Logarytm

Logarytm odpowiada na pytanie: do której potęgi podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę?

$$3^4=81 \quad\Rightarrow\quad \log_3 81=4$$

Warto rozpisać potęgi trójki: $3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$.

Odpowiedź: C. $4$.

Szukamy wykładnika, do którego podnosimy $2$, by otrzymać $8$:

$$2^3=8 \quad\Rightarrow\quad \log_2 8=3$$

Odpowiedź: B. $3$.

Szukamy wykładnika: $2^?=8$. Ponieważ $2^3=8$:

$$\log_2 8=3$$

Odpowiedź: B. $3$.

Sposób 1 — osobno każdy logarytm:

$$\log_2 8=3 \quad (\text{bo } 2^3=8),\qquad \log_2 4=2 \quad (\text{bo } 2^2=4)$$

$$3+2=5$$

Sposób 2 — wzór na logarytm iloczynu:

$$\log_a x+\log_a y=\log_a(x\cdot y)$$

$$\log_2 8+\log_2 4=\log_2 32=5 \quad (\text{bo } 2^5=32)$$

Oba sposoby dają ten sam wynik — drugi bywa niezbędny, gdy pojedyncze logarytmy nie są „ładne”.

Odpowiedź: $5$.

$$3^4=81 \quad\Rightarrow\quad \log_3 81=4$$

$$10^3=1000 \quad\Rightarrow\quad \log_{10}1000=3$$

Odpowiedź: $4$ oraz $3$.

Szukamy $x$ takiego, że $3^x=81$. Ponieważ $81=3^4$:

$$\log_3 81=4$$

Odpowiedź: $4$.

1. $32=2^5$, więc $\log_2 32=5$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — podzielenie $32:2$; logarytm to wykładnik, a nie iloraz.

Pojedyncze logarytmy nie są liczbami całkowitymi, więc korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:

$$\log_a x-\log_a y=\log_a\frac{x}{y}$$

Podstawiamy:

$$\log_5 100-\log_5 4=\log_5\frac{100}{4}=\log_5 25$$

Obliczamy:

$$\log_5 25=2 \quad (\text{bo } 5^2=25)$$

Odpowiedź: $2$.

Logarytm z jedynki zawsze wynosi zero, bo $a^0=1$:

$$\log_5 1=0$$

Logarytm liczby przy jej własnej podstawie to $1$, bo $a^1=a$:

$$\log_7 7=1$$

Odpowiedź: $0$ oraz $1$.

Ponieważ $a^0=1$ dla każdego $a$:

$$\log_a 1=0$$

Odpowiedź: A. $0$.

1. $\log_3 81-\log_3 3=\log_3\dfrac{81}{3}=\log_3 27$.
2. $27=3^3$, więc wynik to $3$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — odjęte argumenty; D — policzone tylko $\log_3 81$.

Logarytm jest określony tylko dla liczb dodatnich.

Dlaczego: $\log_2 x=y$ oznacza $2^y=x$. Potęga o podstawie dodatniej zawsze daje wynik dodatni — nie da się otrzymać zera ani liczby ujemnej.

$$D=(0,\,+\infty)$$

Uwaga na odpowiedź C: zero nie należy do dziedziny, bo żadna potęga dwójki nie jest równa zeru.

Odpowiedź: B. $x>0$.

Logarytm iloczynu to suma logarytmów:

$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$$

Skąd to wynika: mnożeniu liczb odpowiada dodawanie wykładników — logarytm zamienia mnożenie na dodawanie.

Odpowiedź: C. $\log_a x+\log_a y$.

$$\log_5 5=1 \quad (\text{bo } 5^1=5)$$

$$\log_7 1=0 \quad (\text{bo } 7^0=1)$$

Odpowiedź: $1$ oraz $0$.

1. Szukamy $c$: $9^c=3$. Ponieważ $9=3^2$, to $3^{2c}=3^1$, więc $c=\dfrac12$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D to $\log_3 9$ — odwrócona rola podstawy i argumentu.

Krok 1 — sprowadzamy obie strony do tej samej podstawy:

$$32=2^5$$

$$2^x=2^5$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki. Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc z równości potęg o tej samej podstawie wynika równość wykładników:

$$x=5$$

Sprawdzenie: $2^5=32$ ✔

Odpowiedź: $x=5$.

