Dziedzina funkcji. Funkcje wymierne

Mianownik nie może być zerem, więc wykluczamy $x=0$:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$

Funkcja $f(x)=\frac{a}{x}$ opisuje proporcjonalność odwrotną, a jej wykresem jest hiperbola.

Odpowiedź: B.

Miejsca zerowe: $x=2$ i $x=-3$.

Znak: parabola o ramionach w górę jest ujemna między miejscami zerowymi.

$$x\in(-3,\,2)$$

Nawiasy otwarte, bo nierówność jest ostra.

Odpowiedź: B. $x\in(-3,\,2)$.

Mianownik nie może być zerem:

$$x-4\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq4$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$

Zasada: dziedzinę wyznaczamy przed rozwiązaniem — to pierwszy krok każdego zadania z ułamkiem zawierającym niewiadomą.

Odpowiedź: C. $\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Wykluczamy argument zerujący mianownik:

$$x-4=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Zatem:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$

Uwaga: licznik nie wpływa na dziedzinę — liczy się tylko mianownik.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Miejsca zerowe: $x=0$ i $x=5$.

Znak: ramiona w górę, więc wyrażenie jest dodatnie na zewnątrz miejsc zerowych.

$$x\in(-\infty,\,0\rangle\cup\langle5,+\infty)$$

Nawiasy domknięte, bo nierówność jest nieostra ($\ge$).

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,0\rangle\cup\langle5,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy przez $x$:

$$6=3x \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $2\neq0$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Podstawiamy kolejne argumenty:

$$f(2)=\frac{6}{2}=3$$

$$f(3)=\frac{6}{3}=2$$

$$f(-6)=\frac{6}{-6}=-1$$

Obserwacja: iloczyn argumentu i wartości jest stały: $2\cdot3=6$, $3\cdot2=6$, $(-6)\cdot(-1)=6$ — to cecha proporcjonalności odwrotnej.

Odpowiedź: $f(2)=3$, $f(3)=2$, $f(-6)=-1$.

Mianownik nie może być zerem:

$$x-4\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq4$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{4\}$$

Odpowiedź: $x\in\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Krok 1 — mianownik różny od zera:

$$x^2-9\neq0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+3)\neq0$$

Krok 2 — wykluczamy oba pierwiastki:

$$x\neq3 \quad\text{i}\quad x\neq-3$$

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\ 3\}$$

Uwaga: rozkład mianownika na czynniki ujawnia oba miejsca zerowe — łatwo przeoczyć jedno, patrząc tylko na $x^2=9$.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\ 3\}$.

Gdy $a>0$, dla $x>0$ wartość $\frac{a}{x}$ jest dodatnia (ćwiartka pierwsza), a dla $x<0$ ujemna (ćwiartka trzecia).

Sprawdźmy na przykładzie $f(x)=\frac{2}{x}$:

$$f(1)=2 \ (\text{I ćw.}),\qquad f(-1)=-2 \ (\text{III ćw.})$$

Dla porównania: gdy $a<0$, hiperbola leży w ćwiartkach drugiej i czwartej.

Odpowiedź: C. pierwszej i trzeciej.

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x=0,\qquad x=1,\qquad x=-6$$

Trzy różne pierwiastki.

Odpowiedź: C. $3$.

Ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem, a mianownik różny od zera:

$$x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Dla $x=2$ mianownik wynosi $7\neq0$, więc warunek jest spełniony.

Uwaga: $x=-5$ zeruje mianownik — to punkt wykluczony z dziedziny, a nie rozwiązanie.

Odpowiedź: B. $x=2$.

Krok 1 — założenia. Mianownik nie może być zerem:

$$9x^2\neq0 \quad\Rightarrow\quad x\neq0$$

Krok 2 — skracamy. W liczniku i mianowniku wyłączamy wspólne czynniki $3$ i $x$:

$$\frac{6x}{9x^2}=\frac{3x\cdot2}{3x\cdot3x}=\frac{2}{3x}$$

Uwaga: założenie $x\neq0$ trzeba podać na początku, przed skróceniem — po skróceniu informacja o tym, że $x$ było w mianowniku, mogłaby zniknąć.

