Równania sprowadzalne do równań kwadratowych

Krok 1 — miejsca zerowe:

$$x^2-4=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2 \ \text{ lub } \ x=2$$

Krok 2 — kierunek ramion. Współczynnik $a=1>0$, więc parabola jest skierowana w górę i leży poniżej osi OX między miejscami zerowymi.

$$x\in(-2,\,2)$$

Nawiasy okrągłe: nierówność jest ostra ($<$), więc końce nie należą.

Odpowiedź: C.

W metodzie podstawiania wyznaczamy jedną zmienną z jednego równania i wstawiamy do drugiego, otrzymując równanie z jedną niewiadomą.

Odpowiedź: B.

Krok 1 — miejsca zerowe. Rozkładamy na czynniki:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=3$$

Krok 2 — kierunek ramion. $a=1>0$, więc parabola jest nad osią OX na zewnątrz miejsc zerowych.

Krok 3 — zapisujemy rozwiązanie. Nierówność jest nieostra ($\ge$), więc końce dołączamy:

$$x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$$

Sprawdzenie: dla $x=0$ mamy $6\ge0$ ✔, dla $x=2{,}5$ mamy $-0{,}25<0$ (poza zbiorem) ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.

Krok 1 — porównujemy prawe strony:

$$x^2=x+2 \quad\Rightarrow\quad x^2-x-2=0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$(x-2)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{lub}\ x=-1$$

Krok 3 — obliczamy $y$:

$$x=2\Rightarrow y=4,\qquad x=-1\Rightarrow y=1$$

Odpowiedź: $(2,\ 4)$ oraz $(-1,\ 1)$.

Wzory Viete dla równania $ax^2+bx+c=0$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Podstawiamy $a=1$, $b=-7$, $c=10$:

$$x_1+x_2=-\frac{-7}{1}=7$$

$$x_1\cdot x_2=\frac{10}{1}=10$$

Sprawdzenie: pierwiastkami są $2$ i $5$, bo $2+5=7$ ✔ i $2\cdot5=10$ ✔

Odpowiedź: suma $7$, iloczyn $10$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2$, gdzie $t\ge0$:

$$t^2-5t+4=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$(t-1)(t-4)=0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \ \text{lub}\ t=4$$

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=1\Rightarrow x=\pm1,\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm2$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,-1,1,2\}$.

Jedno rozwiązanie oznacza $\Delta=0$:

$$\Delta=b^2-4\cdot1\cdot9=b^2-36=0$$

Rozwiązujemy:

$$b^2=36 \quad\Rightarrow\quad b=6 \ \text{ lub } \ b=-6$$

Sprawdzenie dla $b=6$: $x^2+6x+9=(x+3)^2$ — jedno rozwiązanie $x=-3$ ✔

Uwaga: pierwiastkowanie równania $b^2=36$ daje dwa wyniki — pominięcie ujemnego to częsty błąd.

Odpowiedź: B.

Porównujemy: $x^2=-1$. Kwadrat nie może być ujemny, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Geometrycznie: parabola $y=x^2$ leży nad osią, a prosta $y=-1$ pod nią — nie przecinają się.

Odpowiedź: C. $0$.

Dwa różne pierwiastki oznaczają $\Delta>0$:

$$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot m=16-4m$$

Rozwiązujemy nierówność:

$$16-4m>0 \quad\Rightarrow\quad -4m>-16 \quad\Rightarrow\quad m<4$$

Uwaga na znak: dzieląc przez liczbę ujemną ($-4$), odwracamy znak nierówności.

Sprawdzenie dla $m=0$: $x^2-4x=x(x-4)$ ma pierwiastki $0$ i $4$ — dwa różne ✔

Odpowiedź: $m\in(-\infty,\,4)$.

Krok 1 — z pierwszego równania $y=5-x$.

Krok 2 — podstawiamy do drugiego:

$$x(5-x)=6 \quad\Rightarrow\quad -x^2+5x-6=0 \quad\Rightarrow\quad x^2-5x+6=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$(x-2)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{lub}\ x=3$$

Krok 4 — pary: $(2,\ 3)$ oraz $(3,\ 2)$.

