Zadanie 20 Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2024 — zadania z rozwiązaniami

Oznaczmy \(|AE|=h\), wtedy \(|ED|=24-h\).

Trójkąty \(ABE\) i \(DCE\) są prostokątne (kąty przy \(A\) i przy \(D\) są proste). Z równości kątów przy wierzchołku \(E\) wynika równość tangensów:

\(\mathrm{tg}|\sphericalangle BEA|=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{12}{h}\)

\(\mathrm{tg}|\sphericalangle CED|=\frac{|DC|}{|ED|}=\frac{6}{24-h}\)

Przyrównujemy:

\(\frac{12}{h}=\frac{6}{24-h}\)

\(12(24-h)=6h\)

\(288-12h=6h\)

\(h=16\)

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABE\):

\(|BE|=\sqrt{|AB|^2+|AE|^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20\)

Odpowiedź: \(|BE|=20\)