Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $2x-3\gt 5$ jest przedział
A$(4,\infty)$
B$(-\infty,4)$
C$(1,\infty)$
D$[4,\infty)$
$2x\gt 8 \Rightarrow x\gt 4$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? D — nierówność ostra, więc $4$ nie należy do zbioru.
Zadanie nr PP08.2
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-3x\le12$ jest przedział
A$(-\infty,-4]$
B$[-4,\infty)$
C$(-\infty,4]$
D$[4,\infty)$
Dzielimy przez $-3$ i odwracamy znak: $x\ge-4$.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? A — nie odwrócono znaku nierówności.
Zadanie nr PP08.3
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-2(x+1)\le\dfrac{3-x}{2}$ jest przedział
A$\left(-\infty,-\dfrac73\right]$
B$\left[\dfrac73,\infty\right)$
C$\left[-\dfrac73,\infty\right)$
D$[-1,\infty)$
Mnożymy przez $2$: $-4(x+1)\le3-x \Rightarrow -4x-4\le3-x$.
$-3x\le7 \Rightarrow x\ge-\dfrac73$.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? A — zapomniana zmiana znaku przy dzieleniu przez $-3$.
Zadanie nr PP08.4
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $x^2\lt 9$ jest
A$(-\infty,-3)\cup(3,\infty)$
B$(-\infty,3)$
C$(-9,9)$
D$(-3,3)$
$x^2-9\lt 0 \iff (x-3)(x+3)\lt 0$ — parabola w górę, ujemna między $-3$ a $3$.
Odpowiedź:D
Dlaczego nie pozostałe? B — z $x^2\lt 9$ „wyciągnięto pierwiastek” jak z równania: $x\lt 3$.
Zadanie nr PP08.5
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $x^2-4x\ge0$ jest
A$(-\infty,0]\cup[4,\infty)$
B$[0,4]$
C$[4,\infty)$
D$(-\infty,0)\cup(4,\infty)$
$x(x-4)\ge0$; miejsca zerowe $0$ i $4$, ramiona w górę.
Nieujemne na zewnątrz (z końcami): $(-\infty,0]\cup[4,\infty)$.
Odpowiedź:A
Dlaczego nie pozostałe? C — obie strony podzielone przez $x$ (niewiadomy znak!); D — zgubione końce przy znaku $\ge$.
Zadanie nr PP08.6
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $x^2+2x+5\gt 0$ jest
A$\varnothing$
B$\mathbb{R}$
C$(-1,\infty)$
D$(-\infty,-1)$
$\Delta=4-20=-16\lt 0$ i $a=1\gt 0$, więc trójmian jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej.
Odpowiedź:B
Dlaczego nie pozostałe? A — „brak miejsc zerowych” to nie „brak rozwiązań nierówności”.
Zadanie nr PP08.7
Funkcja kwadratowa $f$ ma miejsca zerowe $0$ i $4$, a jej wykres jest parabolą o wierzchołku $(2,-4)$. Zapisz zbiór wszystkich rozwiązań nierówności $f(x)\le0$.
Wierzchołek leży pod osią $Ox$, a parabola przecina oś w $0$ i $4$ — ramiona skierowane w górę.
Wartości niedodatnie przyjmuje między miejscami zerowymi, z nimi: $x\in[0,4]$.
Ramiona w górę, więc wartości $\le0$ między pierwiastkami (z końcami).
Odpowiedź: $x\in\langle-4,2\rangle$
Zadanie nr 3
Rozwiąż nierówność $2x-5\lt 7$ i zapisz wynik w postaci przedziału.
Krok 1 — dodajemy $5$ stronami:
$$2x\lt 12$$
Krok 2 — dzielimy przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc znak nierówności zostaje bez zmian:
$$x\lt 6$$
Krok 3 — zapis przedziałowy:
$$x\in(-\infty,\ 6)$$
Odpowiedź: $x\in(-\infty,\ 6)$.
Zadanie nr 4
Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę ujemną:
Azachowujemy znak nierówności
Bodwracamy znak nierówności
Cotrzymujemy nierówność sprzeczną
Dnie wolno tego robić
Mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną odwraca kierunek nierówności:
$$-2x\lt 6 \quad\Longleftrightarrow\quad x>-3$$
Dlaczego tak: na osi liczbowej mnożenie przez liczbę ujemną odbija punkty symetrycznie względem zera, więc porządek się odwraca. Zachodzi $2\lt 5$, ale $-2>-5$.
Odpowiedź: B. odwracamy znak.
