Kąty w okręgu

Kąt wpisany oparty na średnicy (czyli na półokręgu) jest prosty:

$$90^\circ$$

To twierdzenie Talesa o okręgu — średnica „widziana" z dowolnego punktu okręgu pod kątem prostym.

Odpowiedź: $90^\circ$.

Styczna jest zawsze prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

To kluczowa własność wykorzystywana w większości zadań ze styczną.

Odpowiedź: C. prostopadła.

Dwa odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu zewnętrznego mają jednakową długość.

Dlaczego: powstają dwa przystające trójkąty prostokątne (wspólna przeciwprostokątna do środka, równe promienie).

Odpowiedź: A. równe.

Krok 1 — trójkąt prostokątny. Styczna jest prostopadła do promienia, więc promień, odcinek styczny i odległość $PS$ tworzą trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $13$.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$t=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$$

Odpowiedź: $12$.

Zasada: w czworokącie wpisanym przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$.

Kąt $C$ (przeciwległy do $A$):

$$C=180^\circ-85^\circ=95^\circ$$

Kąt $D$ (przeciwległy do $B$):

$$D=180^\circ-95^\circ=85^\circ$$

Sprawdzenie: suma kątów czworokąta $85+95+95+85=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $C=95^\circ$, $D=85^\circ$.

Styczna dotyka okręgu w dokładnie jednym punkcie.

Dla porównania: sieczna przecina okrąg w dwóch punktach, a prosta rozłączna — w żadnym.

Odpowiedź: D. $1$.

Wzajemne położenie prostej i okręgu zależy od odległości $d$ środka od prostej:

$$d\lt r \Rightarrow \text{sieczna},\quad d=r \Rightarrow \text{styczna},\quad d>r \Rightarrow \text{rozłączna}$$

Odpowiedź: B. równa promieniowi.

Krok 1 — warunek dla kątów przeciwległych:

$$3x+x=180^\circ$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$4x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=45^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$A=3\cdot45^\circ=135^\circ,\qquad C=45^\circ$$

Sprawdzenie: $135+45=180^\circ$ ✔

Odpowiedź: $135^\circ$ i $45^\circ$.

Krok 1 — kąt $C$ oparty na średnicy. Z twierdzenia Talesa o okręgu:

$$C=90^\circ$$

Krok 2 — kąt $B$ z sumy kątów trójkąta:

$$B=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$$

Odpowiedź: $B=55^\circ$, $C=90^\circ$.

Twierdzenie Ptolemeusza wiąże przekątne i boki czworokąta wpisanego w okrąg:

$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$

iloczyn przekątnych równa się sumie iloczynów przeciwległych boków.

Odpowiedź: A. wpisanego w okrąg.

Krok 1 — kąt środkowy na tym łuku. Łuk to $\frac14$ okręgu, więc kąt środkowy:

$$\frac14\cdot360^\circ=90^\circ$$

Krok 2 — kąt wpisany to połowa środkowego:

$$\frac{90^\circ}{2}=45^\circ$$

Odpowiedź: $45^\circ$.

Krok 1 — odcinek stycznej. Trójkąt prostokątny (kąt prosty przy punkcie styczności):

$$t=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$$

Krok 2 — pole trójkąta. Przyprostokątne to promień $6$ i odcinek styczny $8$:

$$P=\frac{6\cdot8}{2}=24$$

Kluczowa własność. Prostopadłość stycznej do promienia czyni z tego trójkąta trójkąt prostokątny — dzięki temu przyprostokątne to promień i styczna.

Odpowiedź: styczna $8$, pole $24$.

Krok 1 — drugi kąt środkowy. Łuki dopełniają się do pełnego okręgu:

$$360^\circ-140^\circ=220^\circ$$

Krok 2 — kąty wpisane to połowy kątów środkowych:

$$\frac{140^\circ}{2}=70^\circ,\qquad \frac{220^\circ}{2}=110^\circ$$

Krok 3 — obserwacja. Suma tych kątów wpisanych to $70^\circ+110^\circ=180^\circ$ — bo są to przeciwległe kąty czworokąta wpisanego w okrąg.

