Rozkład wielomianu na czynniki (1)

Stopień wielomianu to najwyższa potęga zmiennej występująca z niezerowym współczynnikiem:

$$\text{stopień}=4$$

Uwaga: liczba $5$ to wyraz wolny (stopień $0$), a nie stopień wielomianu.

Odpowiedź: B. $4$.

Miejsca zerowe: $x=2$ i $x=-3$.

Znak: parabola o ramionach w górę jest ujemna między miejscami zerowymi.

$$x\in(-3,\,2)$$

Nawiasy otwarte, bo nierówność jest ostra.

Odpowiedź: B. $x\in(-3,\,2)$.

Wyłączamy najwyższą wspólną potęgę $x$, czyli $x^2$:

$$x^3+2x^2=x^2(x+2)$$

Sprawdzenie: $x^2\cdot x+x^2\cdot2=x^3+2x^2$ ✔

Odpowiedź: B. $x^2(x+2)$.

Dodajemy wyrazy o tych samych potęgach:

$$(2x^2+x^2)+(3x-5x)+(-1+4)$$

$$=3x^2-2x+3$$

Odpowiedź: $3x^2-2x+3$.

Miejsca zerowe: $x=0$ i $x=5$.

Znak: ramiona w górę, więc wyrażenie jest dodatnie na zewnątrz miejsc zerowych.

$$x\in(-\infty,\,0\rangle\cup\langle5,+\infty)$$

Nawiasy domknięte, bo nierówność jest nieostra ($\ge$).

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,0\rangle\cup\langle5,+\infty)$.

Krok 1 — wspólny czynnik liczbowy. NWD$(6,9)=3$.

Krok 2 — wspólny czynnik literowy. Najniższa potęga to $x^2$.

Krok 3 — wyłączamy $3x^2$:

$$6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)$$

Odpowiedź: $3x^2(2x-3)$.

1. Najwyższa potęga iloczynu: $2x^3\cdot x^2=2x^5$ → stopień $5$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pomnożone stopnie $3\cdot2$ zamiast dodania.

Podstawiamy $x=2$:

$$W(2)=2^3-2\cdot2^2+2-3=8-8+2-3=-1$$

Odpowiedź: $W(2)=-1$.

Mianownik nie może być zerem:

$$x-4\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq4$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$

Odpowiedź: $x\in\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Rozpoznajemy różnicę kwadratów, bo $16=4^2$:

$$x^2-16=(x-4)(x+4)$$

Odpowiedź: $(x-4)(x+4)$.

1. Podstawiamy $x=-2$: $(-2)^3+8=-8+8=0$ ✓.
2. Pozostałe: $-8-8\ne0$, $4+4\ne0$, $4-4+2\ne0$.

Odpowiedź: A

To wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

$$(x+3)(x-3)=x^2-9$$

Uwaga: nie ma tu wyrazu z $x$ — składniki $+3x$ i $-3x$ się znoszą.

Odpowiedź: C. $x^2-9$.

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x=0,\qquad x=1,\qquad x=-6$$

Trzy różne pierwiastki.

Odpowiedź: C. $3$.

Rozpoznajemy kwadrat różnicy: $9=3^2$, a środkowy wyraz to $-2\cdot x\cdot3$:

$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$

Odpowiedź: C. $(x-3)^2$.

1. $x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — zgubiony czynnik $x$.

Wzór na kwadrat sumy:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot2+2^2=x^2+4x+4$$

Częsty błąd: pominięcie środkowego wyrazu $4x$ — $(x+2)^2$ to nie $x^2+4$.

Odpowiedź: $x^2+4x+4$.

Krok 1 — wyłączamy $x$ przed nawias:

$$x(x^2-9)$$

Krok 2 — różnica kwadratów:

$$x(x-3)(x+3)$$

Odpowiedź: $W(x)=x(x-3)(x+3)$.