Zadanie nr 5
Rozwiąż nierówność $-3x\ge12$.
Dzielimy przez $-3$ i odwracamy znak:
$$x\le-4$$
$$x\in(-\infty,\ -4\rangle$$
Sprawdzenie: dla $x=-5$ mamy $-3\cdot(-5)=15\ge12$ ✔, a dla $x=0$ dostajemy $0\ge12$ — fałsz ✔
Sprawdzenie dla $x=4$: $\frac32\ge\frac75$, czyli $1{,}5\ge1{,}4$ ✔
Odpowiedź: $x\ge\frac{11}{3}$.
Zadanie nr 10
Zapisz w postaci przedziału zbiór liczb spełniających jednocześnie $x>-2$ oraz $x\le5$.
Krok 1 — łączymy warunki:
$$-2\lt x\le5$$
Krok 2 — zapis przedziałowy. Nawias okrągły przy $-2$ (nierówność ostra) i kątowy przy $5$ (nieostra):
$$x\in(-2,\ 5\rangle$$
Kontrola krańcami: liczba $5$ należy do zbioru, bo $5\le5$ ✔ Liczba $-2$ nie należy, bo $-2>-2$ jest fałszem ✔
Odpowiedź: $(-2,\ 5\rangle$.
Zadanie nr 11
Rozwiązanie nierówności $x\le3$ zapisujemy jako:
A$(-\infty,\ 3)$
B$(-\infty,\ 3\rangle$
C$\langle3,\ +\infty)$
D$(3,\ +\infty)$
Nierówność jest nieostra, więc liczba $3$ należy do zbioru rozwiązań — po jej stronie stawiamy nawias kątowy.
Przy nieskończoności zawsze nawias okrągły, bo $-\infty$ nie jest liczbą i nie może należeć do zbioru.
Odpowiedź: B. $(-\infty,\ 3\rangle$.
Zadanie nr 12
Rozwiąż układ nierówności: $x-1>0$ oraz $2x\lt 10$.
Krok 1 — pierwsza nierówność:
$$x>1$$
Krok 2 — druga nierówność:
$$x\lt 5$$
Krok 3 — część wspólna. Szukamy liczb spełniających oba warunki naraz:
$$1\lt x\lt 5 \quad\Rightarrow\quad x\in(1,\ 5)$$
Uwaga: przy układzie nierówności bierzemy przecięcie zbiorów, nie sumę. Gdyby zadanie mówiło „lub”, wynik byłby inny.
Odpowiedź: $x\in(1,\ 5)$.
Zadanie nr 16
Nierówność $2x>6$ jest równoważna nierówności:
A$x>3$
B$x\lt 3$
C$x>12$
D$x>4$
Dzielimy obie strony przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc znak zostaje:
$$x>3$$
Odpowiedź: A. $x>3$.
Zadanie nr 18
Rozwiąż nierówność podwójną $-3\lt 2x+1\le7$.
Krok 1 — odejmujemy $1$ od wszystkich trzech części:
$$-4\lt 2x\le6$$
Krok 2 — dzielimy wszystko przez $2$. Liczba jest dodatnia, więc oba znaki zostają:
$$-2\lt x\le3$$
Krok 3 — zapis przedziałowy:
$$x\in(-2,\ 3\rangle$$
Kontrola krańcami. Dla $x=3$: $2\cdot3+1=7$, a warunek dopuszcza równość ✔ Dla $x=-2$: $2\cdot(-2)+1=-3$, ale lewa nierówność jest ostra, więc $-2$ nie należy ✔
Ważne. Każdą operację wykonujemy na wszystkich trzech częściach naraz — nierówność podwójna to skrót zapisu dwóch warunków.
Odpowiedź: $x\in(-2,\ 3\rangle$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że równanie $x^2+2x+5=0$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Sposób 1 — uzupełnienie do kwadratu. Zauważamy, że $(x+1)^2=x^2+2x+1$, więc:
$$x^2+2x+5=\left(x^2+2x+1\right)+4=(x+1)^2+4$$
Szacowanie. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny:
Lewa strona jest zawsze dodatnia, więc nigdy nie może się zerować. $\qquad ∎$
Sposób 2 — wyróżnik. Dla $a=1$, $b=2$, $c=5$:
$$\Delta=b^2-4ac=4-20=-16\lt 0$$
Ujemny wyróżnik oznacza brak pierwiastków rzeczywistych.
