Obserwacja: wyrazy rosną i zbliżają się do $1$, ale nigdy jej nie osiągają.
Odpowiedź: $\frac12$, $\frac23$, $\frac34$.
Zadanie nr 6
Który wzór opisuje ciąg $2$, $4$, $6$, $8$, $\dots$?
A$a_n=n+2$
B$a_n=2^n$
C$a_n=2n$
D$a_n=n^2$
Sprawdzamy wzór $a_n=2n$ dla kolejnych $n$:
$$2,\quad 4,\quad 6,\quad 8 \ ✔$$
Pozostałe wzory dają: $3,4,5,6$ (A); $2,4,8,16$ (B); $1,4,9,16$ (D) — tylko pierwsze dwa wyrazy się zgadzają w niektórych przypadkach, co pokazuje, że sprawdzenie jednego wyrazu nie wystarcza.
Sprawdzenie: $1{,}5$; $1\frac13$; $1{,}25$; $1{,}2$ — maleje i pozostaje nad jedynką ✔
Zadanie nr 19
W pierwszym rzędzie kina jest $20$ miejsc, a w każdym następnym o $2$ więcej. Zapisz wzór ogólny i rekurencyjny tego ciągu, a następnie oblicz, ile miejsc jest w rzędzie piętnastym.
Krok 1 — wzór rekurencyjny. Każdy rząd ma o $2$ miejsca więcej niż poprzedni:
$$a_1=20,\qquad a_{n+1}=a_n+2$$
Krok 2 — wzór ogólny. Do pierwszego rzędu dodajemy $(n-1)$ razy po $2$ miejsca:
$$a_n=20+2(n-1)=2n+18$$
Krok 3 — piętnasty rząd:
$$a_{15}=2\cdot15+18=48$$
Kontrola wzoru: $a_1=2+18=20$ ✔
Porównanie obu zapisów. Wzór rekurencyjny lepiej opisuje regułę („o dwa więcej"), ale żeby policzyć $a_{15}$, trzeba przejść przez wszystkie poprzednie. Wzór ogólny daje wynik od razu.
Odpowiedź: $a_n=2n+18$; w rzędzie piętnastym jest $48$ miejsc.
Zadanie nr 20
Dany jest ciąg $a_n=\frac{3n-1}{n}$. Zbadaj jego monotoniczność i wyjaśnij, do jakiej wartości zbliżają się jego wyrazy.
Krok 3 — do czego zbliżają się wyrazy. Gdy $n$ rośnie, $\frac1n$ maleje do zera, więc wyrazy zbliżają się do $3$ — ale nigdy jej nie osiągają, bo $\frac1n$ nigdy nie jest zerem.
Wniosek metodyczny. Rozdzielenie ułamka na część stałą i malejącą ($3-\frac1n$) od razu pokazuje obie odpowiedzi: co rośnie i do czego zmierza. Ten sam chwyt działa dla każdego ciągu postaci $\frac{an+b}{n}$.
Odpowiedź: ciąg jest rosnący, a jego wyrazy zbliżają się do $3$.
Zadanie nr 1
Ciąg $a_n=2n$ ma trzeci wyraz równy:
A$2$
B$6$
C$8$
D$3$
Podstawiamy $n=3$:
$$a_3=2\cdot3=6$$
Odpowiedź: B. $6$.
Zadanie nr 2
Wypisz cztery pierwsze wyrazy ciągu $a_n=n^2-1$.
Podstawiamy $n=1,2,3,4$:
$$a_1=0,\quad a_2=3,\quad a_3=8,\quad a_4=15$$
Odpowiedź: $0,\ 3,\ 8,\ 15$.
Zadanie nr 3
Ciąg to funkcja, której dziedziną jest zbiór:
Aliczb rzeczywistych
Bliczb całkowitych
Cliczb naturalnych
Dliczb wymiernych
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych (numery wyrazów).
Wartości ciągu mogą być dowolne, ale argumenty (numery $n$) to liczby naturalne.
Odpowiedź: C. liczb naturalnych.
Zadanie nr 4
Ciąg dany jest wzorem $a_n=\dfrac{n}{n+1}$. Oblicz $a_1$ i $a_4$.
$$a_1=\frac{1}{2},\qquad a_4=\frac{4}{5}$$
Obserwacja: wyrazy rosną i zbliżają się do $1$, ale nigdy go nie osiągają.
Odpowiedź: $a_1=\frac12$, $a_4=\frac45$.
Zadanie nr 5
Ciąg $a_n=(-1)^n$ przyjmuje wartości:
Ana przemian $-1$ i $1$
Bzawsze $1$
Czawsze $-1$
Drosnące
Potęga $(-1)^n$ zależy od parzystości $n$:
$$a_1=-1,\ a_2=1,\ a_3=-1,\ a_4=1,\ \dots$$
Ciąg jest naprzemienny.
Odpowiedź: A. na przemian $-1$ i $1$.
Zadanie nr 6
Ciąg określony rekurencyjnie: $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+3$. Oblicz $a_2$ i $a_3$.
Każdy wyraz powstaje z poprzedniego przez dodanie $3$:
$$a_2=a_1+3=5,\qquad a_3=a_2+3=8$$
To ciąg arytmetyczny o różnicy $3$.
Odpowiedź: $a_2=5$, $a_3=8$.
Zadanie nr 7
Który wyraz ciągu $a_n=2n-1$ jest równy $15$?
Krok 1 — układamy równanie:
$$2n-1=15$$
Krok 2 — rozwiązujemy:
$$2n=16 \quad\Rightarrow\quad n=8$$
Sprawdzenie: $a_8=2\cdot8-1=15$ ✔
Odpowiedź: ósmy wyraz.
Zadanie nr 8
Ciąg $a_n=n^2-4n+3$. Dla jakiego $n$ wyraz jest równy zero?
Krok 1 — równanie:
$$n^2-4n+3=0 \quad\Rightarrow\quad (n-1)(n-3)=0$$
Krok 2 — rozwiązania:
$$n=1 \quad\text{lub}\quad n=3$$
Krok 3 — sprawdzenie dziedziny. Oba są liczbami naturalnymi, więc oba są numerami wyrazów zerowych.
Odpowiedź: $a_1=0$ oraz $a_3=0$.
Zadanie nr 9
Ciąg $a_n=5$ (dla każdego $n$) to ciąg:
Arosnący
Bmalejący
Cnaprzemienny
Dstały
Wszystkie wyrazy są równe $5$, więc ciąg jest stały.
Odpowiedź: D. stały.
Zadanie nr 10
Ciąg $a_n=n^2$. Ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od $50$?
Krok 1 — warunek:
$$n^2\lt 50$$
Krok 2 — szukamy największego $n$. $7^2=49\lt 50$, ale $8^2=64>50$:
$$n\le7$$
Krok 3 — wyrazy: $a_1,\dots,a_7$ — jest ich siedem.
Odpowiedź: $7$ wyrazów.
Zadanie nr 11
Ciąg $a_n=n+2$ jest ciągiem:
Amalejącym
Brosnącym
Cstałym
Dnaprzemiennym
Różnica kolejnych wyrazów:
$$a_{n+1}-a_n=(n+3)-(n+2)=1>0$$
Ciąg rośnie.
Odpowiedź: B. rosnącym.
Zadanie nr 12
Ciąg Fibonacciego: $a_1=1$, $a_2=1$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$. Oblicz pięć pierwszych wyrazów.
