Funkcja liniowa — zastosowania

W modelu liniowym $K(x)=ax+b$ wyraz wolny $b$ to wartość dla $x=0$ — tutaj koszt przy zerze kilometrów, czyli opłata początkowa.

Współczynnik $a=3$ to cena za każdy kilometr.

Odpowiedź: B. opłatę początkową.

$$y=ax+b$$

gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, $b$ — wyraz wolny.

Odpowiedź: B. $y=ax+b$.

Podstawiamy $x=10$:

$$K(10)=3\cdot10+8=30+8=38$$

Odpowiedź: koszt to $38$ zł.

$$f(4)=2\cdot4-3=8-3=5$$

Odpowiedź: $5$.

O monotoniczności decyduje znak współczynnika kierunkowego:

$$a=-2<0 \quad\Rightarrow\quad \text{funkcja maleje}$$

Odpowiedź: funkcja maleje.

Współczynnik kierunkowy to liczba przy $x$:

$$a=3$$

Odpowiedź: A. $3$.

Dla $a=0$ wzór upraszcza się do $f(x)=b$ — wartość jest taka sama dla każdego $x$, więc funkcja jest stała. Wykresem jest prosta pozioma.

Odpowiedź: C. wynosi zero.

Miejsce zerowe to argument, dla którego $f(x)=0$:

$$2x-8=0 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Odpowiedź: $x=4$.

Opłata stała to wyraz wolny, stawka godzinowa to współczynnik kierunkowy:

$$W(x)=20x+50$$

Odpowiedź: $W(x)=20x+50$.

O monotoniczności decyduje znak współczynnika kierunkowego. Dla $a>0$ funkcja rośnie.

Odpowiedź: C. $a>0$.

Rozwiązujemy równanie $W(x)=210$:

$$20x+50=210$$

$$20x=160 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: $20\cdot8+50=210$ ✔

Odpowiedź: trzeba przepracować $8$ godzin.

Podstawiamy $x=2$:

$$f(2)=3\cdot2+1=7$$

Wartość funkcji ($7$) zgadza się z drugą współrzędną punktu.

Odpowiedź: tak, punkt $A$ należy do wykresu.

Na osi OX zeruje się $y$, więc rozwiązujemy $2x-6=0$:

$$x=3$$

Punkt to $(3,\,0)$ — to zarazem miejsce zerowe funkcji.

Odpowiedź: A. $(3,\,0)$.

Miejsce zerowe ($f(x)=0$):

$$-\tfrac12 x+3=0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac12 x=3 \quad\Rightarrow\quad x=6$$

Przecięcie z osią $OY$ ($x=0$):

$$f(0)=3 \quad\Rightarrow\quad (0,3)$$

Odpowiedź: miejsce zerowe $x=6$, przecięcie z $OY$ w $(0,3)$.

Krok 1 — funkcja. Woda ubywa, więc współczynnik jest ujemny:

$$V(t)=100-5t$$

Krok 2 — zbiornik pusty przy $V(t)=0$:

$$100-5t=0 \quad\Rightarrow\quad t=20$$

Odpowiedź: $V(t)=100-5t$; zbiornik będzie pusty po $20$ minutach.

Dla $a=0$ funkcja $y=b$ jest stała — jej wykresem jest prosta pozioma.

Odpowiedź: D. stała.

Proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe. W parze D oba wynoszą $2$.

Odpowiedź: D.

Krok 1 — wyraz wolny. Punkt $(0,2)$ daje $b=2$.

Krok 2 — współczynnik kierunkowy ze wzoru na nachylenie:

$$a=\frac{5-2}{1-0}=3$$

Krok 3 — wzór:

$$y=3x+2$$

Odpowiedź: $y=3x+2$.

Krok 1 — modele:

$$K_1(x)=2x+15,\qquad K_2(x)=4x+5$$

Krok 2 — przyrównujemy:

$$2x+15=4x+5$$

$$10=2x \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Sprawdzenie: $K_1(5)=25$, $K_2(5)=25$ ✔

Interpretacja: do $5$ km tańsza jest druga firma, powyżej — pierwsza.