Odpowiedź: $\frac{2}{3x}$ dla $x\neq0$.

Krok 1 — wyłączamy $x$ przed nawias:

$$x(x^2-9)$$

Krok 2 — różnica kwadratów:

$$x(x-3)(x+3)$$

Odpowiedź: $W(x)=x(x-3)(x+3)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem:

$$x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-3$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $-3\neq1$ ✔

Odpowiedź: $x=-3$.

Krok 1 — wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik to $2x$:

$$\frac{1}{x}=\frac{2}{2x}$$

Krok 2 — dodajemy liczniki:

$$\frac{2}{2x}+\frac{1}{2x}=\frac{3}{2x}$$

Sprawdzenie dla $x=1$: $\frac11+\frac12=\frac32$, a nasz wynik $\frac{3}{2\cdot1}=\frac32$ ✔

Odpowiedź: $\frac{3}{2x}$.

Ułamek o liczniku $1$ jest dodatni dokładnie wtedy, gdy mianownik jest dodatni:

$$x>0$$

Odpowiedź: A. $x\in(0,+\infty)$.

Licznik $3$ jest dodatni, więc znak ułamka zależy tylko od mianownika. Ułamek jest dodatni, gdy mianownik jest dodatni:

$$x-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>2$$

Odpowiedź: A. $x>2$.

Mnożenie ułamków: licznik przez licznik, mianownik przez mianownik:

$$\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{x}=\frac{2\cdot9}{3\cdot x}=\frac{18}{3x}$$

Skracamy przez $3$:

$$\frac{18}{3x}=\frac{6}{x}$$

Wynik zawsze podajemy w postaci nieskracalnej, więc $\frac{18}{3x}$ (odpowiedź C) nie jest formą ostateczną.

Odpowiedź: D. $\frac{6}{x}$.

Krok 1 — miejsca zerowe. Wyróżnik:

$$\Delta=16-12=4,\qquad \sqrt\Delta=2$$

$$x_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad x_2=\frac{4+2}{2}=3$$

Krok 2 — znak. Ramiona w górę, szukamy wartości dodatnich, czyli poza pierwiastkami:

$$x\in(-\infty,\,1)\cup(3,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,1)\cup(3,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — przenosimy $\frac13$ na prawo:

$$\frac{2}{x}=1-\frac13=\frac23$$

Krok 3 — mnożymy na krzyż:

$$2\cdot3=2\cdot x \quad\Rightarrow\quad 6=2x \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $3\neq0$ ✔

Sprawdzenie: $\frac23+\frac13=1$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Zasada: dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

$$\frac{x}{4}:\frac{x}{8}=\frac{x}{4}\cdot\frac{8}{x}$$

Mnożymy i skracamy. Skraca się $x$ oraz $8$ z $4$:

$$\frac{x\cdot8}{4\cdot x}=\frac{8}{4}=2$$

Sprawdzenie dla $x=4$: $\frac44:\frac48=1:\frac12=2$ ✔

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-1$.

Krok 2 — zamiana na iloczyn. Ułamek ma taki sam znak jak iloczyn licznika i mianownika:

$$(x-2)(x+1)>0$$

Krok 3 — miejsca zerowe: $x=2$ i $x=-1$; szukamy wartości dodatnich, czyli na zewnątrz:

$$x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$$

Sprawdzenie dla $x=3$: $\frac{1}{4}>0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$.

Krok 2 — mianowniki są równe, więc porównujemy liczniki:

$$x=4$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $4\neq2$ ✔

Uwaga na pułapkę. Gdyby wyszło $x=2$, trzeba by je odrzucić jako sprzeczne z dziedziną. Tutaj $x=4$ jest poprawne.

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — założenie: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $x$:

$$6=3x$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x=2$$

Krok 4 — sprawdzamy założenie: $2\neq0$ ✔, więc rozwiązanie jest poprawne.

