Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy $x=0$:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$

Funkcja $f(x)=\frac{a}{x}$ opisuje proporcjonalność odwrotną, a jej wykresem jest hiperbola.

Odpowiedź: B.

Skracamy wspólne czynniki licznika i mianownika:

$$\frac{6x}{9x}=\frac{6}{9}=\frac23$$

Odpowiedź: B. $\frac23$.

Skracamy przez $x$:

$$\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}$$

Założenie: $x\neq0$, bo mianownik nie może być zerem.

Odpowiedź: B. $\frac{2}{x}$.

Wykluczamy argument zerujący mianownik:

$$x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Zatem:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$

Uwaga: licznik nie wpływa na dziedzinę — liczy się tylko mianownik.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-2$.

Krok 2 — rozkładamy licznik (różnica kwadratów):

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2$$

Uwaga: po skróceniu założenie nadal obowiązuje. Wyrażenie równa się $x-2$ wyłącznie dla $x\neq-2$.

Odpowiedź: $x-2$ dla $x\neq-2$.

Mnożymy liczniki i mianowniki, potem skracamy:

$$\frac{3}{x}\cdot\frac{x}{5}=\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$$

Odpowiedź: $\frac{3}{5}$.

1. $3x-6=2x+5 \Rightarrow x=11$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — ktoś napisał $3x-2$ (nie wymnożył całego nawiasu).

Podstawiamy kolejne argumenty:

$$f(2)=\frac{6}{2}=3$$

$$f(3)=\frac{6}{3}=2$$

$$f(-6)=\frac{6}{-6}=-1$$

Obserwacja: iloczyn argumentu i wartości jest stały: $2\cdot3=6$, $3\cdot2=6$, $(-6)\cdot(-1)=6$ — to cecha proporcjonalności odwrotnej.

Odpowiedź: $f(2)=3$, $f(3)=2$, $f(-6)=-1$.

Mianowniki są jednakowe, więc dodajemy tylko liczniki:

$$\frac{2+3}{x}=\frac{5}{x}$$

Odpowiedź: $\frac{5}{x}$.

Mianowniki są równe, więc dodajemy liczniki:

$$\frac{1}{x}+\frac{2}{x}=\frac{3}{x}$$

Odpowiedź: $\frac{3}{x}$.

1. $x-3=0 \Rightarrow x=3$; $x+5=0 \Rightarrow x=-5$.
2. $x^2+4=0$ nie ma rozwiązań ($x^2\ge0$). Razem dwa rozwiązania.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — z czynnika $x^2+4$ „wyszły” liczby $\pm2$, a przecież $x^2=-4$ jest niemożliwe.

Gdy $a>0$, dla $x>0$ wartość $\frac{a}{x}$ jest dodatnia (ćwiartka pierwsza), a dla $x<0$ ujemna (ćwiartka trzecia).

Sprawdźmy na przykładzie $f(x)=\frac{2}{x}$:

$$f(1)=2 \ (\text{I ćw.}),\qquad f(-1)=-2 \ (\text{III ćw.})$$

Dla porównania: gdy $a<0$, hiperbola leży w ćwiartkach drugiej i czwartej.

Odpowiedź: C. pierwszej i trzeciej.

Reguła: skracać wolno wyłącznie czynniki — elementy połączone mnożeniem.

W $\frac{x+3}{x+5}$ litera $x$ jest składnikiem dodawania, więc skreślenie jej byłoby błędem.

Test liczbowy dla $x=1$: $\frac{4}{6}=\frac23$, a „po skróceniu” wyszłoby $\frac35$ — inna wartość.

Odpowiedź: C. $x$ jest składnikiem sumy, a nie czynnikiem iloczynu.

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:

$$:\frac{a}{b}=\cdot\frac{b}{a}$$

Odpowiedź: C. mnożeniem przez $\frac{b}{a}$.

1. Dziedzina: $x\ne1$. Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem: $x=-2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B/C — $x=1$ zeruje mianownik, więc nie należy do dziedziny.

