Przekształcenia wykresu funkcji wymiernej

Dodanie stałej do całej funkcji przesuwa wykres w pionie o tę stałą:

$$\text{o } 2 \text{ w górę}$$

Asymptota pozioma z $y=0$ przechodzi na $y=2$.

Odpowiedź: B. o $2$ w górę.

Wykres $\frac1x$ przesunięto o $3$ w prawo:

$$\text{asymptota pionowa: } x=3,\qquad \text{pozioma: } y=0$$

Odpowiedź: $x=3$ oraz $y=0$.

Mianownik zeruje się dla $x=-2$:

$$x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Uwaga na znak: $\frac{1}{x+2}$ to przesunięcie o $2$ w lewo, więc asymptota jest w $x=-2$.

Odpowiedź: C. $x=-2$.

Przesunięcie o $4$ w dół:

$$\text{pionowa: } x=0,\qquad \text{pozioma: } y=-4$$

Odpowiedź: $x=0$ oraz $y=-4$.

To hiperbola $\frac1x$ przesunięta o wektor $[1,\ 3]$:

$$\text{pionowa: } x=1,\qquad \text{pozioma: } y=3$$

Odpowiedź: A. $x=1$, $y=3$.

Mianownik nie może być zerem:

$$x-5\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq5$$

Odpowiedź: D. $\mathbb{R}\setminus\{5\}$.

Przekształcenie: przesunięcie o wektor $[2,\ 1]$ (o $2$ w prawo i $1$ w górę).

Asymptoty: $x=2$ (pionowa), $y=1$ (pozioma).

Dziedzina: $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

Zbiór wartości: $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ — funkcja nigdy nie osiąga wartości równej asymptocie poziomej.

Odpowiedź: przesunięcie $[2,1]$, $D=\mathbb{R}\setminus\{2\}$, $ZW=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

Krok 1 — rozbijamy ułamek:

$$\frac{x+1}{x}=\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}$$

Krok 2 — odczytujemy asymptoty. To $\frac1x$ przesunięte o $1$ w górę:

$$\text{pionowa: } x=0,\qquad \text{pozioma: } y=1$$

Odpowiedź: $f(x)=1+\frac1x$; asymptoty $x=0$, $y=1$.

Funkcja $\frac1x$ ma zbiór wartości $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Po przesunięciu o $5$ w górę:

$$ZW=\mathbb{R}\setminus\{5\}$$

Wartość $5$ (asymptota pozioma) jest nieosiągalna.

Odpowiedź: B. $\mathbb{R}\setminus\{5\}$.

Przekształcenie: znak minus odbija wykres względem osi $OX$ (lub $OY$).

Gałęzie: hiperbola $\frac1x$ leży w I i III ćwiartce; po odbiciu $-\frac1x$ leży w II i IV ćwiartce.

Asymptoty się nie zmieniają: $x=0$ i $y=0$.

Odpowiedź: odbicie względem osi; gałęzie w II i IV ćwiartce.

Przesunięcie o $2$ w dół przenosi asymptotę poziomą:

$$y=0 \ \to\ y=-2$$

Odpowiedź: C. $y=-2$.

Krok 1 — rozbijamy ułamek:

$$\frac{2x-1}{x}=\frac{2x}{x}-\frac{1}{x}=2-\frac{1}{x}$$

Krok 2 — interpretacja. To hiperbola $-\frac1x$ przesunięta o $2$ w górę.

Krok 3 — asymptoty:

$$x=0,\qquad y=2$$

Odpowiedź: $f(x)=2-\frac1x$; asymptoty $x=0$, $y=2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$.

