Równość wielomianów

Reszta z dzielenia $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ to wartość wielomianu w punkcie $a$:

$$R=W(a)$$

Wniosek: $W(x)$ dzieli się przez $(x-a)$ bez reszty dokładnie wtedy, gdy $W(a)=0$, czyli gdy $a$ jest pierwiastkiem.

Odpowiedź: B. $W(a)$.

Z twierdzenia Bézouta reszta to $W(1)$:

$$W(1)=1-2+5=4$$

Zaleta metody: nie trzeba wykonywać dzielenia — wystarczy podstawić jedną liczbę.

Odpowiedź: reszta wynosi $4$.

Dzielnik $(x-2)$ dzieli $W(x)$ bez reszty, gdy $W(2)=0$:

$$W(2)=8-12+4=0$$

Reszta wynosi zero, więc $(x-2)$ jest dzielnikiem.

Odpowiedź: tak, $(x-2)$ jest dzielnikiem.

To bezpośredni wniosek z twierdzenia Bézouta:

$$W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)$$

Pierwiastek odpowiada czynnikowi liniowemu w rozkładzie wielomianu.

Odpowiedź: C. $(x-a)$ dzieli $W(x)$.

Reszta z dzielenia przez $(x+1)=\bigl(x-(-1)\bigr)$ to $W(-1)$:

$$W(-1)=2\cdot(-1)+1-(-1)+3=-2+1+1+3=3$$

Uwaga na znak: dwumian $(x+1)$ odpowiada $a=-1$, nie $a=1$.

Odpowiedź: $W(-1)=3$, reszta $3$.

Z twierdzenia Bézouta:

$$W(1)=1^4+1=2$$

Reszta nie jest zerem, więc $(x-1)$ nie jest dzielnikiem $x^4+1$.

Odpowiedź: A. $2$.

Krok 1 — pierwszy wyraz ilorazu. Dzielimy najwyższe wyrazy: $\frac{x^2}{x}=x$.

Krok 2 — odejmujemy $x(x+2)=x^2+2x$:

$$\left(x^2+5x+6\right)-\left(x^2+2x\right)=3x+6$$

Krok 3 — kolejny wyraz ilorazu: $\frac{3x}{x}=3$.

Krok 4 — odejmujemy $3(x+2)=3x+6$:

$$(3x+6)-(3x+6)=0$$

Wynik: iloraz $x+3$, reszta $0$.

Sprawdzenie: $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$ ✔

Odpowiedź: $x+3$.

Krok 1 — warunek podzielności: $W(2)=0$.

Krok 2 — obliczamy $W(2)$:

$$W(2)=8+2m-6=2+2m$$

Krok 3 — przyrównujemy do zera:

$$2+2m=0 \quad\Rightarrow\quad m=-1$$

Sprawdzenie: dla $m=-1$ mamy $W(x)=x^3-x-6$, a $W(2)=8-2-6=0$ ✔

Odpowiedź: $m=-1$.

Z twierdzenia Bézouta pierwiastek $a=3$ odpowiada czynnikowi $(x-3)$:

$$W(3)=0 \iff (x-3)\mid W(x)$$

Uwaga na znak: pierwiastek $3$ daje czynnik $(x-3)$, nie $(x+3)$.

Odpowiedź: D. $x-3$.

Zasada równości wielomianów. Dwa wielomiany są równe, gdy mają identyczne współczynniki przy tych samych potęgach.

Porównujemy:

$$\text{przy } x^2:\ a=2$$

$$\text{przy } x^1:\ 3=b \quad\Rightarrow\quad b=3$$

$$\text{wyraz wolny:}\ 1=1 \ ✔$$

Odpowiedź: $a=2$, $b=3$.

Przy dzieleniu stopnie się odejmują:

$$5-2=3$$

Reguła: $\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$, a reszta ma stopień mniejszy od dzielnika.

Odpowiedź: B. $3$.

Z twierdzenia Bézouta reszta z dzielenia przez $(x-a)$ to wprost $W(a)$:

$$W(1)=3 \quad\text{(reszta z dzielenia przez } x-1)$$

$$W(-2)=-6 \quad\text{(reszta z dzielenia przez } x+2)$$

Idea. Twierdzenie działa w obie strony — znając resztę, znamy wartość wielomianu w danym punkcie bez wykonywania dzielenia.

Odpowiedź: $W(1)=3$, $W(-2)=-6$.

Krok 1 — dopisujemy dzielną z brakującymi potęgami:

$$x^3+0x^2+0x-1$$

Krok 2 — kolejne wyrazy ilorazu: $x^2$, potem $x$, potem $1$. Po wykonaniu dzielenia otrzymujemy:

$$\left(x^3-1\right):(x-1)=x^2+x+1$$

Sprawdzenie: $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$ ✔ To wzór na różnicę sześcianów.

