Nierówności kwadratowe — powtórzenie

Iloczyn równy zero, gdy któryś czynnik jest zerem: $x=1$ lub $x=4$.

Odpowiedź: B. $1,4$.

Dla ramion w górę ($a>0$) wartości dodatnie są POZA przedziałem pierwiastków.

Odpowiedź: A. poza pierwiastkami.

Krok 1 — miejsca zerowe: $x=2$, $x=5$.

Krok 2 — parabola ramionami w górę (dodatni współczynnik) — wartości ujemne MIĘDZY pierwiastkami.

Krok 3 — nierówność ostra:

$$x\in(2,5)$$

Odpowiedź: $x\in(2,5)$.

Krok 1 — miejsca zerowe. $x^2-9=(x-3)(x+3)=0$ dla $x=\pm3$.

Krok 2 — ramiona w górę, wartości dodatnie poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-3)\cup(3,+\infty)$.

Krok 1 — pierwiastki. $\Delta=25-24=1$, $x=\frac{5\pm1}{2}$, więc $x=2$ i $x=3$.

Krok 2 — ramiona w górę, wartości $\le0$ między pierwiastkami (końce domknięte):

$$x\in\langle2,3\rangle$$

Odpowiedź: $x\in\langle2,3\rangle$.

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc $x^2\ge0$ zawsze.

Odpowiedź: D. wszystkich $x$.

Krok 1 — przenosimy: $x^2-16\le0$, pierwiastki $x=\pm4$.

Krok 2 — wartości $\le0$ między pierwiastkami:

$$x\in\langle-4,4\rangle$$

Odpowiedź: $x\in\langle-4,4\rangle$.

Ramiona w dół ($a\lt 0$): wartości ujemne są POZA pierwiastkami (a dodatnie między).

Odpowiedź: C. poza pierwiastkami.

Krok 1 — wyłączamy $x$: $x(x+4)=0$ dla $x=0$ i $x=-4$.

Krok 2 — ramiona w górę, wartości $\ge0$ poza pierwiastkami (końce domknięte):

$$x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle0,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-4\rangle\cup\langle0,+\infty)$.

Kwadrat nigdy nie jest ujemny, więc $x^2\lt 0$ nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: A. przez żadną liczbę.

Krok 1 — pierwiastki. $-x^2+4=0$ dla $x^2=4$, czyli $x=\pm2$.

Krok 2 — ramiona w DÓŁ ($a=-1\lt 0$), wartości dodatnie MIĘDZY pierwiastkami:

$$x\in(-2,2)$$

Odpowiedź: $x\in(-2,2)$.

Krok 1 — to kwadrat. $x^2-6x+9=(x-3)^2$.

Krok 2 — analiza. $(x-3)^2\ge0$ zawsze, a $\le0$ tylko gdy równy $0$:

$$(x-3)^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Odpowiedź: $x=3$ (jedno rozwiązanie).

Pierwiastki $-2,3$, ramiona w górę → wartości $\ge0$ poza pierwiastkami (z domkniętymi końcami).

Odpowiedź: B. $(-\infty,-2\rangle\cup\langle3,+\infty)$.

Krok 1 — dzielimy przez $2$: $x^2-4\lt 0$.

Krok 2 — pierwiastki $\pm2$, wartości ujemne między:

$$x\in(-2,2)$$

Odpowiedź: $x\in(-2,2)$.

Krok 1 — pierwiastki. $\Delta=1+24=25$, $x=\frac{1\pm5}{2}$, więc $x=-2$ i $x=3$.

Krok 2 — ramiona w górę, wartości dodatnie poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$.

Kwadrat jest dodatni zawsze poza miejscem, gdzie się zeruje ($x=1$).

$$x\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$$

Odpowiedź: D. $x\neq1$.

Krok 1 — rozwiązujemy $f(x)\lt 0$. Pierwiastki: $\Delta=16-12=4$, $x=\frac{4\pm2}{2}$, czyli $x=1$ i $x=3$.

Krok 2 — ramiona w górę, wartości ujemne między pierwiastkami:

$$x\in(1,3)$$

Interpretacja. W tym przedziale wykres paraboli leży pod osią $OX$.

