Rozwiązujemy nierówność z wartością bezwzględną:

\(|x+1|\lt 3\iff -3\lt x+1\lt 3\)

Odejmujemy \(1\) od każdej części:

\(-4\lt x\lt 2\)

Liczby całkowite w tym przedziale to: \(-3, -2, -1, 0, 1\) — jest ich \(5\).

Odpowiedź: C.

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność podstawy:

\(\left(\frac{4}{25}\right)^{-0,5}=\left(\frac{25}{4}\right)^{0,5}\)

Wykładnik \(0{,}5=\frac{1}{2}\) oznacza pierwiastek kwadratowy:

\(\left(\frac{25}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2{,}5\)

Odpowiedź: C.

Rozwijamy kwadrat sumy:

\((2n+5)^2+3=4n^2+20n+25+3=4n^2+20n+28\)

Wyłączamy \(4\) przed nawias:

\(4n^2+20n+28=4\left(n^2+5n+7\right)\)

Liczba \(n\) jest naturalna, więc \(n^2+5n+7\) jest liczbą całkowitą.

Otrzymana liczba jest iloczynem liczby \(4\) i liczby całkowitej, zatem jest podzielna przez \(4\). \(\blacksquare\)

Przekształcamy lewą stronę na dwa sposoby.

Sposób 1 — suma logarytmów.

\(\log_{2}16+\log_{2}9=\log_{2}(16\cdot 9)=\log_{2}144\) — zgadza się z C.

Sposób 2 — obliczenie każdego składnika.

\(\log_{2}16=4\) (bo \(2^4=16\))

\(\log_{2}9=\log_{2}3^2=2\log_{2}3\)

Razem: \(4+2\log_{2}3\) — zgadza się z E.

Dlaczego pozostałe są błędne: A i B dają \(\log_{2}25\neq\log_{2}144\); D i F mają podstawę \(4\), a \(\log_{4}144=\frac{\log_{2}144}{2}\neq\log_{2}144\).

Odpowiedź: C oraz E.

Mnożymy obie strony przez \(17\):

\(3(6-x)\le 51\)

\(18-3x\le 51\)

\(-3x\le 33\)

Dzielimy przez \(-3\) i zmieniamy zwrot nierówności:

\(x\ge -11\)

Zbiorem rozwiązań jest przedział \([-11,+\infty)\).

Odpowiedź: D.

Wyznaczamy dziedzinę — mianownik musi być różny od zera:

\(2x+4\neq 0\), czyli \(x\neq -2\)

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru:

\(x(x+5)(2-x)=0\)

\(x=0\) lub \(x=-5\) lub \(x=2\)

Wszystkie trzy liczby należą do dziedziny (żadna nie jest równa \(-2\)), więc równanie ma trzy rozwiązania.

Odpowiedź: C.

Stosujemy metodę grupowania wyrazów:

\(x^3+5x^2-2x-10=0\)

\(x^2(x+5)-2(x+5)=0\)

Wyłączamy wspólny czynnik \((x+5)\):

\((x+5)\left(x^2-2\right)=0\)

Iloczyn jest równy zeru, gdy:

\(x+5=0\) lub \(x^2-2=0\)

\(x=-5\) lub \(x^2=2\), czyli \(x=\sqrt{2}\) lub \(x=-\sqrt{2}\)

Odpowiedź: \(x=-5\) lub \(x=\sqrt{2}\) lub \(x=-\sqrt{2}\)

Odczytujemy z wykresu równania obu prostych.

Prosta opadająca. Przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,2)\) i oś \(Ox\) w punkcie \((2,0)\), więc jej współczynnik kierunkowy wynosi:

\(a=\frac{0-2}{2-0}=-1\), czyli \(y=-x+2\)

Prosta rosnąca. Przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,-3)\), a przez punkt \((2,1)\), więc:

\(a=\frac{1-(-3)}{2-0}=2\), czyli \(y=2x-3\)

Odpowiedź: B.

Część 9.1 — największa wartość. Przeglądamy drugi wiersz tabeli: \(-3, -4, 4, 1, 5, 0, 2\). Największą z tych liczb jest \(5\) (dla argumentu \(x=2\)) — odpowiedź D.

Część 9.2 — miejsce zerowe. Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi \(0\). Z tabeli: \(f(4)=0\), więc miejscem zerowym jest \(4\) — odpowiedź C.

Odpowiedź: 9.1. D, 9.2. C.

