Mnożenie wielomianów

Stopień wielomianu to najwyższa potęga zmiennej występująca z niezerowym współczynnikiem:

$$\text{stopień}=4$$

Uwaga: liczba $5$ to wyraz wolny (stopień $0$), a nie stopień wielomianu.

Odpowiedź: B. $4$.

Stopień to najwyższa potęga zmiennej:

$$\deg W=4$$

Odpowiedź: C. $4$.

Dodajemy wyrazy o tych samych potęgach:

$$(2x^2+x^2)+(3x-5x)+(-1+4)$$

$$=3x^2-2x+3$$

Odpowiedź: $3x^2-2x+3$.

Współczynnik przy $x^2$: $-4$.

Wyraz wolny (bez $x$): $-8$.

Odpowiedź: $-4$ oraz $-8$.

Podstawiamy $x=2$:

$$W(2)=2^3-2\cdot2^2+2-3=8-8+2-3=-1$$

Odpowiedź: $W(2)=-1$.

Mnożymy każdy wyraz przez każdy:

$$x^2+5x+2x+10=x^2+7x+10$$

Odpowiedź: $x^2+7x+10$.

To wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

$$(x+3)(x-3)=x^2-9$$

Uwaga: nie ma tu wyrazu z $x$ — składniki $+3x$ i $-3x$ się znoszą.

Odpowiedź: C. $x^2-9$.

Przy mnożeniu stopnie się dodają:

$$3+2=5$$

Odpowiedź: B. $5$.

Wzór na kwadrat sumy:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(x+2)^2=x^2+2\cdot x\cdot2+2^2=x^2+4x+4$$

Częsty błąd: pominięcie środkowego wyrazu $4x$ — $(x+2)^2$ to nie $x^2+4$.

Odpowiedź: $x^2+4x+4$.

Wiersze trójkąta Pascala (numerując od $n=0$):

$$n=0:\ 1$$

$$n=1:\ 1\ 1$$

$$n=2:\ 1\ 2\ 1$$

$$n=3:\ 1\ 3\ 3\ 1$$

Odpowiedź: $1,\ 3,\ 3,\ 1$.

Krok 1 — wyłączamy wspólny czynnik $x$:

$$x^3-4x=x(x^2-4)$$

Krok 2 — rozkładamy różnicę kwadratów:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Wynik końcowy:

$$x^3-4x=x(x-2)(x+2)$$

Odpowiedź: $x(x-2)(x+2)$.

Współczynniki bierzemy z trójkąta Pascala ($1,3,3,1$):

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Odpowiedź: A.

Pierwiastek wielomianu to liczba, dla której wielomian przyjmuje wartość zero:

$$W(2)=0$$

Z twierdzenia Bezouta wynika wtedy, że $W(x)$ dzieli się przez $(x-2)$.

Odpowiedź: A. $W(2)=0$.

Krok 1 — mnożymy każdy wyraz:

$$x^3+x^2+x-x^2-x-1$$

Krok 2 — redukujemy:

$$x^3-1$$

Rozpoznanie: to wzór na różnicę sześcianów $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Odpowiedź: $x^3-1$.

Podstawiamy $x=1$:

$$W(1)=1-2-1+2=0$$

Wartość wynosi zero, więc $1$ jest pierwiastkiem.

Wniosek z twierdzenia Bezouta: wielomian dzieli się bez reszty przez $(x-1)$.

Odpowiedź: tak, $1$ jest pierwiastkiem.

Krok 1 — wzór na sześcian sumy (współczynniki $1,3,3,1$):

$$(x+2)^3=x^3+3x^2\cdot2+3x\cdot4+8$$

Krok 2 — obliczamy:

$$=x^3+6x^2+12x+8$$

Odpowiedź: $x^3+6x^2+12x+8$.

Wzór na kwadrat różnicy:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(x-5)^2=x^2-2\cdot x\cdot5+25=x^2-10x+25$$

Odpowiedź: D. $x^2-10x+25$.

$$1+4+6+4+1=16=2^4$$

Reguła: suma wiersza $n$ trójkąta Pascala wynosi $2^n$.

Odpowiedź: D. $16$.

Krok 1 — rozkładamy na czynniki:

$$x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)$$

Krok 2 — iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x=0 \quad \text{lub} \quad x=3 \quad \text{lub} \quad x=-3$$

Uwaga: równanie stopnia trzeciego ma tu trzy pierwiastki — nie wolno „zgubić” rozwiązania $x=0$ przez podzielenie równania przez $x$.