Sprawdzenie: pierwszy sposób daje więcej informacji — mówi, że najmniejsza wartość wyrażenia wynosi $4$ i jest osiągana dla $x=-1$. Podstawiając: $1-2+5=4$ ✔
📄Zadania z arkuszy 224
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu — pokazujemy 100 najnowszych z 224.
Zadanie nr 6 · Matura 2026
Dana jest nierówność $\dfrac{7+2x}{5}\ge\dfrac{4}{15}$. Najmniejszą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest
A$(-4)$
B$(-3)$
C$(-2)$
D$(-1)$
Mnożymy obie strony przez $15$: $3(7+2x)\ge 4$, czyli $21+6x\ge 4$.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(1-\frac{3}{2}x\lt\frac{2}{3}-x\) jest przedział:
A\(\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)\)
B\(\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)\)
C\(\left(-\frac{2}{3};+\infty\right)\)
D\(\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\)
Celem zadania jest po prostu rozwiązanie podanej nierówności. Rozwiązać to możemy na różne sposoby, ale najprościej będzie zacząć od pozbycia się ułamków. Dobrym pomysłem byłoby wymnożenie obydwu stron przez \(6\) (bo taka jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb znajdujących się w mianownikach), otrzymując taką oto sytuację:
$$1-\frac{3}{2}x\lt\frac{2}{3}-x \quad\bigg/\cdot6$$
$$6-9x\lt4-6x$$
$$-3x\lt-2 \quad\bigg/:(-3)$$
$$x\gt\frac{2}{3}$$
Zwróć uwagę, że przy dzieleniu obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny. Wyszło nam więc, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\).
Zadanie nr 5 · Matura 2024
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{3(6-x)}{17}\le 3\) jest przedział
A\((-\infty,-11)\)
B\((-\infty,-11]\)
C\((-11,+\infty)\)
D\([-11,+\infty)\)
Mnożymy obie strony przez \(17\):
\(3(6-x)\le 51\)
\(18-3x\le 51\)
\(-3x\le 33\)
Dzielimy przez \(-3\) i zmieniamy zwrot nierówności:
\(x\ge -11\)
Zbiorem rozwiązań jest przedział \([-11,+\infty)\).
Odpowiedź: D.
Zadanie nr 6 · Matura 2024
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności \(\frac{3x-5}{12}\lt\frac{1}{3}\) jest równa
A\(2\)
B\(3\)
C\(5\)
D\(6\)
Mnożymy obie strony nierówności przez \(12\):
\(3x-5\lt 4\)
\(3x\lt 9\)
\(x\lt 3\)
Rozwiązaniami całkowitymi dodatnimi są liczby \(1\) i \(2\) — jest ich \(2\).
Odpowiedź: A.
Zadanie nr 1 · Matura 2023
Wartość wyrażenia \(2021:\left(1-\frac{1}{2022}\right)-\left(1-\frac{2022}{2021}\right):\frac{1}{2021}\) jest równa:
A\(0\)
B\(1\)
C\(2021\)
D\(2023\)
Pamiętaj, że liczbę \(1\) możemy zapisać jako ułamek, w którym licznik i mianownik są jednakowe. W tym zadaniu przyda nam się zamiana \(1=\frac{2021}{2021}\) oraz \(1=\frac{2021}{2021}\). Teraz korzystając z działań na ułamkach, możemy zapisać, że:
$$2021:\left(1-\frac{1}{2022}\right)-\left(1-\frac{2022}{2021}\right):\frac{1}{2021}=$$
$$=2021:\left(\frac{2022}{2022}-\frac{1}{2022}\right)-\left(\frac{2021}{2021}-\frac{2022}{2021}\right):\frac{1}{2021} =$$
$$=2021:\frac{2021}{2022}-\left(-\frac{1}{2021}\right):\frac{1}{2021}=$$
$$=2021:\frac{2021}{2022}+\frac{1}{2021}:\frac{1}{2021}=$$
$$=2021\cdot\frac{2022}{2021}+\frac{1}{2021}\cdot\frac{2021}{1}=2022+1=2023$$
Zadanie nr 2 · Matura 2023
Dana jest nierówność:
$$|x-3|\ge5$$
Na którym rysunku prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających powyższą nierówność?
A
B
C
D
Krok 1. Rozwiązanie podanej nierówności.
Dana jest nierówność z wartością bezwzględną. Aby ją rozwiązać, będziemy musieli ułożyć dwie nierówności - pierwsza będzie taka, jakby tej wartości bezwzględnej w ogóle nie było, a druga będzie identyczna, tylko ze zmienionym znakiem i liczbą przeciwną po prawej stronie. Całość będzie wyglądać następująco:
$$x-3\ge5 \quad\lor\quad x-3\le-5$$
$$x\ge8 \quad\lor\quad x\le-2$$
Krok 2. Wybór właściwego rysunku.