Sprawdzenie: $\frac{6}{2}=3$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

Mianownik zeruje się, gdy:

$$x^2-9=0 \quad\Rightarrow\quad (x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{lub}\ x=-3$$

Częsty błąd: pominięcie pierwiastka ujemnego.

Odpowiedź: D. $x=3$ oraz $x=-3$.

Licznik jest dodatni, więc ułamek jest dodatni tylko dla dodatniego mianownika:

$$x>0$$

Uwaga: dla $x<0$ ułamek jest ujemny, a $x=0$ jest wykluczone z dziedziny.

Odpowiedź: D. $x>0$.

Asymptota pionowa występuje tam, gdzie mianownik dąży do zera, czyli w $x=0$. Gdy $x$ zbliża się do zera, wartości „uciekają” do nieskończoności.

Asymptota pozioma to $y=0$ — gdy $x$ rośnie nieograniczenie, ułamek $\frac1x$ dąży do zera, ale nigdy go nie osiąga.

Wykres nigdy nie dotyka żadnej z osi układu współrzędnych.

Odpowiedź: A.

Krok 1 — pierwiastki: $1$, $2$, $3$ — wszystkie jednokrotne.

Krok 2 — wykres. Stopień $3$, współczynnik dodatni, więc od prawej krzywa idzie w górę. Znaki od prawej: $+$, $-$, $+$, $-$.

Krok 3 — przedziały ujemne:

$$x\in(-\infty,\,1)\cup(2,\,3)$$

Sprawdzenie dla $x=0$: $(-1)(-2)(-3)=-6<0$ ✔

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,1)\cup(2,\,3)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-1$.

Krok 2 — miejsca zerowe licznika i mianownika:

$$x=3 \quad\text{(licznik)},\qquad x=-1 \quad\text{(mianownik)}$$

Krok 3 — analiza znaków w przedziałach. Ułamek ma znak iloczynu $(x-3)(x+1)$, bo dzielenie i mnożenie dają ten sam wzór znaków:

• $x<-1$: $(-)(-)=+$ ✔
• $-1
• $x>3$: $(+)(+)=+$ ✔

Krok 4 — zbiór rozwiązań:

$$x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$$

Kluczowa sztuczka. Nierówność $\frac{L}{M}>0$ ma to samo rozwiązanie co $L\cdot M>0$ — zamieniamy dzielenie na mnożenie, bo obie operacje dają ten sam znak.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$.

Krok 1 — wspólny mianownik to iloczyn $x(x+1)$:

$$\frac{3}{x}=\frac{3(x+1)}{x(x+1)},\qquad \frac{1}{x+1}=\frac{x}{x(x+1)}$$

Krok 2 — odejmujemy liczniki:

$$\frac{3(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{3x+3-x}{x(x+1)}=\frac{2x+3}{x(x+1)}$$

Uwaga na nawias: odejmujemy cały licznik $x$, dlatego $3(x+1)$ rozwijamy przed odjęciem.

Odpowiedź: $\frac{2x+3}{x(x+1)}$.

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-16\le0 \quad\Rightarrow\quad (x-4)(x+4)\le0$$

Ramiona w górę, wartości niedodatnie są między pierwiastkami:

$$x\in\langle-4,\,4\rangle$$

Częsty błąd: zapis „$x\le4$” pomija ograniczenie od dołu.

Odpowiedź: B. $x\in\langle-4,\,4\rangle$.

Mnożenie nierówności przez wyrażenie zmiennego znaku jest niebezpieczne — nie wiadomo, czy odwrócić znak nierówności.

Dlatego nierówności wymierne rozwiązujemy inaczej: przenosimy wszystko na jedną stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika i badamy znak ilorazu (równoważnie iloczynu licznika i mianownika).

Wyjątek: gdy mianownik ma stały znak (np. $x^2+1>0$ zawsze), można mnożyć bezpiecznie.