Odpowiedź: $70^\circ$ i $110^\circ$.

Oznaczenia. Niech $AB$ będzie średnicą okręgu o środku $O$, a $C$ dowolnym punktem okręgu. Chcemy pokazać, że kąt $ACB=90^\circ$.

Krok 1 — trójkąty równoramienne. Odcinki $OA$, $OB$, $OC$ to promienie, więc są równe. Trójkąty $OAC$ i $OBC$ są równoramienne.

Krok 2 — oznaczamy kąty przy podstawach. Niech $\angle OAC=\alpha$ i $\angle OBC=\beta$. Z równoramienności:

$$\angle OCA=\alpha,\qquad \angle OCB=\beta$$

Krok 3 — suma kątów trójkąta $ABC$:

$$\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ$$

bo kąt przy $C$ to $\angle OCA+\angle OCB=\alpha+\beta$.

Krok 4 — rozwiązujemy:

$$2(\alpha+\beta)=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha+\beta=90^\circ$$

Kąt przy $C$ wynosi $\alpha+\beta=90^\circ$. $\qquad ∎$

Wniosek: każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, niezależnie od położenia punktu $C$ na okręgu.

Średnica wyznacza łuk będący półokręgiem, któremu odpowiada kąt środkowy $180^\circ$. Kąt wpisany jest o połowę mniejszy:

$$\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$$

To twierdzenie Talesa: kąt wpisany oparty na średnicy jest zawsze prosty.

Odpowiedź: C. $90^\circ$.

Długość okręgu liczymy ze wzoru:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot5=31{,}4\ \text{cm}$$

Uwaga: długość okręgu zależy od promienia liniowo (nie od kwadratu), w odróżnieniu od pola koła.

Odpowiedź: $L=10\pi\approx31{,}4$ cm.

Pole koła obliczamy ze wzoru:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: $36\pi\approx113{,}1$ cm$^2$.

Uwaga: promień podnosimy do kwadratu — pominięcie potęgi to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: $P=36\pi\approx113$ cm$^2$.

Krok 1 — cały okręg ma długość:

$$L=2\pi\cdot6=12\pi$$

Krok 2 — łuk to część okręgu proporcjonalna do kąta. Kąt $60^\circ$ to $\frac{60}{360}=\frac16$ pełnego kąta:

$$\text{łuk}=\frac{60}{360}\cdot12\pi=\frac16\cdot12\pi=2\pi\ \text{cm}$$

Przybliżenie: $2\pi\approx6{,}28$ cm.

Odpowiedź: $2\pi\approx6{,}28$ cm.

Krok 1 — pole całego koła:

$$P=\pi\cdot10^2=100\pi$$

Krok 2 — wycinek to część koła. Kąt $90^\circ$ to $\frac{90}{360}=\frac14$ pełnego kąta:

$$P_{wycinka}=\frac14\cdot100\pi=25\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: $25\pi\approx78{,}5$ cm$^2$.

Odpowiedź: $25\pi\approx78{,}5$ cm$^2$.

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej, a jej połowa jest promieniem:

$$R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Wynika to z twierdzenia Talesa — kąt prosty jest wpisany i oparty na średnicy, więc przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego.

Odpowiedź: D. $5$.

Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary — niezależnie od położenia wierzchołka na okręgu.

$$\alpha_2=\alpha_1=42^\circ$$

Uzasadnienie: każdy z nich jest równy połowie tego samego kąta środkowego opartego na tym łuku, więc muszą być równe sobie.

Odpowiedź: drugi kąt również ma $42^\circ$.

Warunek na okrąg opisany na czworokącie dotyczy kątów:

$$\alpha+\gamma=180^\circ \quad \text{oraz} \quad \beta+\delta=180^\circ$$

Nie mylić z okręgiem wpisanym: ten istnieje, gdy sumy przeciwległych boków są równe ($a+c=b+d$).