Rozwiązaniem tej nierówności są więc wszystkie liczby mniejsze lub równe \(-2\) lub większe lub równe \(8\), a takie przedziały zostały zaznaczone na pierwszym rysunku.
Zadanie nr 3 · Matura 2023
Oprocentowanie na długoterminowej lokacie w pewnym banku wynosi \(3\%\) w skali roku (już po uwzględnieniu podatków). Po każdym roku oszczędzania są doliczane odsetki od aktualnego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.
Po \(10\) latach oszczędzania w tym banku (i bez wypłacania kapitału ani odsetek w tym okresie) kwota na lokacie będzie większa od kwoty wpłaconej na samym początku o (w zaokrągleniu do \(1\%\)):
A\(30\%\)
B\(34\%\)
C\(36\%\)
D\(43\%\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na procent składany:
$$K_{n}=K\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}$$
gdzie:
\(K_{n}\) - kapitał zgromadzony po \(n\) okresach kapitalizacji
\(K\) - kapitał początkowy
\(n\) - liczba okresów kapitalizacji
\(p\) - wysokość oprocentowania (po uwzględnieniu liczby kapitalizacji)
Jednak zanim przystąpimy do obliczeń, to ustalmy kluczowe parametry, czyli \(n\) oraz \(p\). Lokata jest na \(10\) lat, a kapitalizacja jest roczna. W związku z tym \(n=10\) (bo odsetki zostaną dopisane dziesięć razy), a \(p=3\). Podstawiając te dane do wzoru, otrzymamy:
$$K_{10}=K\cdot\left(1+\frac{3}{100}\right)^{10}$$
$$K_{10}=K\cdot(1,03)^{10}$$
$$K_{10}\approx K\cdot1,3439$$
$$K_{10}\approx1,34K$$
Skoro włożyliśmy na lokatę \(K\) złotych, a po dziesięciu latach mamy \(1,34K\), to znaczy, że kwota wzrosła o \(34\%\).
Zadanie nr 4 · Matura 2023
Dane są dwie liczby \(x\) i \(y\), takie, że iloraz \(\frac{x}{y}\) jest równy \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x+y}{x}\). Wynik podaj bez niewymierności w mianowniku.
Zwróćmy uwagę, że \(\frac{x+y}{x}=\frac{x}{x}+\frac{y}{x}=1+\frac{y}{x}\). Znamy wartość \(\frac{x}{y}\), a widzimy, że potrzebujemy jej odwrotności, czyli \(\frac{y}{x}\). Odwrotnością ułamka \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) jest oczywiście \(\frac{2}{1+\sqrt{5}}\). Skoro tak, to całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}=1+\frac{2}{1+\sqrt{5}}$$
Aby móc kontynuować obliczenia, musimy pozbyć się niewymierności z mianownika. W tym celu musimy pomnożyć licznik oraz mianownik ułamka przez \(1-\sqrt{5}\), dzięki czemu będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), zatem:
$$1+\frac{2\cdot(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})\cdot(1-\sqrt{5})}=1+\frac{2-2\sqrt{5}}{1-5}=1+\frac{2-2\sqrt{5}}{-4}=$$
$$=1+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{2}{2}+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$
Zadanie nr 5 · Matura 2023
Dane są liczby 𝑎\(a=\sqrt{5}-2\) oraz \(b=\sqrt{5}+2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}\) dla podanych \(a\) i \(b\).
Krok 1. Uproszczenie zapisu.
Zanim podstawimy liczby do naszego wyrażenia, to najprościej będzie najpierw uprościć cały zapis i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\), zatem:
$$\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}:\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}=$$
$$=\frac{a\cdot b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\cdot\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=$$
$$=\frac{(a\cdot b)\cdot(a-b)}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}=\frac{(a\cdot b)\cdot(a-b)}{a-b}=a\cdot b$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(a\cdot b\).