Krok 1 — założenia. Mianownik nie może być zerem:

$$9x^2\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq0$$

Krok 2 — skracamy. W liczniku i mianowniku wyłączamy wspólne czynniki $3$ i $x$:

$$\frac{6x}{9x^2}=\frac{3x\cdot2}{3x\cdot3x}=\frac{2}{3x}$$

Uwaga: założenie $x\neq0$ trzeba podać na początku, przed skróceniem — po skróceniu informacja o tym, że $x$ było w mianowniku, mogłaby zniknąć.

Odpowiedź: $\frac{2}{3x}$ dla $x\neq0$.

Mnożymy licznik przez licznik, mianownik przez mianownik, a potem skracamy:

$$\frac{3x}{6x}=\frac12$$

Odpowiedź: $\frac12$.

Mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka:

$$\frac{4}{x}\cdot\frac{x}{2}=\frac{4x}{2x}=2$$

Odpowiedź: $2$.

1. Dziedzina: $x\ne-3$.
2. Licznik: $x^2-9=0 \Rightarrow x=3$ lub $x=-3$; odrzucamy $-3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pominięta dziedzina.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik to $2x$:

$$\frac{1}{x}=\frac{2}{2x}$$

Krok 2 — dodajemy liczniki:

$$\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$$

Sprawdzenie dla $x=1$: $\frac11+\frac12=\frac32$, a nasz wynik $\frac{3}{2\cdot1}=\frac32$ ✔

Odpowiedź: $\frac{3}{2x}$.

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:

$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$$

Odpowiedź: A. $\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$.

Krok 1 — rozkładamy licznik:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Krok 2 — skracamy przez $(x-2)$:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$$

Odpowiedź: A. $x+2$.

1. Mnożymy „na krzyż”: $3(x-1)=2x+3 \Rightarrow 3x-3=2x+3 \Rightarrow x=6$.
2. Sprawdzenie dziedziny: $2\cdot6+3\ne0$ ✓.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — przy mnożeniu na krzyż pomnożono tylko $x$, a nie cały licznik.

Mnożenie ułamków: licznik przez licznik, mianownik przez mianownik:

$$\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{x}=\frac{2\cdot9}{3\cdot x}=\frac{18}{3x}$$

Skracamy przez $3$:

$$\frac{18}{3x}=\frac{6}{x}$$

Wynik zawsze podajemy w postaci nieskracalnej, więc $\frac{18}{3x}$ (odpowiedź C) nie jest formą ostateczną.

Odpowiedź: D. $\frac{6}{x}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — wspólny mianownik $x(x+1)$:

$$\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}$$

Krok 3 — dodajemy liczniki:

$$\frac{2x+1}{x(x+1)}$$

Odpowiedź: $\frac{2x+1}{x^2+x}$ dla $x\notin\{-1,\,0\}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — wspólny mianownik $x(x+1)$:

$$\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}$$

Odpowiedź: $\frac{2x+1}{x(x+1)}$, $D=\mathbb{R}\setminus\{-1,\ 0\}$.

1. Rozwiązania: $x=4$, $x=-m$, $x=3$.
2. $4+3+(-m)=5 \Rightarrow m=2$ (wtedy rozwiązania $4,-2,3$ są różne, suma $5$ ✓).

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — z czynnika $(x+m)$ odczytane $x=m$ zamiast $x=-m$; C — z $(2x-6)$ odczytane $x=6$.

Zasada: dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

$$\frac{x}{4}:\frac{x}{8}=\frac{x}{4}\cdot\frac{8}{x}$$

Mnożymy i skracamy. Skraca się $x$ oraz $8$ z $4$:

$$\frac{x\cdot8}{4\cdot x}=\frac{8}{4}=2$$

Sprawdzenie dla $x=4$: $\frac44:\frac48=1:\frac12=2$ ✔

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq3$.

Krok 2 — licznik ze wzoru skróconego mnożenia:

$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$

Krok 3 — skracamy:

$$\frac{(x-3)^2}{x-3}=x-3$$

Odpowiedź: $x-3$ dla $x\neq3$.

