Okrąg wpisany w czworokąt

Każdy punkt symetralnej boku jest jednakowo oddalony od jego końców, więc punkt przecięcia wszystkich trzech symetralnych jest równo oddalony od wszystkich wierzchołków.

Dla porównania: środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych kątów.

Odpowiedź: C. symetralnych boków.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{36+64}=10$$

Krok 2 — promień. W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej:

$$R=\frac{10}{2}=5$$

Dlaczego tak: kąt oparty na średnicy jest prosty — to twierdzenie Talesa czytane wstecz.

Odpowiedź: $R=5$.

1. Kąt wpisany to połowa kąta środkowego: $55^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — pomnożono zamiast podzielić; D — $180^\circ-110^\circ$.

1. $r=\frac{a+b-c}2=\frac{6+8-10}2=2$ (albo $r=\frac Pp=\frac{24}{12}$).

Odpowiedź: $2$

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku $2:1$ od wierzchołka:

$$R=\frac{a\sqrt3}{3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3\approx3{,}46$$

Odpowiedź: $R=2\sqrt3$.

1. $|\angle AOB|=2\cdot40^\circ=80^\circ$.
2. $\triangle AOB$ równoramienny: $|\angle OAB|=\frac{180^\circ-80^\circ}{2}=50^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to kąt środkowy $AOB$, a nie kąt przy wierzchołku $A$.

1. Wysokość na podstawę $6$: $\sqrt{25-9}=4$, $P=12$.
2. $R=\frac{abc}{4P}=\frac{150}{48}=\frac{25}8$.

Odpowiedź: $\tfrac{25}{8}$

Wysokość trójkąta równobocznego to $\frac{a\sqrt3}{2}$, a środek okręgu wpisanego dzieli ją w stosunku $2:1$ — promień to jedna trzecia wysokości:

$$r=\frac13\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{6}$$

Zależność warta zapamiętania: $R=2r$ — promień okręgu opisanego jest dokładnie dwa razy większy.

Odpowiedź: A. $\frac{a\sqrt3}{6}$.

1. Kąt $ACB$ jest oparty na średnicy, więc $|\angle ACB|=90^\circ$.
2. $|\angle ABC|=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$.

Odpowiedź: A

1. Ramię prostopadłe $=2r$, ramię ukośne $c$. Warunek: $12+6=2r+c \Rightarrow c=18-2r$.
2. Pitagoras: $c^2=(2r)^2+6^2 \Rightarrow (18-2r)^2=4r^2+36 \Rightarrow 324-72r=36 \Rightarrow r=4$.
3. Kontrola: $h=8$, $c=10$, $8+10=18$ ✓.

Odpowiedź: $r=4$

W czworokącie wpisanym w okrąg przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$:

$$180^\circ-75^\circ=105^\circ$$

Odpowiedź: $105^\circ$.

1. W czworokącie wpisanym przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$: $180^\circ-75^\circ=105^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — przeciwległe kąty są równe tylko w równoległoboku; tu się dopełniają.

1. $|\angle C|=180^\circ-70^\circ=110^\circ$, $|\angle D|=180^\circ-95^\circ=85^\circ$.

Odpowiedź: $|\angle C|=110^\circ$, $|\angle D|=85^\circ$

Warunek wpisania okręgu:

$$a+c=b+d$$

Warunek opisania okręgu (odpowiedź A) dotyczy kątów, nie boków — to dwa różne twierdzenia i łatwo je pomylić.

Przykład: w romb zawsze można wpisać okrąg, bo wszystkie boki są równe, więc $a+c=b+d$ automatycznie.

Odpowiedź: D. sumy przeciwległych boków są równe.

1. Promień $OA$ jest prostopadły do stycznej, więc $\triangle OAB$ jest prostokątny.
2. $|OB|=\sqrt{25+144}=13$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — dodane długości; D — odjęte kwadraty (przeciwprostokątną jest $OB$).

1. Wysokość na bok $14$: $h^2=13^2-x^2=15^2-(14-x)^2 \Rightarrow x=5$, $h=12$, $P=84$ (albo wzór Herona: $\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$).
2. $r=\frac{84}{21}=4$.
3. $R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}8$.

Odpowiedź: $P=84$, $r=4$, $R=\tfrac{65}8$

Krok 1 — wzór na promień okręgu wpisanego:

$$r=\frac{P}{p},\qquad \text{gdzie } p \ \text{to połowa obwodu}$$

Krok 2 — połowa obwodu:

$$p=\frac{6+8+10}{2}=12$$

Krok 3 — promień:

$$r=\frac{24}{12}=2$$

Skąd ten wzór: łącząc środek okręgu z wierzchołkami, dzielimy trójkąt na trzy mniejsze o wysokości $r$. Suma ich pól daje $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.

