w pionie nie zmienia osi symetrii: $x=3$.

Odpowiedź: F, P.

Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe $x=2$ i $x=6$ oraz $f(0)=6$, więc $f(x)=\dfrac{1}{2}(x-2)(x-6)$; wierzchołek to $(4,-2)$.

Ramiona skierowane w górę, najmniejsza wartość to $-2$, zatem zbiór wartości to $\langle -2,+\infty)$.

Odpowiedź: C.

Wartości ujemne funkcja przyjmuje między miejscami zerowymi: $x\in(2,\,6)$.