Podstawiając liczby z treści zadania do wyznaczonej przed chwilą postaci, otrzymamy:
$$a\cdot b=(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}-2)=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1$$
Zadanie nr 6 · Matura 2023
Dana jest liczba \(x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\), gdzie \(a\) należy do zbioru \(\mathbb{R}\) liczb rzeczywistych. W rozwiązaniu zadania uwzględnij fakt, że liczby \(\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\) są niewymierne. Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe. Liczba \(x\) jest wymierna dla:
A. \(a=5\)
B. \(a=-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
C. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3\)
D. \(a=6\)
E. \(a=-2\sqrt{6}+12,5\)
F. \(a=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}\)
G. \(a=-\sqrt{6}\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(x\).
Spróbujmy obliczyć wartość liczby \(x\) wykonując występujące w niej potęgowanie. Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że:
$$x=a-(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$
$$x=a-(\sqrt{3})^2-2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2$$
$$x=a-(3-2\sqrt{6}+2)$$
$$x=a-(5-2\sqrt{6})$$
$$x=a-5+2\sqrt{6}$$
Krok 2. Ustalenie, kiedy liczba \(x\) jest wymierna.
Musimy się teraz zastanowić, kiedy \(a-5+2\sqrt{6}\) da wynik wymierny. Aby tak się stało, to w wartości liczby \(a\) musi się pojawić \(-2\sqrt{6}\) (wtedy te pierwiastki się "zniosą") i w zapisie tej liczby nie mogą nam oczywiście pojawić się inne nowe pierwiastki.
Od razu możemy stwierdzić, że poprawna jest odpowiedź E, czyli \(a=-2\sqrt{6}+12,5\), bowiem to jest dokładnie to, czego szukamy. Musimy jeszcze wybrać drugą odpowiedź. Na pewno nie będzie to A, B, D oraz G (bo brakuje tu wartości \(-2\sqrt{6}\)). Do rozpatrzenia zostaje nam C oraz F. Rozpiszmy sobie każdy z tych wariantów:
Odp. C. \((\sqrt{2}-\sqrt{3})^2+0,3=2-2\sqrt{6}+3+0,3=5,3-2\sqrt{6}\)
Ta odpowiedź nam pasuje.
Odp. F. \((\sqrt{2}-\sqrt{3})^2-2\sqrt{6}=2-2\sqrt{6}+3-2\sqrt{6}=5-4\sqrt{6}\)
Ta odpowiedź nam nie pasuje, bo jest tutaj \(-4\sqrt{6}\).
Podsumowując, pasującymi odpowiedziami będą C oraz E.
Zadanie nr 7 · Matura 2023
Rozwiąż równanie:
$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0$$
Krok 1. Zapisanie założeń.
Mamy równanie, w którym niewiadoma \(x\) pojawia się w mianowniku ułamka. Zanim więc zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać stosowne założenia, ponieważ wartość mianownika nie może być równa \(0\) (gdyż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\)). Skoro tak, to:
$$(2x-10)(x+3)\neq0$$
Mamy postać iloczynową równania kwadratowego, zatem każdy z nawiasów musi być różny od zera, czyli:
$$2x-10\neq0 \quad\lor\quad x+3\neq0$$
$$2x\neq10 \quad\lor\quad x\neq-3$$
$$x\neq5 \quad\lor\quad x\neq-3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać podane równanie, musimy obydwie strony pomnożyć przez wartość w mianowniku, zatem:
$$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0 \quad\bigg/\cdot(2x-10)(x+3)$$
$$(4x+1)(x-5)=0$$
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci iloczynowej, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera:
$$4x+1=0 \quad\lor\quad x-5=0$$
$$4x=-1 \quad\lor\quad x=5$$
$$x=-\frac{1}{4} \quad\lor\quad x=5$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na koniec musimy zweryfikować otrzymane wyniki z zapisanymi założeniami. Widzimy, że rozwiązanie \(x=5\) musimy odrzucić, bo dla tej wartości mianownik był równy \(0\). Skoro tak, to jedynym rozwiązaniem tego zadania będzie \(x=-\frac{1}{4}\).
Zadanie nr 8 · Matura 2023
Pensja pana \(X\) jest o \(50\%\) wyższa od średniej krajowej, a pensja pana \(Y\) jest o \(40\%\) niższa od średniej krajowej.
Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.
1. Pensja pana \(X\) jest wyższa od pensji pana \(Y\):
A. o \(40\%\) pensji pana \(Y\).
B. o \(90\%\) pensji pana \(Y\).
C. o \(150\%\) pensji pana \(Y\).
D. o \(275\%\) pensji pana \(Y\).
2. Pensja pana \(Y\) jest niższa od pensji pana \(X\):
E. o \(60\%\) pensji pana \(X\).
F. o \(73\%\) pensji pana \(X\).
G. o \(90\%\) pensji pana \(X\).
H. o \(150\%\) pensji pana \(X\).
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Wprowadźmy do naszego zadania następujące oznaczenia:
\(s\) - średnia pensja krajowa
\(1,5s\) - średnia pensja Pana \(X\)
\(0,6s\) - średnia pensja Pana \(Y\)
Od razu możemy też zapisać, że Pan \(X\) zarabia o \(1,5s-0,6s=0,9s\) więcej niż Pan \(Y\).
