Czworokąty wypukłe

Każdy czworokąt można podzielić przekątną na dwa trójkąty, więc suma kątów to:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Odpowiedź: C. $360^\circ$.

Suma kątów czworokąta to $360^\circ$:

$$360^\circ-(90^\circ+100^\circ+80^\circ)=360^\circ-270^\circ=90^\circ$$

Odpowiedź: $90^\circ$.

W czworokącie wypukłym każdy kąt wewnętrzny jest mniejszy od $180^\circ$, a obie przekątne leżą wewnątrz figury.

W czworokącie wklęsłym jeden kąt przekracza $180^\circ$.

Odpowiedź: A. wszystkie kąty $\lt 180^\circ$.

W trapezie kąty przy tym samym ramieniu są przy równoległych podstawach — sumują się do $180^\circ$ (kąty jednostronne):

$$x=180^\circ-70^\circ=110^\circ$$

Odpowiedź: $110^\circ$.

Krok 1 — oznaczenia. Kąty to $x$, $2x$, $3x$, $4x$.

Krok 2 — suma:

$$x+2x+3x+4x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad 10x=360^\circ \quad\Rightarrow\quad x=36^\circ$$

Krok 3 — kąty:

$$36^\circ,\quad 72^\circ,\quad 108^\circ,\quad 144^\circ$$

Sprawdzenie: $36+72+108+144=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$, $144^\circ$.

Krok 1 — oznaczenia. Trzy kąty to $x$, czwarty $x+30^\circ$.

Krok 2 — suma:

$$3x+(x+30^\circ)=360^\circ \quad\Rightarrow\quad 4x=330^\circ \quad\Rightarrow\quad x=82{,}5^\circ$$

Krok 3 — czwarty kąt:

$$82{,}5^\circ+30^\circ=112{,}5^\circ$$

Sprawdzenie: $3\cdot82{,}5+112{,}5=247{,}5+112{,}5=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: trzy po $82{,}5^\circ$ i jeden $112{,}5^\circ$.

Krok 1 — podział. Przekątna czworokąta wypukłego dzieli go na dwa trójkąty.

Krok 2 — suma kątów każdego trójkąta to $180^\circ$.

Krok 3 — złożenie. Kąty obu trójkątów razem tworzą wszystkie kąty czworokąta:

$$2\cdot180^\circ=360^\circ$$

Uogólnienie. Wielokąt o $n$ bokach dzieli się na $n-2$ trójkąty, więc suma jego kątów to $(n-2)\cdot180^\circ$.

Odpowiedź: suma wynosi $360^\circ$.

W równoległoboku kąty sąsiednie są kątami jednostronnymi przy równoległych bokach, więc się dopełniają:

$$\alpha+\beta=180^\circ$$

Kąty przeciwległe są natomiast równe.

Odpowiedź: C. $180^\circ$.

Prostokąt ma wszystkie kąty proste ($90^\circ$), ale boki mogą być różne (dwa dłuższe i dwa krótsze).

Romb — odwrotnie: równe boki, ale kąty niekoniecznie.

Odpowiedź: B. prostokąt.

Krok 1 — suma kątów czworokąta:

$$A+B+C+D=360^\circ$$

Krok 2 — podstawiamy znane i $C=D$:

$$90^\circ+120^\circ+2C=360^\circ$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$2C=150^\circ \quad\Rightarrow\quad C=75^\circ$$

Krok 4 — sprawdzenie wypukłości. Wszystkie kąty ($90^\circ$, $120^\circ$, $75^\circ$, $75^\circ$) są mniejsze od $180^\circ$, więc czworokąt jest wypukły ✔

Odpowiedź: $C=D=75^\circ$.

Krok 1 — kąt zewnętrzny. Przy każdym wierzchołku kąt zewnętrzny dopełnia wewnętrzny do $180^\circ$:

$$\text{zew}_i=180^\circ-\text{wew}_i$$

Krok 2 — sumujemy po czterech wierzchołkach:

$$\sum_{i=1}^{4}\text{zew}_i=4\cdot180^\circ-\sum_{i=1}^{4}\text{wew}_i$$

Krok 3 — podstawiamy sumę kątów wewnętrznych ($360^\circ$):

$$=720^\circ-360^\circ=360^\circ \qquad ∎$$

Uogólnienie. Suma kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$ — niezależnie od liczby boków, bo $n\cdot180^\circ-(n-2)\cdot180^\circ=360^\circ$.

