Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Wielomian \(W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) jest iloczynem wielomianów \(F(x)=(2-3x)^2\) oraz \(G(x)=3x-2\).
Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę tak, aby zdanie było prawdziwe.
Suma \(a+b+c+d\) współczynników wielomianu \(W\) jest równa .....
Wielomian \(W(x)=x^4+ax^3+bx^2-24x+9\) jest kwadratem wielomianu \(P(x)=x^2+cx+d\). Oblicz \(a\) oraz \(b\).
Przedstaw wielomian \(W(x)=x^4-2x^3-3x^2+4x-1\) w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ jest równa $W(a)$:
$$R=W(a)$$
Pozwala policzyć resztę bez wykonywania dzielenia — wystarczy podstawić jedną liczbę.
$$W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)$$
Liczba $a$ jest pierwiastkiem dokładnie wtedy, gdy $(x-a)$ jest czynnikiem wielomianu. To most między pierwiastkami a rozkładem na czynniki.
Pierwiastek $a=3$ odpowiada czynnikowi $(x-3)$, a dzielnik $(x+2)$ oznacza $a=-2$. Łatwo pomylić znak.
$$\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$$
Reszta ma stopień mniejszy od dzielnika. Przy dzieleniu przez dwumian reszta jest więc stałą.
Uzupełniamy brakujące potęgi zerami, dzielimy najwyższe wyrazy, odejmujemy i powtarzamy. Przykład: $(x^3-1):(x-1)=x^2+x+1$.
Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego. To zawęża listę kandydatów do sprawdzenia.
Dwa wielomiany są równe, gdy mają identyczne współczynniki przy tych samych potęgach. Stąd metoda współczynników nieoznaczonych.
Przy dzieleniu pisemnym nie gub brakujących potęg. Sprawdzaj znak przy przechodzeniu od pierwiastka do czynnika.
Bok razy wysokość opuszczona na ten bok.
Przykład: $a=7$, $h=4$: $P=28$.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Twierdzenie Bézouta mówi, że reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x-a)$ jest równa:
Sprawdź, czy $(x-2)$ jest dzielnikiem wielomianu $W(x)=x^3-3x^2+4$.
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy:
Dla jakiej wartości $m$ wielomian $W(x)=x^3+mx-6$ dzieli się przez $(x-2)$?
Jeśli $W(3)=0$, to wielomian $W(x)$ dzieli się przez:
Wielomiany $W(x)=ax^2+3x+1$ oraz $P(x)=2x^2+bx+1$ są równe. Wyznacz $a$ i $b$.
Stopień ilorazu przy dzieleniu wielomianu stopnia $5$ przez wielomian stopnia $2$ wynosi:
Reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-1)$ wynosi $3$, a przez $(x+2)$ wynosi $-6$. Oblicz $W(1)$ i $W(-2)$.
Wielomian $W(x)=x^3+2x^2-x-2$ ma pierwiastek $x=1$, bo:
Dla jakich $a$ i $b$ wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ jest podzielny zarówno przez $(x-1)$, jak i przez $(x-2)$?
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian $(x-a)$ jest wielomianem stopnia:
Wielomian $W(x)=x^3-4x^2+ax+b$ przy dzieleniu przez $(x-1)$ daje resztę $2$, a przez $(x+1)$ resztę $-6$. Wyznacz $a$ i $b$.
Rozłóż wielomian $W(x)=x^3-6x^2+11x-6$ na czynniki, wiedząc, że jednym z pierwiastków jest $x=1$.
Znajdź wszystkie pierwiastki całkowite wielomianu $W(x)=x^3-2x^2-5x+6$.
Wykaż, że dla dowolnego $n$ naturalnego wielomian $x^n-1$ dzieli się przez $(x-1)$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.