Równania i nierówności z wartością bezwzględną (2)

$x=4 \lor x=-4$.

Odpowiedź: B.

$x-2=3$ lub $x-2=-3$, więc $x=5 \lor x=-1$.

Odpowiedź: $5,-1$.

1. $2x-3=5 \Rightarrow x=4$ lub $2x-3=-5 \Rightarrow x=-1$.

Odpowiedź: $x=-1$ lub $x=4$

Moduł nie jest ujemny.

Odpowiedź: C.

1. Suma odległości $x$ od $-1$ i od $3$ jest równa $4$ — dokładnie długości odcinka $[-1,3]$.
2. Każdy $x\in[-1,3]$ spełnia równanie; poza odcinkiem suma jest większa.

Odpowiedź: $x\in[-1,3]$

$2x=\pm10$, więc $x=\pm5$.

Odpowiedź: $5,-5$.

1. $x\ge2$: $x-2\lt 2x+1 \Rightarrow x\gt -3$ — cały przedział $[2,\infty)$.
2. $x\lt 2$: $2-x\lt 2x+1 \Rightarrow x\gt \frac13$ — $\left(\frac13,2\right)$.
3. Suma: $\left(\frac13,\infty\right)$.

Odpowiedź: $x\in\left(\tfrac13,+\infty\right)$

$x+1=4$ lub $x+1=-4$, więc $x=3 \lor x=-5$.

Odpowiedź: $3,-5$.

1. $x\lt -2$: $-(x+2)-(1-x)=-3\ge1$ — sprzeczność.
2. $-2\le x\lt 1$: $(x+2)-(1-x)=2x+1\ge1 \Rightarrow x\ge0$ → $[0,1)$.
3. $x\ge1$: $(x+2)-(x-1)=3\ge1$ — cały $[1,\infty)$.
4. Suma: $[0,\infty)$.

Odpowiedź: $x\in[0,+\infty)$

$x-3=0$, więc jedno rozwiązanie $x=3$.

Odpowiedź: jedno, $x=3$.

1. $x\lt -2$: $(1-x)-2(x+2)=-3x-3\gt 7 \Rightarrow x\lt -\frac{10}3$.
2. $-2\le x\lt 1$: $(1-x)+2(x+2)=x+5\gt 7 \Rightarrow x\gt 2$ — brak w przedziale.
3. $x\ge1$: $(x-1)+2(x+2)=3x+3\gt 7 \Rightarrow x\gt \frac43$.
4. Suma: $\left(-\infty,-\frac{10}3\right)\cup\left(\frac43,\infty\right)$.

Odpowiedź: $x\in\left(-\infty,-\tfrac{10}3\right)\cup\left(\tfrac43,+\infty\right)$

$x=\pm7$.

Odpowiedź: $7,-7$.

1. $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$.
2. $x\ge3$: $x-3+2x\le9 \Rightarrow x\le4$ → $[3,4]$.
3. $x\lt 3$: $3-x+2x\le9 \Rightarrow x\le6$ → $(-\infty,3)$.
4. Suma: $(-\infty,4]$.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,4]$

$x=8 \lor x=-2$.

Odpowiedź: $8,-2$.

1. Prawa strona musi być dodatnia: $x\gt 0$.
2. $x\ge2$: $x^2-4\lt 3x \Rightarrow x^2-3x-4\lt 0 \Rightarrow x\in(-1,4)$ → $[2,4)$.
3. $0\lt x\lt 2$: $4-x^2\lt 3x \Rightarrow x^2+3x-4\gt 0 \Rightarrow x\lt -4$ lub $x\gt 1$ → $(1,2)$.
4. Suma: $(1,4)$.

Odpowiedź: $x\in(1,4)$

Moduł nieujemny.

Odpowiedź: C.

1. Wykres $y=|x^2-4x|$: parabola $y=x^2-4x$ (miejsca zerowe $0$ i $4$, wierzchołek $(2,-4)$) z częścią pod osią odbitą do góry — „garb” o wierzchołku $(2,4)$.
2. Prosta $y=m$: dla $m\lt 0$ — brak punktów wspólnych; $m=0$ — dwa ($x=0$, $x=4$); $0\lt m\lt 4$ — cztery.
3. $m=4$ — trzy (wierzchołek garbu i dwa na ramionach); $m\gt 4$ — dwa.

Odpowiedź: $m\lt 0$: $0$; $m=0$: $2$; $0\lt m\lt 4$: $4$; $m=4$: $3$; $m\gt 4$: $2$

$3x=\pm12 \Rightarrow x=\pm4$.

Odpowiedź: $4,-4$.

1. $|a|=|b| \iff a=b$ lub $a=-b$.
2. $x-1=2x+4 \Rightarrow x=-5$; $x-1=-2x-4 \Rightarrow x=-1$.
3. Sprawdzenie: $|-6|=|-6|$, $|-2|=|2|$ ✓.

Odpowiedź: $x=-5$ lub $x=-1$

$x=-4$.

Odpowiedź: $-4$.

1. $x\lt -3$: $-2x-1=3x+1 \Rightarrow x=-\frac25$ — poza przedziałem.
2. $-3\le x\lt 2$: $5=3x+1 \Rightarrow x=\frac43$ ✓.
3. $x\ge2$: $2x+1=3x+1 \Rightarrow x=0$ — poza przedziałem.
4. Odpowiedź: $x=\frac43$.

Odpowiedź: $x=\tfrac43$

$2x-1=\pm5 \Rightarrow x=3 \lor x=-2$.

Odpowiedź: $3,-2$.

Tylko $x=0$.

Odpowiedź: B.

$x=20 \lor x=0$.

Odpowiedź: $20,0$.

Punkt równoodległy od $-2$ i $4$: $x=1$.

Odpowiedź: $1$.

$5-x=\pm2 \Rightarrow x=3 \lor x=7$.

Odpowiedź: $3,7$.

$8$.

Odpowiedź: A.

$|x|=5 \Rightarrow x=\pm5$.

Odpowiedź: $5,-5$.

$|x|=5 \Rightarrow x=\pm5$.

Odpowiedź: $5,-5$.

Punkt równoodległy od $1$ i $-1$: $x=0$ — jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: jedno, $x=0$.

1. Krok 1. Zwinięcie do kwadratów zupełnych. $$x^{2}+4x+4=(x+2)^{2},\qquad x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.$$

   Zatem $\sqrt{x^{2}+4x+4}=|x+2|$ oraz $\sqrt{x^{2}-6x+9}=|x-3|$, a nierówność przyjmuje postać

   $$|x+2|+|x-3|<\frac{25}{3}.$$
2. Krok 2. Rozpatrzenie przedziałów.

   Dla $x<-2$: $-(x+2)-(x-3)=-2x+1<\tfrac{25}{3}\Rightarrow -2x<\tfrac{22}{3}\Rightarrow x>-\tfrac{11}{3}$. Stąd $-\tfrac{11}{3}

   Dla $-2\le x\le 3$: $(x+2)+(3-x)=5<\tfrac{25}{3}$ — prawda dla wszystkich takich $x$. Stąd cały przedział $\langle -2,3\rangle$.

   Dla $x>3$: $(x+2)+(x-3)=2x-1<\tfrac{25}{3}\Rightarrow 2x<\tfrac{28}{3}\Rightarrow x<\tfrac{14}{3}$. Stąd $3

3. Krok 3. Suma przedziałów. $$x\in\left(-\frac{11}{3},\ \frac{14}{3}\right).$$