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do osi \(Ox\):

\(\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Taką wartość tangensa ma kąt ostry o mierze \(30^\circ\), zatem:

\(\alpha=30^\circ\)

Stąd:

\(\sin\alpha=\sin 30^\circ=\frac{1}{2}\)

Odpowiedź: \(\frac{1}{2}\)

Masa bańki wraz z mlekiem to masa pustej bańki powiększona o masę \(x\) litrów mleka:

\(f(x)=1{,}03x+6{,}5\) dla \(x\in[0,10]\)

Stwierdzenie 1. Współczynnik kierunkowy \(1{,}03\gt 0\), więc funkcja jest rosnąca, a nie malejąca — stwierdzenie fałszywe (F).

Stwierdzenie 2. Rozwiązujemy \(f(x)=0\):

\(1{,}03x+6{,}5=0\Rightarrow x=-\frac{6{,}5}{1{,}03}\lt 0\)

Ta liczba nie należy do dziedziny \([0,10]\), więc funkcja nie ma miejsc zerowych — stwierdzenie prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P.

Funkcja \(f(x)=1{,}03x+6{,}5\) jest rosnąca, więc największą wartość przyjmuje dla największego argumentu z dziedziny, czyli dla \(x=10\):

\(f(10)=1{,}03\cdot 10+6{,}5=10{,}3+6{,}5=16{,}8\)

Odpowiada to masie pełnej bańki (\(10\) litrów mleka) wraz z bańką.

Odpowiedź: A.

Masa zawartości: \(x\) litrów mleka o masie \(1{,}03\) kg każdy daje \(1{,}03x\) kg.

Do tego dochodzi stała masa pustej bańki, czyli \(6{,}5\) kg.

Zatem:

\(f(x)=1{,}03x+6{,}5\)

Odpowiedź: D.

Z wykresu odczytujemy, że wierzchołek paraboli leży w punkcie \((1,-2)\), a ramiona są skierowane w górę.

Dla takiej paraboli najmniejszą wartością funkcji jest druga współrzędna wierzchołka, a wartości większe są przyjmowane bez ograniczenia z góry:

\(ZW_f=[-2,+\infty)\)

Odpowiedź: D.

Osią symetrii paraboli jest prosta pionowa przechodząca przez jej wierzchołek.

Wierzchołek ma współrzędne \((1,-2)\), więc oś symetrii ma równanie:

\(x=1\)

Odpowiedź: A.

Z wierzchołka \((1,-2)\) zapisujemy postać kanoniczną:

\(f(x)=a(x-1)^2-2\)

Z wykresu odczytujemy miejsce zerowe \(x=3\) i podstawiamy:

\(0=a(3-1)^2-2\)

\(4a=2\)

\(a=\frac{1}{2}\)

Zatem:

\(f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2-2\)

Sprawdzenie drugiego miejsca zerowego: \(f(-1)=\frac{1}{2}\cdot 4-2=0\) ✓

Odpowiedź: C.

Trzeci wyraz otrzymamy jako różnicę sumy trzech i sumy dwóch początkowych wyrazów:

\(a_3=S_3-S_2\)

Obliczamy obie sumy:

\(S_3=3^2+2\cdot 3=9+6=15\)

\(S_2=2^2+2\cdot 2=4+4=8\)

Zatem:

\(a_3=15-8=7\)

Odpowiedź: B.

W ciągu geometrycznym kolejne wyrazy powstają przez mnożenie przez iloraz \(q\), więc:

\(a_5=a_2\cdot q^3\)

Podstawiamy dane:

\(54=2\cdot q^3\)

\(q^3=27\)

\(q=3\)

Odpowiedź: A.

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich:

\(2\cdot 4=(2m-5)+9\)

\(8=2m+4\)

\(m=2\) — odpowiedź 2.

Dla \(m=2\) pierwszy wyraz wynosi \(2\cdot 2-5=-1\), więc ciąg ma postać:

\((-1,\;4,\;9)\)

Różnica \(r=5\gt 0\), zatem ciąg jest rosnący — odpowiedź A.

Odpowiedź: A2.

Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy sinus:

\(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\left(\frac{24}{25}\right)^2=1-\frac{576}{625}=\frac{49}{625}\)

Kąt jest ostry, więc sinus jest dodatni:

\(\sin\alpha=\frac{7}{25}\)

Obliczamy tangens:

\(\mathrm{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}}=\frac{7}{24}\)

Odpowiedź: B.