Uwaga: uzupełnienie brakujących potęg zerami jest kluczowe — inaczej łatwo pogubić kolumny przy dzieleniu pisemnym.

Odpowiedź: $x^2+x+1$.

Sprawdzamy wartość w $x=1$:

$$W(1)=1+2-1-2=0$$

Ponieważ $W(1)=0$, liczba $1$ jest pierwiastkiem (twierdzenie Bézouta).

Odpowiedź: A. $W(1)=0$.

Krok 1 — dwa warunki Bézouta: $W(1)=0$ oraz $W(2)=0$.

Krok 2 — pierwszy warunek:

$$1+a+b-6=0 \quad\Rightarrow\quad a+b=5$$

Krok 3 — drugi warunek:

$$8+4a+2b-6=0 \quad\Rightarrow\quad 4a+2b=-2 \quad\Rightarrow\quad 2a+b=-1$$

Krok 4 — układ równań. Odejmujemy pierwsze od drugiego:

$$(2a+b)-(a+b)=-1-5 \quad\Rightarrow\quad a=-6$$

$$b=5-a=5-(-6)=11$$

Sprawdzenie: $W(x)=x^3-6x^2+11x-6$, $W(1)=1-6+11-6=0$ ✔, $W(2)=8-24+22-6=0$ ✔

Odpowiedź: $a=-6$, $b=11$.

Reszta musi mieć stopień mniejszy od dzielnika. Dzielnik $(x-a)$ ma stopień $1$, więc reszta ma stopień $0$ — jest po prostu liczbą (stałą).

Dlatego twierdzenie Bézouta podaje resztę jako pojedynczą wartość $W(a)$, a nie wyrażenie.

Odpowiedź: C. $0$ (stała).

Krok 1 — warunki z twierdzenia Bézouta: $W(1)=2$ oraz $W(-1)=-6$.

Krok 2 — pierwszy warunek:

$$W(1)=1-4+a+b=2 \quad\Rightarrow\quad a+b=5$$

Krok 3 — drugi warunek:

$$W(-1)=-1-4-a+b=-6 \quad\Rightarrow\quad -a+b=-1$$

Krok 4 — rozwiązujemy układ. Dodajemy równania:

$$(a+b)+(-a+b)=5+(-1) \quad\Rightarrow\quad 2b=4 \quad\Rightarrow\quad b=2$$

$$a=5-b=3$$

Sprawdzenie: $W(x)=x^3-4x^2+3x+2$, $W(1)=1-4+3+2=2$ ✔, $W(-1)=-1-4-3+2=-6$ ✔

Odpowiedź: $a=3$, $b=2$.

Krok 1 — potwierdzamy pierwiastek:

$$W(1)=1-6+11-6=0 \ ✔$$

Zatem $(x-1)$ jest dzielnikiem.

Krok 2 — dzielimy $W(x)$ przez $(x-1)$:

$$W(x)=(x-1)\left(x^2-5x+6\right)$$

Krok 3 — rozkładamy trójmian. Szukamy liczb o iloczynie $6$ i sumie $5$: to $2$ i $3$:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Krok 4 — pełny rozkład:

$$W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$$

Wniosek. Pierwiastki to $1$, $2$, $3$. Twierdzenie Bézouta pozwoliło zredukować sześcian do trójmianu — dalej szło już łatwo.

Odpowiedź: $(x-1)(x-2)(x-3)$.

Krok 1 — twierdzenie o pierwiastkach całkowitych. Pierwiastki całkowite są dzielnikami wyrazu wolnego $6$:

$$\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$$

Krok 2 — sprawdzamy kandydatów:

$$W(1)=1-2-5+6=0 \ ✔$$

$$W(-2)=-8-8+10+6=0 \ ✔$$

$$W(3)=27-18-15+6=0 \ ✔$$

Krok 3 — wniosek. Znaleźliśmy trzy pierwiastki: $1$, $-2$, $3$. Wielomian stopnia trzeciego ma co najwyżej trzy pierwiastki, więc to wszystkie.

Rozkład: $W(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$.

Metoda. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych zawęża poszukiwania do dzielników wyrazu wolnego — bez niego trzeba by zgadywać.

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ 1,\ 3\}$.

Krok 1 — oznaczenie. Niech $W(x)=x^n-1$.

Krok 2 — stosujemy twierdzenie Bézouta. Wielomian dzieli się przez $(x-1)$ dokładnie wtedy, gdy $W(1)=0$.

Krok 3 — obliczamy $W(1)$:

$$W(1)=1^n-1=1-1=0 \qquad ∎$$

Ponieważ $1^n=1$ dla każdego $n$, reszta zawsze wynosi zero.

Postać ilorazu. Faktycznie zachodzi wzór:

$$x^n-1=(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1\right)$$

Sprawdzenie dla $n=3$: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ ✔