Pani Anna spłaciła pożyczkę w wysokości $7200$ zł w $16$ ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o $20$ zł. Oblicz wysokość pierwszej raty.
Raty tworzą ciąg arytmetyczny: $r=-20$, $n=16$, $S_{16}=7200$.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma \(S_3\) trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa
A\(18\)
B\(24\)
C\(60\)
D\(90\)
Obliczamy trzy początkowe wyrazy ciągu:
\(a_1=3\cdot 1^2-3\cdot 1=0\)
\(a_2=3\cdot 4-3\cdot 2=12-6=6\)
\(a_3=3\cdot 9-3\cdot 3=27-9=18\)
Sumujemy:
\(S_3=0+6+18=24\)
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 15 · Matura 2024
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-1)^n\cdot(n-5)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Pierwszy wyraz ciągu \((a_{n})\) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu.
P
F
Wszystkie wyrazy ciągu \((a_{n})\) są dodatnie.
P
F
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Obliczmy wartość pierwszego i trzeciego wyrazu, podstawiając do wzoru ciągu odpowiednio \(n=1\) oraz \(n=3\):
$$a_{1}=(-1)^1\cdot(1-5)=(-1)\cdot(-4)=4$$
$$a_{3}=(-1)^3\cdot(3-5)=(-1)\cdot(-2)=2$$
Pierwszy wyraz jest więc dwa razy większy od wyrazu trzeciego, zatem zdanie jest prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Tu prosta obserwacja pozwala stwierdzić, że na pewno nie wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Przykładowo drugi wyraz tego ciągu będzie ujemny, ponieważ:
$$a_{2}=(-1)^2\cdot(2-5)=1\cdot(-3)=-3$$
Zdanie jest więc fałszem.
Zadanie nr 13 · Matura 2024
Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\). Suma \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem \(S_n=n^2+2n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzeci wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy
A\(5\)
B\(7\)
C\(13\)
D\(15\)
Trzeci wyraz otrzymamy jako różnicę sumy trzech i sumy dwóch początkowych wyrazów:
\(a_3=S_3-S_2\)
Obliczamy obie sumy:
\(S_3=3^2+2\cdot 3=9+6=15\)
\(S_2=2^2+2\cdot 2=4+4=8\)
Zatem:
\(a_3=15-8=7\)
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 16.1 · Matura 2024
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A\(3\)
B\(7\)
C\(50\)
D\(100\)
Obliczamy kilka początkowych wyrazów ciągu:
\(a_1=2\cdot(-1)^2+5=2+5=7\)
\(a_2=2\cdot(-1)^3+5=-2+5=3\)
\(a_3=7\), \(a_4=3\), …
Ciąg jest naprzemienny: \(7,\,3,\,7,\,3,\ldots\)
Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć wyrazów równych \(7\) i pięć równych \(3\):
\(S_{10}=5\cdot 7+5\cdot 3=35+15=50\)
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 15 · Matura 2023
Ciąg $(a_n)$ dany jest wzorem $a_n=2^n\cdot(n+1)$ dla $n\ge1$. Wyraz $a_4$ jest równy
A$64$
B$40$
C$48$
D$80$
Rozwiązanie
$a_4=2^4\cdot(4+1)=16\cdot5=80$.
Odpowiedź: D
Zadanie nr 15 · Matura 2023
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\cdot(n+1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wyraz \(a_{4}\) jest równy:
A\(64\)
B\(40\)
C\(48\)
D\(80\)
Chcąc obliczyć wartość czwartego wyrazu, wystarczy podstawić do wzoru ciągu \(n=4\), zatem:
$$a_{4}=2^4\cdot(4+1)$$
$$a_{4}=16\cdot5$$
$$a_{4}=80$$
Zadanie nr 16 · Matura 2023
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(-1)^n\cdot\frac{n+1}{2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{n-2}{3}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od \(10\) jest równa
A\(28\)
B\(31\)
C\(32\)
D\(27\)
Rozwiązujemy nierówność \(a_n\lt 10\):
\(\frac{n-2}{3}\lt 10\)
\(n-2\lt 30\)
\(n\lt 32\)
Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną i \(n\ge 1\), warunek spełniają liczby \(n=1,2,\ldots,31\).
Takich wyrazów jest \(31\).
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 15 · Matura 2023
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\cdot(n+1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wyraz \(a_{4}\) jest równy:
A\(64\)
B\(40\)
C\(48\)
D\(80\)
Chcąc obliczyć wartość czwartego wyrazu, wystarczy podstawić do wzoru ciągu \(n=4\), zatem:
$$a_{4}=2^4\cdot(4+1)$$
$$a_{4}=16\cdot5$$
$$a_{4}=80$$
Zadanie nr 15 · Matura 2023
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\cdot(n+1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wyraz \(a_{4}\) jest równy:
A\(64\)
B\(40\)
C\(48\)
D\(80\)
Chcąc obliczyć wartość czwartego wyrazu, wystarczy podstawić do wzoru ciągu \(n=4\), zatem:
$$a_{4}=2^4\cdot(4+1)$$
$$a_{4}=16\cdot5$$
$$a_{4}=80$$
Zadanie nr 13 · Matura 2022
Dane są ciągi \(a_{n}=3n\) oraz \(b_{n}=4n-2\), określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Liczba \(10\):
Ajest wyrazem ciągu \((a_{n})\) i jest wyrazem ciągu \((b_{n})\)
Bjest wyrazem ciągu \((a_{n})\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_{n})\)
Cnie jest wyrazem ciągu \((a_{n})\) i jest wyrazem ciągu \((b_{n})\)
Dnie jest wyrazem ciągu \((a_{n})\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_{n})\)
Aby sprawdzić, czy liczba \(10\) jest wyrazem naszych ciągów, musimy rozwiązać równania \(3n=10\) oraz \(4n-2=10\) i sprawdzić, kiedy otrzymamy wynik będący liczbą naturalną (bo w ciągach \(n\) jest zawsze liczbą naturalną większą od zera - mamy to zresztą zapisane w treści zadania). W związku z tym:
Ciąg \(a_{n}\):
$$3n=10$$
$$n=3\frac{1}{3}$$
Otrzymany wynik oznacza, że liczba \(10\) nie jest wyrazem ciągu.
Ciąg \(b_{n}\):
$$4n-2=10$$
$$4n=12$$
$$n=3$$
Otrzymany wynik oznacza, że liczba \(10\) jest wyrazem ciągu (i możemy dodać, że jest to trzeci wyraz tego ciągu).
Zadanie nr 14 · Matura 2022
Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_{n})\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(1\)
B\(11\)
C\(21\)
D\(31\)
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Z treści zadania wynika, że \(a_{2}=2\) oraz \(q=2\). To oznacza, że pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
$$a_{1}=a_{2}:q$$
$$a_{1}=2:2$$
$$a_{1}=1$$
Krok 2. Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{5}=1\cdot\frac{1-2^{5}}{1-2}$$
$$S_{5}=1\cdot\frac{1-32}{-1}$$
$$S_{5}=1\cdot\frac{-31}{-1}$$
$$S_{5}=1\cdot31$$
$$S_{5}=31$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2022
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\dfrac{7^n}{21}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Zadanie 1. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu \((a_{n})\) jest:
A. \(\dfrac{7^{49}}{3}\)
B. \(\dfrac{7^{50}}{3}\)
C. \(\dfrac{7^{51}}{3}\)
D. \(\dfrac{7^{52}}{3}\)
Zadanie 2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Ciąg \((a_{n})\) jest geometryczny.
2. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\) jest równa \(20\).
Odpowiedź 1.
Wartość pięćdziesiątego wyrazu możemy obliczyć podstawiając do wzoru ciągu \(n=50\), zatem:
$$a_{50}=\frac{7^{50}}{21}$$
Takiej odpowiedzi jednak nie mamy wśród proponowanych. Musimy więc jeszcze przekształcić podany zapis. Patrząc na odpowiedzi widzimy, że dążymy do tego, aby w mianowniku ułamka znalazła się liczba \(3\), zatem:
$$a_{50}=\frac{7\cdot7^{49}}{7\cdot3}$$
$$a_{50}=\frac{7^{49}}{3}$$
Odpowiedź 2.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Już po samym wzorze widać wyraźnie, że jest to ciąg geometryczny, ale, jeśli chcemy się dokładnie upewnić, to nie pozostaje nam nic innego jak obliczyć wartość \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\), zatem:
$$\frac{\frac{7^{n+1}}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{\frac{7^{n}\cdot7}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{7^{n}\cdot7}{21}\cdot\frac{21}{7^n}=7$$
Otrzymany wynik oznacza, że jest to ciąg geometryczny, w którym \(q=7\). Zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu, czyli:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
Ustaliliśmy już, że \(q=7\), więc obliczmy jeszcze wartość \(a_{1}\), zatem:
$$a_{1}=\frac{7^1}{21}$$
$$a_{1}=\frac{7}{21}$$
$$a_{1}=\frac{1}{3}$$
Skoro tak, to suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu będzie równa:
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-7^3}{1-7}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-343}{-6}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot57$$
$$S_{3}=19$$
Zdanie jest więc fałszem.
Zadanie nr 16 · Próbny 2022
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3n-1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Zadanie 1. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Ciąg \((a_{n})\) jest:
A. rosnący,
B. malejący,
C. stały,
ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)
1. \(a_{n+1}-a_{n}=-1\)
2. \(a_{n+1}-a_{n}=0\)
3. \(a_{n+1}-a_{n}=3\)
Zadanie 2. Najmniejszą wartością \(n\), dla której wyraz \((a_{n})\) jest większy od \(25\), jest:
A. \(8\)
B. \(9\)
C. \(7\)
D. \(26\)
Zadanie 3. Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \(a_{n}\) jest równa \(57\) dla \(n\) równego:
A. \(6\)
B. \(23\)
C. \(5\)
D. \(11\)
Odpowiedź 1.
Już po samym wzorze widać, że jest to ciąg rosnący, ponieważ mamy klasyczny wzór ciągu arytmetycznego, a liczba stojąca przed \(n\) to różnica ciągu, czyli tutaj \(r=3\). Możemy jednak standardowo ustalić monotoniczność, tak jak jest to wskazane w sugerowanych odpowiedziach, czyli obliczając różnicę \(a_{n+1}-a_{n}\). Skoro tak, to:
$$a_{n+1}-a_{n}=3(n+1)-1-(3n-1)=3n+3-1-3n+1=3$$
Otrzymaliśmy dodatni wynik, a to oznacza, że ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_{n}=3\).
Odpowiedź 2.
Chcemy sprawdzić kiedy wartość wyrazów tego ciągu jest większa od \(25\), czyli musimy sprawdzić kiedy \(3n-1\) jest większe od \(25\). Zatem:
$$3n-1\gt25$$
$$3n\gt26$$
$$n\gt8\frac{2}{3}$$
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, a najmniejszą liczbą naturalną od \(8\frac{2}{3}\) jest \(9\).
Odpowiedź 3.
Krok 1. Podstawienie danych do wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Wiemy już, że nasz ciąg jest arytmetyczny, a skoro tak, to możemy w tym zadaniu skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Do tego wzoru potrzebujemy podstawić \(r\) i ustaliliśmy już, że \(r=3\). Oprócz tego musimy obliczyć jeszcze \(a_{1}\), zatem podstawiając do wzoru \(n=1\), otrzymamy:
$$a_{1}=3\cdot1-1$$
$$a_{1}=3-1$$
$$a_{1}=2$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=3,\;b=1,\;c=-114\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-114)=1-(-1368)$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1369}=37$$
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, zatem zostaje nam jedynie \(n=6\) i taka też będzie odpowiedź do tego zadania.
Zadanie nr 14 · Matura 2022
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\dfrac{n-2}{2n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
A\(\left(-\frac{1}{10}\right)\)
B\(\frac{3}{50}\)
C\(\frac{3}{100}\)
D\(\left(-\frac{1}{5}\right)\)
Aby wyznaczyć wartość piątego wyrazu ciągu, wystarczy do wzoru ciągu podstawić \(n=5\), zatem:
$$a_{5}=\frac{5-2}{2\cdot5^2}$$
$$a_{5}=\frac{3}{2\cdot25}$$
$$a_{5}=\frac{3}{50}$$
Zadanie nr 15 · Matura 2022
Ciąg \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa \(2\) oraz \(a_{8}=48\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy:
A\(2\)
B\(24\)
C\(3\)
D\(40\)
Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że:
$$a_{8}=a_{4}+4r$$
Wartość \(a_{8}=48\) podana jest w treści zadania, podobnie jak różnica \(r=2\), zatem:
$$48=a_{4}+4\cdot2$$
$$48=a_{4}+8$$
$$a_{4}=40$$
Zadanie nr 13 · Matura 2022
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{2n^2-30n}{n}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wtedy \(a_{7}\) jest równy:
A\((-196)\)
B\((-32)\)
C\((-26)\)
D\((-16)\)
Aby wyznaczyć wartość \(a_{7}\), wystarczy podstawić do wzoru ciągu wartość \(n=7\), zatem:
$$a_{7}=\frac{2\cdot7^2-30\cdot7}{7}$$
$$a_{7}=\frac{2\cdot49-210}{7}$$
$$a_{7}=\frac{98-210}{7}$$
$$a_{7}=\frac{-112}{7}$$
$$a_{7}=-16$$
Zadanie nr 30 · Matura 2022
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_{1}=-1\) i \(a_{4}=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=-1$$
$$a_{4}=8$$
Korzystając ze wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{1}+3r$$
$$8=-1+3r$$
$$9=3r$$
$$r=3$$
Krok 2. Obliczenie sumy \(S_{100}\).
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając teraz znane nam wartości oraz \(n=100\) (bo interesuje nas suma stu pierwszych wyrazów), otrzymamy:
$$S_{100}=\frac{2\cdot(-1)+(100-1)\cdot3}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{-2+99\cdot3}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{-2+297}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=147,5\cdot100$$
$$S_{100}=14750$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2021
Ciągi \((a_{n})\), \((b_{n})\) oraz \((c_{n})\) są określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) następująco:
DWśród ciągów \((a_{n}), (b_{n}), (c_{n})\) nie ma ciągu arytmetycznego.
Teoretycznie już po samym wzorze powinniśmy się zorientować, że jedynie ciąg \((b_{n})\) jest arytmetyczny. Nie mniej jednak, aby nie było żadnych wątpliwości, dobrze jest sprawdzić sobie kilka początkowych wyrazów każdego ciągu. Przykładowo:
To nie jest ciąg arytmetyczny, bo \(c_{2}-c_{1}=2\), natomiast \(c_{4}-c_{3}=8\).
Ciągiem arytmetycznym jest więc jedynie ciąg \((b_{n})\).