Sposób 1 — osobno:

$$\log_2 4+\log_2 8=2+3=5$$

Sposób 2 — logarytm iloczynu:

$$\log_2(4\cdot8)=\log_2 32=5$$

Oba dają ten sam wynik ✔

Odpowiedź: $5$.

Krok 1 — zapisujemy jako potęgę dwójki:

$$\frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4}$$

Krok 2 — logarytm:

$$\log_2 2^{-4}=-4$$

Odpowiedź: $-4$.

1. Podstawa i argument jako potęgi dwójki: $\sqrt2=2^{\frac12}$, $8=2^3$.
2. $\left(2^{\frac12}\right)^c=2^3 \Rightarrow \dfrac c2=3 \Rightarrow c=6$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pomnożone zamiast podzielone wykładniki ($3\cdot\tfrac12$).

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$27=3^3 \quad\Rightarrow\quad 3^{2x-1}=3^3$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$2x-1=3$$

Krok 3 — rozwiązujemy równanie liniowe:

$$2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Sprawdzenie: $3^{2\cdot2-1}=3^3=27$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Logarytm ilorazu to różnica logarytmów:

$$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$$

Odpowiedź: A. $\log_a x-\log_a y$.

$$\log_a x+\log_a y=\log_a(xy)$$

Odpowiedź: C. $\log(xy)$.

1. $\log_4 2-\log_4 32=\log_4\dfrac{2}{32}=\log_4\dfrac1{16}$.
2. $\dfrac1{16}=4^{-2}$, więc wynik to $-2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — logarytm liczby ujemnej nie istnieje; B — zgubiony znak.

O monotoniczności funkcji wykładniczej $f(x)=a^x$ decyduje podstawa:

$$a>1 \Rightarrow \text{rosnąca},\qquad 0

Tutaj $a=\frac12$, czyli $0maleje w całej dziedzinie.

Sprawdźmy na liczbach:

$$f(0)=1,\qquad f(1)=\tfrac12,\qquad f(2)=\tfrac14$$

Wartości faktycznie maleją.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — logarytm różnicy zamieniamy na logarytm ilorazu:

$$\log_2 48-\log_2 3=\log_2\frac{48}{3}=\log_2 16$$

Krok 2 — obliczamy:

$$\log_2 16=4$$

Zaleta metody: $\log_2 48$ osobno jest trudny, ale różnica daje wygodną liczbę $16$.

Odpowiedź: $4$.

Sposób 1 — wzór na sumę:

$$\log_2 4+\log_2 8=\log_2(4\cdot8)=\log_2 32=5$$

Sposób 2 — osobno: $\log_2 4=2$, $\log_2 8=3$, razem $5$ ✔

Odpowiedź: $5$.

1. $2\log_3 6=\log_3 36$.
2. $\log_3 36-\log_3 4=\log_3 9=2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — $2\log_3 6$ potraktowane jak $\log_3 12$; C — odjęte argumenty $36-4$.

Krok 1 — dziedzina. Argument logarytmu musi być dodatni:

$$x-1>0 \quad\Rightarrow\quad x>1$$

Krok 2 — przechodzimy na postać wykładniczą. Zapis $\log_2 A=3$ oznacza $A=2^3$:

$$x-1=2^3=8$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=9$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $9>1$ ✔

Sprawdzenie w równaniu: $\log_2(9-1)=\log_2 8=3$ ✔

Uwaga: w równaniach logarytmicznych wyznaczenie dziedziny to nie formalność — rozwiązania spoza niej trzeba odrzucić.

Odpowiedź: $x=9$.

Logarytm potęgi to iloczyn wykładnika i logarytmu podstawy:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Uwaga: to nie to samo co $(\log_a x)^n$ — wykładnik „schodzi przed" logarytm, a nie potęguje go.

Odpowiedź: D. $n\log_a x$.

Krok 1 — wzór na różnicę logarytmów:

$$\log_3 18-\log_3 2=\log_3\frac{18}{2}=\log_3 9$$

Krok 2 — obliczamy:

$$\log_3 9=2$$

Odpowiedź: $2$.

1. Z definicji: $x^2=49$.
2. Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od $1$, więc $x=7$ (liczba $-7$ odpada).

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pominięty warunek $x\gt 0$ dla podstawy; D — pomylona rola podstawy i argumentu.

Szukamy wykładnika, do którego trzeba podnieść $a$, aby otrzymać $1$:

$$a^0=1 \quad\Rightarrow\quad \log_a 1=0$$

Każda liczba dodatnia podniesiona do potęgi zerowej daje $1$, więc wynik nie zależy od podstawy.

