Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne — powtórzenie

Szukamy największego kwadratu ukrytego w liczbie $18$:

$$18=9\cdot2$$

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot\sqrt2=3\sqrt2$$

Sprawdzenie: $3\sqrt2\approx4{,}24$, a $\sqrt{18}\approx4{,}24$ ✔

Odpowiedź: C. $3\sqrt2$.

Mianownik nie może być zerem: $x-5\neq0$, czyli $x\neq5$.

$$D=\mathbb{R}\setminus\{5\}$$

Odpowiedź: C.

Szukamy wykładnika dla podstawy $2$:

$$2^6=64 \quad\Rightarrow\quad \log_2 64=6$$

Potęgi dwójki warto znać: $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$.

Odpowiedź: B. $6$.

Rozwiązujemy $f(x)=0$:

$$3x-12=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Odpowiedź: B. $4$.

1. $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0$, więc $a^2+b^2\ge2ab$. Równość tylko dla $a=b$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Krok 1 — przyjmijmy cenę początkową $100$ zł (to nie ogranicza ogólności).

Krok 2 — po podwyżce:

$$100\cdot1{,}2=120\ \text{zł}$$

Krok 3 — po obniżce (liczonej już od $120$ zł):

$$120\cdot0{,}8=96\ \text{zł}$$

Krok 4 — zmiana względem początku:

$$\frac{96-100}{100}=-0{,}04=-4\%$$

Dlaczego nie zero: obniżka jest liczona od większej kwoty niż podwyżka, więc odejmuje więcej złotówek.

Odpowiedź: cena spadła o $4\%$.

Podstawiamy $x=-2$:

$$f(-2)=(-2)^2-3\cdot(-2)=4+6=10$$

Uwaga na znaki: $(-2)^2=4$ (dodatnie), a $-3\cdot(-2)=+6$.

Odpowiedź: $f(-2)=10$.

1. Mnożymy przez $x\gt 0$: $x^2+1\ge2x \iff x^2-2x+1\ge0 \iff (x-1)^2\ge0$ — prawda. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Krok 1 — wyróżnik:

$$\Delta=25-24=1,\qquad \sqrt{\Delta}=1$$

Krok 2 — pierwiastki:

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

Sprawdzenie wzorami Viete: $2+3=5$ ✔ oraz $2\cdot3=6$ ✔

Odpowiedź: $x=2$ lub $x=3$.

Kwadrat jest nieujemny, więc $x^2+3\ge3$. Wartość najmniejszą $3$ funkcja osiąga dla $x=0$.

$$ZW=\langle 3,\,+\infty)$$

Odpowiedź: A.

1. Wymnażamy: $1+\frac ab+\frac ba+1=2+\frac ab+\frac ba$.
2. Z zadania 2 (dla $x=\frac ab\gt 0$): $\frac ab+\frac ba\ge2$.
3. Zatem lewa strona $\ge4$. $\blacksquare$ (Równość dla $a=b$.)

Odpowiedź: dowód

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje wyłącznie współczynnik kierunkowy $a$:

$$a=-3<0 \quad\Rightarrow\quad \text{funkcja maleje}$$

Wyraz wolny $b=7$ przesuwa wykres pionowo, ale nie wpływa na monotoniczność.

Odpowiedź: A.

$$48=16\cdot3$$

$$\sqrt{48}=\sqrt{16}\cdot\sqrt3=4\sqrt3$$

Odpowiedź: $4\sqrt3$.

1. $x=1$ jest pierwiastkiem: $1-4+3=0$. Dzielimy: $x^4-4x+3=(x-1)(x^3+x^2+x-3)$.
2. Znów $x=1$: $x^3+x^2+x-3=(x-1)(x^2+2x+3)$. Zatem $x^4-4x+3=(x-1)^2(x^2+2x+3)$.
3. $(x-1)^2\ge0$ oraz $x^2+2x+3=(x+1)^2+2\gt 0$, więc iloczyn $\ge0$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Krok 1 — wzór ogólny ciągu arytmetycznego:

$$a_n=a_1+(n-1)r$$

$$a_{10}=5+9\cdot3=5+27=32$$

Krok 2 — suma pierwszych $n$ wyrazów:

$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

$$S_{10}=\frac{5+32}{2}\cdot10=\frac{37}{2}\cdot10=185$$

Odpowiedź: $a_{10}=32$, $S_{10}=185$.