Zadanie nr 15 · Próbny 2021
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-2)^n\cdot n+1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Wtedy trzeci wyraz tego ciągu jest równy:
A\(-24\)
B\(-17\)
C\(-32\)
D\(-23\)
Chcąc obliczyć trzeci wyraz tego ciągu, wystarczy podstawić do wzoru \(n=3\):
$$a_{3}=(-2)^3\cdot3+1$$
$$a_{3}=(-8)\cdot3+1$$
$$a_{3}=(-24)+1$$
$$a_{3}=-23$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2021
W ciągu liczbowym \(a_{n}=(-1)^{2n+1}\cdot\left(2^{n-1}-1\right)\) dla \(n\ge1\) suma \(a_{5}+a_{11}\) jest równa:
A\(1024\)
B\(1038\)
C\(-1024\)
D\(-1038\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\) oraz \(a_{11}\).
Chcąc obliczyć wartość piątego i jedenastego wyrazu, musimy podstawić do wzoru ciągu odpowiednio \(n=5\) oraz \(n=11\):
$$a_{5}=(-1)^{2\cdot5+1}\cdot\left(2^{5-1}-1\right)$$
$$a_{5}=(-1)^{10+1}\cdot(2^4-1)$$
$$a_{5}=(-1)^{11}\cdot(16-1)$$
$$a_{5}=(-1)\cdot15$$
$$a_{5}=-15$$
Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{5}+a_{11}\).
Suma tych wyrazów jest więc równa:
$$a_{5}+a_{11}=(-15)+(-1023)$$
$$a_{5}+a_{11}=-1038$$
Zadanie nr 13 · Matura 2021
Dane są ciągi \((a_{n}), (b_{n}), (c_{n}), (d_{n})\) określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) wzorami: \(a_{n}=20n+3, b_{n}=2n^2-3, c_{n}=n^2+10n-2, d_{n}=\frac{n+187}{n}\). Liczba \(197\) jest dziesiątym wyrazem ciągu:
A\((a_{n})\)
B\((b_{n})\)
C\((c_{n})\)
D\((d_{n})\)
Aby dowiedzieć się, który ciąg jest tym poszukiwanym, wystarczy podstawić do każdego z nich wartość \(n=10\). W ten sposób obliczymy wartość dziesiątego wyrazu każdego z tych ciągów:
$$a_{10}=20\cdot10+3$$
$$a_{10}=200+3$$
$$a_{10}=203$$
Widzimy, że liczba \(197\) jest dziesiątym wyrazem ciągu \(b_{n}\).
Zadanie nr 14 · Matura 2021
Ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek \(a_{3}=a_{1}\cdot a_{2}\). Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu \((a_{n})\). Wtedy:
A\(a_{1}=\frac{1}{q}\)
B\(a_{1}=q\)
C\(a_{1}=q^2\)
D\(a_{1}=q^3\)
Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{2}=a_{1}\cdot q$$
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$
Podstawiając te dane do równania z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}\cdot a_{2}$$
$$a_{1}\cdot q^2=a_{1}\cdot a_{1}\cdot q$$
$$q^2=a_{1}\cdot q$$
$$a_{1}=q$$
Zadanie nr 14 · Matura 2021
Ciąg \(b_{n}\) jest określony wzorem \(b_{n}=3n^2-25n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Liczba niedodatnich wyrazów ciągu \(b_{n}\) jest równa:
A\(14\)
B\(13\)
C\(9\)
D\(8\)
Krok 1. Ułożenie nierówności.
Aby sprawdzić ile jest wyrazów niedodatnich (czyli ujemnych lub równych zero) musimy sprawdzić kiedy \(3n^2-25n\) będzie mniejsze lub równe \(0\). W związku z tym musimy rozwiązać nierówność:
$$3n^2-25n\le0$$
Krok 2. Rozwiązanie nierówności.
Możemy tę nierówność rozwiązać korzystając z delty (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale znacznie prościej będzie będzie po prostu wyłączyć \(n\) przed nawias:
$$n(3n-25)\le0$$
Teraz do rozwiązania nierówności musimy wyznaczyć miejsca zerowe, czyli sprawdzić kiedy \(n(3n-25)\) jest równe \(0\). Wystarczy więc przyrównać \(n\) oraz \(3n-25\) do zera:
$$n=0 \quad\lor\quad 3n-25=0$$
$$n=0 \quad\lor\quad 3n=25$$
$$n=0 \quad\lor\quad n=8\frac{1}{3}$$
Znając miejsca zerowe, możemy przystąpić do rysowania paraboli (ramiona paraboli będą skierowane do góry):
Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, czyli patrzymy się na to, co znajduje się pod osią lub na osi. To oznacza, że \(n\in\langle0;8\frac{1}{3}\rangle\).
Krok 3. Ustalenie liczby niedodatnich wyrazów.
Wiemy, że w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną \(n\ge1\). Zastanówmy się więc, jakie liczby mieszczą się w przedziale \(n\in\langle0;8\frac{1}{3}\rangle\). Będą to:
$$1,2,3,4,5,6,7,8$$
To oznacza, że nasz ciąg ma \(8\) wyrazów niedodatnich.
Zadanie nr 16 · Próbny 2020
Ciąg \((a_{n})\) dany jest wzorem \(a_{n}=(5-n)\cdot(n+3)\) dla wszystkich liczb naturalnych \(n\ge1\). Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(5\)
B\(4\)
C\(3\)
D\(0\)
Krok 1. Ułożenie nierówności kwadratowej.
Chcąc sprawdzić ile jest dodatnich wyrazów naszego ciągu musimy sprawdzić kiedy \((5-n)\cdot(n+3)\) jest większe od zera. To oznacza, że musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$(5-n)\cdot(n+3)\gt0$$
Krok 2. Rozwiązanie nierówności kwadratowej.
Powstała nam klasyczna nierówność kwadratowa, którą musimy teraz rozwiązać. Pierwszym krokiem ku temu jest tradycyjnie wyznaczenie miejsc zerowych, czyli sprawdzenie kiedy \((5-n)\cdot(n+3)\) jest równe \(0\). Oczywiście możemy wymnożyć przez siebie poszczególne nawiasy, otrzymując w ten sposób postać ogólną z której potem wyliczymy deltę, ale istnieje szybszy sposób na rozwiązanie tego przykładu. Aby \((5-n)\cdot(n+3)\) było równe \(0\), to albo wartość w tym pierwszym nawiasie jest równa \(0\), albo w tym drugim (dokładnie tak jak w postaci iloczynowej). Z tego też względu:
$$5-n=0 \quad\lor\quad n+3=0$$
$$n=5 \quad\lor\quad n=-3$$
Teraz zaznaczamy te dwa miejsca zerowe na naszej osi liczbowej (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\gt\)) i przystępujemy do rysowania paraboli. Musimy jeszcze tylko ustalić, czy ramiona paraboli będą skierowane do góry, czy do dołu. No i tu jest spora pułapka, bo ramiona paraboli będą skierowane do dołu, co najlepiej będzie widać, gdy wymnożymy przez siebie te dwa nawiasy:
$$(5-n)\cdot(n+3)=5n+15-n^2-3n=-n^2+2n+15$$
Przed \(n^2\) mamy minusa, czyli współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny. Stąd też ramiona paraboli muszą być skierowane do dołu. Nasz wykres będzie więc wyglądał w ten oto sposób:
Z wykresu wynika, że rozwiązaniem naszej nierówności kwadratowej jest przedział \(n\in(-3;5)\).