Krok 1 — mnożymy liczniki i mianowniki:

$$\frac{(x+3)\cdot x^2}{x\cdot(x+3)}$$

Krok 2 — skracamy $(x+3)$ i $x$:

$$\frac{x^2}{x}=x$$

Wskazówka: skracaj przed mnożeniem — mniej rachunków.

Odpowiedź: $x$.

1. $\dfrac{x(x+3)}{(x+3)^2}\cdot\dfrac{x+3}{x}$ — w liczniku $x(x+3)^2$, w mianowniku $x(x+3)^2$.
2. Po skróceniu zostaje $1$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — nie zauważono, że $x^2+6x+9=(x+3)^2$.

Krok 1 — założenie: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $x$:

$$6=3x$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=2$$

Krok 4 — sprawdzamy założenie: $2\neq0$ ✔, więc rozwiązanie jest poprawne.

Sprawdzenie: $\frac{6}{2}=3$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Mianownik zeruje się, gdy:

$$x^2-16=0 \quad\Rightarrow\quad (x-4)(x+4)=0$$

Odpadają oba pierwiastki: $4$ i $-4$.

Częsty błąd: pominięcie wartości ujemnej.

Odpowiedź: D. $\mathbb{R}\setminus\{-4,\,4\}$.

Wspólny mianownik to $3x$:

$$\frac{2x}{3x}-\frac{3}{3x}=\frac{2x-3}{3x}$$

Odpowiedź: D. $\frac{2x-3}{3x}$.

1. 1. Dla $x\ne2$: $x=2$ — sprzeczność z dziedziną, więc równanie nie ma rozwiązań — fałsz.
2. 2. $(x-1)^2(x+2)=0 \Rightarrow x=1$ lub $x=-2$ — dwa różne rozwiązania — prawda.

Odpowiedź: F, P

Asymptota pionowa występuje tam, gdzie mianownik dąży do zera, czyli w $x=0$. Gdy $x$ zbliża się do zera, wartości „uciekają” do nieskończoności.

Asymptota pozioma to $y=0$ — gdy $x$ rośnie nieograniczenie, ułamek $\frac1x$ dąży do zera, ale nigdy go nie osiąga.

Wykres nigdy nie dotyka żadnej z osi układu współrzędnych.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$ oraz $x\neq1$.

Krok 2 — rozkładamy licznik pierwszego ułamka:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x}\cdot\frac{x}{x-1}$$

Krok 3 — skracamy $x$ oraz $(x-1)$:

$$x+1$$

Odpowiedź: $x+1$ dla $x\notin\{0,\,1\}$.

Krok 1 — rozkładamy licznik i mianownik:

$$x^2-9=(x-3)(x+3),\qquad x^2+6x+9=(x+3)^2$$

Krok 2 — dziedzina: $(x+3)^2\neq0$, więc $x\neq-3$.

Krok 3 — skracamy przez $(x+3)$:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}=\frac{x-3}{x+3}$$

Odpowiedź: $\frac{x-3}{x+3}$, $D=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$.

1. Przenosimy wszystko na lewą stronę: $2x(x-5)-3(x-5)=0$.
2. Wyłączamy $(x-5)$: $(x-5)(2x-3)=0$.
3. $x=5$ lub $x=\dfrac32$.

Odpowiedź: $x=5$ lub $x=\dfrac32$

Wskazówka: Nigdy nie dziel obu stron przez wyrażenie z niewiadomą — tak ginie rozwiązanie $x=5$.

Krok 1 — wspólny mianownik to iloczyn $x(x+1)$:

$$\frac{3}{x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)},\qquad \frac{1}{x+1}=\frac{x}{x(x+1)}$$

Krok 2 — odejmujemy liczniki:

$$\frac{3(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{3x+3-x}{x(x+1)}=\frac{2x+3}{x(x+1)}$$

Uwaga na nawias: odejmujemy cały licznik $x$, dlatego $3(x+1)$ rozwijamy przed odjęciem.

Odpowiedź: $\frac{2x+3}{x(x+1)}$.

