Nierówności wielomianowe

Miejsca zerowe: $x=2$ i $x=-3$.

Znak: parabola o ramionach w górę jest ujemna między miejscami zerowymi.

$$x\in(-3,\,2)$$

Nawiasy otwarte, bo nierówność jest ostra.

Odpowiedź: B. $x\in(-3,\,2)$.

Miejsca zerowe: $x=0$ i $x=5$.

Znak: ramiona w górę, więc wyrażenie jest dodatnie na zewnątrz miejsc zerowych.

$$x\in(-\infty,\,0\rangle\cup\langle5,+\infty)$$

Nawiasy domknięte, bo nierówność jest nieostra ($\ge$).

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,0\rangle\cup\langle5,+\infty)$.

Ułamek o liczniku $1$ jest dodatni dokładnie wtedy, gdy mianownik jest dodatni:

$$x>0$$

Odpowiedź: A. $x\in(0,+\infty)$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyróżnik:

$$\Delta=16-12=4,\qquad \sqrt\Delta=2$$

$$x_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad x_2=\frac{4+2}{2}=3$$

Krok 2 — znak. Ramiona w górę, szukamy wartości dodatnich, czyli poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,\,1)\cup(3,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,1)\cup(3,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-1$.

Krok 2 — zamiana na iloczyn. Ułamek ma taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika:

$$(x-2)(x+1)>0$$

Krok 3 — miejsca zerowe: $x=2$ i $x=-1$; szukamy wartości dodatnich, czyli na zewnątrz:

$$x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$$

Sprawdzenie dla $x=3$: $\frac{1}{4}>0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$.

Krok 1 — pierwiastki: $1$, $2$, $3$ — wszystkie jednokrotne.

Krok 2 — wykres. Stopień $3$, współczynnik dodatni, więc od prawej krzywa idzie w górę. Znaki od prawej: $+$, $-$, $+$, $-$.

Krok 3 — przedziały ujemne:

$$x\in(-\infty,\,1)\cup(2,\,3)$$

Sprawdzenie dla $x=0$: $(-1)(-2)(-3)=-6\lt 0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,1)\cup(2,\,3)$.

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-16\le0 \quad\Rightarrow\quad (x-4)(x+4)\le0$$

Ramiona w górę, wartości niedodatnie są między pierwiastkami:

$$x\in\langle-4,\,4\rangle$$

Częsty błąd: zapis „$x\le4$” pomija ograniczenie od dołu.

Odpowiedź: B. $x\in\langle-4,\,4\rangle$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$.

Krok 2 — analiza znaku. Licznik $3$ jest stale dodatni, więc ułamek jest ujemny dokładnie wtedy, gdy mianownik jest ujemny:

$$x-2\lt 0 \quad\Rightarrow\quad x\lt 2$$

Krok 3 — czy zachodzi równość? Ułamek nigdy nie jest zerem (licznik $\neq0$), więc znak $\le$ nie dokłada żadnego punktu.

$$x\in(-\infty,\,2)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,2)$.

Krok 1 — przenosimy na jedną stronę (nie wolno dzielić przez $x$, bo nie znamy jego znaku):

$$x^3-4x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)(x+2)\ge0$$

Krok 2 — pierwiastki: $-2$, $0$, $2$. Stopień $3$, współczynnik dodatni, znaki od prawej: $+$, $-$, $+$, $-$.

Krok 3 — przedziały:

$$x\in\langle-2,\,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$

Sprawdzenie dla $x=-1$: $-1\ge-4$ ✔

Odpowiedź: $x\in\langle-2,\,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$.

Dziedzina: $x\neq3$.

Znak — jak dla iloczynu $x(x-3)\ge0$, czyli poza pierwiastkami $0$ i $3$.

