Wartość bezwzględna
Klasa 1 LO — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📘Teoria 1
Definicja
Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera na osi liczbowej — nigdy nie jest ujemna:
$$|a|=\begin{cases} a & \text{dla } a\ge 0 \ -a & \text{dla } a<0 \end{cases}$$
Interpretacja geometryczna
To najważniejsze narzędzie w tym dziale:
$$|a-b| = \text{odległość między liczbami } a \text{ i } b$$
Dlatego $|x-2|$ czytamy jako „odległość liczby $x$ od liczby $2$”, a samo $|x|$ jako „odległość $x$ od zera”.
Równania
Równanie $|W(x)|=a$ dla $a>0$ rozbijamy na dwa przypadki:
$$W(x)=a \quad \text{lub} \quad W(x)=-a$$
Przykład: $|x-3|=2$ daje $x-3=2$ lub $x-3=-2$, czyli $x=5$ lub $x=1$. Geometrycznie: szukamy liczb odległych o $2$ od liczby $3$.
Gdy $a<0$, równanie nie ma rozwiązań — odległość nie może być ujemna. Gdy $a=0$, rozwiązanie jest jedno.
Nierówności typu „mniejsze”
$$|x|0)$$
Rozwiązaniem jest przedział — liczby blisko zera. Przykład: $|x|<4$ daje $x\in(-4,\,4)$.
Nierówności typu „większe”
$$|x|\ge a \iff x\le -a \ \text{ lub } \ x\ge a$$
Rozwiązaniem jest suma dwóch przedziałów — liczby daleko od zera. Przykład: $|x|\ge3$ daje $x\in(-\infty,\,-3\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$.
Ogólny wzorzec
$$|x-p| To przedział o środku $p$ i promieniu $r$ — bardzo wygodny sposób zapisu otoczenia punktu. Najczęstszy błąd to podanie tylko jednego rozwiązania równania — pamiętaj o obu przypadkach. Drugi to pomylenie kierunku nierówności: „mniejsze” daje jeden przedział w środku, „większe” daje dwa przedziały po bokach. Zawsze warto naszkicować oś liczbową.Własności
Na co uważać
∑Wzory 1
Co robi: zamienia zapis z wartością bezwzględną na równania i nierówności bez modułu.
Elementy: $a>0$ (dla $a<0$ równanie $|x|=a$ nie ma rozwiązań). Interpretacja: $|x-c|$ to odległość $x$ od punktu $c$ na osi liczbowej.
Przykład: $|x-3|<2$ oznacza odległość od 3 mniejszą niż 2, czyli $x\in(1,5)$. Natomiast $|2x+1|=7$ daje $2x+1=7$ lub $2x+1=-7$, więc $x=3$ lub $x=-4$.
Pułapka: nierówność „mniejsze” daje jeden przedział (koniunkcja), „większe” — dwa rozłączne (alternatywa). Zapis $-a
🧩Quizy 2
✍Zadania 80
Ile wynosi $|-7|$?
Wyrażenie $(a+b)^2$ jest równe:
Rozwiązaniem nierówności $x+3>7$ jest:
Oblicz $|3-8|+|{-2}|$.
Wypisz trzy wzory skróconego mnożenia i podaj przykład liczbowy do trzeciego z nich.
Rozwiąż nierówność $2x<10$.
Rozwiąż równanie $|x|=6$.
Oblicz $53^2-47^2$ bez podnoszenia do kwadratu.
Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną znak nierówności:
Zapis $x\in\langle2,\,7)$ oznacza:
Które wyrażenie jest zawsze nieujemne dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$?
Rozwiąż nierówność $-3x\ge12$.
Wyznacz $A\cup B$ oraz $A\cap B$, gdy $A=(1,\,5)$ i $B=\langle3,\,8\rangle$.
Rozłóż na czynniki wyrażenie $x^2-25$.
Rozwiąż nierówność $3x-5\le x+7$.
Rozwiązaniem nierówności $|x|<4$ jest:
Wyrażenie $x^2+6x+9$ można zapisać jako:
Ile wynosi $|-8|$?
Rozwiąż równanie $|x-3|=5$.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2+4x+5>0$.
Rozwiąż równanie $|x|=5$.
Rozwiąż nierówność $|x|\ge3$.
Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą.
Rozwiąż nierówność $-2x+1<7$.
Ile wynosi $|\sqrt2-2|$?
Dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi:
Nierówność $|x|<3$ jest równoważna:
Zapisz za pomocą wartości bezwzględnej zbiór liczb, których odległość od $4$ jest mniejsza niż $2$. Podaj też ten zbiór jako przedział.
Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $x^2+1\ge2x$.
Rozwiąż nierówność $|x|\ge4$.
Zbiór $(-\infty,\,3)\cap\langle0,+\infty)$ to:
Wyrażenie $(a-b)^2$ jest równe:
Ile wynosi $|3-7|$?
Rozwiąż nierówność $|x-1|\le4$.
Oblicz $102^2$, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
Rozwiąż nierówność $\frac{x}{2}+1>3$.
Wyznacz $A\setminus B$, gdy $A=\langle0,\,10\rangle$ i $B=(3,\,6)$.
Wykaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest zawsze parzysty.
Rozwiąż równanie $|x-2|=3$.
Wyrażenie $\sqrt{x^2}$ jest równe:
Wyrażenie $|x|\cdot|y|$ jest równe:
Największą liczbą całkowitą spełniającą $x<4{,}5$ jest:
Rozwiąż równanie $|2x-6|=10$.
Wykaż, że wyrażenie $x^2-8x+20$ przyjmuje tylko wartości dodatnie, i podaj jego wartość najmniejszą.
Rozwiąż nierówność $2(x-1)\ge3(x+1)$.
Ile liczb całkowitych należy do przedziału $(-2,\,3\rangle$?
Liczba parzysta zapisana ogólnie to:
Równanie $|x|=-2$ ma:
Rozwiąż nierówność $|x+2|>5$ i zapisz odpowiedź w postaci przedziałów.
Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych daje przy dzieleniu przez $8$ resztę $2$.
Ile liczb całkowitych spełnia nierówność $-2\le x<4$?
Dane są zbiory $A=(-\infty,\,4\rangle$, $B=\langle-1,\,7)$. Wyznacz $A\cap B$, $A\cup B$ oraz $B\setminus A$.
Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ zachodzi $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$.
Rozwiąż nierówność $|2x-4|<6$.
Rozwiąż równanie $|x-1|=|x+3|$.
Wykaż, że jeśli $n$ jest liczbą całkowitą, to wyrażenie $n^2+n$ jest zawsze parzyste.
Za ile najmniej pełnych godzin pracy przy stawce $25$ zł/h zarobek przekroczy $200$ zł?
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi $|a+b|\le|a|+|b|$. Podaj przykład, gdy zachodzi równość, i przykład, gdy nierówność jest ostra.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi $a^2+b^2\ge2ab$, i wyjaśnij, kiedy zachodzi równość. Podaj zastosowanie tej nierówności.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi $|x|\ge x$.
Rozwiąż nierówność $|x-2|-2\cdot|x+3|<-2$.
Dana jest nierówność $|x-1|\ge3$. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono zbiór wszystkich rozwiązań na osi liczbowej? (A: $[-2,4]$; B: $x\le-2$ lub $x\ge4$, końce domknięte; C: $(-2,4)$; D: $x<-2$ lub $x>4$)
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów: $(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$ (końce domknięte). Zbiór ten jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:
$$|x-3|\ge5$$
Na którym rysunku prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających powyższą nierówność?