Krok 1 — grupujemy po dwa wyrazy:

$$\left(x^3+x^2\right)+(x+1)$$

Krok 2 — wyłączamy z każdej grupy:

$$x^2(x+1)+1\cdot(x+1)$$

Krok 3 — wyłączamy wspólny nawias:

$$(x+1)\left(x^2+1\right)$$

Odpowiedź: $(x+1)(x^2+1)$.

1. $x^2(x-4)-(x-4)=(x-4)(x^2-1)=(x-4)(x-1)(x+1)$.
2. Rozwiązania: $4,\ 1,\ -1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — z $x^2=1$ wzięto tylko $x=1$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $x$:

$$x^3-4x=x(x^2-4)$$

Krok 2 — rozkładamy różnicę kwadratów:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Wynik końcowy:

$$x^3-4x=x(x-2)(x+2)$$

Odpowiedź: $x(x-2)(x+2)$.

Ułamek o liczniku $1$ jest dodatni dokładnie wtedy, gdy mianownik jest dodatni:

$$x>0$$

Odpowiedź: A. $x\in(0,+\infty)$.

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x-2=0 \quad\text{lub}\quad x+5=0$$

$$x=0,\quad x=2,\quad x=-5$$

Uwaga na znaki: z czynnika $(x+5)$ pierwiastkiem jest $-5$, a nie $5$.

Odpowiedź: A. $0$, $2$, $-5$.

1. 1. $2x\cdot(x^2-2x+3)=2x^3-4x^2+6x$ — prawda.
2. 2. $W(x)=0 \iff x=0$ lub $x^2-2x+3=0$; dla trójmianu $\Delta=4-12\lt 0$, więc jedyne rozwiązanie to $x=0$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Pierwiastek wielomianu to liczba, dla której wielomian przyjmuje wartość zero:

$$W(2)=0$$

Z twierdzenia Bezouta wynika wtedy, że $W(x)$ dzieli się przez $(x-2)$.

Odpowiedź: A. $W(2)=0$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyróżnik:

$$\Delta=16-12=4,\qquad \sqrt\Delta=2$$

$$x_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad x_2=\frac{4+2}{2}=3$$

Krok 2 — znak. Ramiona w górę, szukamy wartości dodatnich, czyli poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,\,1)\cup(3,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,1)\cup(3,+\infty)$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $2x$:

$$2x^3-8x=2x\left(x^2-4\right)$$

Krok 2 — różnica kwadratów w nawiasie:

$$2x(x-2)(x+2)$$

Kolejność ma znaczenie: najpierw wspólny czynnik, potem wzory. Pominięcie pierwszego kroku dałoby rozkład niepełny.

Odpowiedź: $2x(x-2)(x+2)$.

1. $(\sqrt3)^3=3\sqrt3$, więc $W(\sqrt3)=3\sqrt3-3\sqrt3+1=1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — $(\sqrt3)^3$ policzone jako $3$; D — zły znak przy $-3x$.

Podstawiamy $x=1$:

$$W(1)=1-2-1+2=0$$

Wartość wynosi zero, więc $1$ jest pierwiastkiem.

Wniosek z twierdzenia Bezouta: wielomian dzieli się bez reszty przez $(x-1)$.

Odpowiedź: tak, $1$ jest pierwiastkiem.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-1$.

Krok 2 — zamiana na iloczyn. Ułamek ma taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika:

$$(x-2)(x+1)>0$$

Krok 3 — miejsca zerowe: $x=2$ i $x=-1$; szukamy wartości dodatnich, czyli na zewnątrz:

$$x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$$

Sprawdzenie dla $x=3$: $\frac{1}{4}>0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$.

Krok 1 — grupujemy:

$$\left(x^3-3x^2\right)+(2x-6)$$

Krok 2 — wyłączamy z grup:

$$x^2(x-3)+2(x-3)$$

Krok 3 — wspólny nawias:

$$(x-3)\left(x^2+2\right)$$

Sprawdzenie dla $x=3$: pierwotny wielomian daje $27-27+6-6=0$, a w rozkładzie czynnik $(x-3)$ się zeruje ✔

Odpowiedź: $(x-3)(x^2+2)$.