Odpowiedź: B.

W czworokącie wpisanym sumy kątów przeciwległych to $180^\circ$. Kąty przeciwległe to pierwszy z trzecim oraz drugi z czwartym.

Para $100^\circ$ i $80^\circ$: $100^\circ+80^\circ=180^\circ$ ✔ (warunek spełniony)

Para $x$ i $2x$:

$$x+2x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=60^\circ$$

Sprawdzenie sumy wszystkich kątów: $60^\circ+100^\circ+120^\circ+80^\circ=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $x=60^\circ$.

Styczna jest zawsze prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności:

$$\angle=90^\circ$$

To podstawowa własność wykorzystywana w konstrukcjach stycznych i zadaniach o okręgach wpisanych.

Odpowiedź: C. $90^\circ$.

Podstawiamy $a=6$ do wzoru na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym:

$$R=\frac{a\sqrt3}{3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$$

Przybliżenie: $2\sqrt3\approx3{,}46$.

Warto wiedzieć: promień okręgu wpisanego w ten sam trójkąt jest dwa razy mniejszy: $r=\frac{a\sqrt3}{6}=\sqrt3$.

Odpowiedź: $R=2\sqrt3\approx3{,}46$.

Pole pierścienia to różnica pól większego i mniejszego koła.

Krok 1 — pola obu kół:

$$P_1=\pi\cdot5^2=25\pi,\qquad P_2=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Krok 2 — różnica:

$$P=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: $16\pi\approx50{,}3$ cm$^2$.

Odpowiedź: $16\pi\approx50{,}3$ cm$^2$.

Krok 1 — konstrukcja pomocnicza. Promień poprowadzony do końca cięciwy, odległość środka od cięciwy i połowa cięciwy tworzą trójkąt prostokątny. Odległość środka pada na środek cięciwy.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa. Przeciwprostokątną jest promień $10$, jedną przyprostokątną odległość $6$, drugą połowa cięciwy $x$:

$$x^2+6^2=10^2 \quad\Rightarrow\quad x^2=100-36=64 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Krok 3 — cała cięciwa to podwojona połowa:

$$2x=2\cdot8=16\ \text{cm}$$

Kluczowe: $x=8$ to tylko połowa cięciwy — łatwo zapomnieć o podwojeniu.

Odpowiedź: cięciwa ma $16$ cm.

Odcinek koła to wycinek minus trójkąt.

Krok 1 — pole wycinka (ćwiartka koła, kąt $90^\circ$):

$$P_{wycinka}=\frac14\pi\cdot4^2=\frac14\cdot16\pi=4\pi$$

Krok 2 — pole trójkąta. Przyprostokątne to dwa promienie po $4$ cm:

$$P_{trojkata}=\frac{4\cdot4}{2}=8$$

Krok 3 — pole odcinka:

$$P=4\pi-8\approx12{,}57-8=4{,}57\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $4\pi-8\approx4{,}57$ cm$^2$.

Krok 1 — przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:

$$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$

Krok 2 — promień okręgu opisanego. W trójkącie prostokątnym to połowa przeciwprostokątnej:

$$R=\frac{c}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 3 — promień okręgu wpisanego ze wzoru dla trójkąta prostokątnego:

$$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Kontrola sensu: okrąg wpisany musi być mniejszy od opisanego — $2\lt 5$ ✔

Odpowiedź: promień okręgu opisanego $R=5$, wpisanego $r=2$.

1. Kąt wpisany to połowa kąta środkowego: $55^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — pomnożono zamiast podzielić; D — $180^\circ-110^\circ$.

1. $|\angle AOB|=2\cdot40^\circ=80^\circ$.
2. $\triangle AOB$ równoramienny: $|\angle OAB|=\frac{180^\circ-80^\circ}{2}=50^\circ$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C — to kąt środkowy $AOB$, a nie kąt przy wierzchołku $A$.

1. Kąt $ACB$ jest oparty na średnicy, więc $|\angle ACB|=90^\circ$.
2. $|\angle ABC|=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$.