Druga zależność warta zapamiętania: $\log_a a=1$, bo $a^1=a$.

Odpowiedź: D. $0$.

Sposób 1 — reguła potęgi:

$$\log_3 9^5=5\log_3 9=5\cdot2=10$$

Sposób 2 — najpierw potęga. $9=3^2$, więc $9^5=3^{10}$, a $\log_3 3^{10}=10$.

Oba dają $10$ ✔

Odpowiedź: $10$.

Wzór na logarytm potęgi:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Odpowiedź: D. $n\log_a x$.

1. 1. $\log_2 12-\log_2 3=\log_2 4=2$ — prawda.
2. 2. $\log_5 10+\log_5 2{,}5=\log_5(10\cdot 2{,}5)=\log_5 25$, a nie $\log_5 12{,}5$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Krok 1 — zamieniamy drugi czynnik na podstawę $2$. Ze wzoru na zmianę podstawy:

$$\log_5 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 5}$$

Krok 2 — podstawiamy do iloczynu:

$$\log_2 5\cdot\frac{\log_2 8}{\log_2 5}=\log_2 8$$

Czynnik $\log_2 5$ się skraca.

Krok 3 — obliczamy:

$$\log_2 8=3$$

Reguła ogólna: $\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$ — podstawy „skracają się” jak ogniwa łańcucha.

Odpowiedź: $3$.

Wzór na zmianę podstawy:

$$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Obliczamy $\log_4 8$, przechodząc na podstawę $2$:

$$\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac{3}{2}$$

Sprawdzenie: $4^{3/2}=\left(\sqrt4\right)^3=2^3=8$ ✔

Odpowiedź: $\log_4 8=\frac32$.

$$\log_2 8^3=3\log_2 8=3\cdot3=9$$

Sprawdzenie: $8^3=512=2^9$, więc $\log_2 512=9$ ✔

Odpowiedź: $9$.

1. $40=8\cdot5$, więc $\log_2 40=\log_2 8+\log_2 5$.
2. $\log_2 8=3$, zatem $\log_2 40=3+a$.

Odpowiedź: $3+a$

Krok 1 — sprowadzamy obie strony do podstawy $2$:

$$4=2^2,\qquad 8=2^3$$

$$\left(2^2\right)^x=2^3$$

Krok 2 — korzystamy ze wzoru $(a^m)^n=a^{mn}$:

$$2^{2x}=2^3$$

Krok 3 — porównujemy wykładniki:

$$2x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\frac32$$

Sprawdzenie: $4^{3/2}=\left(\sqrt4\right)^3=2^3=8$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac32=1{,}5$.

$$2^5=32 \quad\Rightarrow\quad \log_2 32=5$$

Odpowiedź: B. $5$.

$1000=10^3$, więc:

$$\log_{10} 1000=3$$

Uwaga: logarytm o podstawie $10$ nazywamy dziesiętnym i piszemy krótko $\log 1000=3$.

Odpowiedź: B. $3$.

1. Rozkładamy argument: $72=8\cdot9=2^3\cdot3^2$.
2. $\log_a 72=\log_a 2^3+\log_a 3^2=3\log_a 2+2\log_a 3$.
3. $=3\cdot0{,}3+2\cdot0{,}5=0{,}9+1=1{,}9$.

Odpowiedź: $1{,}9$

Wskazówka: Rozkład na czynniki pierwsze to klucz do każdego logarytmu „z danymi”.

Podstawiamy $x=0$ do wzoru funkcji:

$$f(0)=a^0=1$$

Zachodzi to dla każdej dopuszczalnej podstawy, więc wszystkie wykresy funkcji wykładniczych przecinają oś OY w tym samym punkcie $(0,\,1)$.

Uwaga na kolejność współrzędnych: odpowiedź A ma te same liczby, ale zamienione miejscami — punkt $(1,\,0)$ leży na osi OX, a funkcja wykładnicza nigdy nie przyjmuje wartości $0$.

Dla porównania: wykres funkcji logarytmicznej przechodzi przez $(1,\,0)$.

Odpowiedź: B. $(0,\,1)$.

Krok 1 — logarytm iloczynu:

$$\log_6 4+\log_6 9=\log_6(4\cdot9)=\log_6 36$$

Krok 2 — obliczamy:

$$6^2=36 \quad\Rightarrow\quad \log_6 36=2$$

Idea. Ani $\log_6 4$, ani $\log_6 9$ nie są „ładne", ale ich suma tak — łączenie logarytmów często upraszcza rachunek.