1. $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)$ — różnica kwadratów.
2. $x^2-4=(x-2)(x+2)$, a $x^2+4$ nie rozkłada się dalej ($\Delta\lt 0$).

Odpowiedź: $(x-2)(x+2)(x^2+4)$

Wzór na kwadrat różnicy:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(x-5)^2=x^2-2\cdot x\cdot5+25=x^2-10x+25$$

Odpowiedź: D. $x^2-10x+25$.

Mianownik zeruje się, gdy:

$$x^2-9=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{lub}\ x=-3$$

Częsty błąd: pominięcie pierwiastka ujemnego.

Odpowiedź: D. $x=3$ oraz $x=-3$.

Pierwiastki to $x=1$ (podwójny) oraz $x=-3$ (pojedynczy). Różnych wartości pierwiastków są dwie.

Uwaga na sformułowanie. Pierwiastek $x=1$ liczymy jako jedną wartość, choć jego krotność wynosi $2$. Pytanie o liczbę pierwiastków zwykle dotyczy różnych wartości.

Odpowiedź: D. $2$.

1. Grupujemy: $x^2(2x-1)-4(2x-1)=0$.
2. $(2x-1)(x^2-4)=0$, czyli $(2x-1)(x-2)(x+2)=0$.
3. $x=\dfrac12$, $x=2$ lub $x=-2$.

Odpowiedź: $x\in\left\{-2,\ \tfrac12,\ 2\right\}$

Krok 1 — rozkładamy na czynniki:

$$x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)$$

Krok 2 — iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x=0 \quad \text{lub} \quad x=3 \quad \text{lub} \quad x=-3$$

Uwaga: równanie stopnia trzeciego ma tu trzy pierwiastki — nie wolno „zgubić” rozwiązania $x=0$ przez podzielenie równania przez $x$.

Odpowiedź: $x=-3,\ 0,\ 3$.

Krok 1 — pierwiastki: $1$, $2$, $3$ — wszystkie jednokrotne.

Krok 2 — wykres. Stopień $3$, współczynnik dodatni, więc od prawej krzywa idzie w górę. Znaki od prawej: $+$, $-$, $+$, $-$.

Krok 3 — przedziały ujemne:

$$x\in(-\infty,\,1)\cup(2,\,3)$$

Sprawdzenie dla $x=0$: $(-1)(-2)(-3)=-6<0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,1)\cup(2,\,3)$.

Krok 1 — rozkładamy lewą stronę:

$$x\left(x^2-4\right)=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)(x+2)=0$$

Krok 2 — przyrównujemy każdy czynnik do zera:

$$x=0,\quad x=2,\quad x=-2$$

Zasada. Rozkład na czynniki zamienia równanie wielomianowe na kilka prostych — iloczyn jest zerem tylko wtedy, gdy zeruje się choć jeden czynnik.

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ 0,\ 2\}$.

1. $x^2(x+2)-3(x+2)=0 \Rightarrow (x+2)(x^2-3)=0$.
2. $x=-2$ lub $x^2=3$, czyli $x=-\sqrt3$ lub $x=\sqrt3$.

Odpowiedź: $x\in\{-2,-\sqrt3,\sqrt3\}$

Przy mnożeniu wielomianów stopnie się dodają:

$$3+2=5$$

Intuicja: najwyższa potęga iloczynu to iloczyn najwyższych potęg, czyli $x^3\cdot x^2=x^5$.

Odpowiedź: B. $5$.

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-16\le0 \quad\Rightarrow\quad (x-4)(x+4)\le0$$

Ramiona w górę, wartości niedodatnie są między pierwiastkami:

$$x\in\langle-4,\,4\rangle$$

Częsty błąd: zapis „$x\le4$” pomija ograniczenie od dołu.