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
To jednak nie jest koniec zadania. Z własności ciągów wiemy, że \(n\) musi być liczbą naturalną, bo nie ma czegoś takiego jak np. "półtorazowy wyraz". To oznacza, że z przedziału \(n\in(-3;5)\) musimy jeszcze wyodrębnić liczby naturalne. W tym przedziale znajdą się cztery takie liczby: \(1,2,3,4\) (piątka jest poza przedziałem, bo nawias nie jest domknięty), co matematycznie możemy zapisać jako \(n\in\{1,2,3,4\}\). To oznacza, że tylko cztery wyrazy tego ciągu są liczbami dodatnimi - pierwszy, drugi, trzeci oraz czwarty.
Zadanie nr 30 · Próbny 2020
Ustal, czy w ciągu \((a_{n})\) o wyrazie ogólnym \(a_{n}=n^2-3n-10\) są wyrazy równe \(0\).
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, zatem wynik \(n=-2\) nas nie interesuje. Pasuje nam za to wynik \(n=5\) i oznacza on, że w tym ciągu jest jeden wyraz mający wartość równą \(0\) i jest to wyraz piąty.
Zadanie nr 14 · Matura 2020
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n^2\) dla \(n\ge1\). Różnica \(a_{5}-a_{4}\) jest równa:
A\(4\)
B\(20\)
C\(36\)
D\(18\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{5}\) oraz \(a_{4}\).
Aby móc poznać wartość poszukiwanej różnicy, musimy obliczyć wartość piątego i czwartego wyrazu. Podstawiając zatem odpowiednio \(n=5\) oraz \(n=4\) otrzymamy:
$$a_{5}=2\cdot5^2$$
$$a_{5}=2\cdot25$$
$$a_{5}=50$$
$$\quad$$
$$a_{4}=2\cdot4^2$$
$$a_{4}=2\cdot16$$
$$a_{4}=32$$
Krok 2. Obliczenie różnicy \(a_{5}-a_{4}\).
Znając wartość piątego i czwartego wyrazu obliczenie różnicy jest już tylko formalnością:
$$a_{5}-a_{4}=50-32$$
$$a_{5}-a_{4}=18$$
Zadanie nr 10 · Matura 2019
W ciągu \((a_{n})\) na określonym dla każdej liczby \(n\ge1\) jest spełniony warunek \(a_{n+3}=-2\cdot 3^{n+1}\). Wtedy:
A\(a_{5}=-54\)
B\(a_{5}=-27\)
C\(a_{5}=27\)
D\(a_{5}=54\)
Krok 1. Ustalenie wartości \(n\).
Z proponowanych odpowiedzi wynika, że szukamy wartości piątego wyrazu, czyli \(a_{5}\). W zapisanym wyrażeniu w treści zadania mamy po lewej stronie równania zapis \(a_{n+3}\), czyli w naszym przypadku \(n=2\), bo wtedy mamy \(a_{2+3}\), czyli właśnie \(a_{5}\).
Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{5}\)
Podstawiając \(n=2\) do wzoru ciągu otrzymamy:
$$a_{2+3}=-2\cdot 3^{2+1}$$
$$a_{5}=-2\cdot 3^{3}$$
$$a_{5}=-2\cdot27$$
$$a_{5}=-54$$
Zadanie nr 27 · Próbny 2018
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{4n+5}{2n+1}\) dla \(n\ge1\). Sprawdź, czy istnieje wyraz tego ciągu równy \(2\frac{1}{2}\).
Aby sprawdzić, czy w danym ciągu istnieje wyraz równy \(2\frac{1}{2}\) wystarczy rozwiązać następujące równanie:
$$\frac{4n+5}{2n+1}=2\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot(2n+1)$$
$$4n+5=2\frac{1}{2}\cdot(2n+1)$$
$$4n+5=5n+2\frac{1}{2}$$
$$-n=-2\frac{1}{2}$$
$$n=2\frac{1}{2}$$
Otrzymany wynik nie jest liczbą naturalną, a to sprawia, że liczba \(2\frac{1}{2}\) nie może być jednym z wyrazów tego ciągu.
Zadanie nr 11 · Matura 2018
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\frac{5-2n}{6}\) dla \(n\ge1\). Ciąg ten jest:
Aarytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\)
Barytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\)
Cgeometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\)
Dgeometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\)
Krok 1. Obliczenie wartości trzech kolejnych wyrazów ciągu.
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie obliczyć wartości trzech kolejnych wyrazów tego ciągu i na tej podstawie wyciągniemy potem wnioski na temat tego ciągu. Podstawiając do wzoru \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) otrzymamy:
$$a_{1}=\frac{5-2\cdot1}{6}=\frac{5-2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$
$$a_{2}=\frac{5-2\cdot2}{6}=\frac{5-4}{6}=\frac{1}{6}$$
$$a_{3}=\frac{5-2\cdot3}{6}=\frac{5-6}{6}=-\frac{1}{6}$$
Krok 2. Ustalenie czy ciąg jest arytmetyczny, czy geometryczny.
Ustalmy najpierw jaki jest to ciąg. Już na pierwszy rzut oka widać, że musi być to ciąg arytmetyczny, bo ciąg geometryczny nie miałby po dwóch wyrazach dodatnich nagle wyrazu ujemnego (mógłby mieć co najwyżej na przemian wyrazy dodatnie i ujemne). Jeżeli tego nie dostrzegamy, to możemy sprawdzić czy dla trzech sąsiednich wyrazów zachodzi charakterystyczna dla ciągów arytmetycznych równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
$$\frac{1}{6}=\frac{\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{6}\right)}{2} \quad\bigg/\cdot2$$
$$\frac{2}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6} \quad\bigg/+\frac{1}{6}$$
$$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$
$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
$$L=P$$
Skoro lewa strona jest równa prawej, to znaczy że ciąg jest arytmetyczny.
Krok 3. Ustalenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Na koniec musimy jeszcze ustalić różnicę ciągu arytmetycznego, a dokonamy tego odejmując np. od wartości drugiego wyrazu wartość wyrazu pierwszego:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=\frac{1}{6}-\frac{1}{2}$$
$$r=\frac{1}{6}-\frac{3}{6}$$
$$r=-\frac{2}{6}$$
$$r=-\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 12 · Próbny 2017
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-1)^n\cdot\frac{n}{n+1}\) dla \(n\ge1\). Iloczyn \(a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\) jest równy:
A\(-\frac{1}{2}\)
B\(-\frac{1}{4}\)
C\(0\)
D\(\frac{1}{4}\)
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego oraz trzeciego wyrazu.
Podstawiając do wzoru ciągu odpowiednio \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) otrzymamy:
$$a_{1}=(-1)^1\cdot\frac{1}{1+1}=-1\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$$
$$a_{2}=(-1)^2\cdot\frac{2}{2+1}=1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$$
$$a_{3}=(-1)^3\cdot\frac{3}{3+1}=-1\cdot\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$
Krok 2. Obliczenie iloczynu trzech pierwszych wyrazów.
Zgodnie z treścią zadania musimy obliczyć iloczyn trzech pierwszych wyrazów, których wartości przed chwilą wyznaczyliśmy, zatem:
$$-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2017
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=4(n+1)(n-10)\) dla \(n\ge1\). Ile wyrazów ujemnych ma ten ciąg?