Wspólny mianownik to $2x$:

$$\frac{x}{2x}+\frac{2}{2x}=\frac{x+2}{2x}$$

Uwaga: odpowiedź D pokazuje najczęstszy błąd — dodawanie liczników i mianowników osobno.

Odpowiedź: B. $\frac{x+2}{2x}$.

$$\frac{x\cdot4}{2\cdot x^2}=\frac{4x}{2x^2}=\frac{2}{x}$$

Odpowiedź: B. $\frac{2}{x}$.

1. Dziedzina: $x\ne1$ i $x\ne2$.
2. Mnożymy na krzyż: $(x+3)(x-2)=(x+1)(x-1)$.
3. $x^2+x-6=x^2-1 \Rightarrow x=5$.
4. $5$ należy do dziedziny, więc $x=5$.

Odpowiedź: $x=5$

Krok 1 — założenie: $x-1\neq0$, czyli $x\neq1$.

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $(x-1)$:

$$x+2=2(x-1)$$

Krok 3 — rozwiązujemy równanie liniowe:

$$x+2=2x-2 \quad\Rightarrow\quad 4=x$$

Krok 4 — sprawdzamy założenie: $4\neq1$ ✔

Sprawdzenie: $\frac{4+2}{4-1}=\frac{6}{3}=2$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$ (dzielnik nie może być zerem).

Krok 2 — mnożymy przez odwrotność:

$$\frac{x}{3}\cdot\frac{6}{x^2}=\frac{6x}{3x^2}$$

Krok 3 — skracamy:

$$\frac{2}{x}$$

Odpowiedź: $\frac{2}{x}$ dla $x\neq0$.

Krok 1 — mianowniki równe, odejmujemy liczniki:

$$\frac{x-1}{x-1}$$

Krok 2 — skracamy:

$$\frac{x-1}{x-1}=1$$

Uwaga: mimo że wynik to $1$, dziedzina pozostaje $x\neq1$ — wyjściowe wyrażenie nie było określone w tym punkcie.

Odpowiedź: $1$ (dla $x\neq1$).

Podstawiamy znane wartości do wzoru $y=\frac{a}{x}$:

$$4=\frac{a}{3} \quad\Rightarrow\quad a=12$$

Współczynnik $a$ to stały iloczyn: $a=x\cdot y=3\cdot4=12$.

Sprawdzenie: $y=\frac{12}{3}=4$ ✔

Odpowiedź: B. $a=12$.

Sposób 1 — najpierw upraszczamy:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3 \quad (x\neq3)$$

$$5+3=8$$

Sposób 2 — podstawiamy wprost:

$$\frac{25-9}{5-3}=\frac{16}{2}=8 \ ✔$$

Wartość $5$ należy do dziedziny, więc oba sposoby dają ten sam wynik.

Odpowiedź: $8$.

Krok 1 — mnożymy przez odwrotność:

$$\frac{x^2-1}{x}\cdot\frac{x^2}{x+1}$$

Krok 2 — rozkładamy $x^2-1=(x-1)(x+1)$:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x}\cdot\frac{x^2}{x+1}$$

Krok 3 — skracamy $(x+1)$ oraz $x$:

$$(x-1)\cdot x=x^2-x$$

Odpowiedź: $x^2-x$.

Wykluczamy argumenty zerujące mianownik:

$$x^2-9=0$$

Rozkładamy na czynniki:

$$(x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{ lub } \ x=-3$$

Zatem:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}$$

Uwaga: wykluczamy obie liczby. Częsty błąd to znalezienie tylko jednego pierwiastka.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}$.

Wyłączamy $2$ przed nawias w liczniku:

$$\frac{2(x+3)}{x+3}=2$$

Sprawdzenie dla $x=0$: $\frac{6}{3}=2$ ✔

Odpowiedź: A. $2$.

Odwrotność ułamka to zamiana licznika z mianownikiem:

$$\left(\frac{x+2}{x-3}\right)^{-1}=\frac{x-3}{x+2}$$

Odpowiedź: A. $\frac{x-3}{x+2}$.

Krok 1 — założenie: $x+2\neq0$, czyli $x\neq-2$.