Odpowiedź: B. tylko przez wyrażenie o znanym znaku.

Krok 1 — założenie: $x-1\neq0$, czyli $x\neq1$.

Krok 2 — mnożymy obie strony przez $(x-1)$:

$$x+2=2(x-1)$$

Krok 3 — rozwiązujemy równanie liniowe:

$$x+2=2x-2 \quad\Rightarrow\quad 4=x$$

Krok 4 — sprawdzamy założenie: $4\neq1$ ✔

Sprawdzenie: $\frac{4+2}{4-1}=\frac{6}{3}=2$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq2$.

Krok 2 — analiza znaku. Licznik $3$ jest stale dodatni, więc ułamek jest ujemny dokładnie wtedy, gdy mianownik jest ujemny:

$$x-2<0 \quad\Rightarrow\quad x<2$$

Krok 3 — czy zachodzi równość? Ułamek nigdy nie jest zerem (licznik $\neq0$), więc znak $\le$ nie dokłada żadnego punktu.

$$x\in(-\infty,\,2)$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,2)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — mnożymy na krzyż:

$$1\cdot(x+1)=2\cdot(x-1)$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$x+1=2x-2 \quad\Rightarrow\quad 3=x$$

Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $3\neq\pm1$ ✔

Sprawdzenie: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Podstawiamy znane wartości do wzoru $y=\frac{a}{x}$:

$$4=\frac{a}{3} \quad\Rightarrow\quad a=12$$

Współczynnik $a$ to stały iloczyn: $a=x\cdot y=3\cdot4=12$.

Sprawdzenie: $y=\frac{12}{3}=4$ ✔

Odpowiedź: B. $a=12$.

Krok 1 — przenosimy na jedną stronę (nie wolno dzielić przez $x$, bo nie znamy jego znaku):

$$x^3-4x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)(x+2)\ge0$$

Krok 2 — pierwiastki: $-2$, $0$, $2$. Stopień $3$, współczynnik dodatni, znaki od prawej: $+$, $-$, $+$, $-$.

Krok 3 — przedziały:

$$x\in\langle-2,\,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$$

Sprawdzenie dla $x=-1$: $-1\ge-4$ ✔

Odpowiedź: $x\in\langle-2,\,0\rangle\cup\langle2,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina:

$$x-3\neq0 \quad\Rightarrow\quad D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$$

Krok 2 — miejsca zerowe. Zerujemy licznik:

$$x^2-4=0 \quad\Rightarrow\quad (x-2)(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \ \text{lub}\ x=-2$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę. Oba pierwiastki należą do dziedziny ($\neq3$), więc oba są miejscami zerowymi.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{3\}$; miejsca zerowe $x=-2$ i $x=2$.

Wykluczamy argumenty zerujące mianownik:

$$x^2-9=0$$

Rozkładamy na czynniki:

$$(x-3)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=3 \ \text{ lub } \ x=-3$$

Zatem:

$$D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}$$

Uwaga: wykluczamy obie liczby. Częsty błąd to znalezienie tylko jednego pierwiastka.

Odpowiedź: $D=\mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}$.

W pierwiastku dwukrotnym ($x=1$) wykres tylko dotyka osi i wraca — znak się nie zmienia.

W pierwiastku jednokrotnym ($x=-4$) wykres przechodzi przez oś — znak się zmienia.

Reguła: krotność parzysta — bez zmiany znaku, nieparzysta — ze zmianą.

Odpowiedź: C. tylko $x=-4$.

Licznik $2$ jest dodatni, więc ułamek jest ujemny tylko dla ujemnego mianownika:

$$x<0 \quad\Rightarrow\quad x\in(-\infty,0)$$

Odpowiedź: C. $x<0$.

Krok 1 — założenie: $x+2\neq0$, czyli $x\neq-2$.

Krok 2 — rozkładamy licznik wzorem na różnicę kwadratów:

$$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

Krok 3 — skracamy przez $(x+2)$:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=x-2$$

Ważne: mimo że po skróceniu zostaje samo $x-2$, założenie $x\neq-2$ obowiązuje nadal — funkcja nie jest określona w tym punkcie.