Na osi OY zawsze $x=0$:

$$f(0)=-2\cdot0+5=5$$

Punkt przecięcia to $(0,\,5)$ — to wprost wyraz wolny funkcji liniowej.

Odpowiedź: D. $(0,\,5)$.

1. $a^3+b^3-a^2b-ab^2=a^2(a-b)-b^2(a-b)=(a-b)(a^2-b^2)=(a-b)^2(a+b)$.
2. $(a-b)^2\ge0$ i $a+b\gt 0$, więc wyrażenie jest nieujemne. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Średnica odpowiada kątowi środkowemu $180^\circ$, a kąt wpisany jest o połowę mniejszy:

$$\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$$

To twierdzenie Talesa — kąt oparty na średnicy jest zawsze prosty.

Odpowiedź: D. $90^\circ$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{5-(-1)}{2-0}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $(0,\,-1)$ jest na osi OY, więc $b=-1$.

$$y=3x-1$$

Odpowiedź: $y=3x-1$.

1. $(a-b)^2=2(a^2+b^2)-(a+b)^2$ (sprawdź, wymnażając).
2. Zatem $(a-b)^2\le2\cdot2-4=0$.
3. Kwadrat jest nieujemny, więc $(a-b)^2=0 \Rightarrow a=b$, a z $a+b=2$: $a=b=1$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Korzystamy ze wzoru na odległość punktów:

$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

Podstawiamy:

$$|AB|=\sqrt{(3-(-1))^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Uwaga na podwójny minus: $3-(-1)=4$, nie $2$.

Odpowiedź: $|AB|=5$.

$$\log_2 8=3,\qquad \log_2 2=1$$

$$3+1=4$$

Sprawdzenie wzorem: $\log_2 8+\log_2 2=\log_2 16=4$ ✔

Odpowiedź: B. $4$.

1. $(a+b)^3-4ab(a+b)=(a+b)\big[(a+b)^2-4ab\big]=(a+b)(a-b)^2$.
2. $a+b\gt 0$ i $(a-b)^2\ge0$, więc różnica jest nieujemna. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Krok 1 — przenosimy stałą:

$$2x\ge 6$$

Krok 2 — dzielimy przez $2$ (liczba dodatnia, więc znak zostaje):

$$x\ge 3$$

Krok 3 — zapis przedziałem:

$$x\in\langle 3,\,+\infty)$$

Odpowiedź: $x\in\langle 3,\,+\infty)$.

Wyróżnik:

$$\Delta=25-24=1,\qquad \sqrt\Delta=1$$

Pierwiastki:

$$x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3$$

Odpowiedź: $x=2$ i $x=3$.

1. Mnożymy przez $2$: $2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0$.
2. Lewa strona to $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ — suma kwadratów, więc jest $\ge0$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Twierdzenie Pitagorasa:

$$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$$

Warto zapamiętać trójkę pitagorejską $5$–$12$–$13$ — obok $3$–$4$–$5$ pojawia się najczęściej.

Pułapka: odpowiedź A to suma przyprostokątnych, a nie przeciwprostokątna.

Odpowiedź: B. $13$.

Cena po podwyżce to $125\%$ ceny początkowej, więc dzielimy:

$$250:1{,}25=200\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $200\cdot1{,}25=250$ ✔

Pułapka: odjęcie $25\%$ od $250$ dałoby błędne $187{,}50$ zł.

Odpowiedź: A. $200$ zł.

