Pierwiastki całkowite i pierwiastki wymierne wielomianu

Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego:

$$\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$$

Odpowiedź: B. dzielników wyrazu wolnego.

Kandydaci to dzielniki wyrazu wolnego $-2$:

$$\pm1,\ \pm2$$

Odpowiedź: $-2,\ -1,\ 1,\ 2$.

1. Z twierdzenia Bézouta reszta to $W(2)=8-8+6-5=1$.

Odpowiedź: $1$

$$W(1)=1+2-1-2=0$$

Ponieważ $W(1)=0$, liczba $1$ jest pierwiastkiem.

Odpowiedź: tak, $x=1$ jest pierwiastkiem.

1. $W(2)=8+4m-8+4=4m+4=0 \Rightarrow m=-1$.

Odpowiedź: $m=-1$

Czynnik $(x-2)^2$ w kwadracie oznacza, że $x=2$ jest pierwiastkiem podwójnym (krotności $2$).

Pierwiastek $x=-1$ (z czynnika $(x+1)$) jest pojedynczy.

Odpowiedź: C. $x=2$.

1. Grupowanie: $x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-2)(x+2)$.
2. Pierwiastki $-2,\ 2,\ 3$; wężyk od prawej nad osią.
3. $W(x)\ge0$ dla $x\in[-2,2]\cup[3,\infty)$.

Odpowiedź: $x\in[-2,2]\cup[3,+\infty)$

Pierwiastek $x=3$ — krotność $2$ (podwójny).

Pierwiastek $x=-2$ — krotność $3$ (potrójny).

Odpowiedź: $x=3$ (krotność $2$), $x=-2$ (krotność $3$).

1. Kandydaci: $\pm1,\pm2,\pm\frac12$. $W(2)=16-12-6+2=0$.
2. Horner: $2x^3-3x^2-3x+2=(x-2)(2x^2+x-1)=(x-2)(2x-1)(x+1)$.
3. Rozwiązania: $2,\ \frac12,\ -1$.

Odpowiedź: $x\in\left\{-1,\ \tfrac12,\ 2\right\}$

Pierwiastek o krotności parzystej — wykres odbija się od osi $OX$ (dotyka jej i wraca po tej samej stronie).

Dla porównania: przy krotności nieparzystej wykres przecina oś, zmieniając znak.

Odpowiedź: A. dotyka osi, nie przecinając.

1. Dziedzina: $x\ne2$. $\frac{x+1}{x-2}-2=\frac{x+1-2x+4}{x-2}=\frac{5-x}{x-2}\ge0$.
2. $\iff (5-x)(x-2)\ge0$ i $x\ne2 \iff (x-5)(x-2)\le0$, $x\ne2$.
3. $x\in(2,5]$.

Odpowiedź: $x\in(2,5]$

Krok 1 — kandydaci to dzielniki $6$: $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$.

Krok 2 — sprawdzamy:

$$W(-1)=-1-4-1+6=0 \ ✔$$

$$W(2)=8-16+2+6=0 \ ✔$$

$$W(3)=27-36+3+6=0 \ ✔$$

Krok 3 — wniosek. Trzy pierwiastki dla wielomianu stopnia trzeciego to komplet:

$$W(x)=(x+1)(x-2)(x-3)$$

Odpowiedź: $x\in\{-1,\ 2,\ 3\}$.

1. Dziedzina: $x\ne-3$. $\frac{x^2-1-(x-1)(x+3)}{x+3}\le0 \Rightarrow \frac{x^2-1-x^2-2x+3}{x+3}=\frac{2-2x}{x+3}\le0$.
2. $\iff \frac{x-1}{x+3}\ge0 \iff (x-1)(x+3)\ge0$, $x\ne-3$.
3. $x\in(-\infty,-3)\cup[1,\infty)$.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3)\cup[1,+\infty)$

Krok 1 — szukamy pierwiastka wśród dzielników $4$.

$$W(1)=1-1-4+4=0 \ ✔$$

Krok 2 — dzielimy przez $(x-1)$:

$$x^3-x^2-4x+4=(x-1)\left(x^2-4\right)$$

Krok 3 — rozkładamy różnicę kwadratów:

$$(x-1)(x-2)(x+2)=0$$

Odpowiedź: $x\in\{-2,\ 1,\ 2\}$.