Naprzeciw kąta \(CAB\) leży przyprostokątna \(BC\), a przeciwprostokątną jest \(AB\), więc:

\(\sin|\sphericalangle CAB|=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{3}{5}\)

Oznaczmy \(|AB|=c\). Z warunku zadania \(|BC|=c-8\). Podstawiamy:

\(\frac{c-8}{c}=\frac{3}{5}\)

\(5(c-8)=3c\)

\(5c-40=3c\)

\(2c=40\)

\(c=20\)

Sprawdzenie: \(|BC|=12\), a \(\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\) ✓

Odpowiedź: B.

Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla boku leżącego naprzeciw kąta \(BAC\):

\(|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2-2\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\cos|\sphericalangle BAC|\)

Podstawiamy dane:

\(|BC|^2=5^2+2^2-2\cdot 5\cdot 2\cdot\frac{3}{5}\)

\(|BC|^2=25+4-12=17\)

\(|BC|=\sqrt{17}\)

Odpowiedź: A.

Kąt wpisany \(KLM\) ma wierzchołek w punkcie \(L\) i jest oparty na tym łuku \(KM\), który nie zawiera punktu \(L\).

Zaznaczony na rysunku kąt środkowy \(KSM=160^\circ\) odpowiada łukowi \(KM\) przechodzącemu przez punkt \(L\), zatem łuk, na którym oparty jest kąt wpisany, ma miarę:

\(360^\circ-160^\circ=200^\circ\)

Kąt wpisany jest połową odpowiadającego mu kąta środkowego:

\(|\sphericalangle KLM|=\frac{200^\circ}{2}=100^\circ\)

Odpowiedź: C.

Oznaczmy \(|AE|=h\), wtedy \(|ED|=24-h\).

Trójkąty \(ABE\) i \(DCE\) są prostokątne (kąty przy \(A\) i przy \(D\) są proste). Z równości kątów przy wierzchołku \(E\) wynika równość tangensów:

\(\mathrm{tg}|\sphericalangle BEA|=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{12}{h}\)

\(\mathrm{tg}|\sphericalangle CED|=\frac{|DC|}{|ED|}=\frac{6}{24-h}\)

Przyrównujemy:

\(\frac{12}{h}=\frac{6}{24-h}\)

\(12(24-h)=6h\)

\(288-12h=6h\)

\(h=16\)

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABE\):

\(|BE|=\sqrt{|AB|^2+|AE|^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\)

Odpowiedź: \(|BE|=20\)

Krok 1. Wierzchołek \(A\). Leży na przecięciu prostych zawierających boki \(AB\) i \(AD\):

\(\frac{1}{2}x-1=2x-4\)

\(3=\frac{3}{2}x\)

\(x=2\), \(y=\frac{1}{2}\cdot 2-1=0\)

\(A=(2,0)\)

Krok 2. Wierzchołek \(C\). Punkt \(S\) jest środkiem przekątnej \(AC\):

\(C=(2\cdot 9-2,\;2\cdot 11-0)=(16,22)\)

Krok 3. Wierzchołek \(B\). Bok \(BC\) jest równoległy do \(AD\), więc leży na prostej o współczynniku kierunkowym \(2\) przechodzącej przez \(C\):

\(y-22=2(x-16)\), czyli \(y=2x-10\)

Punkt \(B\) jest przecięciem tej prostej z prostą zawierającą bok \(AB\):

\(2x-10=\frac{1}{2}x-1\)

\(\frac{3}{2}x=9\)

\(x=6\), \(y=\frac{1}{2}\cdot 6-1=2\)

Sprawdzenie: \(D=2S-B=(12,20)\) leży na prostej \(y=2x-4\), bo \(2\cdot 12-4=20\) ✓

Odpowiedź: \(B=(6,2)\)

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:

\(3m-2=2m+4\)

\(m=6\)

Sprawdzenie: dla \(m=6\) obie proste mają współczynnik kierunkowy \(16\), a różne wyrazy wolne (\(-2\) i \(2\)), więc są równoległe i różne.

Odpowiedź: D.

Środek okręgu to środek średnicy \(AB\):

\(S=\left(\frac{-4+6}{2},\;\frac{7+(-1)}{2}\right)=(1,3)\)

Promień to połowa długości średnicy:

\(|AB|=\sqrt{(6-(-4))^2+(-1-7)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}\)

\(r=\frac{\sqrt{164}}{2}\), zatem \(r^2=\frac{164}{4}=41\)

Równanie okręgu:

\((x-1)^2+(y-3)^2=41\)

Odpowiedź: A.

