Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Wartość bezwzględna to odległość od zera, a w odległości $7$ leżą dwa punkty:

$$x=7 \quad\text{lub}\quad x=-7$$

Odpowiedź: C. $7$ i $-7$.

Krok 1 — rozbijamy na dwa przypadki:

$$x-3=5 \quad\text{lub}\quad x-3=-5$$

Krok 2 — rozwiązujemy każdy:

$$x=8 \quad\text{lub}\quad x=-2$$

Interpretacja: szukamy liczb odległych o $5$ od punktu $3$ na osi — to $8$ (w prawo) i $-2$ (w lewo).

Odpowiedź: $x=8$ lub $x=-2$.

1. $2x-3=5 \Rightarrow x=4$ lub $2x-3=-5 \Rightarrow x=-1$.

Odpowiedź: $x=-1$ lub $x=4$

Warunek $|x|<4$ oznacza liczby odległe od zera o mniej niż $4$:

$$-4

Reguła: $|x|0$) daje przedział $(-a,\ a)$.

Odpowiedź: $x\in(-4,\ 4)$.

1. Suma odległości $x$ od $-1$ i od $3$ jest równa $4$ — dokładnie długości odcinka $[-1,3]$.
2. Każdy $x\in[-1,3]$ spełnia równanie; poza odcinkiem suma jest większa.

Odpowiedź: $x\in[-1,3]$

Warunek $|x|>3$ oznacza liczby odległe od zera o więcej niż $3$ — leżące na zewnątrz przedziału:

$$x<-3 \quad\text{lub}\quad x>3$$

Reguła: $|x|>a$ daje sumę dwóch przedziałów, a $|x|

Odpowiedź: D. $(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$.

1. $x\ge2$: $x-2\lt 2x+1 \Rightarrow x\gt -3$ — cały przedział $[2,\infty)$.
2. $x\lt 2$: $2-x\lt 2x+1 \Rightarrow x\gt \frac13$ — $\left(\frac13,2\right)$.
3. Suma: $\left(\frac13,\infty\right)$.

Odpowiedź: $x\in\left(\tfrac13,+\infty\right)$

Najpierw wykonujemy działanie w środku, potem bierzemy wartość bezwzględną:

$$|2-9|=|-7|=7$$

$$|-3-4|=|-7|=7$$

Odpowiedź: oba wynoszą $7$.

1. $x\lt -2$: $-(x+2)-(1-x)=-3\ge1$ — sprzeczność.
2. $-2\le x\lt 1$: $(x+2)-(1-x)=2x+1\ge1 \Rightarrow x\ge0$ → $[0,1)$.
3. $x\ge1$: $(x+2)-(x-1)=3\ge1$ — cały $[1,\infty)$.
4. Suma: $[0,\infty)$.

Odpowiedź: $x\in[0,+\infty)$

Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna:

$$|x|\ge0$$

Nie może więc być równa $-2$. Równanie jest sprzeczne.

Zawsze sprawdzaj prawą stronę: gdy jest ujemna, równanie z wartością bezwzględną nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: B. brak rozwiązań.

1. $x\lt -2$: $(1-x)-2(x+2)=-3x-3\gt 7 \Rightarrow x\lt -\frac{10}3$.
2. $-2\le x\lt 1$: $(1-x)+2(x+2)=x+5\gt 7 \Rightarrow x\gt 2$ — brak w przedziale.
3. $x\ge1$: $(x-1)+2(x+2)=3x+3\gt 7 \Rightarrow x\gt \frac43$.
4. Suma: $\left(-\infty,-\frac{10}3\right)\cup\left(\frac43,\infty\right)$.

Odpowiedź: $x\in\left(-\infty,-\tfrac{10}3\right)\cup\left(\tfrac43,+\infty\right)$

Krok 1 — dwa przypadki:

$$2x-1=5 \quad\text{lub}\quad 2x-1=-5$$

Krok 2 — pierwszy przypadek:

$$2x=6 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 3 — drugi przypadek:

$$2x=-4 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Sprawdzenie: $|2\cdot3-1|=5$ ✔, $|2\cdot(-2)-1|=|-5|=5$ ✔

Odpowiedź: $x=3$ lub $x=-2$.