1. $W(1)=1+a+b-6=0 \Rightarrow a+b=5$.
2. $W(-2)=-8+4a-2b-6=0 \Rightarrow 2a-b=7$.
3. Dodając: $3a=12 \Rightarrow a=4$, $b=1$.
4. $W(x)=x^3+4x^2+x-6=(x-1)(x+2)(x+3)$ — trzeci pierwiastek $-3$.

Odpowiedź: $a=4$, $b=1$, trzeci pierwiastek $-3$

Wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych (licząc z krotnościami).

Dla stopnia $3$ — najwyżej trzy.

Odpowiedź: D. $3$.

1. $W(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b$.
2. $W(1)=a+b=3$, $W(-2)=-2a+b=-3$.
3. $3a=6 \Rightarrow a=2$, $b=1$: $R(x)=2x+1$.

Odpowiedź: $R(x)=2x+1$

Miejsca zerowe: $x=1$ (krotność $1$) i $x=-2$ (krotność $2$).

Zachowanie wykresu:

• w $x=1$ (krotność nieparzysta) — wykres przecina oś $OX$,
• w $x=-2$ (krotność parzysta) — wykres dotyka osi i odbija się.

Odpowiedź: dwa miejsca zerowe; przecięcie w $1$, odbicie w $-2$.

1. Pierwiastek wielokrotny $x_0$ spełnia $W(x_0)=0$ i $W^\prime(x_0)=0$.
2. $W^\prime(x)=3x^2-3=0 \Rightarrow x_0=\pm1$.
3. $W(1)=m-2=0 \Rightarrow m=2$: $W=(x-1)^2(x+2)$. $W(-1)=m+2=0 \Rightarrow m=-2$: $W=(x+1)^2(x-2)$.

Odpowiedź: $m=-2$ lub $m=2$

Krotność nieparzysta oznacza zmianę znaku wielomianu — wykres przecina oś $OX$.

Odpowiedź: B. przecina oś, zmieniając znak.

1. $t=x^2\ge0$: $t^2-5t+4\lt 0 \Rightarrow 1\lt t\lt 4$.
2. $1\lt x^2\lt 4 \Rightarrow 1\lt |x|\lt 2$.
3. $x\in(-2,-1)\cup(1,2)$.

Odpowiedź: $x\in(-2,-1)\cup(1,2)$

Sprawdzamy $x=\frac12$:

$$W\left(\tfrac12\right)=2\cdot\tfrac18+3\cdot\tfrac14-1=\tfrac14+\tfrac34-1=0 \ ✔$$

Sprawdzamy $x=-1$:

$$W(-1)=-2+3-1=0 \ ✔$$

Wniosek. Oba są pierwiastkami. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych: kandydaci to $\frac{p}{q}$, gdzie $p\mid1$ (wyraz wolny), $q\mid2$ (współczynnik wiodący) — stąd $\frac12$ w grze.

Odpowiedź: oba są pierwiastkami.

Dla stopnia nieparzystego ze współczynnikiem wiodącym dodatnim ramiona idą w przeciwnych kierunkach:

$$x\to+\infty:\ W(x)\to+\infty$$

$$x\to-\infty:\ W(x)\to-\infty$$

Reguła. Nieparzysty stopień — ramiona przeciwne (jedno w górę, jedno w dół); parzysty stopień — ramiona w tę samą stronę.

Odpowiedź: prawe ramię w górę, lewe w dół.

W twierdzeniu o pierwiastkach wymiernych licznik $p$ dzieli wyraz wolny ($1$), a mianownik $q$ — współczynnik wiodący ($2$):

$$p\mid1,\qquad q\mid2$$

Kandydaci: $\pm1,\ \pm\frac12$.

Odpowiedź: C. $p\mid1$, $q\mid2$.

Krok 1 — potwierdzamy: $W(1)=1-7+6=0$ ✔

Krok 2 — dzielimy przez $(x-1)$:

$$x^3-7x+6=(x-1)\left(x^2+x-6\right)$$

Krok 3 — rozkładamy trójmian. Liczby o iloczynie $-6$ i sumie $1$ to $3$ i $-2$:

$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$

Krok 4 — pełny rozkład:

$$W(x)=(x-1)(x-2)(x+3)$$

Odpowiedź: $(x-1)(x-2)(x+3)$.