Krok 2 — rozkładamy licznik wzorem na różnicę kwadratów:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Krok 3 — skracamy przez $(x+2)$:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2$$

Ważne: mimo że po skróceniu zostaje samo $x-2$, założenie $x\neq-2$ obowiązuje nadal — funkcja nie jest określona w tym punkcie.

Odpowiedź: $x-2$ dla $x\neq-2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$ oraz $x\neq0$.

Krok 2 — wspólny mianownik $x(x-2)$:

$$\frac{3x}{x(x-2)}-\frac{x-2}{x(x-2)}$$

Krok 3 — odejmujemy liczniki (uwaga na minus przed nawiasem):

$$\frac{3x-(x-2)}{x(x-2)}=\frac{2x+2}{x(x-2)}$$

Odpowiedź: $\frac{2x+2}{x^2-2x}$ dla $x\notin\{0,\,2\}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — wspólny mianownik $(x-1)(x+1)$:

$$\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{3(x-1)}{(x-1)(x+1)}$$

Krok 3 — dodajemy liczniki:

$$\frac{2x+2+3x-3}{(x-1)(x+1)}=\frac{5x-1}{x^2-1}$$

Odpowiedź: $\frac{5x-1}{x^2-1}$, $D=\mathbb{R}\setminus\{-1,\ 1\}$.

To wykres podstawowej hiperboli $y=\frac1x$ po przesunięciu o wektor.

Zmiana w mianowniku $x-3$ oznacza przesunięcie o $3$ w prawo (minus w nawiasie działa „na odwrót”).

Składnik $+2$ na zewnątrz to przesunięcie o $2$ w górę.

Nowe asymptoty to $x=3$ (pionowa) i $y=2$ (pozioma).

Odpowiedź: C. o $3$ w prawo i $2$ w górę.

Wyłączamy $x$ przed nawias w liczniku, a potem skracamy:

$$\frac{x(x+2)}{x}=x+2$$

Uwaga: nie wolno skreślić samego $x$ z $x^2$ i zostawić $2x$ — skracamy dopiero po wyłączeniu wspólnego czynnika.

Odpowiedź: C. $x+2$.

Wyłączamy $x$ z licznika:

$$\frac{x(x+1)}{x+1}=x$$

Odpowiedź: C. $x$.

Krok 1 — założenie: $x\neq0$.

Krok 2 — dodajemy ułamki po lewej (mają ten sam mianownik):

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x}$$

Krok 3 — równanie przybiera postać:

$$\frac{5}{x}=\frac{5}{4}$$

Krok 4 — porównujemy. Skoro liczniki są równe, równe muszą być mianowniki:

$$x=4$$

Krok 5 — sprawdzamy założenie: $4\neq0$ ✔

Sprawdzenie: $\frac24+\frac34=\frac54$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — rozkładamy licznik. Szukamy liczb o sumie $5$ i iloczynie $6$ — to $2$ i $3$:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

Krok 2 — rozkładamy mianownik:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Krok 3 — dziedzina (z mianownika przed skróceniem):

$$x\neq2 \quad\text{oraz}\quad x\neq-2$$

Krok 4 — skracamy $(x-2)$:

$$\frac{x-3}{x+2}$$

Kluczowa uwaga: dziedzinę ustalamy zawsze przed skracaniem. Po uproszczeniu mianownik nie zawiera już $(x-2)$, ale warunek $x\neq2$ nadal obowiązuje.

Odpowiedź: $\frac{x-3}{x+2}$ dla $x\notin\{-2,\,2\}$.

Krok 1 — rozkładamy licznik:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Krok 2 — rozkładamy mianownik. Szukamy liczb o iloczynie $-6$ i sumie $-1$: to $-3$ i $2$:

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$$

Krok 3 — dziedzina. Mianownik zeruje się dla $x=3$ i $x=-2$:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\ 3\}$$

Krok 4 — skracamy przez $(x+2)$:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+2)}=\frac{x-2}{x-3}$$

Uwaga. Dziedzinę wyznaczamy z pierwotnego mianownika — punkt $x=-2$ pozostaje wykluczony, choć po skróceniu już go nie widać.