1. $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$.
2. $x\ge3$: $x-3+2x\le9 \Rightarrow x\le4$ → $[3,4]$.
3. $x\lt 3$: $3-x+2x\le9 \Rightarrow x\le6$ → $(-\infty,3)$.
4. Suma: $(-\infty,4]$.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,4]$

Krok 1 — rozpisujemy warunek:

$$-3\le x-2\le3$$

Krok 2 — dodajemy $2$ do wszystkich części:

$$-1\le x\le5$$

$$x\in\langle-1,\ 5\rangle$$

Interpretacja: szukamy liczb odległych od $2$ o co najwyżej $3$ — to przedział o środku $2$ i promieniu $3$.

Odpowiedź: $x\in\langle-1,\ 5\rangle$.

1. Prawa strona musi być dodatnia: $x\gt 0$.
2. $x\ge2$: $x^2-4\lt 3x \Rightarrow x^2-3x-4\lt 0 \Rightarrow x\in(-1,4)$ → $[2,4)$.
3. $0\lt x\lt 2$: $4-x^2\lt 3x \Rightarrow x^2+3x-4\gt 0 \Rightarrow x\lt -4$ lub $x\gt 1$ → $(1,2)$.
4. Suma: $(1,4)$.

Odpowiedź: $x\in(1,4)$

Wyrażenie $|x-a|$ to odległość między punktami $x$ i $a$ na osi liczbowej:

$$|x-5|=\text{odległość między } x \text{ a } 5$$

To geometryczna interpretacja wartości bezwzględnej — bardzo pomocna przy nierównościach.

Odpowiedź: A. $5$.

1. Wykres $y=|x^2-4x|$: parabola $y=x^2-4x$ (miejsca zerowe $0$ i $4$, wierzchołek $(2,-4)$) z częścią pod osią odbitą do góry — „garb” o wierzchołku $(2,4)$.
2. Prosta $y=m$: dla $m\lt 0$ — brak punktów wspólnych; $m=0$ — dwa ($x=0$, $x=4$); $0\lt m\lt 4$ — cztery.
3. $m=4$ — trzy (wierzchołek garbu i dwa na ramionach); $m\gt 4$ — dwa.

Odpowiedź: $m\lt 0$: $0$; $m=0$: $2$; $0\lt m\lt 4$: $4$; $m=4$: $3$; $m\gt 4$: $2$

Krok 1 — rozbijamy na dwa warunki:

$$x+1>2 \quad\text{lub}\quad x+1<-2$$

Krok 2 — rozwiązujemy każdy:

$$x>1 \quad\text{lub}\quad x<-3$$

Krok 3 — zapis:

$$x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$$

Uwaga: przy $|\ldots|>a$ warunki łączymy spójnikiem „lub” (suma przedziałów), a nie „i”.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$.

1. $|a|=|b| \iff a=b$ lub $a=-b$.
2. $x-1=2x+4 \Rightarrow x=-5$; $x-1=-2x-4 \Rightarrow x=-1$.
3. Sprawdzenie: $|-6|=|-6|$, $|-2|=|2|$ ✓.

Odpowiedź: $x=-5$ lub $x=-1$

Wartość bezwzględna jest zerem tylko dla jednego argumentu:

$$x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Przypadek graniczny: gdy prawa strona to zero, oba „przypadki” dają to samo rozwiązanie — stąd tylko jedno.

Odpowiedź: C. $1$.

1. $x\lt -3$: $-2x-1=3x+1 \Rightarrow x=-\frac25$ — poza przedziałem.
2. $-3\le x\lt 2$: $5=3x+1 \Rightarrow x=\frac43$ ✓.
3. $x\ge2$: $2x+1=3x+1 \Rightarrow x=0$ — poza przedziałem.
4. Odpowiedź: $x=\frac43$.

Odpowiedź: $x=\tfrac43$

Krok 1 — dwa przypadki wynikające z definicji.

