Klasa 2 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Co robi: reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian $(x-a)$ równa się wartości wielomianu w punkcie $a$ — dzięki temu podzielność sprawdzamy jednym podstawieniem.
Elementy: $W(x)$ — wielomian, $Q(x)$ — iloraz (stopień o 1 niższy), $W(a)$ — reszta (liczba). Dzielenie wykonujemy pisemnie lub schematem Hornera.
Przykład: $W(x)=x^3-2x^2-5x+6$, sprawdzamy $a=1$: $W(1)=1-2-5+6=0$, więc $(x-1)$ dzieli $W(x)$ i $W(x)=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)$.
Pułapka: przy dzielniku $(x+2)$ podstawiamy $a=-2$, nie $2$ — bo $x+2=x-(-2)$. To najczęstszy błąd znakowy w tym temacie.
Co robi: podaje resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian bez wykonywania dzielenia i wiąże pierwiastki z czynnikami liniowymi.
Elementy: $W(x)$ to wielomian, $a$ — liczba, $R$ — reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-a)$.
Dwa zastosowania: szybkie liczenie reszty ($R=W(a)$) oraz sprawdzanie podzielności — $(x-a)$ dzieli $W(x)$ dokładnie wtedy, gdy $a$ jest pierwiastkiem.
Przykład: reszta z dzielenia $x^3-2x+5$ przez $(x-1)$ to $W(1)=4$. A ponieważ dla $x^3-3x^2+4$ mamy $W(2)=0$, wielomian dzieli się przez $(x-2)$.
Stopnie: $\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$, a reszta z dzielenia przez dwumian jest stałą.
Pułapka: pierwiastek $a=3$ daje czynnik $(x-3)$, a dzielnik $(x+2)$ odpowiada $a=-2$. Uważaj na znak.
Reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $(x-a)$ jest równa $W(a)$:
$$R=W(a)$$
Pozwala policzyć resztę bez wykonywania dzielenia — wystarczy podstawić jedną liczbę.
$$W(a)=0 \iff (x-a)\mid W(x)$$
Liczba $a$ jest pierwiastkiem dokładnie wtedy, gdy $(x-a)$ jest czynnikiem wielomianu. To most między pierwiastkami a rozkładem na czynniki.
Pierwiastek $a=3$ odpowiada czynnikowi $(x-3)$, a dzielnik $(x+2)$ oznacza $a=-2$. Łatwo pomylić znak.
$$\deg(\text{iloraz})=\deg(\text{dzielna})-\deg(\text{dzielnik})$$
Reszta ma stopień mniejszy od dzielnika. Przy dzieleniu przez dwumian reszta jest więc stałą.
Uzupełniamy brakujące potęgi zerami, dzielimy najwyższe wyrazy, odejmujemy i powtarzamy. Przykład: $(x^3-1):(x-1)=x^2+x+1$.
Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego. To zawęża listę kandydatów do sprawdzenia.
Dwa wielomiany są równe, gdy mają identyczne współczynniki przy tych samych potęgach. Stąd metoda współczynników nieoznaczonych.
Przy dzieleniu pisemnym nie gub brakujących potęg. Sprawdzaj znak przy przechodzeniu od pierwiastka do czynnika.
Twierdzenie Bézouta mówi, że reszta z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez $(x-a)$ jest równa:
Oblicz resztę z dzielenia $W(x)=x^3-2x+5$ przez $(x-1)$.
Sprawdź, czy $(x-2)$ jest dzielnikiem wielomianu $W(x)=x^3-3x^2+4$.
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy:
Oblicz $W(-1)$ dla $W(x)=2x^3+x^2-x+3$ i podaj resztę z dzielenia przez $(x+1)$.
Reszta z dzielenia $W(x)=x^4+1$ przez $(x-1)$ wynosi:
Wykonaj dzielenie $\left(x^2+5x+6\right):(x+2)$.
Dla jakiej wartości $m$ wielomian $W(x)=x^3+mx-6$ dzieli się przez $(x-2)$?
Jeśli $W(3)=0$, to wielomian $W(x)$ dzieli się przez:
Wielomiany $W(x)=ax^2+3x+1$ oraz $P(x)=2x^2+bx+1$ są równe. Wyznacz $a$ i $b$.
Stopień ilorazu przy dzieleniu wielomianu stopnia $5$ przez wielomian stopnia $2$ wynosi:
Reszta z dzielenia $W(x)$ przez $(x-1)$ wynosi $3$, a przez $(x+2)$ wynosi $-6$. Oblicz $W(1)$ i $W(-2)$.
Wykonaj dzielenie $\left(x^3-1\right):(x-1)$.
Wielomian $W(x)=x^3+2x^2-x-2$ ma pierwiastek $x=1$, bo:
Dla jakich $a$ i $b$ wielomian $W(x)=x^3+ax^2+bx-6$ jest podzielny zarówno przez $(x-1)$, jak i przez $(x-2)$?
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian $(x-a)$ jest wielomianem stopnia:
Wielomian $W(x)=x^3-4x^2+ax+b$ przy dzieleniu przez $(x-1)$ daje resztę $2$, a przez $(x+1)$ resztę $-6$. Wyznacz $a$ i $b$.
Rozłóż wielomian $W(x)=x^3-6x^2+11x-6$ na czynniki, wiedząc, że jednym z pierwiastków jest $x=1$.
Znajdź wszystkie pierwiastki całkowite wielomianu $W(x)=x^3-2x^2-5x+6$.
Wykaż, że dla dowolnego $n$ naturalnego wielomian $x^n-1$ dzieli się przez $(x-1)$.
Rozwiąż równanie $x^3-2x^2-3x+6=0$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.