1. $n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)$. Zapisujemy $n^2+1=(n^2-4)+5$:
2. $n^5-n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)$.
3. Pierwszy składnik — iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych — dzieli się przez $2$, $3$ i $5$, więc przez $30$.
4. Drugi: $(n-1)n(n+1)$ dzieli się przez $6$, więc $5\cdot(n-1)n(n+1)$ przez $30$. Suma dzieli się przez $30$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Odczytujemy wartości kątów szczególnych:

$$\sin 30^\circ=\frac12,\qquad \cos 60^\circ=\frac12,\qquad \tg 45^\circ=1$$

Sumujemy:

$$\frac12+\frac12+1=2$$

Warto zauważyć: $\sin 30^\circ=\cos 60^\circ$ — to nie przypadek, lecz własność kątów dopełniających: $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$.

Odpowiedź: $2$.

W postaci kanonicznej $y=a(x-p)^2+q$ wartość najmniejsza (dla $a>0$) to $q$:

$$q=2$$

Osiągana jest dla $x=3$ (gdy nawias się zeruje).

Odpowiedź: C. $2$.

1. $\frac14-ab=\frac{(a+b)^2}{4}-ab=\frac{(a-b)^2}{4}\ge0$, więc $ab\le\frac14$.
2. $\left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right)=1+\frac1a+\frac1b+\frac1{ab}=1+\frac{a+b}{ab}+\frac1{ab}=1+\frac{2}{ab}$.
3. Skoro $0\lt ab\le\frac14$, to $\frac2{ab}\ge8$ i całe wyrażenie $\ge9$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

Krok 1 — wzór ogólny:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

$$a_5=3\cdot2^4=3\cdot16=48$$

Krok 2 — suma (dla $q\neq1$):

$$S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}$$

$$S_5=3\cdot\frac{2^5-1}{2-1}=3\cdot\frac{31}{1}=93$$

Sprawdzenie: wyrazy to $3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48$, a ich suma $=93$ ✔

Odpowiedź: $a_5=48$, $S_5=93$.

$$2x>6 \quad\Rightarrow\quad x>3$$

$$x\in(3,\,+\infty)$$

Nawias okrągły: nierówność ostra, więc $3$ nie należy.

Odpowiedź: $x\in(3,\,+\infty)$.

Wszystkie możliwe wyniki: OO, OR, RO, RR — jest ich $4$.

Sprzyjający jest tylko jeden (OO):

$$P=\frac{1}{4}$$

Uwaga: wyniki OR i RO to różne zdarzenia elementarne, mimo że „jeden orzeł i jedna reszka” brzmi tak samo — dlatego mianownik to $4$, a nie $3$.

Odpowiedź: C. $\frac14$.

$$|AB|=\sqrt{(6-2)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Uwaga na podwójny minus: $2-(-1)=3$.

Odpowiedź: $|AB|=5$.

Krok 1 — pole podstawy. Podstawą jest kwadrat:

$$P_p=5^2=25\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — objętość:

$$V=P_p\cdot H=25\cdot8=200\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $V=200$ cm$^3$.

Funkcja wykładnicza $a^x$ dla podstawy $a>1$ jest rosnąca. Tutaj $a=2>1$.

Sprawdzenie: $f(0)=1$, $f(1)=2$, $f(2)=4$ — wartości rosną.

Odpowiedź: B. rosnąca.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{7-3}{2-0}=\frac42=2$$

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $A$ leży na osi OY, więc od razu $b=3$.

$$y=2x+3$$

Sprawdzenie dla $B$: $2\cdot2+3=7$ ✔

Odpowiedź: $y=2x+3$.

$$S=\left(\frac{1+7}{2},\ \frac{3+9}{2}\right)=(4,\,6)$$

Odpowiedź: $S=(4,\,6)$.

Krok 1 — porządkujemy rosnąco (to warunek konieczny):

$$2,\ 4,\ 6,\ 7,\ 9$$

Krok 2 — liczb jest $5$ (nieparzyście), więc mediana to element środkowy:

$$\text{mediana}=6$$

Pułapka: odpowiedź C ($5{,}6$) to średnia arytmetyczna, a nie mediana.