Odpowiedź: przy $5$ km koszt jest równy ($25$ zł).

Proste $y=a_1x+b_1$ i $y=a_2x+b_2$ są równoległe, gdy $a_1=a_2$.

Odpowiedź: A. równe współczynniki kierunkowe.

$$a=\frac{5-2}{1-0}=\frac{3}{1}=3$$

Współczynnik kierunkowy to przyrost wartości przy wzroście argumentu o $1$.

Odpowiedź: B. $3$.

Krok 1 — równoległość. Ten sam współczynnik kierunkowy: $a=2$.

Krok 2 — wyraz wolny. Punkt $(0,-3)$ daje $b=-3$.

$$y=2x-3$$

Odpowiedź: $y=2x-3$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy (tempo zmian):

$$a=\frac{50-80}{5-2}=\frac{-30}{3}=-10$$

Temperatura spada o $10^\circ$ na minutę.

Krok 2 — wyraz wolny z podstawienia punktu $(2,\,80)$:

$$80=-10\cdot2+b \quad\Rightarrow\quad b=100$$

$$T(t)=-10t+100$$

Interpretacja: $b=100$ to temperatura początkowa (dla $t=0$).

Odpowiedź: $T(t)=-10t+100$.

Sprawdzamy iloczyn współczynników kierunkowych:

$$2\cdot\left(-\tfrac12\right)=-1$$

Iloczyn $-1$ oznacza prostopadłość.

Odpowiedź: B. prostopadłe.

Funkcja rosnąca oznacza $a>0$ — prosta wznosi się. Dodatni wyraz wolny $b>0$ oznacza, że przecina oś OY powyżej zera (w punkcie $(0,\,b)$).

Odpowiedź: C.

Krok 1 — postać: $y=-2x+b$.

Krok 2 — miejsce zerowe $x=3$ oznacza $f(3)=0$:

$$-2\cdot3+b=0 \quad\Rightarrow\quad b=6$$

Krok 3 — wzór:

$$y=-2x+6$$

Odpowiedź: $y=-2x+6$.

Krok 1 — model oszczędności:

$$S(t)=80t+400$$

Krok 2 — rozwiązujemy $S(t)=1200$:

$$80t+400=1200 \quad\Rightarrow\quad 80t=800 \quad\Rightarrow\quad t=10$$

Sprawdzenie: $80\cdot10+400=1200$ ✔

Odpowiedź: po $10$ tygodniach.

Wykresem funkcji liniowej jest prosta.

Odpowiedź: C. prosta.

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny:

$$m-3<0 \quad\Rightarrow\quad m<3$$

Odpowiedź: dla $m\in(-\infty,\,3)$.

Krok 1 — współczynnik kierunkowy:

$$a=\frac{12-3}{4-1}=\frac{9}{3}=3$$

Krok 2 — wyraz wolny (podstawiamy punkt $(1,3)$ do $y=3x+b$):

$$3=3\cdot1+b \quad\Rightarrow\quad b=0$$

Krok 3 — wzór:

$$y=3x$$

Sprawdzenie: $f(4)=12$ ✔

Odpowiedź: $y=3x$.

Warunek prostopadłości: $a_1\cdot a_2=-1$. Dla $a_1=-\tfrac13$:

$$-\tfrac13\cdot a_2=-1 \quad\Rightarrow\quad a_2=3$$

Odpowiedź: A. $3$.

Współczynnik kierunkowy $a=-3<0$, więc funkcja jest malejąca.

Odpowiedź: A. malejąca.

Pierwszy dogania drugiego, gdy ich odległości od stacji są równe:

$$60t=40t+30$$

Rozwiązujemy:

$$20t=30 \quad\Rightarrow\quad t=1{,}5\ \text{h}$$

Sprawdzenie: $d_1(1{,}5)=90$ km, $d_2(1{,}5)=60+30=90$ km ✔

Interpretacja: drugi pociąg miał przewagę $30$ km, ale pierwszy jedzie o $20$ km/h szybciej, więc nadrabia $30$ km w $1{,}5$ godziny.