Ostrosłup ma jedną podstawę i pozostałe ściany boczne, więc:

liczba ścian bocznych: \(12-1=11\)

Każda ściana boczna opiera się na jednym boku podstawy, zatem podstawą jest jedenastokąt.

Wierzchołki: \(11\) wierzchołków podstawy oraz \(1\) wierzchołek ostrosłupa:

\(11+1=12\)

Odpowiedź: C.

Trzy kolejne liczby naturalne parzyste, z których największa to \(10\), to:

\(6\), \(8\), \(10\)

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o krawędziach \(a\), \(b\), \(c\):

\(P_c=2(ab+bc+ac)\)

Podstawiamy:

\(P_c=2(6\cdot 8+8\cdot 10+6\cdot 10)=2(48+80+60)=2\cdot 188=376\)

Odpowiedź: A.

Krawędź \(AB\) jest prostopadła do ściany \(ADHE\) (bo \(AB\perp AD\) oraz \(AB\perp AE\)), więc trójkąt \(ABH\) jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(A\).

Kąt o mierze \(30^\circ\) leży przy wierzchołku \(H\), a naprzeciw niego znajduje się przyprostokątna \(AB=6\). Przeciwprostokątną jest szukana przekątna \(BH\):

\(\sin 30^\circ=\frac{|AB|}{|BH|}\)

\(\frac{1}{2}=\frac{6}{|BH|}\)

\(|BH|=12\)

Odpowiedź: C.

Oznaczmy cyfrę jedności przez \(j\). Wtedy cyfra dziesiątek wynosi \(j+3\) i musi być liczbą od \(1\) do \(9\).

Wypisujemy kolejne możliwości:

\(j=0\to 30\), \(j=1\to 41\), \(j=2\to 52\), \(j=3\to 63\), \(j=4\to 74\), \(j=5\to 85\), \(j=6\to 96\)

Dla \(j=7\) cyfra dziesiątek musiałaby wynosić \(10\), co jest niemożliwe.

Takich liczb jest \(7\).

Odpowiedź: C.

Obliczamy łączną liczbę punktów zdobytych przez wszystkich uczniów:

\(0\cdot 2+1\cdot 2+2\cdot 5+3\cdot 6+4\cdot 11+5\cdot 6\)

\(=0+2+10+18+44+30=104\)

Sprawdzamy liczbę uczniów:

\(2+2+5+6+11+6=32\) ✓

Obliczamy średnią arytmetyczną:

\(\frac{104}{32}=3{,}25\)

Odpowiedź: B.

Zdarzeniami elementarnymi są pary \((c,d)\), gdzie \(c\in C\) i \(d\in D\):

\(|\Omega|=5\cdot 3=15\)

Sprawdzamy, dla których par suma przekracza \(9\):

\(c=0\): sumy \(1,2,3\) — żadna

\(c=4\): sumy \(5,6,7\) — żadna

\(c=5\): sumy \(6,7,8\) — żadna

\(c=7\): sumy \(8,9,10\) — jedna para \((7,3)\)

\(c=9\): sumy \(10,11,12\) — trzy pary \((9,1)\), \((9,2)\), \((9,3)\)

\(|A|=1+3=4\)

\(P(A)=\frac{4}{15}\)

Odpowiedź: \(P(A)=\frac{4}{15}\)

Krok 1. Sprowadzenie do jednej zmiennej.

Z warunku \(x+y=12\) wyznaczamy \(y=12-x\), przy czym \(x\in[0,12]\) (obie liczby są nieujemne).

Podstawiamy do wyrażenia:

\(W(x)=2x^2+(12-x)^2=2x^2+144-24x+x^2=3x^2-24x+144\)

Krok 2. Najmniejsza wartość.

Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=3\gt 0\), więc najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku:

\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-24}{2\cdot 3}=4\)

Wartość \(4\) należy do przedziału \([0,12]\), więc jest dopuszczalna. Wtedy:

\(y=12-4=8\)

Krok 3. Obliczenie wartości.

\(W(4)=3\cdot 16-24\cdot 4+144=48-96+144=96\)

Sprawdzenie: \(2\cdot 4^2+8^2=32+64=96\) ✓

Odpowiedź: \(x=4\), \(y=8\), a najmniejsza wartość wyrażenia wynosi \(96\).