Odpowiedź: $x=-3,\ 0,\ 3$.

Zasada równości wielomianów. Równe współczynniki przy tych samych potęgach:

$$\text{przy } x^2:\ b=2$$

$$\text{przy } x^1:\ a=-5$$

$$\text{wyraz wolny:}\ 3=3 \ ✔$$

Odpowiedź: $a=-5$, $b=2$.

Przy mnożeniu wielomianów stopnie się dodają:

$$3+2=5$$

Intuicja: najwyższa potęga iloczynu to iloczyn najwyższych potęg, czyli $x^3\cdot x^2=x^5$.

Odpowiedź: B. $5$.

Wielomian stopnia $2$ nie ma wyrazu z $x^3$, więc współczynnik przy $x^3$ wynosi zero.

Odpowiedź: B. $0$.

Mnożymy każdy wyraz pierwszego nawiasu przez każdy wyraz drugiego:

$$x\cdot(x^2-x+1)=x^3-x^2+x$$

$$1\cdot(x^2-x+1)=x^2-x+1$$

Dodajemy i redukujemy:

$$x^3-x^2+x+x^2-x+1=x^3+1$$

Rozpoznanie: to wzór na sumę sześcianów $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Odpowiedź: $x^3+1$.

Krok 1 — mnożymy $2x$ przez każdy wyraz:

$$2x^3-2x^2+8x$$

Krok 2 — mnożymy $-3$ przez każdy wyraz:

$$-3x^2+3x-12$$

Krok 3 — dodajemy i redukujemy:

$$2x^3-5x^2+11x-12$$

Kontrola dla $x=1$: lewa $(-1)(4)=-4$, prawa $2-5+11-12=-4$ ✔

Odpowiedź: $2x^3-5x^2+11x-12$.

Szukamy dwóch liczb, których suma to $7$, a iloczyn $12$ (wzory Viete dla trójmianu).

Są to $3$ i $4$: $3+4=7$, $3\cdot4=12$.

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$$

Sprawdzenie: $(x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12$ ✔

Odpowiedź: $(x-3)(x-4)$.

Każdy wyraz to suma dwóch nad nim. Z wiersza $n=4$ ($1,4,6,4,1$):

$$1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$$

Sprawdzenie sumą: $1+5+10+10+5+1=32=2^5$ ✔

Odpowiedź: $1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$.

To treść twierdzenia Bezouta: reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-a)$ równa się $W(a)$.

$$\text{reszta}=W(3)$$

Wniosek: gdy $W(3)=0$, dzielenie jest bez reszty, czyli $3$ jest pierwiastkiem.

Odpowiedź: C. $W(3)$.

Współczynniki $1,3,3,1$, znaki na przemian (bo różnica):

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

Odpowiedź: A.

Z twierdzenia Bezouta reszta to $W(1)$:

$$W(1)=1^3+2\cdot1^2-5=1+2-5=-2$$

Zaleta metody: reszty nie trzeba liczyć dzieleniem wielomianów — wystarczy jedno podstawienie.

Odpowiedź: reszta wynosi $-2$.

Krok 1 — stopień iloczynu. Stopnie się dodają:

$$2+3=5$$

Krok 2 — współczynnik wiodący to iloczyn współczynników wiodących czynników:

$$2\cdot3=6$$

Sprawdzenie: najwyższy wyraz to $2x^2\cdot3x^3=6x^5$ ✔

Odpowiedź: stopień $5$, współczynnik wiodący $6$.

Wzór na różnicę sześcianów:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Tutaj $a=x$, $b=2$ (bo $8=2^3$):

$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$$

Uwaga na znaki: w drugim nawiasie środkowy wyraz jest dodatni ($+2x$) — to odróżnia od różnicy w odpowiedzi C.

Odpowiedź: A.

Wielomianowi zerowemu nie przypisuje się stopnia (albo umownie $-\infty$).

Uwaga: wielomian stały niezerowy (np. $W(x)=5$) ma stopień $0$, ale wielomian zerowy to przypadek szczególny.

Odpowiedź: C. nieokreślony.

