Kąty w okręgu

Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

$$\alpha_{wpisany}=\frac{\alpha_{srodkowy}}{2}=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ$$

Odpowiedź: B. $40^\circ$.

Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:

$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\cdot30^\circ=60^\circ$$

Odpowiedź: B. $60^\circ$.

Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku:

$$\alpha_{srodkowy}=2\cdot35^\circ=70^\circ$$

Odpowiedź: $70^\circ$.

Kąt wpisany oparty na średnicy (czyli na półokręgu) jest prosty:

$$90^\circ$$

To twierdzenie Talesa o okręgu — średnica „widziana" z dowolnego punktu okręgu pod kątem prostym.

Odpowiedź: $90^\circ$.

1. Kąt wpisany to połowa kąta środkowego: $55^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — pomnożono zamiast podzielić; D — $180^\circ-110^\circ$.

Średnica wyznacza łuk będący półokręgiem, któremu odpowiada kąt środkowy $180^\circ$. Kąt wpisany jest o połowę mniejszy:

$$\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$$

To twierdzenie Talesa: kąt wpisany oparty na średnicy jest zawsze prosty.

Odpowiedź: C. $90^\circ$.

Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe:

$$x=40^\circ$$

Odpowiedź: $x=40^\circ$.

1. $|\angle AOB|=2\cdot40^\circ=80^\circ$.
2. $\triangle AOB$ równoramienny: $|\angle OAB|=\frac{180^\circ-80^\circ}{2}=50^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — to kąt środkowy $AOB$, a nie kąt przy wierzchołku $A$.

Długość okręgu liczymy ze wzoru:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4\ \text{cm}$$

Uwaga: długość okręgu zależy od promienia liniowo (nie od kwadratu), w odróżnieniu od pola koła.

Odpowiedź: $L=10\pi\approx31{,}4$ cm.

Styczna jest zawsze prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

To kluczowa własność wykorzystywana w większości zadań ze styczną.

Odpowiedź: C. prostopadła.

1. Kąt $ACB$ jest oparty na średnicy, więc $|\angle ACB|=90^\circ$.
2. $|\angle ABC|=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$.

Odpowiedź: A

Pole koła obliczamy ze wzoru:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: $36\pi\approx113{,}1$ cm$^2$.

Uwaga: promień podnosimy do kwadratu — pominięcie potęgi to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: $P=36\pi\approx113$ cm$^2$.

Kąt wpisany to połowa kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

$$\frac{100^\circ}{2}=50^\circ$$

Odpowiedź: $50^\circ$.

1. W czworokącie wpisanym przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$: $180^\circ-75^\circ=105^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — przeciwległe kąty są równe tylko w równoległoboku; tu się dopełniają.

W czworokącie wpisanym w okrąg sumy kątów przeciwległych wynoszą $180^\circ$:

$$\alpha+\gamma=180^\circ$$

Zatem kąt naprzeciw wynosi:

$$180^\circ-70^\circ=110^\circ$$

To warunek konieczny i wystarczający, aby na czworokącie można było opisać okrąg.

Odpowiedź: A. $110^\circ$.

Dwa odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu zewnętrznego mają jednakową długość.

Dlaczego: powstają dwa przystające trójkąty prostokątne (wspólna przeciwprostokątna do środka, równe promienie).

Odpowiedź: A. równe.

1. Promień $OA$ jest prostopadły do stycznej, więc $\triangle OAB$ jest prostokątny.
2. $|OB|=\sqrt{25+144}=13$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — dodane długości; D — odjęte kwadraty (przeciwprostokątną jest $OB$).

Krok 1 — cały okręg ma długość:

$$L=2\pi\cdot6=12\pi$$

Krok 2 — łuk to część okręgu proporcjonalna do kąta. Kąt $60^\circ$ to $\frac{60}{360}=\frac16$ pełnego kąta:

$$\text{łuk}=\frac{60}{360}\cdot12\pi=\frac16\cdot12\pi=2\pi\ \text{cm}$$

Przybliżenie: $2\pi\approx6{,}28$ cm.

Odpowiedź: $2\pi\approx6{,}28$ cm.

Krok 1 — trójkąt prostokątny. Styczna jest prostopadła do promienia, więc promień, odcinek styczny i odległość $PS$ tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $13$.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$t=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

Odpowiedź: $12$.

1. $l=\dfrac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot6=\dfrac13\cdot12\pi=4\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pole wycinka ($\frac13\cdot36\pi$); D — cały obwód bez podziału.