Odpowiedź: $\frac{x-2}{x-3}$, $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\ 3\}$.

Krok 1 — założenie: $x-2\neq0$, czyli $x\neq2$.

Krok 2 — mianowniki są równe, więc równe muszą być liczniki:

$$x=4$$

Krok 3 — konfrontujemy z założeniem: $4\neq2$ ✔, więc rozwiązanie jest dopuszczalne.

Sprawdzenie: $\frac{4}{4-2}=\frac{4}{2}=2$ po obu stronach ✔

Dlaczego sprawdzenie założenia jest kluczowe: gdyby wyszło $x=2$, musielibyśmy je odrzucić — mimo poprawnego rachunku równanie nie miałoby rozwiązania.

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — mianowniki są jednakowe, odejmujemy liczniki:

$$\frac{x-1}{x-1}$$

Krok 3 — skracamy:

$$1$$

Uwaga: wyrażenie równa się $1$ dla każdego $x$ z dziedziny, ale nie jest tożsamościowo równe $1$ — dla $x=1$ w ogóle nie istnieje.

Odpowiedź: $1$ dla $x\neq1$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$ oraz $x\neq-2$.

Krok 2 — wspólny mianownik $(x-2)(x+2)=x^2-4$:

$$\frac{x+2}{x^2-4}-\frac{x-2}{x^2-4}$$

Krok 3 — odejmujemy liczniki. Uwaga na nawias:

$$\frac{(x+2)-(x-2)}{x^2-4}=\frac{4}{x^2-4}$$

Najczęstszy błąd: pominięcie nawiasu przy odejmowaniu drugiego licznika — dałoby $\frac{4x}{x^2-4}$ zamiast $\frac{4}{x^2-4}$.

Odpowiedź: $\frac{4}{x^2-4}$, $D=\mathbb{R}\setminus\{-2,\ 2\}$.

Krok 1 — wydajności godzinowe. W ciągu godziny pierwszy maluje $\frac16$ ściany, a drugi $\frac{1}{12}$.

Krok 2 — wspólna wydajność to suma:

$$\frac16+\frac{1}{12}=\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac14$$

Razem malują $\frac14$ ściany na godzinę.

Krok 3 — czas na całą ścianę to odwrotność wydajności:

$$t=\frac{1}{\frac14}=4\ \text{godziny}$$

Kontrola sensu: we dwóch muszą uporać się szybciej niż szybszy z nich w pojedynkę ($6$ h), więc $4$ h to wynik sensowny.

Odpowiedź: razem pomalują ścianę w $4$ godziny.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — lewa strona:

$$\frac{5}{x}=\frac{5}{4}$$

Krok 3 — porównanie. Liczniki są równe, więc mianowniki też:

$$x=4$$

Krok 4 — sprawdzenie dziedziny: $4\neq0$ ✔

Kontrola: $\frac24+\frac34=\frac54$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — sumujemy w nawiasie:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=\frac{x+y}{xy}$$

Krok 2 — dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:

$$\frac{x+y}{xy}\cdot\frac{xy}{x+y}$$

Krok 3 — skracamy wszystko:

$$\frac{x+y}{xy}\cdot\frac{xy}{x+y}=1$$

Elegancki wynik. Licznik pierwszego ułamka jest równy mianownikowi drugiego (po odwróceniu), więc wszystko się skraca do $1$.

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — założenia: $x\neq1$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — lewą stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika $(x-1)(x+1)=x^2-1$:

$$\frac{(x+1)+(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}$$

Krok 3 — równanie przybiera postać:

$$\frac{2x}{x^2-1}=\frac12$$

Krok 4 — mnożymy na krzyż:

$$2\cdot2x=x^2-1 \quad\Rightarrow\quad 4x=x^2-1 \quad\Rightarrow\quad x^2-4x-1=0$$

Krok 5 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=16+4=20,\qquad \sqrt{\Delta}=2\sqrt5$$

$$x=\frac{4\pm2\sqrt5}{2}=2\pm\sqrt5$$

Krok 6 — sprawdzamy założenia. Oba pierwiastki ($2+\sqrt5\approx4{,}24$ oraz $2-\sqrt5\approx-0{,}24$) są różne od $1$ i $-1$, więc oba są dopuszczalne.