Domknięcia są różne po obu stronach: $x=0$ należy (ułamek jest wtedy zerem), ale $x=3$ nie należy (wypada z dziedziny):

$$x\in(-\infty,\,0\rangle\cup(3,+\infty)$$

Odpowiedź: A. $x\in(-\infty,\,0\rangle\cup(3,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — przenosimy wszystko na lewą stronę (mnożenie na krzyż jest zabronione, bo nie znamy znaku mianownika):

$$\frac{x+2}{x-1}-1\ge0$$

$$\frac{x+2-(x-1)}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{x-1}\ge0$$

Krok 3 — analiza. Licznik $3$ jest dodatni, więc wystarczy $x-1>0$:

$$x>1$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $\frac{4}{1}=4\ge1$ ✔

Odpowiedź: $x\in(1,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-1$.

Krok 2 — rozkładamy licznik:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}\le0$$

Krok 3 — punkty krytyczne: $-2$, $-1$, $2$. Badamy znak w każdym przedziale, podstawiając wygodną liczbę:

• $x=-3$: $\frac{(-5)(-1)}{-2}=-2{,}5\lt 0$ ✔
• $x=-1{,}5$: $\frac{(-3{,}5)(0{,}5)}{-0{,}5}=3{,}5>0$
• $x=0$: $\frac{(-2)(2)}{1}=-4\lt 0$ ✔
• $x=3$: $\frac{(1)(5)}{4}=1{,}25>0$

Krok 4 — domknięcia. Punkty $-2$ i $2$ należą (ułamek $=0$), punkt $-1$ nie należy:

$$x\in(-\infty,-2\rangle\cup(-1,\,2\rangle$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-2\rangle\cup(-1,\,2\rangle$.

Krok 1 — sprawdzamy:

$$W(2)=8-12+8-4=0 \ ✔$$

Krok 2 — dzielimy przez $(x-2)$. Otrzymujemy:

$$W(x)=(x-2)(x^2-x+2)$$

Krok 3 — czy trójmian da się rozłożyć?

$$\Delta=1-8=-7\lt 0$$

Wyróżnik ujemny, więc trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych i rozkład jest pełny.

Sprawdzenie mnożeniem: $(x-2)(x^2-x+2)=x^3-x^2+2x-2x^2+2x-4=x^3-3x^2+4x-4$ ✔

Odpowiedź: $W(x)=(x-2)(x^2-x+2)$, jedyny pierwiastek rzeczywisty to $x=2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — przenosimy na jedną stronę:

$$\frac{1}{x}-\frac12\lt 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{2-x}{2x}\lt 0$$

Krok 3 — znak ułamka odpowiada znakowi iloczynu $(2-x)\cdot 2x$, czyli — po podzieleniu przez dodatnią dwójkę — iloczynu $(2-x)x$. Punkty krytyczne: $0$ i $2$.

• $x=-1$: $\frac{3}{-2}\lt 0$ ✔
• $x=1$: $\frac{1}{2}>0$
• $x=3$: $\frac{-1}{6}\lt 0$ ✔

$$x\in(-\infty,\,0)\cup(2,+\infty)$$

Uwaga: najczęstszy błąd to „przemnożenie przez $x$” i wynik $x>2$ — gubi cały przedział ujemny, gdzie $\frac1x$ jest ujemne, a więc na pewno mniejsze od $\frac12$.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,0)\cup(2,+\infty)$.

1. Grupowanie: $x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x-2)(x+2)$.
2. Pierwiastki $-2,\ 2,\ 3$; wężyk od prawej nad osią.
3. $W(x)\ge0$ dla $x\in[-2,2]\cup[3,\infty)$.

Odpowiedź: $x\in[-2,2]\cup[3,+\infty)$

1. Kandydaci: $\pm1,\pm2,\pm\frac12$. $W(2)=16-12-6+2=0$.
2. Horner: $2x^3-3x^2-3x+2=(x-2)(2x^2+x-1)=(x-2)(2x-1)(x+1)$.
3. Rozwiązania: $2,\ \frac12,\ -1$.

Odpowiedź: $x\in\left\{-1,\ \tfrac12,\ 2\right\}$

1. Dziedzina: $x\ne2$. $\frac{x+1}{x-2}-2=\frac{x+1-2x+4}{x-2}=\frac{5-x}{x-2}\ge0$.
2. $\iff (5-x)(x-2)\ge0$ i $x\ne2 \iff (x-5)(x-2)\le0$, $x\ne2$.
3. $x\in(2,5]$.