Krok 1 — pole całego koła:

$$P=\pi\cdot10^2=100\pi$$

Krok 2 — wycinek to część koła. Kąt $90^\circ$ to $\frac{90}{360}=\frac14$ pełnego kąta:

$$P_{wycinka}=\frac14\cdot100\pi=25\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: $25\pi\approx78{,}5$ cm$^2$.

Odpowiedź: $25\pi\approx78{,}5$ cm$^2$.

Zasada: w czworokącie wpisanym przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$.

Kąt $C$ (przeciwległy do $A$):

$$C=180^\circ-85^\circ=95^\circ$$

Kąt $D$ (przeciwległy do $B$):

$$D=180^\circ-95^\circ=85^\circ$$

Sprawdzenie: suma kątów czworokąta $85+95+95+85=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $C=95^\circ$, $D=85^\circ$.

1. $P=\dfrac{60^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot36=6\pi$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? D — długość łuku, a nie pole.

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej, a jej połowa jest promieniem:

$$R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Wynika to z twierdzenia Talesa — kąt prosty jest wpisany i oparty na średnicy, więc przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego.

Odpowiedź: D. $5$.

Styczna dotyka okręgu w dokładnie jednym punkcie.

Dla porównania: sieczna przecina okrąg w dwóch punktach, a prosta rozłączna — w żadnym.

Odpowiedź: D. $1$.

1. 1. Warunek czworokąta opisanego: $5+9=7+x \Rightarrow x=7$ — prawda.
2. 2. Obwód: $5+7+9+7=28\ne30$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary — niezależnie od położenia wierzchołka na okręgu.

$$\alpha_2=\alpha_1=42^\circ$$

Uzasadnienie: każdy z nich jest równy połowie tego samego kąta środkowego opartego na tym łuku, więc muszą być równe sobie.

Odpowiedź: drugi kąt również ma $42^\circ$.

Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą: jest on równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie z drugiej strony.

$$\alpha_{\text{wpisany}}=50^\circ$$

Interpretacja: styczna to „graniczne położenie" siecznej, więc kąt między nią a cięciwą zachowuje się jak kąt wpisany.

Odpowiedź: $50^\circ$.

1. $3x-10=2(x+10) \Rightarrow 3x-10=2x+20 \Rightarrow x=30$.
2. $|\angle ACB|=30+10=40^\circ$ (kontrola: środkowy $80^\circ$ ✓).

Odpowiedź: $x=30$, $|\angle ACB|=40^\circ$

Warunek na okrąg opisany na czworokącie dotyczy kątów:

$$\alpha+\gamma=180^\circ \quad \text{oraz} \quad \beta+\delta=180^\circ$$

Nie mylić z okręgiem wpisanym: ten istnieje, gdy sumy przeciwległych boków są równe ($a+c=b+d$).

Odpowiedź: B.

Wzajemne położenie prostej i okręgu zależy od odległości $d$ środka od prostej:

$$dr \Rightarrow \text{rozłączna}$$

Odpowiedź: B. równa promieniowi.

1. $AC$ — średnica, więc $|\angle ABC|=|\angle ADC|=90^\circ$.
2. $\triangle ABC$: $|\angle BCA|=180^\circ-90^\circ-28^\circ=62^\circ$. $\triangle ACD$: $|\angle DAC|=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ$.
3. $|\angle A|=28^\circ+50^\circ=78^\circ$, $|\angle C|=62^\circ+40^\circ=102^\circ$, $|\angle B|=|\angle D|=90^\circ$.
4. Kontrola: $78^\circ+102^\circ=180^\circ$ — czworokąt wpisany ✓.

Odpowiedź: $78^\circ,\ 90^\circ,\ 102^\circ,\ 90^\circ$

W czworokącie wpisanym sumy kątów przeciwległych to $180^\circ$. Kąty przeciwległe to pierwszy z trzecim oraz drugi z czwartym.

Para $100^\circ$ i $80^\circ$: $100^\circ+80^\circ=180^\circ$ ✔ (warunek spełniony)

Para $x$ i $2x$:

$$x+2x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=60^\circ$$

Sprawdzenie sumy wszystkich kątów: $60^\circ+100^\circ+120^\circ+80^\circ=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $x=60^\circ$.

Krok 1 — warunek dla kątów przeciwległych:

$$3x+x=180^\circ$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$4x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=45^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$A=3\cdot45^\circ=135^\circ,\qquad C=45^\circ$$

Sprawdzenie: $135+45=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $135^\circ$ i $45^\circ$.

Styczna jest zawsze prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności:

$$\angle=90^\circ$$

To podstawowa własność wykorzystywana w konstrukcjach stycznych i zadaniach o okręgach wpisanych.