Odpowiedź: C

1. W czworokącie wpisanym przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$: $180^\circ-75^\circ=105^\circ$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — przeciwległe kąty są równe tylko w równoległoboku; tu się dopełniają.

1. Promień $OA$ jest prostopadły do stycznej, więc $\triangle OAB$ jest prostokątny.
2. $|OB|=\sqrt{25+144}=13$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — dodane długości; D — odjęte kwadraty (przeciwprostokątną jest $OB$).

1. $l=\dfrac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot6=\dfrac13\cdot12\pi=4\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — pole wycinka ($\frac13\cdot36\pi$); D — cały obwód bez podziału.

1. $P=\dfrac{60^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot36=6\pi$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D — długość łuku, a nie pole.

1. 1. Warunek czworokąta opisanego: $5+9=7+x \Rightarrow x=7$ — prawda.
2. 2. Obwód: $5+7+9+7=28\ne30$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $3x-10=2(x+10) \Rightarrow 3x-10=2x+20 \Rightarrow x=30$.
2. $|\angle ACB|=30+10=40^\circ$ (kontrola: środkowy $80^\circ$ ✓).

Odpowiedź: $x=30$, $|\angle ACB|=40^\circ$

1. $AC$ — średnica, więc $|\angle ABC|=|\angle ADC|=90^\circ$.
2. $\triangle ABC$: $|\angle BCA|=180^\circ-90^\circ-28^\circ=62^\circ$. $\triangle ACD$: $|\angle DAC|=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ$.
3. $|\angle A|=28^\circ+50^\circ=78^\circ$, $|\angle C|=62^\circ+40^\circ=102^\circ$, $|\angle B|=|\angle D|=90^\circ$.
4. Kontrola: $78^\circ+102^\circ=180^\circ$ — czworokąt wpisany ✓.

Odpowiedź: $78^\circ,\ 90^\circ,\ 102^\circ,\ 90^\circ$

1. $2\cdot30^\circ=60^\circ$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? B dzieli.

1. Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku: $\tfrac{140^\circ}{2}=70^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B utożsamia kąt wpisany ze środkowym, C mnoży zamiast dzielić, D to $180^\circ-140^\circ$.

1. $\tfrac12\cdot100^\circ=50^\circ$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A mnoży.

1. $L=2\pi\cdot3=6\pi$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to pole.

1. $\tfrac12\cdot140^\circ=70^\circ$.

Odpowiedź: $70^\circ$

1. $2\cdot25^\circ=50^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C dzieli zamiast mnożyć.

1. $\tfrac12\cdot100^\circ=50^\circ$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A mnoży zamiast dzielić.

1. Kąt wpisany na półokręgu jest prosty.
2. $90^\circ$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to kąt środkowy (pełna średnica).

1. $2\cdot45^\circ=90^\circ$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? B dzieli zamiast mnożyć.

1. Kąt wpisany $=\tfrac12$ kąta środkowego.
2. $\tfrac12\cdot140^\circ=70^\circ$.

Odpowiedź: $70^\circ$.

1. Kąty wpisane na tym samym łuku są równe.
2. $x=40^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B podwaja niepotrzebnie.

1. Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.
2. $90^\circ$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? Bok-średnica wymusza kąt prosty.

1. $\tfrac12\cdot80^\circ=40^\circ$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A mnoży zamiast dzielić.

1. $2\cdot60^\circ=120^\circ$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A dzieli zamiast mnożyć.

1. Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego na tym samym łuku.
2. $2\cdot35^\circ=70^\circ$.

Odpowiedź: $70^\circ$.

1. $2\cdot40^\circ=80^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C dzieli.

1. $\tfrac12\cdot120^\circ=60^\circ$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A mnoży.

1. Kąt na półokręgu jest prosty.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A to średnica jako kąt środkowy.

1. $2\cdot20^\circ=40^\circ$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A dzieli.

1. $\tfrac12\cdot150^\circ=75^\circ$.

Odpowiedź: $75^\circ$