Odpowiedź: $x-2$ dla $x\neq-2$.

Krok 1 — wyłączamy $x$:

$$x(x^2-5x+6)=0$$

Krok 2 — rozkładamy trójmian. Szukamy liczb o sumie $5$ i iloczynie $6$: to $2$ i $3$:

$$x(x-2)(x-3)=0$$

Krok 3 — pierwiastki:

$$x=0,\qquad x=2,\qquad x=3$$

Odpowiedź: $x\in\{0,\,2,\,3\}$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — łączymy ułamki o wspólnym mianowniku:

$$\frac{x+1}{x-1}=3$$

Krok 3 — mnożymy przez $(x-1)$:

$$x+1=3(x-1) \quad\Rightarrow\quad x+1=3x-3$$

Krok 4 — rozwiązujemy:

$$4=2x \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Krok 5 — sprawdzamy dziedzinę: $2\neq1$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

To wykres podstawowej hiperboli $y=\frac1x$ po przesunięciu o wektor.

Zmiana w mianowniku $x-3$ oznacza przesunięcie o $3$ w prawo (minus w nawiasie działa „na odwrót”).

Składnik $+2$ na zewnątrz to przesunięcie o $2$ w górę.

Nowe asymptoty to $x=3$ (pionowa) i $y=2$ (pozioma).

Odpowiedź: C. o $3$ w prawo i $2$ w górę.

Dziedzina: $x\neq3$.

Znak — jak dla iloczynu $x(x-3)\ge0$, czyli poza pierwiastkami $0$ i $3$.

Domknięcia są różne po obu stronach: $x=0$ należy (ułamek jest wtedy zerem), ale $x=3$ nie należy (wypada z dziedziny):

$$x\in(-\infty,\,0\rangle\cup(3,+\infty)$$

Odpowiedź: A. $x\in(-\infty,\,0\rangle\cup(3,+\infty)$.

Rozkładamy mianownik:

$$x^2-x=x(x-1)$$

Zeruje się dla $x=0$ oraz $x=1$ — oba punkty są wykluczone z dziedziny.

Uwaga: $x=-1$ zeruje licznik, ale to dozwolone — daje po prostu miejsce zerowe, a nie punkt spoza dziedziny.

Odpowiedź: A. $0$ i $1$.

Krok 1 — założenie: $x\neq0$.

Krok 2 — dodajemy ułamki po lewej (mają ten sam mianownik):

$$\frac{2}{x}+\frac{3}{x}=\frac{5}{x}$$

Krok 3 — równanie przybiera postać:

$$\frac{5}{x}=\frac{5}{4}$$

Krok 4 — porównujemy. Skoro liczniki są równe, równe muszą być mianowniki:

$$x=4$$

Krok 5 — sprawdzamy założenie: $4\neq0$ ✔

Sprawdzenie: $\frac24+\frac34=\frac54$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — przenosimy wszystko na lewą stronę (mnożenie na krzyż jest zabronione, bo nie znamy znaku mianownika):

$$\frac{x+2}{x-1}-1\ge0$$

$$\frac{x+2-(x-1)}{x-1}\ge0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3}{x-1}\ge0$$

Krok 3 — analiza. Licznik $3$ jest dodatni, więc wystarczy $x-1>0$:

$$x>1$$

Sprawdzenie dla $x=2$: $\frac{4}{1}=4\ge1$ ✔

Odpowiedź: $x\in(1,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — lewa strona na wspólnym mianowniku:

$$\frac{(x+1)+x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x^2+x}$$

Krok 3 — mnożymy na krzyż:

$$6(2x+1)=5\left(x^2+x\right)$$

Krok 4 — porządkujemy do równania kwadratowego:

$$12x+6=5x^2+5x \quad\Rightarrow\quad 5x^2-7x-6=0$$

Krok 5 — wyróżnik i pierwiastki:

$$\Delta=49+120=169,\qquad \sqrt{\Delta}=13$$

$$x_1=\frac{7-13}{10}=-\frac35,\qquad x_2=\frac{7+13}{10}=2$$

Krok 6 — sprawdzamy dziedzinę. Oba pierwiastki są różne od $0$ i $-1$, więc oba są poprawne.