Odpowiedź: $x\in(1,3)$.

Krok 1 — delta. $\Delta=4-20=-16\lt 0$ — brak pierwiastków rzeczywistych.

Krok 2 — analiza. $a=1>0$ (ramiona w górę) i brak pierwiastków → parabola w całości NAD osią $OX$, więc zawsze dodatnia.

$$x\in\mathbb{R}$$

Odpowiedź: wszystkie liczby rzeczywiste.

Krok 1 — warunek. Pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna:

$$x^2-4\ge0$$

Krok 2 — rozwiązujemy nierówność kwadratową. Pierwiastki $\pm2$, ramiona w górę → wartości $\ge0$ poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,-2\rangle\cup\langle2,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-2\rangle\cup\langle2,+\infty)$.

Krok 1 — rozpoznajemy kwadrat. Lewa strona to wzór skróconego mnożenia:

$$x^2-2x+1=(x-1)^2$$

Krok 2 — kwadrat jest nieujemny. Dla każdego $x$:

$$(x-1)^2\ge0 \qquad ∎$$

Wniosek. Nierówność zachodzi zawsze; równość tylko dla $x=1$ (wtedy wyrażenie równa się $0$).

Sprawdzenie: $x=0$: $1\ge0$ ✔; $x=5$: $16\ge0$ ✔

1. $2x\gt 8 \Rightarrow x\gt 4$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — nierówność ostra, więc $4$ nie należy do zbioru.

1. Dzielimy przez $-3$ i odwracamy znak: $x\ge-4$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — nie odwrócono znaku nierówności.

1. Mnożymy przez $2$: $-4(x+1)\le3-x \Rightarrow -4x-4\le3-x$.
2. $-3x\le7 \Rightarrow x\ge-\dfrac73$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — zapomniana zmiana znaku przy dzieleniu przez $-3$.

1. $x^2-9\lt 0 \iff (x-3)(x+3)\lt 0$ — parabola w górę, ujemna między $-3$ a $3$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? B — z $x^2\lt 9$ „wyciągnięto pierwiastek” jak z równania: $x\lt 3$.

1. $x(x-4)\ge0$; miejsca zerowe $0$ i $4$, ramiona w górę.
2. Nieujemne na zewnątrz (z końcami): $(-\infty,0]\cup[4,\infty)$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — obie strony podzielone przez $x$ (niewiadomy znak!); D — zgubione końce przy znaku $\ge$.

1. $\Delta=4-20=-16\lt 0$ i $a=1\gt 0$, więc trójmian jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — „brak miejsc zerowych” to nie „brak rozwiązań nierówności”.

1. Wierzchołek leży pod osią $Ox$, a parabola przecina oś w $0$ i $4$ — ramiona skierowane w górę.
2. Wartości niedodatnie przyjmuje między miejscami zerowymi, z nimi: $x\in[0,4]$.

Odpowiedź: $[0,4]$

1. $2x^2-2\lt 3x \Rightarrow 2x^2-3x-2\lt 0$.
2. $\Delta=9+16=25$, $x_1=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac12$, $x_2=\dfrac{3+5}{4}=2$.
3. Ramiona w górę, więc wartości ujemne między miejscami zerowymi: $x\in\left(-\dfrac12,2\right)$.

Odpowiedź: $x\in\left(-\dfrac12,\,2\right)$

1. $3x^2+4x-4\ge0$.
2. $\Delta=16+48=64$, $x_1=\dfrac{-4-8}{6}=-2$, $x_2=\dfrac{-4+8}{6}=\dfrac23$.
3. Ramiona w górę → nieujemne na zewnątrz: $x\in(-\infty,-2]\cup\left[\dfrac23,\infty\right)$.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-2]\cup\left[\dfrac23,\infty\right)$

1. Przenosimy: $(x-2)(x+1)-2(x+1)\le0 \Rightarrow (x+1)(x-4)\le0$.
2. Miejsca zerowe $-1$ i $4$, ramiona w górę.
3. $x\in[-1,4]$.