Odpowiedź: C. $90^\circ$.

Krok 1 — kąt $C$ oparty na średnicy. Z twierdzenia Talesa o okręgu:

$$C=90^\circ$$

Krok 2 — kąt $B$ z sumy kątów trójkąta:

$$B=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$$

Odpowiedź: $B=55^\circ$, $C=90^\circ$.

Podstawiamy $a=6$ do wzoru na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym:

$$R=\frac{a\sqrt3}{3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$

Przybliżenie: $2\sqrt3\approx3{,}46$.

Warto wiedzieć: promień okręgu wpisanego w ten sam trójkąt jest dwa razy mniejszy: $r=\frac{a\sqrt3}{6}=\sqrt3$.

Odpowiedź: $R=2\sqrt3\approx3{,}46$.

Twierdzenie Ptolemeusza wiąże przekątne i boki czworokąta wpisanego w okrąg:

$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$

iloczyn przekątnych równa się sumie iloczynów przeciwległych boków.

Odpowiedź: A. wpisanego w okrąg.

Pole pierścienia to różnica pól większego i mniejszego koła.

Krok 1 — pola obu kół:

$$P_1=\pi\cdot5^2=25\pi,\qquad P_2=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Krok 2 — różnica:

$$P=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: $16\pi\approx50{,}3$ cm$^2$.

Odpowiedź: $16\pi\approx50{,}3$ cm$^2$.

Krok 1 — kąt środkowy na tym łuku. Łuk to $\frac14$ okręgu, więc kąt środkowy:

$$\frac14\cdot360^\circ=90^\circ$$

Krok 2 — kąt wpisany to połowa środkowego:

$$\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$$

Odpowiedź: $45^\circ$.

Twierdzenie o kącie dopisanym: kąt między styczną a cięciwą równa się kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie (z drugiej strony).

Wynika to z faktu, że oba kąty odpowiadają połowie tego samego kąta środkowego.

Odpowiedź: A. kąt wpisany oparty na tej cięciwie.

Dla kwadratu wszystkie boki równe $a$, obie przekątne równe $d$. Ptolemeusz: $d\cdot d=a\cdot a+a\cdot a$:

$$d^2=2a^2$$

Sprawdzenie: stąd $d=a\sqrt2$ — znany wzór na przekątną kwadratu ✔

Odpowiedź: C. $d^2=2a^2$.

Krok 1 — konstrukcja pomocnicza. Promień poprowadzony do końca cięciwy, odległość środka od cięciwy i połowa cięciwy tworzą trójkąt prostokątny. Odległość środka pada na środek cięciwy.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa. Przeciwprostokątną jest promień $10$, jedną przyprostokątną odległość $6$, drugą połowa cięciwy $x$:

$$x^2+6^2=10^2 \quad\Rightarrow\quad x^2=100-36=64 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Krok 3 — cała cięciwa to podwojona połowa:

$$2x=2\cdot8=16\ \text{cm}$$

Kluczowe: $x=8$ to tylko połowa cięciwy — łatwo zapomnieć o podwojeniu.

Odpowiedź: cięciwa ma $16$ cm.

Krok 1 — odcinek stycznej. Trójkąt prostokątny (kąt prosty przy punkcie styczności):

$$t=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$$

Krok 2 — pole trójkąta. Przyprostokątne to promień $6$ i odcinek styczny $8$:

$$P=\frac{6\cdot8}{2}=24$$

Kluczowa własność. Prostopadłość stycznej do promienia czyni z tego trójkąta trójkąt prostokątny — dzięki temu przyprostokątne to promień i styczna.

Odpowiedź: styczna $8$, pole $24$.

Odcinek koła to wycinek minus trójkąt.

Krok 1 — pole wycinka (ćwiartka koła, kąt $90^\circ$):

$$P_{wycinka}=\frac14\pi\cdot4^2=\frac14\cdot16\pi=4\pi$$

Krok 2 — pole trójkąta. Przyprostokątne to dwa promienie po $4$ cm:

$$P_{trojkata}=\frac{4\cdot4}{2}=8$$

Krok 3 — pole odcinka:

$$P=4\pi-8\approx12{,}57-8=4{,}57\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $4\pi-8\approx4{,}57$ cm$^2$.

Krok 1 — twierdzenie Ptolemeusza:

$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$

Krok 2 — obliczamy prawą stronę:

$$a\cdot c+b\cdot d=3\cdot6+5\cdot4=18+20=38$$

Krok 3 — wyznaczamy $f$:

$$7\cdot f=38 \quad\Rightarrow\quad f=\frac{38}{7}\approx5{,}43$$

Uwaga na kolejność boków. W iloczynach łączymy boki przeciwległe: $a$ z $c$ oraz $b$ z $d$.