Odpowiedź: $(2,3)$ i $(3,2)$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=x^2$, przy czym $t\ge0$:

$$t^2-13t+36=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=169-144=25,\qquad \sqrt{\Delta}=5$$

$$t_1=\frac{13-5}{2}=4,\qquad t_2=\frac{13+5}{2}=9$$

Oba wyniki są nieujemne, więc oba są dopuszczalne.

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2$$

$$x^2=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm3$$

Uwaga: każde $t$ daje dwa rozwiązania w $x$ — łącznie cztery.

Odpowiedź: $x=-3,\ -2,\ 2,\ 3$.

Podstawienie $t=x^2$ zamienia równanie czwartego stopnia na kwadratowe.

Ważne zastrzeżenie: $t=x^2\ge0$, więc ujemne wartości $t$ odrzucamy — nie dają rozwiązań rzeczywistych.

Odpowiedź: A. $t=x^2$, $t\ge0$.

Ze wzoru Viete na sumę pierwiastków:

$$x_1+x_2=-p \quad\Rightarrow\quad 2+(-5)=-p \quad\Rightarrow\quad -3=-p \quad\Rightarrow\quad p=3$$

Sprawdzenie: równanie ma postać $x^2+3x-10=0$. Podstawiamy $x=2$: $4+6-10=0$ ✔

Uwaga na minus we wzorze — suma pierwiastków to $-p$, a nie $p$.

Odpowiedź: A. $p=3$.

Krok 1 — porównujemy:

$$x^2-2x=3 \quad\Rightarrow\quad x^2-2x-3=0$$

Krok 2 — rozkładamy:

$$(x-3)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{lub}\ x=-1$$

Krok 3 — dla obu $y=3$:

$$(3,\ 3) \quad\text{oraz}\quad (-1,\ 3)$$

Interpretacja: pozioma prosta $y=3$ przecina parabolę w dwóch punktach.

Odpowiedź: $(3,3)$ i $(-1,3)$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyłączamy $x$ przed nawias:

$$-x^2+4x=x(-x+4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \ \text{ lub } \ x=4$$

Krok 2 — kierunek ramion. Tu $a=-1<0$, więc parabola jest skierowana w dół i leży nad osią OX między miejscami zerowymi.

$$x\in(0,\,4)$$

Kluczowe: przy ujemnym $a$ obszary „nad osią” i „pod osią” zamieniają się miejscami w stosunku do przypadku $a>0$.

Sprawdzenie dla $x=2$: $-4+8=4>0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(0,\,4)$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2\ge0$:

$$t^2-13t+36=0$$

Krok 2 — wyróżnik i pierwiastki:

$$\Delta=169-144=25,\qquad t=\frac{13\pm5}{2}$$

$$t_1=9,\qquad t_2=4$$

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=9\Rightarrow x=\pm3,\qquad x^2=4\Rightarrow x=\pm2$$

Odpowiedź: $x\in\{-3,-2,2,3\}$.

Brak rozwiązań oznacza $\Delta<0$:

$$\Delta=2^2-4\cdot1\cdot m=4-4m$$

Rozwiązujemy nierówność:

$$4-4m<0 \quad\Rightarrow\quad -4m<-4 \quad\Rightarrow\quad m>1$$

Sprawdzenie dla $m=2$: $\Delta=4-8=-4<0$ — brak pierwiastków ✔

Odpowiedź: $m\in(1,\,+\infty)$.

Porównujemy: $x^2=2x-1$, czyli $x^2-2x+1=0$, więc $(x-1)^2=0$.

To pierwiastek podwójny $x=1$ — prosta jest styczna do paraboli, więc jest tylko jeden punkt wspólny $(1,\ 1)$.

Odpowiedź: D. jedno rozwiązanie.