Odpowiedź: $r=2$.

1. $l=\dfrac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot6=\dfrac13\cdot12\pi=4\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pole wycinka ($\frac13\cdot36\pi$); D — cały obwód bez podziału.

1. $OA\perp PA$: $|PA|=\sqrt{169-25}=12$.
2. Cięciwa $AB$ jest prostopadła do $OP$; połowa cięciwy to wysokość trójkąta $OAP$ z $A$: $\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13}$.
3. $|AB|=\frac{120}{13}$.

Odpowiedź: $|PA|=12$, $|AB|=\tfrac{120}{13}$

Krok 1 — warunek:

$$x+3x=180^\circ$$

Krok 2 — rozwiązanie:

$$4x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=45^\circ$$

Krok 3 — oba kąty:

$$45^\circ \quad\text{oraz}\quad 135^\circ$$

Sprawdzenie: $45+135=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $45^\circ$ i $135^\circ$.

1. $P=\dfrac{60^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot36=6\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — długość łuku, a nie pole.

1. $p=\frac{7+8+9}2=12$. Odcinek stycznej z wierzchołka $A$: $p-|BC|=12-7=5$.
2. Z wierzchołka $B$: $p-|CA|=12-8=4$. Kontrola: $5+4=9$ ✓.

Odpowiedź: $|AK|=5$, $|KB|=4$

W prostokącie wszystkie kąty mają $90^\circ$, więc przeciwległe sumują się do $180^\circ$ — warunek jest spełniony.

Środkiem tego okręgu jest punkt przecięcia przekątnych, a promieniem — połowa przekątnej.

Dlaczego nie romb: jego kąty przeciwległe są równe, a nie dopełniające się. Warunek zachodzi tylko wtedy, gdy każdy ma $90^\circ$ — czyli gdy romb jest kwadratem.

Odpowiedź: B. na prostokącie.

1. 1. Warunek czworokąta opisanego: $5+9=7+x \Rightarrow x=7$ — prawda.
2. 2. Obwód: $5+7+9+7=28\ne30$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. Deltoid wpisany: kąty przy $B$ i $D$ są równe i sumują się do $180^\circ$, więc są proste. $|\angle BCD|=120^\circ$.
2. $\triangle ABD$ równoboczny: $|BD|=6$. W $\triangle BCD$: $36=x^2+x^2+x^2=3x^2 \Rightarrow x=2\sqrt3$.
3. $P=2\cdot\frac12\cdot6\cdot2\sqrt3=12\sqrt3$, $p=6+2\sqrt3$.
4. $r=\frac{12\sqrt3}{6+2\sqrt3}=\frac{12\sqrt3(6-2\sqrt3)}{24}=3\sqrt3-3$.

Odpowiedź: $|BC|=|CD|=2\sqrt3$, $r=3\sqrt3-3$

Okrąg opisany. Przechodzi przez wierzchołki, więc jego średnica to przekątna kwadratu:

$$2R=8\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad R=4\sqrt2\approx5{,}66$$

Okrąg wpisany. Dotyka boków, więc jego średnica równa się bokowi:

$$2r=8 \quad\Rightarrow\quad r=4$$

Stosunek: $\frac{R}{r}=\sqrt2$ — i tak jest w każdym kwadracie.

Odpowiedź: $R=4\sqrt2$, $r=4$.

1. $3x-10=2(x+10) \Rightarrow 3x-10=2x+20 \Rightarrow x=30$.
2. $|\angle ACB|=30+10=40^\circ$ (kontrola: środkowy $80^\circ$ ✓).

Odpowiedź: $x=30$, $|\angle ACB|=40^\circ$

1. Środek okręgu opisanego to środek przeciwprostokątnej: $R=\frac c2$.
2. Odcinki stycznych: $c=(a-r)+(b-r) \Rightarrow r=\frac{a+b-c}2$.
3. $r+R=\frac{a+b-c}2+\frac c2=\frac{a+b}2$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego, więc promień to jej połowa.

Uzasadnienie: kąt wpisany oparty na średnicy ma $90^\circ$, a w naszym trójkącie taki kąt istnieje.

Odpowiedź: A. $\frac{c}{2}$.