Odpowiedź: A. $6$.

Licznik to różnica kwadratów:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$$

Odpowiedź: D. $x+3$.

Krok 1 — kierunek ramion. $a=1>0$, więc funkcja ma wartość najmniejszą w wierzchołku.

Krok 2 — argument:

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3 — wartość:

$$q=3^2-6\cdot3+11=9-18+11=2$$

Alternatywnie — postać kanoniczna $f(x)=(x-3)^2+2$ pokazuje to wprost.

Odpowiedź: wartość najmniejsza $2$ dla $x=3$.

Współczynnik $a=-1<0$, więc funkcja ma wartość największą w wierzchołku.

Krok 1 — argument wierzchołka:

$$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$$

Krok 2 — wartość:

$$f(2)=-4+8+1=5$$

Odpowiedź: wartość największa to $5$ (dla $x=2$).

Krok 1 — wzór na pole trapezu:

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$

Krok 2 — podstawiamy dane:

$$84=\frac{(10+18)\cdot h}{2}=\frac{28h}{2}=14h$$

Krok 3 — wyznaczamy $h$:

$$h=\frac{84}{14}=6\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{28\cdot6}{2}=84$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: wysokość wynosi $6$ cm.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$16=2^4 \quad\Rightarrow\quad 2^{x+1}=2^4$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$x+1=4 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Sprawdzenie: $2^{3+1}=2^4=16$ ✔

Odpowiedź: $x=3$.

Wzór na procent składany:

$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$

Podstawiamy:

$$K_2=5000\cdot1{,}04^2=5000\cdot1{,}0816=5408\ \text{zł}$$

Sprawdzenie krokami: po pierwszym roku $5000\cdot1{,}04=5200$ zł, po drugim $5200\cdot1{,}04=5408$ zł ✔

Porównanie: bez kapitalizacji byłoby $5400$ zł — dodatkowe $8$ zł to odsetki od odsetek.

Odpowiedź: $5408$ zł.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy. Proste równoległe mają ten sam, więc $a=3$.

Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $A$:

$$2=3\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=-1$$

$$y=3x-1$$

Sprawdzenie: $3\cdot1-1=2$ ✔

Odpowiedź: $y=3x-1$.

Krok 1 — pierwsze losowanie. Czarnych jest $6$ z $10$:

$$P_1=\frac{6}{10}=\frac35$$

Krok 2 — drugie losowanie. Po wyjęciu jednej czarnej zostaje $5$ czarnych z $9$ kul:

$$P_2=\frac{5}{9}$$

Krok 3 — reguła mnożenia:

$$P=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{9}=\frac{15}{45}=\frac13$$

Kluczowe: przy losowaniu bez zwracania w drugim kroku zmniejszają się obie liczby — i czarnych kul, i wszystkich.

Odpowiedź: $\frac13$.

Krok 1 — kwota po dwóch latach (procent składany):

$$K_2=8000\cdot1{,}05^2=8000\cdot1{,}1025=8820\ \text{zł}$$

Krok 2 — odsetki to różnica względem kapitału początkowego:

$$8820-8000=820\ \text{zł}$$

Sprawdzenie krokami: po roku $8000\cdot1{,}05=8400$, po drugim $8400\cdot1{,}05=8820$ ✔

Odpowiedź: kwota końcowa $8820$ zł, odsetki $820$ zł.

Rozwijamy oba nawiasy wzorem $(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$$(3x+2)^2 = 9x^2+12x+4$$

$$(2x-3)^2 = 4x^2-12x+9$$

$$9x^2+12x+4 - (4x^2-12x+9) = 9x^2+12x+4-4x^2+12x-9 = \mathbf{5x^2+24x-5}$$

Rozkładamy na czynniki licznik i mianownik:

Licznik: $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$

Mianownik: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$

$$\frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x+1}{x+2} \quad (x \neq -2)$$