Odpowiedź: $f=\frac{38}{7}$.

Krok 1 — zależność. Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego. Oznaczmy kąt wpisany przez $x$, wtedy środkowy to $2x$:

Krok 2 — warunek z treści (środkowy o $50^\circ$ większy):

$$2x=x+50^\circ \quad\Rightarrow\quad x=50^\circ$$

Krok 3 — oba kąty:

$$\text{wpisany}=50^\circ,\qquad \text{środkowy}=2\cdot50^\circ=100^\circ$$

Sprawdzenie: $100^\circ-50^\circ=50^\circ$ ✔ i $100^\circ=2\cdot50^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąt wpisany $50^\circ$, kąt środkowy $100^\circ$.

Krok 1 — drugi kąt środkowy. Łuki dopełniają się do pełnego okręgu:

$$360^\circ-140^\circ=220^\circ$$

Krok 2 — kąty wpisane to połowy kątów środkowych:

$$\frac{140^\circ}{2}=70^\circ,\qquad \frac{220^\circ}{2}=110^\circ$$

Krok 3 — obserwacja. Suma tych kątów wpisanych to $70^\circ+110^\circ=180^\circ$ — bo są to przeciwległe kąty czworokąta wpisanego w okrąg.

Odpowiedź: $70^\circ$ i $110^\circ$.

Krok 1 — przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2 — promień okręgu opisanego. W trójkącie prostokątnym to połowa przeciwprostokątnej:

$$R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 3 — promień okręgu wpisanego ze wzoru dla trójkąta prostokątnego:

$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Kontrola sensu: okrąg wpisany musi być mniejszy od opisanego — $2<5$ ✔

Odpowiedź: promień okręgu opisanego $R=5$, wpisanego $r=2$.

Oznaczenia. Niech $AB$ będzie średnicą okręgu o środku $O$, a $C$ dowolnym punktem okręgu. Chcemy pokazać, że kąt $ACB=90^\circ$.

Krok 1 — trójkąty równoramienne. Odcinki $OA$, $OB$, $OC$ to promienie, więc są równe. Trójkąty $OAC$ i $OBC$ są równoramienne.

Krok 2 — oznaczamy kąty przy podstawach. Niech $\angle OAC=\alpha$ i $\angle OBC=\beta$. Z równoramienności:

$$\angle OCA=\alpha,\qquad \angle OCB=\beta$$

Krok 3 — suma kątów trójkąta $ABC$:

$$\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ$$

bo kąt przy $C$ to $\angle OCA+\angle OCB=\alpha+\beta$.

Krok 4 — rozwiązujemy:

$$2(\alpha+\beta)=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha+\beta=90^\circ$$

Kąt przy $C$ wynosi $\alpha+\beta=90^\circ$. $\qquad ∎$

Wniosek: każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, niezależnie od położenia punktu $C$ na okręgu.

Krok 1. Wykorzystanie zależności między kątem wpisanym a środkowym.
Kąt wpisany \(CDA\) jest oparty na łuku \(AC\). Kąt środkowy oparty na tym samym łuku to kąt \(COA\). Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:
$$|\sphericalangle COA|=2\cdot50^{\circ}=100^{\circ}$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BOA\).
Z rysunku wynika, że kąt \(COA\) jest sumą kątów \(COB\) oraz \(BOA\), zatem:
$$|\sphericalangle BOA|=100^{\circ}-30^{\circ}=70^{\circ}$$

Rozwiązanie

1. Kąt wpisany $CDA=50^\circ$ oparty na łuku $AC$, więc kąt środkowy $AOC=2\cdot50^\circ=100^\circ$ (łuk $AC$).
2. $B$ leży na łuku $AC$, a $\angle COB=30^\circ$ (łuk $BC$).
3. $\angle BOA=\angle AOC-\angle COB=100^\circ-30^\circ=70^\circ$.

Odpowiedź: C

Kąt wpisany $\beta=\angle DBC$ jest oparty na łuku $DC$, a kąt wpisany $\gamma=\angle ACD$ — na łuku $AD$.

Suma tych kątów wpisanych jest połową sumy łuków, na których są oparte: $\beta+\gamma=\dfrac{1}{2}(\smile DC+\smile AD)=\dfrac{1}{2}\smile ADC$.

Ponieważ $AC$ jest średnicą, łuk $ADC$ (od $A$ do $C$ przez $D$) ma miarę $180^{\circ}$.