Odpowiedź: B. $x\in\langle-4,\,4\rangle$.

Stosujemy wzór na różnicę sześcianów, bo $27=3^3$:

$$a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$$

$$x^3-27=(x-3)\left(x^2+3x+9\right)$$

Uwaga na znak środkowego wyrazu: w drugim nawiasie jest $+3x$, a nie $-3x$. W różnicy sześcianów wszystkie znaki w drugim czynniku są dodatnie.

Odpowiedź: B. $(x-3)(x^2+3x+9)$.

1. Przenosimy na jedną stronę: $x(x-2)(x+2)-x(x-2)=0$.
2. Wyłączamy $x(x-2)$: $x(x-2)\big[(x+2)-1\big]=x(x-2)(x+1)=0$.
3. $x=0$, $x=2$ lub $x=-1$.

Odpowiedź: $x\in\{-1,0,2\}$

Wskazówka: Kto podzieli obie strony przez $x(x-2)$, dostanie tylko $x=-1$ i straci dwa punkty.

Mnożymy każdy wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego:

$$x\cdot(x^2-x+1)=x^3-x^2+x$$

$$1\cdot(x^2-x+1)=x^2-x+1$$

Dodajemy i redukujemy:

$$x^3-x^2+x+x^2-x+1=x^3+1$$

Rozpoznanie: to wzór na sumę sześcianów $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Odpowiedź: $x^3+1$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$.

Krok 2 — analiza znaku. Licznik $3$ jest stale dodatni, więc ułamek jest ujemny dokładnie wtedy, gdy mianownik jest ujemny:

$$x-2<0 \quad\Rightarrow\quad x<2$$

Krok 3 — czy zachodzi równość? Ułamek nigdy nie jest zerem (licznik $\neq0$), więc znak $\le$ nie dokłada żadnego punktu.

$$x\in(-\infty,\,2)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,2)$.

Krok 1 — pierwsza różnica kwadratów ($x^4=(x^2)^2$):

$$x^4-1=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)$$

Krok 2 — drugi rozkład. Czynnik $x^2-1$ to znowu różnica kwadratów:

$$(x-1)(x+1)\left(x^2+1\right)$$

Uwaga: czynnika $x^2+1$ nie da się rozłożyć w liczbach rzeczywistych — suma kwadratów nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź: $(x-1)(x+1)(x^2+1)$.

Szukamy dwóch liczb, których suma to $7$, a iloczyn $12$ (wzory Viete dla trójmianu).

Są to $3$ i $4$: $3+4=7$, $3\cdot4=12$.

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$$

Sprawdzenie: $(x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12$ ✔

Odpowiedź: $(x-3)(x-4)$.

Krok 1 — przenosimy na jedną stronę (nie wolno dzielić przez $x$, bo nie znamy jego znaku):

$$x^3-4x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)(x+2)\ge0$$

Krok 2 — pierwiastki: $-2$, $0$, $2$. Stopień $3$, współczynnik dodatni, znaki od prawej: $+$, $-$, $+$, $-$.

Krok 3 — przedziały:

$$x\in\langle-2,\,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$

Sprawdzenie dla $x=-1$: $-1\ge-4$ ✔

Odpowiedź: $x\in\langle-2,\,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$.

Krok 1 — szukamy dwóch liczb o iloczynie $6$ i sumie $5$ (z odpowiednim znakiem). Trójmian ma postać $(x-p)(x-q)$, gdzie $p+q=5$ i $pq=6$.

Krok 2 — dobieramy:

$$2+3=5,\qquad 2\cdot3=6$$

Krok 3 — rozkład:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Sprawdzenie: $(x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6$ ✔

Odpowiedź: $(x-2)(x-3)$.

To treść twierdzenia Bezouta: reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-a)$ równa się $W(a)$.

$$\text{reszta}=W(3)$$

Wniosek: gdy $W(3)=0$, dzielenie jest bez reszty, czyli $3$ jest pierwiastkiem.