Odpowiedź: $x\in(2,5]$

1. Dziedzina: $x\ne-3$. $\frac{x^2-1-(x-1)(x+3)}{x+3}\le0 \Rightarrow \frac{x^2-1-x^2-2x+3}{x+3}=\frac{2-2x}{x+3}\le0$.
2. $\iff \frac{x-1}{x+3}\ge0 \iff (x-1)(x+3)\ge0$, $x\ne-3$.
3. $x\in(-\infty,-3)\cup[1,\infty)$.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3)\cup[1,+\infty)$

1. $t=x^2\ge0$: $t^2-5t+4\lt 0 \Rightarrow 1\lt t\lt 4$.
2. $1\lt x^2\lt 4 \Rightarrow 1\lt |x|\lt 2$.
3. $x\in(-2,-1)\cup(1,2)$.

Odpowiedź: $x\in(-2,-1)\cup(1,2)$

1. Najwyższa potęga $x^4$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B to współczynnik.

1. Miejsca zerowe: $-1$ i $3$; parabola ramionami w górę.
2. Wartości ujemne między pierwiastkami: $x\in(-1,3)$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to rozwiązanie $>0$, C ma zamienione znaki pierwiastków, D dołącza końce (nierówność ostra).

1. $x(x-1)(x+1)=0$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A gubi $-1$.

1. Miejsca $1,-2$; dodatnia poza przedziałem.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A to obszar ujemny.

1. Grupowanie: $x^2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x^2-9)$.
2. $(x-2)(x-3)(x+3)=0$.

Odpowiedź: $x\in\{-3,\ 2,\ 3\}$

1. Pierwiastki $0,2$, parabola w górę.
2. Dodatnia poza pierwiastkami.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B to obszar ujemny.

1. Pierwiastki $1,3$.
2. Iloczyn ujemny między nimi.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to obszar dodatni.

1. $x^2>4$, pierwiastki $\pm2$.
2. Rozwiązanie na zewnątrz.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to obszar, gdzie $x^2\lt 4$.

1. $-1\le x\le4$.
2. Liczby całkowite: $-1,0,1,2,3,4$ - sześć.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A pomija jeden z końców.

1. Pierwiastki: $2$ i $3$.
2. Parabola w górę - ujemna między pierwiastkami.

Odpowiedź: $x\in(2,3)$.

1. $x^2-16\ge0$, pierwiastki $\pm4$.
2. Rozwiązanie na zewnątrz, z końcami.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B to obszar, gdzie $x^2\le16$.

1. $(x-2)^2\ge0$ zawsze, równa $0$ tylko dla $x=2$.
2. $>0$ dla $x\ne2$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C błędnie włącza $x=2$ (tam $=0$).

1. $x(x+1)>0$, pierwiastki $-1,0$.
2. Dodatnia poza przedziałem $\langle-1,0\rangle$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to obszar ujemny.

1. Pierwiastki $1,2,3$; znaki od prawej: $+,-,+,-$.
2. Dodatnie: $(1,2)$ oraz $(3,\infty)$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? B pomija przedział $(1,2)$.

1. $(x-1)^2\ge0$ zawsze; dla $x=1$ wyrażenie $=0$ (nie spełnia $\lt 0$).
2. Znak zależy od $(x+3)$: ujemny dla $x\lt -3$.
3. Rozwiązanie: $x\in(-\infty,-3)$.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3)$.

1. Pierwiastki $0,3$; dodatnia na zewnątrz.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B to obszar ujemny.

1. Ujemna między pierwiastkami.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A to obszar dodatni.

1. Pierwiastki $\pm1$; dodatnia na zewnątrz.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to obszar ujemny.

1. $-2\le x\le2$: $-2,-1,0,1,2$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A pomija końce.

1. Pierwiastki $-1,0,2$; znaki od prawej $+,-,+,-$.
2. Dodatnie: $(-1,0)$ oraz $(2,\infty)$.

Odpowiedź: $x\in(-1,0)\cup(2,\infty)$