A\(9\)
B\(10\)
C\(11\)
D\(12\)
Aby dowiedzieć się ile wyrazów ujemnych ma wskazany ciąg musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$4(n+1)(n-10)\lt0 \quad\bigg/:4$$
$$(n+1)(n-10)\lt0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej.
Otrzymaliśmy nierówność kwadratową zapisaną w postaci iloczynowej. Rozwiązywanie nierówności rozpoczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych, czyli sprawdzenia kiedy \((n+1)(n-10)=0\). Zgodnie z własnościami postaci iloczynowej możemy zapisać, że:
$$n+1=0 \quad\lor\quad n-10=0$$
$$n=-1 \quad\lor\quad n=10$$
Zaznaczamy na osi nasze wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\lt\)) i szkicujemy parabolę. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, zatem:
Teraz musimy odczytać rozwiązania naszej nierówności. Interesują nas wartości mniejsze od zera, czyli wszystko to, co znalazło się pod osią. Możemy więc zapisać, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(n\in(-1;10)\).
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Ze wszystkich dotychczasowych obliczeń wyszło nam, że \(4(n+1)(n-10)\) jest mniejsze od zera dla każdego \(n\), które jest większe od \(-1\) i mniejsze od \(10\). W przypadku ciągów \(n\) musi być dodatnią liczbą naturalną. Musimy więc sprawdzić jakie liczby naturalne mieszczą się w wyznaczonym przez nas przedziale. Takimi liczbami będą: \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\). Pasuje nam \(9\) liczb, zatem ten ciąg ma \(9\) wyrazów ujemnych.
Zadanie nr 13 · Próbny 2016
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{3}{4}n^2-24n+90\) dla \(n\ge1\). Najmniejszy wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:
A\(90\)
B\(66\frac{3}{4}\)
C\(-102\)
D\(-124\)
Krok 1. Potraktowanie ciągu jako funkcji.
Potraktujmy nasz ciąg jak funkcję, która jest określona jedynie dla argumentów będących liczbami naturalnymi. Funkcja swoją najmniejszą lub największą wartość przyjmuje w wierzchołku \(W=(p;q)\). To oznacza, że tak naprawdę interesować nas będzie poznanie współrzędnych wierzchołka paraboli, ale z zastrzeżeniem, że współrzędna \(p\) musi być liczbą naturalną.
Ze wzoru ciągu możemy odczytać, że \(b=-24\) oraz \(a=\frac{3}{4}\). W związku z tym:
$$p=\frac{-(-24)}{2\cdot\frac{3}{4}}$$
$$p=\frac{24}{\frac{3}{2}}$$
$$p=24:\frac{3}{2}$$
$$p=24\cdot\frac{2}{3}$$
$$p=16$$
Współrzędna \(p\) jest liczbą naturalną i to jest bardzo dobra wiadomość, bo za chwilę będziemy mogli podstawić tę liczbę do wzoru naszego ciągu. Gdyby się okazało, że \(p\) jest równe np. \(16\frac{1}{5}\), to w kolejnym kroku musielibyśmy sprawdzić wartość funkcji dla argumentów \(n=16\) oraz \(n=17\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej \(q\).
Współrzędną \(q\) moglibyśmy wyznaczyć ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale skoro znamy wartość współrzędnej \(p=16\) to możemy po prostu podstawić do wzoru wartość \(n=16\) i w ten sposób obliczymy wartość przyjmowaną w tym wierzchołku, czyli wartość współrzędnej \(q\). Zatem:
$$q=\frac{3}{4}\cdot16^2-24\cdot16+90$$
$$q=\frac{3}{4}\cdot256-384+90$$
$$q=\frac{3}{4}\cdot256-384+90$$
$$q=192-384+90$$
$$q=-102$$
To oznacza, że najmniejszą wartością przyjmowaną przez ten ciąg jest wartość \(16\)-stego wyrazu i jest ona równa \(-102\).
Zadanie nr 18 · Próbny 2016
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\sqrt{n-2}\) dla \(n\ge2\). Ile wyrazów tego ciągu jest mniejszych od \(2\)?
A\(2\)
B\(4\)
C\(5\)
Dnieskończenie wiele
Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie nierówności.
Szukamy wyrazów mniejszych od \(2\), zatem możemy ułożyć następującą nierówność:
$$\sqrt{n-2}\lt2 \quad\bigg/^2$$
$$n-2\lt4$$
$$n\lt6$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Musimy teraz ustalić co wynika z otrzymanego wyniku, pamiętając że w ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną. Z treści zadania wiemy, że \(n\ge2\) natomiast z nierówności wynika, że \(n\) musi być mniejsze od \(6\). W związku z tym są cztery wyrazy, które spełniają te dwa warunki: \(n=\{2,3,4,5\}\).
Zadanie nr 15 · Matura 2015
Ciąg liczbowy określony jest wzorem \(a_{n}=\frac{2^n-1}{2^n+1}\), dla \(n\ge1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
A\(-1\)
B\(\frac{31}{33}\)
C\(\frac{9}{11}\)
D\(1\)
Aby obliczyć piąty wyraz ciągu musimy do wzoru ciągu podstawić \(n=5\), zatem:
$$a_{5}=\frac{2^5-1}{2^5+1}$$
$$a_{5}=\frac{32-1}{32+1}$$
$$a_{5}=\frac{31}{33}$$
Zadanie nr 12 · Próbny 2015
Wzór ogólny ciągu \((a_{n})\) określonego dla wszystkich liczb naturalnych \(n\ge1\) ma postać \(a_{n}=\sqrt{n^3}\cdot\sqrt[3]{n}\cdot\sqrt[6]{n}\). Wynika stąd, że:
A\(a_{3}=\sqrt[11]{243}\)
B\(a_{3}=9\)
C\(a_{3}=\sqrt[6]{243}\)
D\(a_{3}=2\)
Patrząc się na odpowiedzi widzimy, że musimy obliczyć wartość trzeciego wyrazu. Naszym zadaniem będzie więc podstawienie \(n=3\) do wzoru ciągu:
$$a_{3}=\sqrt{3^3}\cdot\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{3}$$
$$a_{3}=3^{\frac{3}{2}}\cdot3^{\frac{1}{3}}\cdot3^{\frac{1}{6}}$$
$$a_{3}=3^{\frac{3}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$$
$$a_{3}=3^{\frac{9}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}}$$
$$a_{3}=3^2$$
$$a_{3}=9$$
Zadanie nr 10 · Próbny 2015
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym \(a_{n}=-3n+118\). Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(37\)
B\(38\)
C\(39\)
D\(0\)
Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie nierówności.
Naszym zadaniem jest sprawdzenie ile jest dodatnich wyrazów tego ciągu, czyli kiedy \(-3n+118\) jest większe od zera.
$$-3n+118\gt0$$
$$-3n\gt-118$$
$$n\lt39\frac{1}{3}$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z nierówności wyszło nam, że dopóki \(n\) jest mniejsze od \(39\frac{1}{3}\) to wyrazy ciągu są dodatnie. Zatem przykładowo dla \(n=25\) ciąg jest dodatni, ale dla \(n=40\) ciąg będzie już ujemny.
Z własności ciągów wiemy, że \(n\) jest zawsze liczbą naturalną, większą od zera. W związku z tym naszą nierówność spełniać będą liczby \(n\in\{1,2,3,...,37,38,39\}\), czyli ten ciąg ma \(39\) dodatnich wyrazów.