Odpowiedź: $x\in[-1,4]$

Wskazówka: Podzielenie przez $(x+1)$ dałoby $x\le4$ — błędny zbiór, bo nie znamy znaku $x+1$.

1. $2x>4\Rightarrow x>2$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A odwraca.

1. Miejsca zerowe: $x^2=16\Rightarrow x=-4$ lub $x=4$.
2. Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc $x^2-16\ge0$ poza przedziałem między pierwiastkami — z końcami (nierówność nieostra).

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A to rozwiązanie nierówności $\le0$, B pomija równość, C gubi lewą część zbioru.

1. Poza pierwiastkami $\pm2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B to obszar $x^2\lt 4$.

1. $x\le\tfrac63=2$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A odwraca.

1. $\Delta=4+32=36$, $\sqrt\Delta=6$.
2. $x_1=\dfrac{-2-6}{2}=-4$, $x_2=\dfrac{-2+6}{2}=2$.
3. Ramiona w górę, więc wartości $\le0$ między pierwiastkami (z końcami).

Odpowiedź: $x\in\langle-4,2\rangle$

Krok 1 — miejsca zerowe:

$$x^2-4=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-2 \ \text{ lub } \ x=2$$

Krok 2 — kierunek ramion. Współczynnik $a=1>0$, więc parabola jest skierowana w górę i leży poniżej osi OX między miejscami zerowymi.

$$x\in(-2,\,2)$$

Nawiasy okrągłe: nierówność jest ostra ($\lt $), więc końce nie należą.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — miejsca zerowe. Rozkładamy na czynniki:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{ lub } \ x=3$$

Krok 2 — kierunek ramion. $a=1>0$, więc parabola jest nad osią OX na zewnątrz miejsc zerowych.

Krok 3 — zapisujemy rozwiązanie. Nierówność jest nieostra ($\ge$), więc końce dołączamy:

$$x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$$

Sprawdzenie: dla $x=0$ mamy $6\ge0$ ✔, dla $x=2{,}5$ mamy $-0{,}25\lt 0$ (poza zbiorem) ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.

Wzory Viete dla równania $ax^2+bx+c=0$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Podstawiamy $a=1$, $b=-7$, $c=10$:

$$x_1+x_2=-\frac{-7}{1}=7$$

$$x_1\cdot x_2=\frac{10}{1}=10$$

Sprawdzenie: pierwiastkami są $2$ i $5$, bo $2+5=7$ ✔ i $2\cdot5=10$ ✔

Odpowiedź: suma $7$, iloczyn $10$.

Jedno rozwiązanie oznacza $\Delta=0$:

$$\Delta=b^2-4\cdot1\cdot9=b^2-36=0$$

Rozwiązujemy:

$$b^2=36 \quad\Rightarrow\quad b=6 \ \text{ lub } \ b=-6$$

Sprawdzenie dla $b=6$: $x^2+6x+9=(x+3)^2$ — jedno rozwiązanie $x=-3$ ✔

Uwaga: pierwiastkowanie równania $b^2=36$ daje dwa wyniki — pominięcie ujemnego to częsty błąd.

Odpowiedź: B.

Dwa różne pierwiastki oznaczają $\Delta>0$:

$$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot m=16-4m$$

Rozwiązujemy nierówność:

$$16-4m>0 \quad\Rightarrow\quad -4m>-16 \quad\Rightarrow\quad m\lt 4$$

Uwaga na znak: dzieląc przez liczbę ujemną ($-4$), odwracamy znak nierówności.

Sprawdzenie dla $m=0$: $x^2-4x=x(x-4)$ ma pierwiastki $0$ i $4$ — dwa różne ✔

Odpowiedź: $m\in(-\infty,\,4)$.

Krok 1 — podstawienie. Niech $t=x^2$, przy czym $t\ge0$:

$$t^2-13t+36=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=169-144=25,\qquad \sqrt{\Delta}=5$$

$$t_1=\frac{13-5}{2}=4,\qquad t_2=\frac{13+5}{2}=9$$

Oba wyniki są nieujemne, więc oba są dopuszczalne.