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — łączymy w jeden logarytm iloczynu:

$$\log_2\left(3\cdot\frac{4}{3}\cdot2\right)$$

Krok 2 — upraszczamy iloczyn:

$$3\cdot\frac{4}{3}\cdot2=4\cdot2=8$$

Krok 3 — obliczamy:

$$\log_2 8=3$$

Odpowiedź: $3$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$16=2^4 \quad\Rightarrow\quad 2^x>2^4$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki. Podstawa $2>1$, więc funkcja jest rosnąca i znak nierówności pozostaje bez zmian:

$$x>4$$

Kluczowa uwaga: gdyby podstawa mieściła się w przedziale $(0,\,1)$, funkcja byłaby malejąca i znak nierówności trzeba by odwrócić. Przykładowo $\left(\frac12\right)^x>\frac{1}{16}$ daje $x<4$.

Odpowiedź: $x\in(4,\,+\infty)$.

Krok 1 — wciągamy współczynnik jako wykładnik:

$$2\log_a 3=\log_a 3^2=\log_a 9$$

Krok 2 — łączymy sumę w logarytm iloczynu:

$$\log_a 9+\log_a 5=\log_a(9\cdot5)=\log_a 45$$

Odpowiedź: $\log_a 45$.

Z definicji logarytmu:

$$\log_2 x=5 \iff x=2^5=32$$

Odpowiedź: $x=32$.

Pierwszy logarytm. Szukamy wykładnika dającego $\frac19$:

$$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac19 \quad\Rightarrow\quad \log_3\frac19=-2$$

Drugi logarytm. Podstawą jest teraz $\frac13$:

$$\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9 \quad\Rightarrow\quad \log_{\frac13} 9=-2$$

Obserwacja: oba wyniki są równe $-2$. Odwrócenie podstawy i odwrócenie argumentu jednocześnie nie zmienia wartości logarytmu.

Uwaga: logarytm może być ujemny — to nie błąd. Ujemny wynik oznacza tylko, że argument jest mniejszy od $1$ przy podstawie większej od $1$.

Odpowiedź: oba logarytmy wynoszą $-2$.

Ze wzoru na zmianę podstawy $\log_b a=\frac{1}{\log_a b}$, więc:

$$\log_a b\cdot\log_b a=\log_a b\cdot\frac{1}{\log_a b}=1$$

Wniosek: logarytmy $\log_a b$ i $\log_b a$ są swoimi odwrotnościami.

Odpowiedź: C. $1$.

Szukamy $x$: $4^x=2$. Ponieważ $4^{1/2}=\sqrt4=2$:

$$\log_4 2=\frac12$$

Odpowiedź: A. $\frac12$.

Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Wykładnik „wychodzi przed” logarytm jako czynnik:

$$\log_a x^3=3\log_a x$$

Sprawdźmy na liczbach dla $a=2$, $x=4$:

$$\log_2 4^3=\log_2 64=6 \qquad \text{oraz} \qquad 3\log_2 4=3\cdot2=6$$

Zgadza się. Odpowiedź A dałaby $2^3=8$ — to zupełnie co innego.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — zamieniamy $\log_5 8$ na podstawę $2$:

$$\log_5 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 5}$$

Krok 2 — mnożymy:

$$\log_2 5\cdot\frac{\log_2 8}{\log_2 5}=\log_2 8=3$$

Efektowne skrócenie: $\log_2 5$ się skraca, zostaje $\log_2 8=3$.

Odpowiedź: $3$.

Krok 1 — zamieniamy na postać wykładniczą:

$$x+1=3^2=9$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$x=8$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę. Argument musi być dodatni: $x+1=9>0$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Krok 1 — dziedzina. Oba argumenty muszą być dodatnie:

$$x>0 \quad \text{oraz} \quad x-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>2$$

Krok 2 — łączymy logarytmy wzorem na logarytm iloczynu:

$$\log_3\left[x(x-2)\right]=1$$

Krok 3 — przechodzimy na postać wykładniczą:

$$x(x-2)=3^1=3$$

Krok 4 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$x^2-2x-3=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{ lub } \ x=-1$$

Krok 5 — konfrontujemy z dziedziną. Warunek to $x>2$, więc $x=-1$ odrzucamy.