Odpowiedź: $x=-\frac35$ lub $x=2$.

Krok 1 — założenie: $x-2\neq0$, czyli $x\neq2$.

Krok 2 — mianowniki są równe, więc równe muszą być liczniki:

$$x=4$$

Krok 3 — konfrontujemy z założeniem: $4\neq2$ ✔, więc rozwiązanie jest dopuszczalne.

Sprawdzenie: $\frac{4}{4-2}=\frac{4}{2}=2$ po obu stronach ✔

Dlaczego sprawdzenie założenia jest kluczowe: gdyby wyszło $x=2$, musielibyśmy je odrzucić — mimo poprawnego rachunku równanie nie miałoby rozwiązania.

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq-1$.

Krok 2 — rozkładamy licznik:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}\le0$$

Krok 3 — punkty krytyczne: $-2$, $-1$, $2$. Badamy znak w każdym przedziale, podstawiając wygodną liczbę:

• $x=-3$: $\frac{(-5)(-1)}{-2}=-2{,}5<0$ ✔
• $x=-1{,}5$: $\frac{(-3{,}5)(0{,}5)}{-0{,}5}=3{,}5>0$
• $x=0$: $\frac{(-2)(2)}{1}=-4<0$ ✔
• $x=3$: $\frac{(1)(5)}{4}=1{,}25>0$

Krok 4 — domknięcia. Punkty $-2$ i $2$ należą (ułamek $=0$), punkt $-1$ nie należy:

$$x\in(-\infty,-2\rangle\cup(-1,\,2\rangle$$

Odpowiedź: $x\in(-\infty,-2\rangle\cup(-1,\,2\rangle$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$.

Krok 2 — miejsca zerowe:

$$x=-2 \ \text{(licznik)},\qquad x=1 \ \text{(mianownik)}$$

Krok 3 — znak ilorazu w przedziałach:

• $x<-2$: $\frac{(-)}{(-)}=+$
• $-2
• $x>1$: $\frac{(+)}{(+)}=+$

Krok 4 — uwzględniamy równość. Nierówność jest nieostra ($\le$), więc dołączamy miejsce zerowe licznika $x=-2$. Ale $x=1$ wykluczamy — tam mianownik się zeruje.

$$x\in\langle-2,\ 1)$$

Kluczowa różnica. Pierwiastek licznika może być domknięty (ułamek równy zeru jest dozwolony przy $\le$), ale pierwiastek mianownika nigdy — to punkt spoza dziedziny.

Odpowiedź: $x\in\langle-2,\ 1)$.

Krok 1 — wydajności godzinowe. W ciągu godziny pierwszy maluje $\frac16$ ściany, a drugi $\frac{1}{12}$.

Krok 2 — wspólna wydajność to suma:

$$\frac16+\frac{1}{12}=\frac{2}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac14$$

Razem malują $\frac14$ ściany na godzinę.

Krok 3 — czas na całą ścianę to odwrotność wydajności:

$$t=\frac{1}{\frac14}=4\ \text{godziny}$$

Kontrola sensu: we dwóch muszą uporać się szybciej niż szybszy z nich w pojedynkę ($6$ h), więc $4$ h to wynik sensowny.

Odpowiedź: razem pomalują ścianę w $4$ godziny.

Krok 1 — sprawdzamy:

$$W(2)=8-12+8-4=0 \ ✔$$

Krok 2 — dzielimy przez $(x-2)$. Otrzymujemy:

$$W(x)=(x-2)(x^2-x+2)$$

Krok 3 — czy trójmian da się rozłożyć?

$$\Delta=1-8=-7<0$$

Wyróżnik ujemny, więc trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych i rozkład jest pełny.