Wyrażenie $x^2$ jest zawsze nieujemne, więc:

$$x^2+1\ge 1>0$$

Lewa strona nigdy nie jest ujemna, a nierówność wymaga wartości mniejszej od zera — nie ma rozwiązań.

Potwierdzenie wyróżnikiem: $\Delta=0-4=-4<0$, a $a=1>0$, więc cała parabola leży nad osią OX.

Odpowiedź: D. żadnego.

Krok 1 — dodajemy równania stronami. Wyrazy $y$ się znoszą:

$$2x^2=8 \quad\Rightarrow\quad x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2$$

Krok 2 — obliczamy $y$ z pierwszego równania:

$$y=7-x^2=7-4=3$$

Krok 3 — pary: $(2,\ 3)$ oraz $(-2,\ 3)$.

Uwaga: $y$ zależy od $x^2$, więc dla obu wartości $x$ wychodzi to samo $y$.

Odpowiedź: $(2,3)$ i $(-2,3)$.

Krok 1 — wzory Viete:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1\cdot x_2=k$$

Krok 2 — przekształcamy warunek wzorem $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$20=6^2-2k \quad\Rightarrow\quad 20=36-2k \quad\Rightarrow\quad 2k=16 \quad\Rightarrow\quad k=8$$

Krok 4 — sprawdzamy istnienie pierwiastków:

$$\Delta=36-32=4>0 \ ✔$$

Weryfikacja: pierwiastki to $2$ i $4$, a $4+16=20$ ✔

Odpowiedź: $k=8$.

$$x^4=16 \quad\Rightarrow\quad x^2=4 \quad(\text{bo } x^2\ge0)$$

$$x=\pm2$$

Rozwiązanie $x^2=-4$ odrzucamy. Zostają dwa rozwiązania rzeczywiste.

Odpowiedź: B. dwa.

Uwaga: nie wolno przyrównać czynników do $5$ — reguła „iloczyn równy zero” działa tylko dla zera.

Krok 1 — rozwijamy i porządkujemy:

$$x^2+3x-x-3=5 \quad\Rightarrow\quad x^2+2x-8=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$\Delta=4+32=36,\qquad \sqrt{\Delta}=6$$

$$x_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{-2+6}{2}=2$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $(2-1)(2+3)=1\cdot5=5$ ✔

Odpowiedź: $x=-4$ lub $x=2$.

Krok 1 — iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x^2-4=0 \quad\text{lub}\quad x^2-1=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy każdy:

$$x=\pm2 \quad\text{lub}\quad x=\pm1$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,-1,1,2\}$.

Ze wzoru Viete, pamiętając o współczynniku $a=2$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-8}{2}=4$$

Częsty błąd: pominięcie dzielenia przez $a$ i podanie $8$ (odpowiedź A). Gdy $a\neq1$, trzeba dzielić.

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — układ:

$$x+y=10,\qquad x^2+y^2=58$$

Krok 2 — korzystamy z tożsamości. $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$:

$$58=100-2xy \quad\Rightarrow\quad xy=21$$

Krok 3 — mamy sumę $10$ i iloczyn $21$. Liczby to pierwiastki $t^2-10t+21=0$:

$$(t-3)(t-7)=0 \quad\Rightarrow\quad t=3 \ \text{lub}\ t=7$$

Sprawdzenie: $9+49=58$ ✔

Odpowiedź: liczby to $3$ i $7$.

Krok 1 — suma pierwiastków ze wzoru Viete:

$$x_1+x_2=-\frac{-2m}{1}=2m$$

Krok 2 — warunek z treści:

$$2m=6 \quad\Rightarrow\quad m=3$$

Krok 3 — sprawdzamy, czy pierwiastki istnieją. Dla $m=3$:

$$\Delta=(-6)^2-4(9-1)=36-32=4>0 \ ✔$$

Weryfikacja: równanie to $x^2-6x+8=0$ o pierwiastkach $2$ i $4$, a $2+4=6$ ✔

Uwaga: warunek na $\Delta$ trzeba sprawdzić zawsze — bez pierwiastków mówienie o ich sumie nie miałoby sensu.