1. $AC$ — średnica, więc $|\angle ABC|=|\angle ADC|=90^\circ$.
2. $\triangle ABC$: $|\angle BCA|=180^\circ-90^\circ-28^\circ=62^\circ$. $\triangle ACD$: $|\angle DAC|=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ$.
3. $|\angle A|=28^\circ+50^\circ=78^\circ$, $|\angle C|=62^\circ+40^\circ=102^\circ$, $|\angle B|=|\angle D|=90^\circ$.
4. Kontrola: $78^\circ+102^\circ=180^\circ$ — czworokąt wpisany ✓.

Odpowiedź: $78^\circ,\ 90^\circ,\ 102^\circ,\ 90^\circ$

1. $\triangle ABC$: $|AC|^2=9+25+15=49$, $|AC|=7$. $R=\frac{7}{2\sin120^\circ}=\frac{7\sqrt3}3$.
2. $|\angle ADC|=60^\circ$. $\triangle ACD$: $49=64+x^2-8x \Rightarrow x^2-8x+15=0 \Rightarrow x=3$ lub $x=5$.
3. Warunek $|AD|\gt |AB|=3$: $|AD|=5$.
4. $P=\frac12\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{15\sqrt3}4+10\sqrt3=\frac{55\sqrt3}4$.

Odpowiedź: $|AC|=7$, $R=\tfrac{7\sqrt3}{3}$, $|AD|=5$, $P=\tfrac{55\sqrt3}{4}$

Sprawdzamy warunek $a+c=b+d$:

$$5+9=14,\qquad 7+11=18$$

$$14\neq18$$

Warunek nie jest spełniony.

Uwaga na kolejność boków. Sumujemy boki przeciwległe, a nie sąsiednie. Gdyby boki ustawić jako $5$, $7$, $11$, $9$, to $5+11=16$ i $7+9=16$ — wtedy okrąg dałoby się wpisać.

Odpowiedź: nie, warunku nie spełnia.

Krok 1 — okrąg opisany:

$$R=\frac{12\sqrt3}{3}=4\sqrt3$$

Krok 2 — okrąg wpisany:

$$r=\frac{12\sqrt3}{6}=2\sqrt3$$

Krok 3 — stosunek promieni:

$$\frac{R}{r}=2$$

Krok 4 — stosunek pól. Pola kół mają się jak kwadraty promieni:

$$\left(\frac{R}{r}\right)^2=4$$

Odpowiedź: $R=4\sqrt3$, $r=2\sqrt3$; pole koła opisanego jest czterokrotnie większe.

Sprawdzamy warunek dla sum przeciwległych boków:

$$4+10=14,\qquad 7+7=14$$

Sumy są równe, więc okrąg da się wpisać.

Uwaga: sama równoramienność nie wystarcza — decyduje wyłącznie warunek liczbowy na boki.

Odpowiedź: C. tak, bo $4+10=7+7$.

Korzystamy z zależności $P=r\cdot p$, gdzie $p$ to połowa obwodu:

$$p=\frac{30}{2}=15$$

$$P=4\cdot15=60$$

Odpowiedź: $P=60$.

Średnica wyznacza kąt środkowy $180^\circ$, a kąt wpisany jest jego połową:

$$\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$$

To twierdzenie Talesa — kluczowe przy rozpoznawaniu trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg.

Odpowiedź: B. $90^\circ$.

Krok 1 — przeciwprostokątna:

$$c=\sqrt{25+144}=13$$

Krok 2 — okrąg opisany:

$$R=\frac{13}{2}=6{,}5$$

Krok 3 — pole trójkąta:

$$P=\frac{5\cdot12}{2}=30$$

Krok 4 — okrąg wpisany. Połowa obwodu wynosi $\frac{5+12+13}{2}=15$:

$$r=\frac{30}{15}=2$$

Kontrola wzorem dla trójkąta prostokątnego: $r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{5+12-13}{2}=2$ ✔

Odpowiedź: $r=2$, $R=6{,}5$.

Krok 1 — suma kątów czworokąta:

$$x+2x+3x+4x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad 10x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ$$

Krok 2 — kąty:

$$36^\circ,\quad 72^\circ,\quad 108^\circ,\quad 144^\circ$$

Krok 3 — sprawdzenie warunku wpisania w okrąg. Przeciwległe kąty muszą sumować się do $180^\circ$. W czworokącie kąty przeciwległe to pierwszy z trzecim i drugi z czwartym:

$$36^\circ+108^\circ=144^\circ \neq 180^\circ$$

Uwaga metodyczna. Poprawna suma $360^\circ$ to warunek konieczny dla każdego czworokąta, ale nie wystarczający do wpisania w okrąg.

Odpowiedź: kąty to $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$ i $144^\circ$, ale taki czworokąt nie może być wpisany w okrąg.