Sprawdzenie mnożeniem: $(x-2)(x^2-x+2)=x^3-x^2+2x-2x^2+2x-4=x^3-3x^2+4x-4$ ✔

Odpowiedź: $W(x)=(x-2)(x^2-x+2)$, jedyny pierwiastek rzeczywisty to $x=2$.

Krok 1 — wydajności. W ciągu jednego dnia pierwsza ekipa wykonuje $\frac16$ pracy, druga $\frac{1}{12}$.

Krok 2 — równanie. Niech $x$ to liczba dni wspólnej pracy. Razem wykonają całość, czyli $1$:

$$\frac{x}{6}+\frac{x}{12}=1$$

Krok 3 — mnożymy przez $12$:

$$2x+x=12 \quad\Rightarrow\quad 3x=12 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Kontrola sensu. Wspólny czas ($4$ dni) musi być krótszy od czasu szybszej ekipy ($6$ dni) — i jest ✔

Typ zadania. To klasyczne „zadanie o wspólnej pracy” — dodajemy wydajności (odwrotności czasów), a nie same czasy.

Odpowiedź: $4$ dni.

Krok 1 — założenia: $x\neq1$ oraz $x\neq-1$.

Krok 2 — lewą stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika $(x-1)(x+1)=x^2-1$:

$$\frac{(x+1)+(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x}{x^2-1}$$

Krok 3 — równanie przybiera postać:

$$\frac{2x}{x^2-1}=\frac12$$

Krok 4 — mnożymy na krzyż:

$$2\cdot2x=x^2-1 \quad\Rightarrow\quad 4x=x^2-1 \quad\Rightarrow\quad x^2-4x-1=0$$

Krok 5 — rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$$\Delta=16+4=20,\qquad \sqrt{\Delta}=2\sqrt5$$

$$x=\frac{4\pm2\sqrt5}{2}=2\pm\sqrt5$$

Krok 6 — sprawdzamy założenia. Oba pierwiastki ($2+\sqrt5\approx4{,}24$ oraz $2-\sqrt5\approx-0{,}24$) są różne od $1$ i $-1$, więc oba są dopuszczalne.

Odpowiedź: $x=2+\sqrt5$ lub $x=2-\sqrt5$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — przenosimy na jedną stronę:

$$\frac{1}{x}-\frac12<0 \quad\Rightarrow\quad \frac{2-x}{2x}<0$$

Krok 3 — znak ułamka odpowiada znakowi iloczynu $(2-x)\cdot 2x$, czyli — po podzieleniu przez dodatnią dwójkę — iloczynu $(2-x)x$. Punkty krytyczne: $0$ i $2$.

• $x=-1$: $\frac{3}{-2}<0$ ✔
• $x=1$: $\frac{1}{2}>0$
• $x=3$: $\frac{-1}{6}<0$ ✔

$$x\in(-\infty,\,0)\cup(2,+\infty)$$

Uwaga: najczęstszy błąd to „przemnożenie przez $x$” i wynik $x>2$ — gubi cały przedział ujemny, gdzie $\frac1x$ jest ujemne, a więc na pewno mniejsze od $\frac12$.

Odpowiedź: $x\in(-\infty,\,0)\cup(2,+\infty)$.

Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.

Krok 2 — mnożymy przez $x$:

$$x^2+1=x$$

Krok 3 — przenosimy wszystko na jedną stronę:

$$x^2-x+1=0$$

Krok 4 — badamy wyróżnik:

$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3<0$$

Krok 5 — wniosek. Ujemny wyróżnik oznacza brak pierwiastków rzeczywistych, więc równanie nie ma rozwiązań. $\qquad ∎$

Sposób alternatywny. Uzupełniając do kwadratu: $x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34>0$ — wyrażenie nigdy się nie zeruje. Ten sposób pokazuje dodatkowo, że lewa strona jest zawsze dodatnia.