Odpowiedź: $m=3$.

Każde równanie to wykres (parabola i prosta). Rozwiązania układu to współrzędne ich punktów wspólnych.

Liczba rozwiązań: $0$, $1$ (styczność) lub $2$ — zależnie od położenia prostej względem paraboli.

Odpowiedź: A. punkty przecięcia.

Krok 1 — przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-9\le 0$$

Krok 2 — miejsca zerowe:

$$(x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3 \ \text{ lub } \ x=3$$

Krok 3 — ramiona w górę ($a=1>0$), więc wartości niedodatnie są między miejscami zerowymi. Nierówność nieostra dołącza końce:

$$x\in\langle -3,\,3\rangle$$

Częsty błąd: zapisanie odpowiedzi jako $x\le3$ — pomija się wtedy ograniczenie od dołu. Sprawdź $x=-10$: $100\le9$ to fałsz.

Odpowiedź: $x\in\langle -3,\,3\rangle$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $x^2$:

$$x^2\left(x^2-8\right)=0$$

Krok 2 — dwa przypadki:

$$x^2=0 \quad\text{lub}\quad x^2=8$$

Krok 3 — rozwiązania:

$$x=0 \quad\text{lub}\quad x=\pm2\sqrt2$$

Uwaga: tu wygodniejsze było wyłączenie czynnika niż podstawienie — $x=0$ łatwo przeoczyć przy $t=x^2$.

Odpowiedź: $x\in\{-2\sqrt2,\ 0,\ 2\sqrt2\}$.

Przekształcamy równanie:

$$x^2=-4$$

Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Potwierdzenie wyróżnikiem: $\Delta=0-16=-16<0$.

Uwaga: $x^2-4=0$ (z minusem) miałoby rozwiązania $\pm2$ — znak przy stałej zmienia wszystko.

Odpowiedź: C.

Podstawienie $t=x^2\ge0$ daje $t^2+3t+2=0$, czyli $(t+1)(t+2)=0$, więc $t=-1$ lub $t=-2$.

Obie wartości są ujemne, a $t=x^2\ge0$ — więc odrzucamy obie. Brak rozwiązań rzeczywistych.

Wniosek: gdy oba pierwiastki po podstawieniu są ujemne, równanie dwukwadratowe nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: C. brak rozwiązań.

Krok 1 — oznaczenia. Niech pierwsza liczba to $x$, druga $x+1$:

$$x(x+1)=132$$

Krok 2 — porządkujemy do postaci ogólnej:

$$x^2+x-132=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$\Delta=1+528=529,\qquad \sqrt{529}=23$$

$$x_1=\frac{-1-23}{2}=-12,\qquad x_2=\frac{-1+23}{2}=11$$

Krok 4 — wybieramy sensowne rozwiązanie. Szukamy liczb naturalnych, więc odrzucamy $-12$.

Sprawdzenie: $11\cdot12=132$ ✔

Odpowiedź: liczby to $11$ i $12$.

Krok 1 — podstawiamy $y=x+1$ do pierwszego równania:

$$x^2+(x+1)^2=25$$

Krok 2 — rozwijamy:

$$x^2+x^2+2x+1=25 \quad\Rightarrow\quad 2x^2+2x-24=0$$

Krok 3 — dzielimy przez $2$ i rozkładamy:

$$x^2+x-12=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+4)=0$$

$$x=3 \quad\text{lub}\quad x=-4$$

Krok 4 — obliczamy $y=x+1$:

$$x=3\Rightarrow y=4,\qquad x=-4\Rightarrow y=-3$$

Interpretacja geometryczna. Prosta przecina okrąg o promieniu $5$ w dwóch punktach: $(3,4)$ i $(-4,-3)$.

Sprawdzenie: $9+16=25$ ✔, $16+9=25$ ✔

Odpowiedź: $(3,4)$ i $(-4,-3)$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2$, $t\ge0$:

$$t^2-5t+4=0$$

Krok 2 — rozkładamy na czynniki:

$$(t-1)(t-4)=0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \ \text{ lub } \ t=4$$

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1$$

$$x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $16-20+4=0$ ✔

Odpowiedź: $x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$.