Przypadek $x\ge0$: wtedy $|x|=x$:

$$x=x+2 \quad\Rightarrow\quad 0=2 \ \text{(sprzeczność)}$$

Brak rozwiązań w tym przypadku.

Przypadek $x<0$: wtedy $|x|=-x$:

$$-x=x+2 \quad\Rightarrow\quad -2x=2 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$

Krok 2 — sprawdzamy założenie. $x=-1<0$ ✔, więc rozwiązanie jest poprawne.

Sprawdzenie: $|-1|=1$ oraz $-1+2=1$ ✔

Odpowiedź: $x=-1$.

Krok 1 — środek przedziału:

$$\frac{1+7}{2}=4$$

Krok 2 — promień (odległość od środka do krańca):

$$7-4=3$$

Krok 3 — zapisujemy. Liczby odległe od $4$ o co najwyżej $3$:

$$|x-4|\le3$$

Sprawdzenie: $|1-4|=3\le3$ ✔, $|7-4|=3\le3$ ✔

Ogólna zasada: przedział $\langle a,\ b\rangle$ zapisujemy jako $|x-\text{środek}|\le\text{promień}$.

Odpowiedź: $|x-4|\le3$.

Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna:

$$|x|\ge0$$

Ta nierówność zachodzi dla każdej liczby rzeczywistej.

Uwaga: zachodzi też $|x|\ge x$ oraz $|x|\ge-x$, ale najbardziej podstawową i zawsze prawdziwą własnością jest $|x|\ge0$.

Odpowiedź: B. $0$.

Krok 1 — rozpisujemy:

$$-9\le3x\le9$$

Krok 2 — dzielimy przez $3$ (dodatnie, znak zostaje):

$$-3\le x\le3$$

$$x\in\langle-3,\ 3\rangle$$

Alternatywnie: $|3x|=3|x|$, więc $3|x|\le9$ daje $|x|\le3$ — ten sam wynik.

Odpowiedź: $x\in\langle-3,\ 3\rangle$.

Wartość bezwzględna nie może być ujemna, więc nie może być mniejsza od zera:

$$|x-5|\ge0 \quad\Rightarrow\quad |x-5|<0 \ \text{niemożliwe}$$

Uwaga na wariant: $|x-5|\le0$ miałoby jedno rozwiązanie ($x=5$), ale ostra nierówność $<0$ — żadnego.

Odpowiedź: A. brak rozwiązań.

Krok 1 — punkty zerowania modułów: $x=1$ oraz $x=-2$. Dzielą oś na trzy przedziały.

Przypadek $x<-2$: oba wyrażenia ujemne pod modułem:

$$-(x-1)-(x+2)=5 \quad\Rightarrow\quad -2x-1=5 \quad\Rightarrow\quad x=-3$$

$-3<-2$ ✔

Przypadek $-2\le x\le1$:

$$-(x-1)+(x+2)=5 \quad\Rightarrow\quad 3=5 \ \text{(sprzeczność)}$$

Brak rozwiązań.

Przypadek $x>1$:

$$(x-1)+(x+2)=5 \quad\Rightarrow\quad 2x+1=5 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

$2>1$ ✔

Interpretacja. Szukamy punktów, których łączna odległość od $1$ i od $-2$ wynosi $5$. Ponieważ same punkty $1$ i $-2$ są oddalone o $3$, rozwiązania leżą po $1$ jednostce na zewnątrz z każdej strony.

Odpowiedź: $x=-3$ lub $x=2$.

Krok 1 — rozbijamy na dwa warunki:

$$2x-6\ge4 \quad\text{lub}\quad 2x-6\le-4$$

Krok 2 — pierwszy warunek:

$$2x\ge10 \quad\Rightarrow\quad x\ge5$$

Krok 3 — drugi warunek:

$$2x\le2 \quad\Rightarrow\quad x\le1$$

Krok 4 — łączymy (suma przedziałów):

$$x\in(-\infty,\ 1\rangle\cup\langle5,\ +\infty)$$

Sprawdzenie krańców: dla $x=5$: $|4|=4\ge4$ ✔; dla $x=1$: $|-4|=4\ge4$ ✔ — oba krańce należą (nierówność nieostra).