Odpowiedź: C. $W(3)$.

W pierwiastku dwukrotnym ($x=1$) wykres tylko dotyka osi i wraca — znak się nie zmienia.

W pierwiastku jednokrotnym ($x=-4$) wykres przechodzi przez oś — znak się zmienia.

Reguła: krotność parzysta — bez zmiany znaku, nieparzysta — ze zmianą.

Odpowiedź: C. tylko $x=-4$.

Współczynniki: NWD$(4,6,2)=2$.

Litery: najniższa potęga $x$ w wyrazach to $x^1$.

Wspólnym czynnikiem jest więc $2x$:

$$4x^3-6x^2+2x=2x\left(2x^2-3x+1\right)$$

Odpowiedź: A. $2x$.

Z twierdzenia Bezouta reszta to $W(1)$:

$$W(1)=1^3+2\cdot1^2-5=1+2-5=-2$$

Zaleta metody: reszty nie trzeba liczyć dzieleniem wielomianów — wystarczy jedno podstawienie.

Odpowiedź: reszta wynosi $-2$.

Krok 1 — wyłączamy $x$:

$$x(x^2-5x+6)=0$$

Krok 2 — rozkładamy trójmian. Szukamy liczb o sumie $5$ i iloczynie $6$: to $2$ i $3$:

$$x(x-2)(x-3)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=0,\qquad x=2,\qquad x=3$$

Odpowiedź: $x\in\{0,\,2,\,3\}$.

Krok 1 — grupujemy:

$$\left(x^3+x^2\right)-(4x+4)=0$$

Krok 2 — wyłączamy z grup:

$$x^2(x+1)-4(x+1)=0$$

Krok 3 — wspólny nawias:

$$(x+1)\left(x^2-4\right)=0 \quad\Rightarrow\quad (x+1)(x-2)(x+2)=0$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=-1,\quad x=2,\quad x=-2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ -1,\ 2\}$.

Wzór na różnicę sześcianów:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Tutaj $a=x$, $b=2$ (bo $8=2^3$):

$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$$

Uwaga na znaki: w drugim nawiasie środkowy wyraz jest dodatni ($+2x$) — to odróżnia od różnicy w odpowiedzi C.

Odpowiedź: A.

Dziedzina: $x\neq3$.

Znak — jak dla iloczynu $x(x-3)\ge0$, czyli poza pierwiastkami $0$ i $3$.

Domknięcia są różne po obu stronach: $x=0$ należy (ułamek jest wtedy zerem), ale $x=3$ nie należy (wypada z dziedziny):

$$x\in(-\infty,\,0\rangle\cup(3,+\infty)$$

Odpowiedź: A. $x\in(-\infty,\,0\rangle\cup(3,+\infty)$.

To suma kwadratów, a nie różnica — nie ma wzoru skróconego mnożenia, który by ją rozkładał w liczbach rzeczywistych.

Dlaczego: $x^2+4=0$ dawałoby $x^2=-4$, co nie ma rozwiązań rzeczywistych. Brak pierwiastków oznacza brak czynników liniowych.

Uwaga: tylko różnica kwadratów $x^2-4$ się rozkłada. Suma — nie.

Odpowiedź: C. nie rozkłada się.

Krok 1 — wyłączamy $x$ przed nawias:

$$x(x^2-2x-3)=0$$

Krok 2 — rozkładamy trójmian. Szukamy liczb o sumie $2$ i iloczynie $-3$: to $3$ i $-1$:

$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$$

Krok 3 — całość:

$$x(x-3)(x+1)=0$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=0 \quad \text{lub} \quad x=3 \quad \text{lub} \quad x=-1$$

Odpowiedź: $x=-1,\ 0,\ 3$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — przenosimy wszystko na lewą stronę (mnożenie na krzyż jest zabronione, bo nie znamy znaku mianownika):

$$\frac{x+2}{x-1}-1\ge0$$

$$\frac{x+2-(x-1)}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{x-1}\ge0$$