Odpowiedź: po $1{,}5$ godziny.

Krok 1 — model funkcją liniową. Koszt $k$ w zależności od liczby kilometrów $x$:

$$k(x)=3x+8$$

Krok 2 — koszt dla $x=12$:

$$k(12)=3\cdot12+8=36+8=44\ \text{zł}$$

Interpretacja. Wyraz wolny $8$ to opłata stała, współczynnik $3$ to koszt za kilometr.

Odpowiedź: $k(x)=3x+8$; przejazd $12$ km kosztuje $44$ zł.

Krok 1 — wyraz wolny. Wartość dla $x=0$ to $b$, więc $b=-8$.

Krok 2 — wykorzystujemy miejsce zerowe $x=4$ (wtedy $y=0$):

$$0=a\cdot4+(-8) \quad\Rightarrow\quad 4a=8 \quad\Rightarrow\quad a=2$$

$$y=2x-8$$

Sprawdzenie: $f(4)=8-8=0$ ✔, $f(0)=-8$ ✔

Odpowiedź: $y=2x-8$.

Krok 1 — warunek stałości. Funkcja jest stała, gdy współczynnik kierunkowy równa się zeru:

$$m-2=0$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$m=2$$

Sprawdzenie. Dla $m=2$ mamy $f(x)=0\cdot x+5=5$ — funkcja stała ✔

Odpowiedź: $m=2$.

Krok 1 — modele:

$$K_A=30,\qquad K_B(x)=0{,}2x+10$$

Krok 2 — punkt równowagi:

$$0{,}2x+10=30 \quad\Rightarrow\quad 0{,}2x=20 \quad\Rightarrow\quad x=100$$

Krok 3 — porównanie przy $150$ minutach:

$$K_B(150)=0{,}2\cdot150+10=40\ \text{zł}$$

Plan B kosztuje $40$ zł, więc plan A ($30$ zł) jest tańszy.

Wniosek: powyżej $100$ minut opłaca się plan A bez limitu.

Odpowiedź: równowaga przy $100$ minutach; przy $150$ minutach tańszy jest plan A.

Krok 1 — warunek równoległości. Równe współczynniki kierunkowe:

$$2m+1=5$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$2m=4 \quad\Rightarrow\quad m=2$$

Uwaga. Wyrazy wolne ($3\neq-4$) są różne, więc proste są równoległe, a nie pokrywające się — warunek spełniony.

Odpowiedź: $m=2$.

Krok 1 — funkcja długości:

$$L(t)=24-3t$$

Krok 2 — długość po $5$ godzinach:

$$L(5)=24-15=9\ \text{cm}$$

Krok 3 — dziedzina. Czas nie może być ujemny, a świeca istnieje, dopóki $L(t)\ge0$:

$$24-3t\ge0 \quad\Rightarrow\quad t\le8$$

Zatem sensowna dziedzina to $t\in\langle 0,\,8\rangle$ — po $8$ godzinach świeca całkowicie się wypali.

Odpowiedź: $L(t)=24-3t$; po $5$ h długość $9$ cm; dziedzina $\langle 0,\,8\rangle$.

Krok 1 — założenie. Prosta ma postać $y=ax+b$ i przechodzi przez oba punkty, więc:

$$y_1=ax_1+b,\qquad y_2=ax_2+b$$

Krok 2 — odejmujemy równania stronami (znika $b$):

$$y_2-y_1=a(x_2-x_1)$$

Krok 3 — dzielimy przez $x_2-x_1\neq0$:

$$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \qquad ∎$$

Wniosek. Współczynnik kierunkowy to „przyrost $y$ na jednostkę przyrostu $x$”. Założenie $x_1\neq x_2$ jest konieczne — dla równych odciętych prosta byłaby pionowa i nie jest wykresem funkcji.

Sprawdzenie dla $(1,3)$, $(4,12)$: $a=\frac{12-3}{4-1}=3$ — zgodnie z zad. 15 ✔