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2$$

$$x^2=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm3$$

Uwaga: każde $t$ daje dwa rozwiązania w $x$ — łącznie cztery.

Odpowiedź: $x=-3,\ -2,\ 2,\ 3$.

Ze wzoru Viete na sumę pierwiastków:

$$x_1+x_2=-p \quad\Rightarrow\quad 2+(-5)=-p \quad\Rightarrow\quad -3=-p \quad\Rightarrow\quad p=3$$

Sprawdzenie: równanie ma postać $x^2+3x-10=0$. Podstawiamy $x=2$: $4+6-10=0$ ✔

Uwaga na minus we wzorze — suma pierwiastków to $-p$, a nie $p$.

Odpowiedź: A. $p=3$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyłączamy $x$ przed nawias:

$$-x^2+4x=x(-x+4)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \ \text{ lub } \ x=4$$

Krok 2 — kierunek ramion. Tu $a=-1\lt 0$, więc parabola jest skierowana w dół i leży nad osią OX między miejscami zerowymi.

$$x\in(0,\,4)$$

Kluczowe: przy ujemnym $a$ obszary „nad osią” i „pod osią” zamieniają się miejscami w stosunku do przypadku $a>0$.

Sprawdzenie dla $x=2$: $-4+8=4>0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(0,\,4)$.

Brak rozwiązań oznacza $\Delta\lt 0$:

$$\Delta=2^2-4\cdot1\cdot m=4-4m$$

Rozwiązujemy nierówność:

$$4-4m\lt 0 \quad\Rightarrow\quad -4m\lt -4 \quad\Rightarrow\quad m>1$$

Sprawdzenie dla $m=2$: $\Delta=4-8=-4\lt 0$ — brak pierwiastków ✔

Odpowiedź: $m\in(1,\,+\infty)$.

Wyrażenie $x^2$ jest zawsze nieujemne, więc:

$$x^2+1\ge 1>0$$

Lewa strona nigdy nie jest ujemna, a nierówność wymaga wartości mniejszej od zera — nie ma rozwiązań.

Potwierdzenie wyróżnikiem: $\Delta=0-4=-4\lt 0$, a $a=1>0$, więc cała parabola leży nad osią OX.

Odpowiedź: D. żadnego.

Krok 1 — wzory Viete:

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1\cdot x_2=k$$

Krok 2 — przekształcamy warunek wzorem $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

Krok 3 — podstawiamy:

$$20=6^2-2k \quad\Rightarrow\quad 20=36-2k \quad\Rightarrow\quad 2k=16 \quad\Rightarrow\quad k=8$$

Krok 4 — sprawdzamy istnienie pierwiastków:

$$\Delta=36-32=4>0 \ ✔$$

Weryfikacja: pierwiastki to $2$ i $4$, a $4+16=20$ ✔

Odpowiedź: $k=8$.

Uwaga: nie wolno przyrównać czynników do $5$ — reguła „iloczyn równy zero” działa tylko dla zera.

Krok 1 — rozwijamy i porządkujemy:

$$x^2+3x-x-3=5 \quad\Rightarrow\quad x^2+2x-8=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$\Delta=4+32=36,\qquad \sqrt{\Delta}=6$$

$$x_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{-2+6}{2}=2$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $(2-1)(2+3)=1\cdot5=5$ ✔

Odpowiedź: $x=-4$ lub $x=2$.

Ze wzoru Viete, pamiętając o współczynniku $a=2$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-8}{2}=4$$

Częsty błąd: pominięcie dzielenia przez $a$ i podanie $8$ (odpowiedź A). Gdy $a\neq1$, trzeba dzielić.

Odpowiedź: B. $4$.

Krok 1 — suma pierwiastków ze wzoru Viete:

$$x_1+x_2=-\frac{-2m}{1}=2m$$

Krok 2 — warunek z treści:

$$2m=6 \quad\Rightarrow\quad m=3$$

Krok 3 — sprawdzamy, czy pierwiastki istnieją. Dla $m=3$:

$$\Delta=(-6)^2-4(9-1)=36-32=4>0 \ ✔$$

Weryfikacja: równanie to $x^2-6x+8=0$ o pierwiastkach $2$ i $4$, a $2+4=6$ ✔

Uwaga: warunek na $\Delta$ trzeba sprawdzić zawsze — bez pierwiastków mówienie o ich sumie nie miałoby sensu.