Krok 3 — analiza. Licznik $3$ jest dodatni, więc wystarczy $x-1>0$:

$$x>1$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $\frac{4}{1}=4\ge1$ ✔

Odpowiedź: $x\in(1,+\infty)$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $3$:

$$3\left(x^4-x^2-12\right)$$

Krok 2 — podstawienie. Niech $t=x^2$:

$$3\left(t^2-t-12\right)$$

Krok 3 — rozkładamy trójmian. Szukamy liczb o iloczynie $-12$ i sumie $-1$: to $-4$ i $3$:

$$3(t-4)(t+3)$$

Krok 4 — wracamy do $x$:

$$3\left(x^2-4\right)\left(x^2+3\right)$$

Krok 5 — dokończamy rozkład. Czynnik $x^2-4$ to różnica kwadratów, a $x^2+3$ jest nierozkładalny:

$$3(x-2)(x+2)\left(x^2+3\right)$$

Odpowiedź: $3(x-2)(x+2)(x^2+3)$.

Krok 1 — skoro $2$ jest pierwiastkiem, to $W(2)=0$:

$$2^3+a\cdot2-6=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$8+2a-6=0 \quad\Rightarrow\quad 2a+2=0 \quad\Rightarrow\quad a=-1$$

Sprawdzenie: $W(x)=x^3-x-6$, a $W(2)=8-2-6=0$ ✔

Odpowiedź: $a=-1$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-1$.

Krok 2 — rozkładamy licznik:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}\le0$$

Krok 3 — punkty krytyczne: $-2$, $-1$, $2$. Badamy znak w każdym przedziale, podstawiając wygodną liczbę:

• $x=-3$: $\frac{(-5)(-1)}{-2}=-2{,}5<0$ ✔
• $x=-1{,}5$: $\frac{(-3{,}5)(0{,}5)}{-0{,}5}=3{,}5>0$
• $x=0$: $\frac{(-2)(2)}{1}=-4<0$ ✔
• $x=3$: $\frac{(1)(5)}{4}=1{,}25>0$

Krok 4 — domknięcia. Punkty $-2$ i $2$ należą (ułamek $=0$), punkt $-1$ nie należy:

$$x\in(-\infty,-2\rangle\cup(-1,\,2\rangle$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-2\rangle\cup(-1,\,2\rangle$.

Krok 1 — sprawdzamy pierwiastek:

$$W(2)=8-12+4=0 \ ✔$$

Skoro $W(2)=0$, to z twierdzenia Bézouta $(x-2)$ jest dzielnikiem wielomianu.

Krok 2 — dzielimy $W(x)$ przez $(x-2)$. Wynik dzielenia:

$$x^3-3x^2+4=(x-2)\left(x^2-x-2\right)$$

Krok 3 — rozkładamy trójmian. Liczby o iloczynie $-2$ i sumie $-1$ to $-2$ i $1$:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$$

Krok 4 — pełny rozkład:

$$W(x)=(x-2)^2(x+1)$$

Wniosek. Pierwiastek $x=2$ jest podwójny, a $x=-1$ pojedynczy.

Sprawdzenie dla $x=-1$: $-1-3+4=0$ ✔

Krok 1 — grupujemy wyrazy po dwa:

$$(x^3+2x^2)+(-x-2)$$

Krok 2 — wyłączamy wspólny czynnik z każdej grupy:

$$x^2(x+2)-1(x+2)$$

Krok 3 — wyłączamy wspólny nawias $(x+2)$:

$$(x+2)(x^2-1)$$

Krok 4 — rozkładamy różnicę kwadratów:

$$(x+2)(x-1)(x+1)$$

Odpowiedź: $(x+2)(x-1)(x+1)$.