Sprawdzenie dla $x=3$: $\log_3 3+\log_3 1=1+0=1$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Logarytm jest określony tylko dla liczb dodatnich:

$$x>0$$

Dlaczego: nie istnieje wykładnik, do którego podniesiona dodatnia podstawa dałaby liczbę ujemną lub zero.

Odpowiedź: A. $x>0$.

Wzór na logarytm potęgi „w drugą stronę”:

$$2\log_5 3=\log_5 3^2=\log_5 9$$

Odpowiedź: C. $\log_5 9$.

Krok 1 — budujemy wzór. Po każdej godzinie liczba mnoży się przez $2$, więc po $t$ godzinach mnożnikiem jest $2^t$:

$$N(t)=500\cdot2^t$$

Krok 2 — obliczamy dla $t=6$:

$$N(6)=500\cdot2^6=500\cdot64=32\,000$$

Sprawdzenie krokami: $500 \to 1000 \to 2000 \to 4000 \to 8000 \to 16\,000 \to 32\,000$ — sześć podwojeń ✔

Warto zauważyć: wzrost wykładniczy jest bardzo szybki — w ciągu doby liczba bakterii przekroczyłaby $8$ miliardów.

Odpowiedź: $N(t)=500\cdot2^t$; po $6$ godzinach będzie $32\,000$ bakterii.

Krok 1 — łączymy wszystko w jeden logarytm. Różnica to iloraz, suma to iloczyn:

$$\log_2 6-\log_2 3+\log_2 4=\log_2\frac{6\cdot4}{3}$$

Krok 2 — upraszczamy ułamek:

$$\log_2\frac{24}{3}=\log_2 8$$

Krok 3 — obliczamy:

$$\log_2 8=3$$

Uwaga na kolejność znaków. Wyraz $-\log_2 3$ trafia do mianownika, a $+\log_2 4$ do licznika. Znak logarytmu decyduje o jego miejscu w ułamku.

Odpowiedź: $3$.

$\log 8$ — potęga dwójki:

$$\log 8=\log 2^3=3\log 2\approx3\cdot0{,}301=0{,}903$$

$\log 5$ — sprytnie przez $\frac{10}{2}$:

$$\log 5=\log\frac{10}{2}=\log 10-\log 2\approx1-0{,}301=0{,}699$$

Metoda. Trudne logarytmy sprowadzamy do znanych, korzystając z własności działań.

Odpowiedź: $\log 8\approx0{,}903$, $\log 5\approx0{,}699$.

Szukamy wykładnika dla podstawy $10$:

$$10^3=1000 \quad\Rightarrow\quad \log_{10} 1000=3$$

Logarytm dziesiętny zapisujemy często krócej jako $\log 1000$ — pominięcie podstawy oznacza właśnie $10$.

Praktyczna wskazówka: logarytm dziesiętny z liczby będącej potęgą dziesiątki to po prostu liczba zer: $\log 100=2$, $\log 10\,000=4$.

Odpowiedź: A. $3$.

Krok 1 — rozkładamy $12$ na czynniki:

$$12=4\cdot3=2^2\cdot3$$

Krok 2 — logarytm iloczynu:

$$\log_2 12=\log_2\left(2^2\cdot3\right)=\log_2 2^2+\log_2 3$$

Krok 3 — obliczamy każdy składnik:

$$\log_2 2^2=2,\qquad \log_2 3=a$$

Krok 4 — łączymy:

$$\log_2 12=2+a$$

Metoda. Gdy jeden logarytm jest dany jako parametr, rozkładamy liczbę na czynniki tak, by pojawiły się: podstawa (daje liczbę) i znany czynnik.

Odpowiedź: $\log_2 12=a+2$.

Krok 1 — dziedzina. Oba argumenty dodatnie: $x>0$ oraz $x-2>0$, czyli $x>2$.

Krok 2 — łączymy logarytmy:

$$\log_2\bigl(x(x-2)\bigr)=3$$

Krok 3 — postać wykładnicza:

$$x(x-2)=2^3=8 \quad\Rightarrow\quad x^2-2x-8=0$$

Krok 4 — rozwiązujemy: $\Delta=4+32=36$, $x=\frac{2\pm6}{2}$, więc $x=4$ lub $x=-2$.

Krok 5 — odrzucamy $x=-2$ (poza dziedziną $x>2$).