Krok 1 — wzór wiążący boki, pole i promień:

$$R=\frac{abc}{4P}$$

Krok 2 — iloczyn boków:

$$7\cdot8\cdot9=504$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$R=\frac{504}{4\cdot12\sqrt5}=\frac{504}{48\sqrt5}=\frac{21}{2\sqrt5}$$

Krok 4 — usuwamy niewymierność:

$$R=\frac{21\sqrt5}{10}\approx4{,}70$$

Kontrola sensu: promień okręgu opisanego musi być większy od połowy najdłuższego boku ($4{,}5$) — i jest ✔

Odpowiedź: $R=\frac{21\sqrt5}{10}\approx4{,}7$.

Krok 1 — wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$:

$$h=\frac{a\sqrt3}{2}$$

Krok 2 — kluczowa własność. W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego i opisanego to ten sam punkt — przecięcie wysokości, które dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołka.

Krok 3 — promienie jako części wysokości:

$$R=\frac23 h=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac13 h=\frac{a\sqrt3}{6}$$

Krok 4 — stosunek:

$$\frac{R}{r}=\frac{2/3}{1/3}=2 \qquad ∎$$

Konsekwencja dla pól. Pola kół zależą od kwadratu promienia, więc:

$$\frac{P_R}{P_r}=\left(\frac{R}{r}\right)^2=4$$

Koło opisane ma czterokrotnie większe pole niż wpisane.

Sprawdzenie: dla $a=6$ mamy $R=2\sqrt3$ oraz $r=\sqrt3$, a pola kół to $12\pi$ i $3\pi$ — stosunek wynosi $4$ ✔

1. Krok 1. Własności czworokąta.

   Czworokąt jest opisany na okręgu (wpisany okrąg), więc $|AB|+|CD|=|BC|+|AD|$, czyli $9+|CD|=|BC|+10\Rightarrow |CD|=|BC|+1$.

   Czworokąt jest wpisany w okrąg (opisany okrąg), więc przeciwległe kąty sumują się do $180^{\circ}$: $|\angle BCD|=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.

2. Krok 2. Przekątna $BD$ z trójkąta $ABD$ (twierdzenie cosinusów). $$|BD|^{2}=9^{2}+10^{2}-2\cdot9\cdot10\cos 60^{\circ}=181-90=91.$$
3. Krok 3. Trójkąt $BCD$ (kąt $120^{\circ}$).

   Niech $|BC|=t$, wtedy $|CD|=t+1$. Z twierdzenia cosinusów ($\cos120^{\circ}=-\tfrac12$):

   $$|BD|^{2}=t^{2}+(t+1)^{2}+t(t+1)=91\ \Rightarrow\ 3t^{2}+3t-90=0\ \Rightarrow\ t^{2}+t-30=0\ \Rightarrow\ t=5.$$

   Zatem $|BC|=5$, $|CD|=6$ (sprawdzenie: $9+6=5+10$ ✓).

4. Krok 4. Pole czworokąta. $$P=P_{ABD}+P_{BCD}=\tfrac12\cdot9\cdot10\sin 60^{\circ}+\tfrac12\cdot5\cdot6\sin 120^{\circ}=\frac{45\sqrt3}{2}+\frac{15\sqrt3}{2}=30\sqrt3.$$
5. Odpowiedź. $|BC|=5$, $|CD|=6$, pole $=30\sqrt3$.

1. Krok 1. Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu.

   W czworokącie opisanym sumy przeciwległych boków są równe:

   $$|AB|+|CD|=|BC|+|AD|.$$

   Obwód $=|AB|+|BC|+|CD|+|AD|=2\big(|AB|+|CD|\big)$, więc wystarczy wyznaczyć $|AB|$.

2. Krok 2. Trójkąt $ABC$ i twierdzenie sinusów.

   W trójkącie $ABC$: $\angle ACB=60^{\circ}$ (kąt między $AC$ i $BC$), $\angle BAC=\alpha$ (kąt między $AC$ i $AB$), $\sin\alpha=\tfrac14$, a bok $BC=4$ leży naprzeciw kąta $\alpha$. Z twierdzenia sinusów:

   $$\frac{|AB|}{\sin(\angle ACB)}=\frac{|BC|}{\sin(\angle BAC)}\ \Rightarrow\ |AB|=\frac{|BC|\cdot\sin 60^{\circ}}{\sin\alpha}=\frac{4\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\frac14}=8\sqrt3.$$
3. Krok 3. Obwód. $$\text{Obwód}=2\big(|AB|+|CD|\big)=2\big(8\sqrt3+5\big)=16\sqrt3+10.$$

   Odpowiedź: obwód czworokąta $ABCD$ jest równy $16\sqrt3+10$.