Trygonometria w stereometrii

Z twierdzenia Pitagorasa $d=a\sqrt2$.

Odpowiedź: B.

Przekątna sześcianu to $a\sqrt3$.

Odpowiedź: C.

$$2\sqrt3$$

Odpowiedź: $2\sqrt3$.

$$1$$

Odpowiedź: $1$.

$$a\sqrt2=3\sqrt2$$

Odpowiedź: $3\sqrt2$.

$$\sqrt{3^2+4^2}=5$$

Odpowiedź: $5$.

$6\sqrt2$.

Odpowiedź: $6\sqrt2$.

$3\sqrt3$.

Odpowiedź: $3\sqrt3$.

$a\sqrt3$.

Odpowiedź: C.

$\tfrac12$.

Odpowiedź: $\tfrac12$.

$5\sqrt2$.

Odpowiedź: $5\sqrt2$.

$\sqrt{144+25}=13$.

Odpowiedź: $13$.

$\tfrac12$.

Odpowiedź: $\tfrac12$.

$a\sqrt2$.

Odpowiedź: B.

$\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$.

Odpowiedź: $13$.

$\sqrt3$.

Odpowiedź: $\sqrt3$.

$45^\circ$.

Odpowiedź: $45^\circ$.

$a\sqrt3=\sqrt3 \Rightarrow a=1$; $V=1$.

Odpowiedź: $1$.

$\sqrt{64+36}=10$.

Odpowiedź: $10$.

Połowa przekątnej podstawy $3\sqrt2$; krawędź $\sqrt{(3\sqrt2)^2+4^2}=\sqrt{18+16}=\sqrt{34}$.

Odpowiedź: $\sqrt{34}$.

1. Krok 1. Promień okręgu opisanego i krawędź podstawy.

   Z długości okręgu $2\pi R=6\sqrt2\,\pi$ mamy $R=3\sqrt2$. Dla trójkąta równobocznego $R=\dfrac{a}{\sqrt3}$, więc

   $$a=R\sqrt3=3\sqrt2\cdot\sqrt3=3\sqrt6.$$
2. Krok 2. Długość krawędzi bocznej.

   W trójkącie $BSC$ ($SB=SC=b$, $BC=a=3\sqrt6$), z twierdzenia cosinusów:

   $$a^{2}=2b^{2}-2b^{2}\cdot\tfrac{5}{9}=\tfrac{8}{9}b^{2}\ \Rightarrow\ 54=\tfrac{8}{9}b^{2}\ \Rightarrow\ b^{2}=\tfrac{243}{4}.$$
3. Krok 3. Kąt między ścianami $SAC$ i $SBC$ (kąt dwuścienny przy krawędzi $SC$).

   Umieśćmy podstawę w układzie: środek $O=(0,0,0)$, $A=(3\sqrt2,0,0)$, $B=\left(-\tfrac{3\sqrt2}{2},\tfrac{3\sqrt6}{2},0\right)$, $C=\left(-\tfrac{3\sqrt2}{2},-\tfrac{3\sqrt6}{2},0\right)$, $S=(0,0,h)$, gdzie $h^{2}=b^{2}-R^{2}=\tfrac{243}{4}-18=\tfrac{171}{4}$.

   Rzutując wierzchołki $A$ i $B$ prostopadle na krawędź $SC$ i licząc kąt między otrzymanymi wektorami $\vec{u},\vec{v}$ leżącymi w ścianach:

   $$\cos\varphi=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}=\frac{15}{\sqrt{42}\cdot\sqrt{42}}=\frac{15}{42}=\frac{5}{14}.$$
4. Odpowiedź. Krawędź podstawy $a=3\sqrt6$, a cosinus kąta między ścianami $SAC$ i $SBC$ jest równy $\dfrac{5}{14}$.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie będzie miał on kwadrat. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:


Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
W podstawie mamy kwadrat o boku \(a=15\). Z własności kwadratów wiemy, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem w naszym przypadku \(d=15\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Cosinus opisuje nam stosunek między długości przyprostokątnej leżącej przy kącie, względem przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{d}{s}$$

Podstawiając znane nam dane, otrzymamy:
$$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{s}$$

To równanie możemy rozwiązać na wiele sposobów - najprościej będzie chyba wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$\sqrt{2}\cdot s=3\cdot15\sqrt{2} \\
\sqrt{2}\cdot s=45\sqrt{2} \\
s=45$$