Krok 1 — sprawdzamy:

$$W(2)=8-12+8-4=0 \ ✔$$

Krok 2 — dzielimy przez $(x-2)$. Otrzymujemy:

$$W(x)=(x-2)(x^2-x+2)$$

Krok 3 — czy trójmian da się rozłożyć?

$$\Delta=1-8=-7<0$$

Wyróżnik ujemny, więc trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych i rozkład jest pełny.

Sprawdzenie mnożeniem: $(x-2)(x^2-x+2)=x^3-x^2+2x-2x^2+2x-4=x^3-3x^2+4x-4$ ✔

Odpowiedź: $W(x)=(x-2)(x^2-x+2)$, jedyny pierwiastek rzeczywisty to $x=2$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Wielomian zeruje się w punktach:

$$x=-2,\quad x=1,\quad x=4$$

Krok 2 — oś i znaki. Miejsca zerowe dzielą oś na cztery przedziały. Sprawdzamy znak w każdym, biorąc liczbę próbną:

• $x=-3$: $(-)(-)(-)=-$ — ujemny
• $x=0$: $(-)(+)(-)=+$ — dodatni
• $x=2$: $(+)(+)(-)=-$ — ujemny
• $x=5$: $(+)(+)(+)=+$ — dodatni

Krok 3 — wybieramy przedziały dodatnie. Szukamy, gdzie wielomian jest większy od zera:

$$x\in(-2,\ 1)\cup(4,\ +\infty)$$

Reguła wstęgowa. Dla wielomianu z pojedynczymi pierwiastkami znak zmienia się przy każdym z nich — wystarczy ustalić znak w skrajnym przedziale i naprzemiennie.

Odpowiedź: $x\in(-2,\ 1)\cup(4,\ +\infty)$.

Krok 1 — grupujemy:

$$(x^3-x^2)+(-4x+4)$$

Krok 2 — wyłączamy wspólne czynniki:

$$x^2(x-1)-4(x-1)$$

Krok 3 — wyłączamy nawias $(x-1)$:

$$(x-1)(x^2-4)=(x-1)(x-2)(x+2)$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=1 \quad \text{lub} \quad x=2 \quad \text{lub} \quad x=-2$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $8-4-8+4=0$ ✔

Odpowiedź: $x=-2,\ 1,\ 2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — przenosimy na jedną stronę:

$$\frac{1}{x}-\frac12<0 \quad\Rightarrow\quad \frac{2-x}{2x}<0$$

Krok 3 — znak ułamka odpowiada znakowi iloczynu $(2-x)\cdot 2x$, czyli — po podzieleniu przez dodatnią dwójkę — iloczynu $(2-x)x$. Punkty krytyczne: $0$ i $2$.

• $x=-1$: $\frac{3}{-2}<0$ ✔
• $x=1$: $\frac{1}{2}>0$
• $x=3$: $\frac{-1}{6}<0$ ✔

$$x\in(-\infty,\,0)\cup(2,+\infty)$$

Uwaga: najczęstszy błąd to „przemnożenie przez $x$” i wynik $x>2$ — gubi cały przedział ujemny, gdzie $\frac1x$ jest ujemne, a więc na pewno mniejsze od $\frac12$.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,0)\cup(2,+\infty)$.

Krok 1 — rozkładamy wielomian:

$$x^3-x=x\left(x^2-1\right)=x(x-1)(x+1)=(x-1)\,x\,(x+1)$$

Krok 2 — interpretacja. To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych: $x-1$, $x$, $x+1$.

Krok 3 — podzielność przez $2$. Wśród dowolnych dwóch kolejnych liczb jedna jest parzysta, więc iloczyn dzieli się przez $2$.

Krok 4 — podzielność przez $3$. Wśród dowolnych trzech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez $3$, więc iloczyn dzieli się przez $3$.

Krok 5 — wniosek. Iloczyn dzieli się przez $2$ i przez $3$, a skoro liczby te są względnie pierwsze, dzieli się przez $2\cdot3=6$. $\qquad ∎$

Sprawdzenie dla $x=4$: $64-4=60=6\cdot10$ ✔