Sprawdzenie: dla kątów wewnętrznych $90^\circ$, $120^\circ$, $75^\circ$, $75^\circ$ zewnętrzne to $90^\circ$, $60^\circ$, $105^\circ$, $105^\circ$, a ich suma $360^\circ$ ✔

Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

$$\alpha_{wpisany}=\frac{\alpha_{srodkowy}}{2}=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ$$

Odpowiedź: B. $40^\circ$.

Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku:

$$\alpha_{srodkowy}=2\cdot35^\circ=70^\circ$$

Odpowiedź: $70^\circ$.

Pole koła obliczamy ze wzoru:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: $36\pi\approx113{,}1$ cm$^2$.

Uwaga: promień podnosimy do kwadratu — pominięcie potęgi to najczęstszy błąd.

Odpowiedź: $P=36\pi\approx113$ cm$^2$.

W czworokącie wpisanym w okrąg sumy kątów przeciwległych wynoszą $180^\circ$:

$$\alpha+\gamma=180^\circ$$

Zatem kąt naprzeciw wynosi:

$$180^\circ-70^\circ=110^\circ$$

To warunek konieczny i wystarczający, aby na czworokącie można było opisać okrąg.

Odpowiedź: A. $110^\circ$.

Krok 1 — pole całego koła:

$$P=\pi\cdot10^2=100\pi$$

Krok 2 — wycinek to część koła. Kąt $90^\circ$ to $\frac{90}{360}=\frac14$ pełnego kąta:

$$P_{wycinka}=\frac14\cdot100\pi=25\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: $25\pi\approx78{,}5$ cm$^2$.

Odpowiedź: $25\pi\approx78{,}5$ cm$^2$.

Warunek na okrąg opisany na czworokącie dotyczy kątów:

$$\alpha+\gamma=180^\circ \quad \text{oraz} \quad \beta+\delta=180^\circ$$

Nie mylić z okręgiem wpisanym: ten istnieje, gdy sumy przeciwległych boków są równe ($a+c=b+d$).

Odpowiedź: B.

W czworokącie wpisanym sumy kątów przeciwległych to $180^\circ$. Kąty przeciwległe to pierwszy z trzecim oraz drugi z czwartym.

Para $100^\circ$ i $80^\circ$: $100^\circ+80^\circ=180^\circ$ ✔ (warunek spełniony)

Para $x$ i $2x$:

$$x+2x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad 3x=180^\circ \quad\Rightarrow\quad x=60^\circ$$

Sprawdzenie sumy wszystkich kątów: $60^\circ+100^\circ+120^\circ+80^\circ=360^\circ$ ✔

Odpowiedź: $x=60^\circ$.

Twierdzenie o kącie dopisanym: kąt między styczną a cięciwą równa się kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie (z drugiej strony).

Wynika to z faktu, że oba kąty odpowiadają połowie tego samego kąta środkowego.

Odpowiedź: A. kąt wpisany oparty na tej cięciwie.

Odcinek koła to wycinek minus trójkąt.

Krok 1 — pole wycinka (ćwiartka koła, kąt $90^\circ$):

$$P_{wycinka}=\frac14\pi\cdot4^2=\frac14\cdot16\pi=4\pi$$

Krok 2 — pole trójkąta. Przyprostokątne to dwa promienie po $4$ cm:

$$P_{trojkata}=\frac{4\cdot4}{2}=8$$

Krok 3 — pole odcinka:

$$P=4\pi-8\approx12{,}57-8=4{,}57\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $4\pi-8\approx4{,}57$ cm$^2$.

Krok 1 — zależność. Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego. Oznaczmy kąt wpisany przez $x$, wtedy środkowy to $2x$:

Krok 2 — warunek z treści (środkowy o $50^\circ$ większy):

$$2x=x+50^\circ \quad\Rightarrow\quad x=50^\circ$$

Krok 3 — oba kąty:

$$\text{wpisany}=50^\circ,\qquad \text{środkowy}=2\cdot50^\circ=100^\circ$$

Sprawdzenie: $100^\circ-50^\circ=50^\circ$ ✔ i $100^\circ=2\cdot50^\circ$ ✔

Odpowiedź: kąt wpisany $50^\circ$, kąt środkowy $100^\circ$.