Krok 1 — warunek wspólnych punktów:

$$x^2=x+m \quad\Rightarrow\quad x^2-x-m=0$$

Krok 2 — styczność oznacza jeden punkt wspólny, czyli pierwiastek podwójny:

$$\Delta=0$$

Krok 3 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-m)=1+4m$$

Krok 4 — przyrównujemy do zera:

$$1+4m=0 \quad\Rightarrow\quad m=-\frac14$$

Interpretacja. Dla $m=-\frac14$ prosta dotyka paraboli w jednym punkcie; dla $m>-\frac14$ przecina ją w dwóch, dla $m<-\frac14$ omija.

Odpowiedź: $m=-\frac14$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech szerokość to $x$, długość $x+7$:

$$x(x+7)=60$$

Krok 2 — porządkujemy:

$$x^2+7x-60=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$\Delta=49+240=289,\qquad \sqrt{289}=17$$

$$x_1=\frac{-7-17}{2}=-12,\qquad x_2=\frac{-7+17}{2}=5$$

Krok 4 — odrzucamy wynik bez sensu. Bok nie może być ujemny, więc $x=5$.

Wymiary: szerokość $5$ cm, długość $5+7=12$ cm.

Sprawdzenie: $5\cdot12=60$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $5$ cm na $12$ cm.

Krok 1 — układ równań. Niech boki to $x$ i $y$:

$$2(x+y)=28,\qquad xy=48$$

Krok 2 — upraszczamy pierwsze:

$$x+y=14$$

Krok 3 — suma $14$, iloczyn $48$. Boki to pierwiastki równania:

$$t^2-14t+48=0 \quad\Rightarrow\quad (t-6)(t-8)=0$$

$$t=6 \quad\text{lub}\quad t=8$$

Sprawdzenie: obwód $2\cdot14=28$ ✔, pole $6\cdot8=48$ ✔

Odpowiedź: boki $6$ i $8$.

Potrzebne są trzy warunki naraz.

Warunek 1 — istnienie dwóch pierwiastków ($\Delta>0$):

$$\Delta=(m+1)^2-4m=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1=(m-1)^2$$

$$(m-1)^2>0 \quad\Rightarrow\quad m\neq1$$

Warunek 2 — suma pierwiastków dodatnia:

$$x_1+x_2=m+1>0 \quad\Rightarrow\quad m>-1$$

Warunek 3 — iloczyn pierwiastków dodatni:

$$x_1\cdot x_2=m>0$$

Część wspólna warunków: $m>0$ (to mocniejsze niż $m>-1$) oraz $m\neq1$:

$$m\in(0,\,1)\cup(1,\,+\infty)$$

Dlaczego trzy warunki: sama dodatnia suma nie wystarcza (jeden pierwiastek mógłby być ujemny, a drugi duży dodatni) — dopiero dodatni iloczyn gwarantuje ten sam znak obu.

Odpowiedź: $m\in(0,\,1)\cup(1,\,+\infty)$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=x^2$, gdzie $t\ge0$:

$$t^2+bt+c=0$$

Krok 2 — analiza za pomocą wzorów Viète'a. Gdyby to równanie miało pierwiastki $t_1$, $t_2$, to:

$$t_1+t_2=-b<0,\qquad t_1 t_2=c>0$$

Krok 3 — wnioskowanie. Iloczyn dodatni oznacza jednakowe znaki pierwiastków, a suma ujemna — że oba są ujemne.

Krok 4 — sprzeczność z podstawieniem. Skoro oba $t$ są ujemne (lub nie istnieją rzeczywiste, gdy $\Delta<0$), a musi być $t=x^2\ge0$, żadne nie daje rozwiązania dla $x$. $\qquad ∎$

Sprawdzenie: $x^4+3x^2+2=0$ ($b=3$, $c=2$) nie ma pierwiastków rzeczywistych ✔