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\ 1\rangle\cup\langle5,\ +\infty)$.

Interpretacja geometryczna. Szukamy punktów jednakowo oddalonych od $3$ i od $-1$ — to środek odcinka między nimi:

$$x=\frac{3+(-1)}{2}=1$$

Sposób rachunkowy. Podnosimy obie strony do kwadratu (obie nieujemne):

$$(x-3)^2=(x+1)^2$$

$$x^2-6x+9=x^2+2x+1$$

$$-6x+9=2x+1 \quad\Rightarrow\quad 8=8x \quad\Rightarrow\quad x=1$$

Sprawdzenie: $|1-3|=2$ oraz $|1+1|=2$ ✔

Wniosek. Oba sposoby dają $x=1$. Podnoszenie do kwadratu usuwa moduły, bo obie strony są nieujemne — to legalne przekształcenie równoważne.

Krok 1 — podstawowe oszacowania. Dla każdej liczby zachodzi:

$$-|a|\le a\le|a|,\qquad -|b|\le b\le|b|$$

Krok 2 — dodajemy nierówności stronami:

$$-\bigl(|a|+|b|\bigr)\le a+b\le|a|+|b|$$

Krok 3 — interpretacja. Liczba $a+b$ mieści się między $-\bigl(|a|+|b|\bigr)$ a $|a|+|b|$, co jest dokładnie warunkiem:

$$|a+b|\le|a|+|b| \qquad ∎$$

Kiedy równość. Zachodzi ona dokładnie wtedy, gdy $a$ i $b$ mają ten sam znak (lub któraś jest zerem). Gdy znaki są przeciwne, lewa strona jest wyraźnie mniejsza.

Sprawdzenie: dla $a=3$, $b=-5$: $|{-2}|=2$, a $3+5=8$, więc $2\le8$ ✔ (znaki przeciwne — nierówność ostra).

1. Krok 1. Rozkład wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi. $$|2x-6|=2|x-3|,\qquad \left|x^{2}-9\right|=|x-3|\cdot|x+3|.$$

   Nierówność przyjmuje postać $2|x-3|<|x-3|\cdot|x+3|$.

2. Krok 2. Przypadek $x=3$.

   Wtedy obie strony są równe $0$, a $0<0$ jest fałszem — więc $x=3$ nie jest rozwiązaniem.

3. Krok 3. Przypadek $x\neq 3$.

   Dzielimy obie strony przez $|x-3|>0$:

   $$2<|x+3|\ \Rightarrow\ x+3>2\ \lor\ x+3<-2\ \Rightarrow\ x>-1\ \lor\ x<-5.$$
4. Krok 4. Uwzględnienie wykluczenia $x=3$. $$x\in(-\infty,-5)\cup(-1,3)\cup(3,+\infty).$$

1. Krok 1. Zwinięcie do kwadratów zupełnych. $$x^{2}+4x+4=(x+2)^{2},\qquad x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.$$

   Zatem $\sqrt{x^{2}+4x+4}=|x+2|$ oraz $\sqrt{x^{2}-6x+9}=|x-3|$, a nierówność przyjmuje postać

   $$|x+2|+|x-3|<\frac{25}{3}.$$
2. Krok 2. Rozpatrzenie przedziałów.

   Dla $x<-2$: $-(x+2)-(x-3)=-2x+1<\tfrac{25}{3}\Rightarrow -2x<\tfrac{22}{3}\Rightarrow x>-\tfrac{11}{3}$. Stąd $-\tfrac{11}{3}

   Dla $-2\le x\le 3$: $(x+2)+(3-x)=5<\tfrac{25}{3}$ — prawda dla wszystkich takich $x$. Stąd cały przedział $\langle -2,3\rangle$.

   Dla $x>3$: $(x+2)+(x-3)=2x-1<\tfrac{25}{3}\Rightarrow 2x<\tfrac{28}{3}\Rightarrow x<\tfrac{14}{3}$. Stąd $3

3. Krok 3. Suma przedziałów. $$x\in\left(-\frac{11}{3},\ \frac{14}{3}\right).$$