Krok 1 — wyłączamy $x$ przed nawias:

$$x(x^2-2x-3)=0$$

Krok 2 — rozkładamy trójmian. Szukamy liczb o sumie $2$ i iloczynie $-3$: to $3$ i $-1$:

$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$$

Krok 3 — całość:

$$x(x-3)(x+1)=0$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=0 \quad \text{lub} \quad x=3 \quad \text{lub} \quad x=-1$$

Odpowiedź: $x=-1,\ 0,\ 3$.

Krok 1 — współczynniki z wiersza $n=4$: $1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1$.

Krok 2 — składamy rozwinięcie (potęgi $x$ maleją od $4$):

$$(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$$

Sprawdzenie dla $x=1$: lewa $2^4=16$, prawa $1+4+6+4+1=16$ ✔

Zaleta trójkąta Pascala: nie trzeba mnożyć czterech nawiasów — współczynniki odczytujemy wprost.

Odpowiedź: $x^4+4x^3+6x^2+4x+1$.

Krok 1 — skoro $2$ jest pierwiastkiem, to $W(2)=0$:

$$2^3+a\cdot2-6=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$8+2a-6=0 \quad\Rightarrow\quad 2a+2=0 \quad\Rightarrow\quad a=-1$$

Sprawdzenie: $W(x)=x^3-x-6$, a $W(2)=8-2-6=0$ ✔

Odpowiedź: $a=-1$.

Krok 1 — z $W(0)=2$:

$$c=2$$

Krok 2 — z $W(1)=6$:

$$1+a+b+c=6 \quad\Rightarrow\quad a+b=3$$

Krok 3 — z $W(-1)=0$:

$$-1+a-b+c=0 \quad\Rightarrow\quad a-b=-1$$

Krok 4 — układ równań. Dodajemy:

$$2a=2 \quad\Rightarrow\quad a=1,\qquad b=2$$

Sprawdzenie: $W(x)=x^3+x^2+2x+2$, $W(1)=1+1+2+2=6$ ✔

Odpowiedź: $a=1$, $b=2$, $c=2$.

Krok 1 — grupujemy wyrazy po dwa:

$$(x^3+2x^2)+(-x-2)$$

Krok 2 — wyłączamy wspólny czynnik z każdej grupy:

$$x^2(x+2)-1(x+2)$$

Krok 3 — wyłączamy wspólny nawias $(x+2)$:

$$(x+2)(x^2-1)$$

Krok 4 — rozkładamy różnicę kwadratów:

$$(x+2)(x-1)(x+1)$$

Odpowiedź: $(x+2)(x-1)(x+1)$.

Krok 1 — współczynniki z wiersza $n=5$: $1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$.

Krok 2 — potęgi $x$ maleją od $5$, potęgi $y$ rosną od $0$:

$$(x+y)^5=x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5$$

Kontrola. W każdym wyrazie suma wykładników $x$ i $y$ wynosi $5$ — to cecha rozwinięcia dwumianu ✔

Sprawdzenie dla $x=y=1$: lewa $2^5=32$, prawa $1+5+10+10+5+1=32$ ✔

Odpowiedź: $x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5$.

Krok 1 — grupujemy:

$$(x^3-x^2)+(-4x+4)$$

Krok 2 — wyłączamy wspólne czynniki:

$$x^2(x-1)-4(x-1)$$

Krok 3 — wyłączamy nawias $(x-1)$:

$$(x-1)(x^2-4)=(x-1)(x-2)(x+2)$$

Krok 4 — pierwiastki:

$$x=1 \quad \text{lub} \quad x=2 \quad \text{lub} \quad x=-2$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $8-4-8+4=0$ ✔

Odpowiedź: $x=-2,\ 1,\ 2$.

Krok 1 — ogólna postać wielomianu:

$$W(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0$$

Suma współczynników to $a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0$.

Krok 2 — podstawiamy $x=1$. Każda potęga jedynki to $1$:

$$W(1)=a_n\cdot1+a_{n-1}\cdot1+\ldots+a_1\cdot1+a_0$$

Krok 3 — wniosek:

$$W(1)=a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0 \qquad ∎$$

To dokładnie suma współczynników.

Zastosowanie. W rozwinięciu $(x+1)^4$ suma współczynników to $2^4=16$ — bo podstawiając $x=1$ dostajemy $(1+1)^4$. Sprawdzenie: $1+4+6+4+1=16$ ✔