1. $r=\frac{a+b-c}2=\frac{6+8-10}2=2$ (albo $r=\frac Pp=\frac{24}{12}$).

Odpowiedź: $2$

1. Wysokość na podstawę $6$: $\sqrt{25-9}=4$, $P=12$.
2. $R=\frac{abc}{4P}=\frac{150}{48}=\frac{25}8$.

Odpowiedź: $\tfrac{25}{8}$

1. Ramię prostopadłe $=2r$, ramię ukośne $c$. Warunek: $12+6=2r+c \Rightarrow c=18-2r$.
2. Pitagoras: $c^2=(2r)^2+6^2 \Rightarrow (18-2r)^2=4r^2+36 \Rightarrow 324-72r=36 \Rightarrow r=4$.
3. Kontrola: $h=8$, $c=10$, $8+10=18$ ✓.

Odpowiedź: $r=4$

1. $|\angle C|=180^\circ-70^\circ=110^\circ$, $|\angle D|=180^\circ-95^\circ=85^\circ$.

Odpowiedź: $|\angle C|=110^\circ$, $|\angle D|=85^\circ$

1. Wysokość na bok $14$: $h^2=13^2-x^2=15^2-(14-x)^2 \Rightarrow x=5$, $h=12$, $P=84$ (albo wzór Herona: $\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$).
2. $r=\frac{84}{21}=4$.
3. $R=\frac{13\cdot14\cdot15}{4\cdot84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}8$.

Odpowiedź: $P=84$, $r=4$, $R=\tfrac{65}8$

1. $OA\perp PA$: $|PA|=\sqrt{169-25}=12$.
2. Cięciwa $AB$ jest prostopadła do $OP$; połowa cięciwy to wysokość trójkąta $OAP$ z $A$: $\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13}$.
3. $|AB|=\frac{120}{13}$.

Odpowiedź: $|PA|=12$, $|AB|=\tfrac{120}{13}$

1. $p=\frac{7+8+9}2=12$. Odcinek stycznej z wierzchołka $A$: $p-|BC|=12-7=5$.
2. Z wierzchołka $B$: $p-|CA|=12-8=4$. Kontrola: $5+4=9$ ✓.

Odpowiedź: $|AK|=5$, $|KB|=4$

1. Deltoid wpisany: kąty przy $B$ i $D$ są równe i sumują się do $180^\circ$, więc są proste. $|\angle BCD|=120^\circ$.
2. $\triangle ABD$ równoboczny: $|BD|=6$. W $\triangle BCD$: $36=x^2+x^2+x^2=3x^2 \Rightarrow x=2\sqrt3$.
3. $P=2\cdot\frac12\cdot6\cdot2\sqrt3=12\sqrt3$, $p=6+2\sqrt3$.
4. $r=\frac{12\sqrt3}{6+2\sqrt3}=\frac{12\sqrt3(6-2\sqrt3)}{24}=3\sqrt3-3$.

Odpowiedź: $|BC|=|CD|=2\sqrt3$, $r=3\sqrt3-3$

1. Środek okręgu opisanego to środek przeciwprostokątnej: $R=\frac c2$.
2. Odcinki stycznych: $c=(a-r)+(b-r) \Rightarrow r=\frac{a+b-c}2$.
3. $r+R=\frac{a+b-c}2+\frac c2=\frac{a+b}2$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. $\triangle ABC$: $|AC|^2=9+25+15=49$, $|AC|=7$. $R=\frac{7}{2\sin120^\circ}=\frac{7\sqrt3}3$.
2. $|\angle ADC|=60^\circ$. $\triangle ACD$: $49=64+x^2-8x \Rightarrow x^2-8x+15=0 \Rightarrow x=3$ lub $x=5$.
3. Warunek $|AD|\gt |AB|=3$: $|AD|=5$.
4. $P=\frac12\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{15\sqrt3}4+10\sqrt3=\frac{55\sqrt3}4$.

Odpowiedź: $|AC|=7$, $R=\tfrac{7\sqrt3}{3}$, $|AD|=5$, $P=\tfrac{55\sqrt3}{4}$