Zadanie nr 26 · Próbny 2015
Sprawdź, czy liczba \(\frac{33}{27}\) jest wyrazem ciągu o wyrazie ogólnym \(a_{n}=\frac{3n-1}{2n+5}\).
Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie równania.
Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie i wyciągnięcie wniosków z następującego równania:
$$\frac{3n-1}{2n+5}=\frac{33}{27}$$
To równanie najproście jest rozwiązać mnożąc na krzyż, zatem:
$$27\cdot(3n-1)=33\cdot(2n+5)$$
$$81n-27=66n+165$$
$$15n=192$$
$$n=12,8$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W ciągach \(n\) jest zawsze liczbą naturalną większą od zera. Otrzymany wynik nie jest liczbą naturalną, zatem liczba \(\frac{33}{27}\) nie jest wyrazem tego ciągu (dokładniej rzecz ujmując jest to liczba pomiędzy \(12\)-stym i \(13\)-stym wyrazem).
Zadanie nr 22 · Próbny 2014
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{24-4n}{n}\) dla \(n\ge1\). Liczba wszystkich całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(7\)
B\(6\)
C\(5\)
D\(4\)
Krok 1. Obliczenie łącznej liczby wyrazów nieujemnych ciągu \((a_{n})\).
Musimy ustalić ile wyrazów tego ciągu przyjmuje wartość większą lub równą zero. To oznacza, że musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{n}\ge0$$
$$\frac{24-4n}{n}\ge0 \quad\bigg/\cdot n$$
$$24-4n\ge0$$
$$-4n\ge-24 \quad\bigg/:(-4)$$
$$n\le6$$
Z tego rozwiązania wynika, że ciąg ma sześć wyrazów, które są większe lub równe zero.
Tak na marginesie - mogliśmy pomnożyć obie strony nierówności przez \(n\), bo wiemy że \(n\ge1\). Stąd też nie ma obaw, że jest to liczba ujemna, która powodowałaby zmianę znaku. O zmianie znaku nierówności należało za to pamiętać dzieląc obie strony przez \(-4\).
Krok 2. Wyznaczenie liczby całkowitych nieujemnych wyrazów tego ciągu.
Niestety to nie koniec zadania. Pułapka w tym zadaniu polega na tym, że nie każdy z tych sześciu nieujemnych wyrazów jest liczbą całkowitą. Nie ma innego wyjścia, musimy obliczyć po kolei wartość każdego z tych wyrazów:
$$a_{1}=\frac{24-4\cdot1}{1}=\frac{24-4}{1}=\frac{20}{1}=20$$
$$a_{2}=\frac{24-4\cdot2}{2}=\frac{24-8}{2}=\frac{16}{2}=8$$
$$a_{3}=\frac{24-4\cdot3}{3}=\frac{24-12}{3}=\frac{12}{3}=4$$
$$a_{4}=\frac{24-4\cdot4}{4}=\frac{24-16}{4}=\frac{8}{4}=2$$
$$a_{5}=\frac{24-4\cdot5}{5}=\frac{24-20}{5}=\frac{4}{5}$$
$$a_{6}=\frac{24-4\cdot6}{6}=\frac{24-24}{6}=\frac{0}{6}=0$$
Z naszych obliczeń wynika, że pięć wyrazów jest liczbą całkowitą (wszystkie oprócz \(a_{5}\)), zatem prawidłową odpowiedzią jest \(C\).
Zadanie nr 22 · Matura 2013
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=n^2-n\), dla \(n\ge1\). Który wyraz tego ciągu jest równy \(6\)?
ADrugi
BTrzeci
CSzósty
DTrzydziesty
Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby.
I sposób - metoda podstawiania:
Możemy podstawiać pod \(n\) poszczególne liczby z odpowiedzi (czyli \(n=2\), \(n=3\), \(n=6\) oraz \(n=30\)) i sprawdzić kiedy wynik będzie równy \(6\). Całość wyglądałaby wtedy następująco:
$$a_{2}=2^2-2=4-2=2$$
$$a_{3}=3^2-3=9-3=6$$
$$a_{6}=n^2-n=6^2-6=36-6=30$$
$$a_{30}=n^2-n=30^2-30=900-30=870$$
To oznacza, że to właśnie trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(6\).
II sposób - tworząc odpowiednie równanie kwadratowe:
Gdyby się okazało, że tego typu zadanie jest zadaniem otwartym, bez podpowiedzi, to całość moglibyśmy rozwiązać tworząc i rozwiązując odpowiednie równanie kwadratowe:
$$n^2-n=6$$
$$n^2-n-6=0$$
Skoro \(n\gt1\), to ujemny wynik odrzucamy i zostaje nam \(n=3\), czyli trzeci wyraz.
Zadanie nr 16 · Matura 2013
Ciąg \((a_{n})\) określony jest wzorem \(a_{n}=-2+\frac{12}{n}\) dla \(n\ge1\). Równość \(a_{n}=4\) zachodzi dla:
A\(n=2\)
B\(n=3\)
C\(n=4\)
D\(n=5\)
Zgodnie z treścią zadania musimy ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$a_{n}=4$$
$$-2+\frac{12}{n}=4$$
$$\frac{12}{n}=6$$
$$12=6n$$
$$n=2$$
Zadanie nr 12 · Matura 2012
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\frac{n}{(-2)^n}\) dla \(n\ge1\). Wówczas:
A\(a_{3}=\frac{1}{2}\)
B\(a_{3}=-\frac{1}{2}\)
C\(a_{3}=\frac{3}{8}\)
D\(a_{3}=-\frac{3}{8}\)
Chcąc obliczyć wartość trzeciego wyrazu tego ciągu wystarczy podstawić do wzoru \(n=3\):
$$a_{n}=\frac{n}{(-2)^n}$$
$$a_{3}=\frac{3}{(-2)^3}$$
$$a_{3}=\frac{3}{-8}$$
$$a_{3}=-\frac{3}{8}$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2012
Dany jest ciąg \((a_{n})\) o wyrazie ogólnym \(a_{n}=-n^2+16\) dla \(n\ge1\). Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(3\)
B\(4\)
C\(5\)
D\(7\)
Krok 1. Ułożenie nierówności.
Aby dowiedzieć się ile jest dodatnich wyrazów tego ciągu to musimy rozwiązać nierówność:
$$-n^2+16\gt0 \quad\bigg/\cdot(-1)$$
$$n^2-16\lt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz musimy obliczyć miejsca zerowe wielomianu, przyrównując wartość \(n^2-16\) do zera. Możemy to zrobić standardową deltą, ale to jest jedna z tych nierówności którą da się obliczyć niemalże w pamięci:
$$n^2-16=0$$
$$n^2=16$$
$$n=4 \quad\lor\quad n=-4$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Znając miejsca zerowe wielomianu możemy przystąpić do szkicowania wykresu paraboli. Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo przed \(n^2\) nie ma żadnej ujemnej wartości:
Krok 4. Odczytanie i interpretacja rozwiązania.
Szukamy argumentów, dla których nierówność przyjmuje wartości mniejsze od zera. W związku z tym: \(n\in(-4;4)\).
Jak teraz zinterpretować to rozwiązanie? Z treści zadania (i ogólnie z wiedzy o ciągach) wiemy, że \(n\ge1\). Wiemy też, że \(n\) jest liczbą naturalną. W związku z tym skoro nasze \(n\) musi być większe lub równe \(1\) i jednocześnie musi się mieścić w przedziale \(n\in(-4;4)\), to mamy tylko trzy liczby które spełniają te warunki: \(n=1, n=2, n=3\). W związku z tym ten ciąg ma tylko trzy dodatnie wyrazy.