Równanie $x^2+1=0$ daje $x^2=-1$, co nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Wykres leży w całości nad osią $OX$ — nie ma miejsc zerowych.

Odpowiedź: A. $0$.

Krok 1 — kandydaci wymierni $\frac{p}{q}$: $p\mid4$, $q\mid2$, więc $\pm1,\pm2,\pm4,\pm\frac12$.

Krok 2 — sprawdzamy $x=\frac12$:

$$W\left(\tfrac12\right)=2\cdot\tfrac18-\tfrac14-4+4=\tfrac14-\tfrac14=0 \ ✔$$

Krok 3 — grupujemy pozostałe wyrazy. Zauważamy strukturę:

$$2x^3-x^2-8x+4=x^2(2x-1)-4(2x-1)=(2x-1)\left(x^2-4\right)$$

Krok 4 — różnica kwadratów:

$$(2x-1)(x-2)(x+2)$$

Pierwiastki: $\frac12$, $2$, $-2$.

Odpowiedź: $(2x-1)(x-2)(x+2)$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2$:

$$t^2-5t+4=(t-1)(t-4)$$

Krok 2 — wracamy do $x$:

$$\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)$$

Krok 3 — rozkładamy obie różnice kwadratów:

$$(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$

Krok 4 — pierwiastki. Cztery różne, każdy krotności $1$:

$$x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$$

Wniosek. Wielomian stopnia $4$ ma tu cztery pojedyncze pierwiastki — wykres przecina oś w czterech punktach.

Odpowiedź: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$; pierwiastki $-2,-1,1,2$ (krotność $1$).

Krok 1 — miejsca zerowe: $x=-1$ (krotność $1$) i $x=2$ (krotność $2$).

Krok 2 — zachowanie w miejscach zerowych:

• $x=-1$: krotność nieparzysta — wykres przecina oś,
• $x=2$: krotność parzysta — wykres dotyka osi i odbija się.

Krok 3 — ramiona. Stopień $3$ (nieparzysty), współczynnik wiodący dodatni:

$$x\to-\infty:\ W\to-\infty,\qquad x\to+\infty:\ W\to+\infty$$

Krok 4 — przebieg. Od dołu z lewej, przecina oś w $-1$, rośnie, schodzi i dotyka osi w $2$, potem rośnie do $+\infty$.

Odpowiedź: przecięcie w $-1$, odbicie w $2$, lewe ramię w dół, prawe w górę.

Krok 1 — twierdzenie o pierwiastkach wymiernych. Ewentualny pierwiastek wymierny $\frac{p}{q}$ ma $p\mid1$ (wyraz wolny) i $q\mid1$ (współczynnik wiodący), więc kandydaci to tylko $\pm1$.

Krok 2 — sprawdzamy $x=1$:

$$W(1)=1+1+1=3\neq0$$

Krok 3 — sprawdzamy $x=-1$:

$$W(-1)=-1-1+1=-1\neq0$$

Krok 4 — wniosek. Żaden z jedynych możliwych kandydatów wymiernych nie jest pierwiastkiem, więc wielomian nie ma pierwiastków wymiernych. $\qquad ∎$

Uwaga. Wielomian ma pierwiastek rzeczywisty (stopień nieparzysty gwarantuje co najmniej jeden), ale jest on niewymierny — około $-0{,}68$.

Rozwiązanie

$\sqrt[3]{-\tfrac{27}{16}\cdot2}=\sqrt[3]{-\tfrac{27}{8}}=-\tfrac{3}{2}$.

Odpowiedź: A

Rozwiązanie

1. Grupujemy: $x^2(3x-2)-4(3x-2)=0\Rightarrow(3x-2)(x^2-4)=0$.
2. $3x-2=0\Rightarrow x=\tfrac23$; $x^2-4=0\Rightarrow x=\pm2$.

Odpowiedź: $x=\tfrac23$ lub $x=2$ lub $x=-2$.