Zatem $\beta+\gamma=\dfrac{1}{2}\cdot 180^{\circ}=90^{\circ}$.

Odpowiedź: B.

Kąt $COB$ jest środkowy i prosty, więc łuk $BC=90^{\circ}$.

Kąt $AKD$ jest kątem między cięciwami $AC$ i $BD$: $\angle AKD=\dfrac{1}{2}(\smile AD+\smile BC)$, stąd $78^{\circ}=\dfrac{1}{2}(\smile AD+90^{\circ})$, więc $\smile AD=66^{\circ}$.

Ponieważ $BD$ jest średnicą, łuk $BAD$ (od $B$ przez $A$ do $D$) ma $180^{\circ}$, więc $\smile AB=180^{\circ}-66^{\circ}=114^{\circ}$.

Kąt wpisany $BDA$ oparty na łuku $AB$: $\angle BDA=\dfrac{1}{2}\cdot 114^{\circ}=57^{\circ}$.

Odpowiedź: C.

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(AOB\).
Kąt \(AOB\) jest kątem środkowym, opartym na tym samym łuku co kąt wpisany \(ACB\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wynika, że miara tego kąta środkowego będzie dwa razy większa od miary kąta wpisanego \(ACB\), zatem:
$$|\sphericalangle AOB|=2\cdot50°=100°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABO\).
Spójrzmy na trójkąt \(AOB\). Jest to trójkąt równoramienny. Skąd to wiemy? Ramiona \(AO\) oraz \(BO\) mają długość taką jak promień okręgu, stąd też mamy pewność, że są one równej długości. Zwłasności kątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie muszą mieć jednakową miarę. Skoro więc kąt między ramionami na \(100°\), to na dwa kąty przy podstawie zostaje nam \(180°-100°=80°\).

Tym samym kąt \(ABO\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle ABO|=80°:2=40°$$

Kąt środkowy $AOB$ i kąt wpisany $ACB$ oparte są na tym samym łuku $AB$, więc $\angle AOB=2\cdot 50^{\circ}=100^{\circ}$.

Trójkąt $AOB$ jest równoramienny ($OA=OB=r$), zatem kąty przy podstawie są równe:

$\angle ABO=\dfrac{180^{\circ}-100^{\circ}}{2}=40^{\circ}$.

Odpowiedź: C.

Rozwiązanie

1. Kąt środkowy $ASB=2\cdot42^\circ=84^\circ$ (oparty na tym samym łuku $AB$).
2. Trójkąt $ASB$ jest równoramienny ($SA=SB=r$), więc $\angle BAS=\dfrac{180^\circ-84^\circ}{2}=48^\circ$.

Odpowiedź: C

Kąt środkowy oparty na łuku $AB$ jest dwa razy większy od wpisanego: $2\cdot 60^{\circ}=120^{\circ}$.

Długość łuku: $\dfrac{120^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot 2\pi\cdot 6=\dfrac{1}{3}\cdot 12\pi=4\pi$.

Odpowiedź: B.

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(AOC\) oraz \(AOC\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACO\). Jest to trójkąt równoramienny (ramiona mają długość promienia). Z własności takich trójkątów wynika, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę, co prowadzi nas do wniosku, że:
$$|\sphericalangle OAC|=70°$$

Suma miar kątów w trójkącie musi być równa \(180°\), zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=180°-70°-70°=40°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ABC\).
Kąt wpisany \(ABC\) jest oparty na tym samym łuku co kąt środkowy \(AOC\). Z własności kątów wpisanych i środkowych wiemy, że miara kąta wpisanego będzie w takiej sytuacji dwukrotnie mniejsza, zatem:
$$|\sphericalangle AOC|=40°:2=20°$$

Rozwiązanie

1. Trójkąt $ACO$ jest równoramienny ($OA=OC$), więc $\angle AOC=180^\circ-2\cdot70^\circ=40^\circ$.
2. $\angle ABC$ (wpisany) opiera się na tym samym łuku $AC$ co kąt środkowy $AOC$: $\angle ABC=\tfrac12\cdot40^\circ=20^\circ$.

Odpowiedź: B

Kąt między styczną a cięciwą $AB$ jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku $AB$, więc łuk $AB$ ma miarę $2\cdot 32^{\circ}=64^{\circ}$, a kąt środkowy $\angle AOB=64^{\circ}$.

Punkty $A,O,C$ leżą na jednej prostej (bo $AC$ to średnica), zatem $\angle BOC=180^{\circ}-\angle AOB=180^{\circ}-64^{\circ}=116^{\circ}$.

Odpowiedź: B.