Zadanie nr 14 · Matura 2012
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\sqrt{2n+4}\) dla \(n\ge1\). Wówczas:
A\(a_{8}=2\sqrt{5}\)
B\(a_{8}=8\)
C\(a_{8}=5\sqrt{2}\)
D\(a_{8}=\sqrt{12}\)
Aby poznać wartość ósmego wyrazu (a patrząc na odpowiedzi wiemy, że właśnie tej wartości poszukujemy) musimy podstawić do wzoru ciągu \(n=8\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{8}=\sqrt{2\cdot8+4}$$
$$a_{8}=\sqrt{16+4}$$
$$a_{8}=\sqrt{20}$$
$$a_{8}=\sqrt{4\cdot5}$$
$$a_{8}=2\sqrt{5}$$
Zadanie nr 18 · Matura 2012
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=(-1)^n\cdot\frac{2-n}{n^2}\) dla \(n\ge1\). Wówczas wyraz \(a_{5}\) tego ciągu jest równy:
A\(-\frac{3}{25}\)
B\(\frac{3}{25}\)
C\(-\frac{7}{25}\)
D\(\frac{7}{25}\)
Chcąc obliczyć piąty wyraz tego ciągu wystarczy podstawić \(n=5\), zatem:
$$a_{5}=(-1)^5\cdot\frac{2-5}{5^2}$$
$$a_{5}=-1\cdot\frac{-3}{25}$$
$$a_{5}=\frac{3}{25}$$
Zadanie nr 16 · Matura 2011
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=2n^2-9\) dla \(n\ge1\)?
A\(0\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(3\)
Sposób I - obliczenie wartości kilku początkowych wyrazów:
W przypadku tego zadania najprościej jest wyznaczyć sobie wartości kilku pierwszych wyrazów i sprawdzić ile z nich będzie ujemnych. Po odpowiedziach widzimy, że dużo liczenia nas nie czeka, bo będą to maksymalnie trzy wyrazy. Zatem:
$$a_{1}=2\cdot1^2-9=2\cdot1-9=2-9=-7$$
$$a_{2}=2\cdot2^2-9=2\cdot4-9=8-9=-1$$
$$a_{3}=2\cdot3^2-9=2\cdot9-9=18-9=9$$
Widzimy, że tylko dwa pierwsze wyrazy są ujemne, zatem prawidłowa jest odpowiedź \(C\).
Sposób II - obliczenie za pomocą ułożonej nierówności:
Powyższy sposób nie sprawdziłby się nam w zadaniach z trudniejszymi liczbami albo w zadaniach otwartych. Spróbujmy więc dojść do rozwiązania w nieco bardziej matematyczny sposób. Szukamy wyrazów ujemnych, zatem:
$$2n^2-9\lt0$$
$$2n^2\lt9$$
$$n^2\lt4,5$$
Teraz musimy się zastanowić jakie liczby naturalne podniesione do kwadratu dadzą wynik mniejszy niż \(4,5\) (interesują nas tylko liczby naturalne, bo w ciągach \(n\in N\)). Na pewno takimi liczbami będą \(1\) oraz \(2\) i to są jedyne dwie możliwości. Zatem to oznacza, że w naszym ciągu znajdą się tylko dwa wyrazy ujemne.
Zadanie nr 12 · Próbny 2009
Dla \(n=1,2,...\) ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-1)^n\cdot(3-n)\). Wtedy:
A\(a_{3}\lt0\)
B\(a_{3}=0\)
C\(a_{3}=1\)
D\(a_{3}\gt1\)
Musimy obliczyć wartość trzeciego wyrazu tego ciągu, czyli tak naprawdę podstawić do wzoru \(n=3\). Zatem:
$$a_{3}=(-1)^3\cdot(3-3)$$
$$a_{3}=-1\cdot0$$
$$a_{3}=0$$
Zadanie nr 22 · Matura
Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(n+3)(n-5)\) dla \(n\ge 1\). Liczba ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(3\)
B\(4\)
C\(7\)
D\(9\)
Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności kwadratowej.
Chcąc sprawdzić dla jakich wartości \(n\) ciąg przyjmuje wartości ujemne musimy rozwiązać następującą nierówność kwadratową:
$$(n+3)(n-5)\lt0$$
Ta nierówność jest zapisana w postaci iloczynowej, zatem w bardzo łatwy sposób wyznaczymy jej miejsca zerowe - wystarczy przyrównać wartość każdego z nawiasów do zera:
$$n+3=0 \quad\lor\quad n-5=0$$
$$n=-3 \quad\lor\quad n=5$$
Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo przed przed \(n\) nie stoi żaden znak minusa. Zaznaczamy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i szkicujemy wykres paraboli.
Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności i interpretacja otrzymanego wyniku.
Interesują nas wartości ujemne, czyli znajdujące się pod osią, a więc rozwiązaniem naszej nierówności jest przedział \(x\in(-3;5)\).
Teraz musimy się zastanowić co ten wynik oznacza i jaka jest odpowiedź na nasze zadanie, bowiem pytają nas o to ile jest wyrazów ujemnych w tym ciągu. Musimy więc w otrzymanym rozwiązaniu uwzględnić jeszcze założenie wynikające z własności ciągów, czyli że \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią. W związku z tym rozwiązaniami które nas interesują są jedynie:
$$x\in\{1,2,3,4\}$$
(Piątki nie uwzględniamy, bo nawias nie był domknięty).
To oznacza, że są tylko cztery wyrazy tego ciągu, które przyjmują ujemną wartość.
Zadanie nr 15 · Matura
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=-3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Liczby \(2, (-1), (-4)\) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu \((a_{n})\). \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej \(5\).
Liczby \(2, (-1), (-4)\) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu \((a_{n})\).
\((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej \(5\).
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Chcąc obliczyć wartości trzech początkowych wyrazów, wystarczy podstawić \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) do wzoru ciągu, zatem:
$$a_{1}=-3\cdot1+5=-3+5=2$$
$$a_{2}=-3\cdot2+5=-6+5=-1$$
$$a_{3}=-3\cdot3+5=-9+5=-4$$
Zdanie jest więc prawdą, bo \(2, (-1), (-4)\) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami tego ciągu.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Już po samym wzorze powinniśmy dostrzec, że jest to ciąg arytmetyczny i w dodatku od ręki powinniśmy stwierdzić, że różnica tego ciągu to \(r=-3\) (bo taka też wartość stoi przed \(n\)).
Gdybyśmy jednak nie mieli takiej pewności, to możemy sobie z tym zadaniem poradzić nieco inaczej. W tym celu wystarczy sprawdzić o ile różnią się sąsiadujące ze sobą wyrazy - będziemy wtedy wiedzieć, czy jest to w ogóle ciąg arytmetyczny, no i poznamy przy okazji ewentualną różnicę tego ciągu. Korzystając z wartości wyrazów obliczonych w poprzednim kroku, możemy zapisać, że:
$$a_{2}-a_{1}=-1-2=-3$$
$$a_{3}-a_{2}=-4-(-1)=-4+1=-3$$
Zarówno z obliczeń jak i obserwacji wynika wyraźnie, że każdy kolejny wyraz jest o \(3\) mniejszy od poprzedniego, zatem owszem, ten ciąg jest arytmetyczny, ale jego różnica jest równa \(r=-3\). Zdanie jest więc fałszem.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