Krok 2 — przyrównujemy do zera:

$$\frac{1}{x-2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x-2}=1$$

Krok 3 — mnożymy przez $(x-2)$:

$$1=x-2 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Sprawdzenie: $\frac{1}{3-2}-1=1-1=0$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Zapis $\frac{1}{x+3}-2=\frac{1}{x-(-3)}+(-2)$ oznacza przesunięcie o $-3$ poziomo i $-2$ pionowo:

$$\vec{u}=[-3,\ -2]$$

Odpowiedź: A. $[-3,\ -2]$.

$$f(3)=\frac{2}{3-1}=\frac22=1$$

$$f(-1)=\frac{2}{-1-1}=\frac{2}{-2}=-1$$

Odpowiedź: $f(3)=1$, $f(-1)=-1$.

Przesunięcie w prawo o $3$ oznacza zastąpienie $x$ przez $x-3$:

$$f(x)=\frac{1}{x-3}$$

Zasada: przesunięcie poziome działa „odwrotnie" — w prawo to $x-3$, nie $x+3$.

Odpowiedź: B. $\frac{1}{x-3}$.

Krok 1 — w liczniku odtwarzamy mianownik. Chcemy wydzielić $3(x+1)$:

$$3x+2=3(x+1)-1$$

Krok 2 — dzielimy wyraz po wyrazie:

$$f(x)=\frac{3(x+1)-1}{x+1}=3-\frac{1}{x+1}$$

Krok 3 — asymptoty. To $-\frac1x$ przesunięte o $[-1,\ 3]$:

$$\text{pionowa: } x=-1,\qquad \text{pozioma: } y=3$$

Krok 4 — dziedzina: $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

Metoda uniwersalna. Każdą funkcję homograficzną sprowadzamy do tej postaci, odtwarzając mianownik w liczniku — wtedy asymptoty widać wprost.

Odpowiedź: $f(x)=3-\frac{1}{x+1}$; $x=-1$, $y=3$; $D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

Krok 1 — przecięcie z osią $OY$ to $x=0$:

$$f(0)=\frac{1}{0-2}+3=-\frac12+3=\frac52$$

Krok 2 — punkt:

$$\left(0,\ \tfrac52\right)$$

Sprawdzenie sensu. Dziedzina wyklucza tylko $x=2$, więc $x=0$ jest dozwolone — przecięcie z osią $OY$ istnieje.

Odpowiedź: $\left(0,\ \frac52\right)$.

Krok 1 — przesunięcie o wektor $[p,\ q]$. W miejsce $x$ wstawiamy $x-p$, a do funkcji dodajemy $q$:

$$g(x)=\frac{2}{x-3}+(-1)=\frac{2}{x-3}-1$$

Krok 2 — asymptoty. Przesunięcie przenosi asymptoty $\frac2x$ ($x=0$, $y=0$) o wektor $[3,\ -1]$:

$$\text{pionowa: } x=3,\qquad \text{pozioma: } y=-1$$

Krok 3 — dziedzina: $\mathbb{R}\setminus\{3\}$.

Uwaga na kierunek. Wektor $[3,-1]$ to $3$ w prawo (stąd $x-3$) i $1$ w dół (stąd $-1$). Przesunięcie poziome wchodzi do wzoru z przeciwnym znakiem.

Odpowiedź: $g(x)=\frac{2}{x-3}-1$; $x=3$, $y=-1$; $D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$.

Krok 1 — sprowadzamy do postaci przesuniętej hiperboli. W liczniku odtwarzamy mianownik:

$$x+3=(x+1)+2 \quad\Rightarrow\quad f(x)=1+\frac{2}{x+1}$$

Krok 2 — analiza wartości. Składnik $\frac{2}{x+1}$ przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste oprócz zera (to zbiór wartości hiperboli).

Krok 3 — dodajemy $1$. Skoro $\frac{2}{x+1}\neq0$, to:

$$f(x)=1+\frac{2}{x+1}\neq1+0=1$$

Każdą inną wartość funkcja osiąga. $\qquad ∎$

Wniosek. $ZW=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ — wartość $1$ to asymptota pozioma, nieosiągalna dla żadnego argumentu.

Sprawdzenie: gdyby $f(x)=1$, to $\frac{2}{x+1}=0$ — a ułamek o niezerowym liczniku nigdy nie jest zerem ✔