Odpowiedź: $m=3$.

Krok 1 — przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-9\le 0$$

Krok 2 — miejsca zerowe:

$$(x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3 \ \text{ lub } \ x=3$$

Krok 3 — ramiona w górę ($a=1>0$), więc wartości niedodatnie są między miejscami zerowymi. Nierówność nieostra dołącza końce:

$$x\in\langle -3,\,3\rangle$$

Częsty błąd: zapisanie odpowiedzi jako $x\le3$ — pomija się wtedy ograniczenie od dołu. Sprawdź $x=-10$: $100\le9$ to fałsz.

Odpowiedź: $x\in\langle -3,\,3\rangle$.

Przekształcamy równanie:

$$x^2=-4$$

Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Potwierdzenie wyróżnikiem: $\Delta=0-16=-16\lt 0$.

Uwaga: $x^2-4=0$ (z minusem) miałoby rozwiązania $\pm2$ — znak przy stałej zmienia wszystko.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — oznaczenia. Niech pierwsza liczba to $x$, druga $x+1$:

$$x(x+1)=132$$

Krok 2 — porządkujemy do postaci ogólnej:

$$x^2+x-132=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$\Delta=1+528=529,\qquad \sqrt{529}=23$$

$$x_1=\frac{-1-23}{2}=-12,\qquad x_2=\frac{-1+23}{2}=11$$

Krok 4 — wybieramy sensowne rozwiązanie. Szukamy liczb naturalnych, więc odrzucamy $-12$.

Sprawdzenie: $11\cdot12=132$ ✔

Odpowiedź: liczby to $11$ i $12$.

Krok 1 — podstawienie $t=x^2$, $t\ge0$:

$$t^2-5t+4=0$$

Krok 2 — rozkładamy na czynniki:

$$(t-1)(t-4)=0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \ \text{ lub } \ t=4$$

Krok 3 — wracamy do $x$:

$$x^2=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm1$$

$$x^2=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm2$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $16-20+4=0$ ✔

Odpowiedź: $x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$.

Krok 1 — oznaczenia. Niech szerokość to $x$, długość $x+7$:

$$x(x+7)=60$$

Krok 2 — porządkujemy:

$$x^2+7x-60=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$\Delta=49+240=289,\qquad \sqrt{289}=17$$

$$x_1=\frac{-7-17}{2}=-12,\qquad x_2=\frac{-7+17}{2}=5$$

Krok 4 — odrzucamy wynik bez sensu. Bok nie może być ujemny, więc $x=5$.

Wymiary: szerokość $5$ cm, długość $5+7=12$ cm.

Sprawdzenie: $5\cdot12=60$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $5$ cm na $12$ cm.

Potrzebne są trzy warunki naraz.

Warunek 1 — istnienie dwóch pierwiastków ($\Delta>0$):

$$\Delta=(m+1)^2-4m=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1=(m-1)^2$$

$$(m-1)^2>0 \quad\Rightarrow\quad m\neq1$$

Warunek 2 — suma pierwiastków dodatnia:

$$x_1+x_2=m+1>0 \quad\Rightarrow\quad m>-1$$

Warunek 3 — iloczyn pierwiastków dodatni:

$$x_1\cdot x_2=m>0$$

Część wspólna warunków: $m>0$ (to mocniejsze niż $m>-1$) oraz $m\neq1$:

$$m\in(0,\,1)\cup(1,\,+\infty)$$

Dlaczego trzy warunki: sama dodatnia suma nie wystarcza (jeden pierwiastek mógłby być ujemny, a drugi duży dodatni) — dopiero dodatni iloczyn gwarantuje ten sam znak obu.

Odpowiedź: $m\in(0,\,1)\cup(1,\,+\infty)$.