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — dostrzegamy strukturę. Zauważmy, że $9^x=\left(3^2\right)^x=\left(3^x\right)^2$, więc równanie jest kwadratowe względem $3^x$.

Krok 2 — podstawienie. Niech $t=3^x$, przy czym $t>0$ (potęga jest zawsze dodatnia):

$$t^2-4t+3=0$$

Krok 3 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$(t-1)(t-3)=0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \ \text{ lub } \ t=3$$

Oba wyniki są dodatnie, więc oba są dopuszczalne.

Krok 4 — wracamy do zmiennej $x$:

$$3^x=1 \quad\Rightarrow\quad x=0$$

$$3^x=3 \quad\Rightarrow\quad x=1$$

Sprawdzenie dla $x=1$: $9-4\cdot3+3=9-12+3=0$ ✔

Odpowiedź: $x=0$ lub $x=1$.

Krok 1 — sprowadzamy wszystko do podstawy $2$ wzorem na zmianę podstawy:

$$\log_3 2=\frac{\log_2 2}{\log_2 3}=\frac{1}{\log_2 3}$$

$$\log_4 3=\frac{\log_2 3}{\log_2 4}=\frac{\log_2 3}{2}$$

$$\log_2 4=2$$

Krok 2 — mnożymy wszystko:

$$\frac{1}{\log_2 3}\cdot\frac{\log_2 3}{2}\cdot2$$

Krok 3 — skracamy. $\log_2 3$ się skraca, potem $2$ z $\frac12$:

$$\frac{1}{\log_2 3}\cdot\frac{\log_2 3}{2}\cdot2=1$$

Elegancki wynik. Iloczyn logarytmów „po okręgu" ($3\to2\to4\to$ z powrotem do potęgi $2$) redukuje się do $1$.

Odpowiedź: $1$.

Krok 1 — łączymy w logarytm iloczynu:

$$\log_6 4+\log_6 9=\log_6(4\cdot9)=\log_6 36$$

Krok 2 — obliczamy ($36=6^2$):

$$\log_6 36=2$$

Ładne rozwiązanie. Choć $\log_6 4$ i $\log_6 9$ osobno nie są „ładne”, ich suma jest liczbą całkowitą.

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — wzór na procent składany:

$$K_n=10\,000\cdot1{,}05^n$$

Krok 2 — układamy nierówność:

$$10\,000\cdot1{,}05^n>12\,000 \quad\Rightarrow\quad 1{,}05^n>1{,}2$$

Krok 3 — sprawdzamy kolejne lata podanymi przybliżeniami:

$$1{,}05^3\approx1{,}158<1{,}2 \qquad \text{(za mało)}$$

$$1{,}05^4\approx1{,}216>1{,}2 \qquad \text{(wystarczy)}$$

Krok 4 — kwota po czwartym roku:

$$K_4\approx10\,000\cdot1{,}216=12\,160\ \text{zł}$$

Kontrola sensu: po trzech latach byłoby około $11\,580$ zł — jeszcze poniżej progu, a po czwartym już powyżej ✔

Odpowiedź: $K_n=10\,000\cdot1{,}05^n$; kapitał przekroczy $12\,000$ zł po $4$ pełnych latach.

Krok 1 — punkt wyjścia: wzór na zmianę podstawy. Zapiszmy $\log_a b$ w podstawie $b$:

$$\log_a b=\frac{\log_b b}{\log_b a}$$

Krok 2 — korzystamy z $\log_b b=1$:

$$\log_a b=\frac{1}{\log_b a} \qquad ∎$$

Interpretacja. Zamiana podstawy z logarytmem odpowiada odwróceniu ułamka. Dlatego np. $\log_2 8=3$, a $\log_8 2=\frac13$.

Sprawdzenie: $\log_2 8\cdot\log_8 2=3\cdot\frac13=1$ ✔ — zgodnie z zadaniem 14.

Krok 1 — wzór na zamianę podstawy. Zapiszmy oba logarytmy w podstawie $a$:

$$\log_b a=\frac{\log_a a}{\log_a b}=\frac{1}{\log_a b}$$

Krok 2 — mnożymy:

$$\log_a b\cdot\log_b a=\log_a b\cdot\frac{1}{\log_a b}=1 \qquad ∎$$

Wniosek. Logarytmy o „zamienionych” podstawie i argumencie są swoimi odwrotnościami.

Sprawdzenie: $\log_2 8\cdot\log_8 2=3\cdot\frac13=1$ ✔