Odpowiedź: $x=2+\sqrt5$ lub $x=2-\sqrt5$.

Krok 1 — wydajności. W ciągu godziny pierwszy maluje $\frac14$ pokoju, drugi $\frac16$.

Krok 2 — wspólna wydajność:

$$\frac14+\frac16=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{5}{12}$$

Krok 3 — czas to odwrotność wydajności:

$$t=\frac{1}{\frac{5}{12}}=\frac{12}{5}=2{,}4\ \text{godziny}$$

$$0{,}4\cdot60=24\ \text{minuty}$$

Kontrola sensu: wynik musi być krótszy niż praca szybszego malarza ($4$ h) — i jest ✔ Uśrednianie czasów ($5$ h) dałoby wynik bez sensu.

Odpowiedź: razem malują $\frac{5}{12}$ pokoju na godzinę; praca zajmie $2$ godziny $24$ minuty.

Krok 1 — rozkładamy drugi mianownik:

$$x^2-x=x(x-1)$$

Krok 2 — wspólny mianownik to $x(x-1)$. Pierwszy ułamek rozszerzamy przez $x$:

$$\frac{x\cdot x}{x(x-1)}-\frac{1}{x(x-1)}=\frac{x^2-1}{x(x-1)}$$

Krok 3 — rozkładamy licznik $x^2-1=(x-1)(x+1)$:

$$\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)}$$

Krok 4 — skracamy $(x-1)$:

$$\frac{x+1}{x} \qquad ∎$$

Sprawdzenie dla $x=2$: lewa strona $\frac{2}{1}-\frac{1}{2}=\frac32$, prawa $\frac{3}{2}$ ✔

$\dfrac{(x+10)^{2}}{x^{3}}\cdot\dfrac{x^{2}}{x+10}=\dfrac{(x+10)^{2}\cdot x^{2}}{x^{3}\cdot(x+10)}=\dfrac{x+10}{x}$.

Odpowiedź: C.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:

$\dfrac{4}{x(x+2)}\cdot\dfrac{4-x^{2}}{5x}=\dfrac{4}{x(x+2)}\cdot\dfrac{(2-x)(2+x)}{5x}$.

Skracamy czynnik $(x+2)=(2+x)$: $=\dfrac{4(2-x)}{5x^{2}}=\dfrac{8-4x}{5x^{2}}$.

Odpowiedź: A.

Chcąc uprościć nasze wyrażenie dobrze byłoby zauważyć, że zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia, da się "zwinąć" wyrażenie \(x^2+4x+4\) do postaci \((x+2)^2\), a wartość \(x^2+x\) da się rozpisać jako \(x(x+1)\). Całość obliczeń wyglądałaby więc następująco:
$$\frac{x^2+x}{x^2+4x+4}\cdot\frac{x+2}{x}= \\
=\frac{x(x+1)}{(x+2)^2}\cdot\frac{x+2}{x}=\frac{x+1}{x+2}$$

$\dfrac{x^{2}+x}{x^{2}+4x+4}=\dfrac{x(x+1)}{(x+2)^{2}}$.

Zatem $\dfrac{x(x+1)}{(x+2)^{2}}\cdot\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{x+1}{x+2}$ (skracamy $x$ oraz jeden czynnik $x+2$).

Odpowiedź: C.

$\dfrac{x}{(x-1)(x+1)}\cdot\dfrac{x+1}{3x^{2}}=\dfrac{x}{(x-1)\cdot 3x^{2}}=\dfrac{1}{3x(x-1)}=\dfrac{1}{3x^{2}-3x}$.

Odpowiedź: B.

$\dfrac{x+3}{(x+2)^{2}}\cdot\dfrac{x(x+2)}{2(x+3)}=\dfrac{x}{2(x+2)}=\dfrac{x}{2x+4}$ (skracamy $(x+3)$ oraz jeden czynnik $(x+2)$).

Odpowiedź: C.