Krok 2. Obliczenie procentowej różnicy wynagrodzenia.
Pensja pana \(X\) jest wyższa od pensji pana \(Y\) o:
$$\frac{0,9s}{0,6s}=1,5=150\%$$
Pensja pana \(Y\) jest mniejsza od pensji pana \(X\) o:
$$\frac{0,9s}{1,5s}=0,6=60\%$$
Zadanie nr 9 · Matura 2023
Na wykresie przedstawiono zależność \(log\;K(t)\), gdzie \(K(t)\) jest liczbą bakterii w próbce po czasie \(t\) wyrażonym w godzinach, jaki upłynął od chwili\(t=0\) rozpoczęcia obserwacji. Gdy upłynęły dokładnie trzy godziny od chwili\(t=0\), liczba \(K\) bakterii była równa:
A\(3\)
B\(100\)
C\(1000\)
D\(10000\)
W tym zadaniu musimy pamiętać, że kiedy przy podstawie logarytmu nie mamy zapisanej żadnej liczby, to domyślnie ta podstawa jest równa \(10\). Mówiąc wprost, \(log\;K\) to po prostu \(log_{10}K\).
Z wykresu odczytujemy, że po trzech godzinach \(log_{10}K\) ma być równe \(3\), zatem:
$$log_{10}K=3 \Longleftrightarrow 10^3=K$$
To oznacza, że \(K=10^3=1000\).
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Liczba \(log_{2}\left[(\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{2})^4\cdot(\sqrt{2})^8\right]\) jest równa:
Skoro tak, to podstawiając te dane do naszego logarytmu, otrzymamy:
$$log_{2}\left[(\sqrt{2})^2\cdot(\sqrt{2})^4\cdot(\sqrt{2})^8\right]=$$
$$=log_{2}(2^1\cdot2^2\cdot2^4)=$$
$$=log_{2}(2^{1+2+4})=log_{2}2^7=7$$
Zadanie nr 11 · Matura 2023
Rozważmy takie liczby rzeczywiste \(a\) i \(b\), które spełniają warunki:
$$a\neq0, b\neq0 \text{ oraz } a^3+b^3=(a+b)^3$$
Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{a}{b}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), spełniających powyższe warunki.
Krok 1. Rozpisanie podanego równania.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy zapisać, że:
$$a^3+b^3=(a+b)^3$$
$$a^3+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$
$$0=3a^2b+3ab^2$$
$$3ab\cdot(a+b)=0 \quad\bigg/:3$$
$$ab\cdot(a+b)=0$$
Otrzymaliśmy tak naprawdę równanie kwadratowe. Aby je rozwiązać musimy przyrównać \(ab\) oraz \(a+b\) do zera, zatem:
$$ab=0 \quad\lor\quad a+b=0$$
Krok 2. Analiza otrzymanych wyników i obliczenie wartości liczbowej wyrażenia.
Przeanalizujmy teraz to, co otrzymaliśmy. Zacznijmy od \(ab=0\). Aby iloczyn \(a\cdot b\) był równy \(0\), to któraś z liczb musiałaby być równa \(0\), a z treści zadania wiemy, że \(a\neq0\) oraz \(b\neq0\). To oznacza, że to pierwsze równanie nie spełnia w ogóle naszych założeń.
To teraz spójrzmy na drugie równanie, czyli \(a+b=0\). Na jego podstawie możemy zapisać, że \(a=-b\). Naszym celem jest poznanie wartości liczbowej wyrażenia \(\frac{a}{b}\), a skoro \(a=-b\), to:
$$\frac{a}{b}=\frac{-b}{b}=\frac{-1\cdot b}{b}=-1$$
Zadanie nr 12 · Matura 2023
Dane jest wyrażenie \(W(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)\)
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\). Wyrażenie \(W(x)\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \(\dfrac{2x}{x^2-1}\).
Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\).
Wyrażenie \(W(x)\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \(\dfrac{2x}{x^2-1}\).
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wartości mianowników muszą być różne od zera, zatem \(x-1\neq0\) oraz \(x+1\neq0\). Z pierwszego równania otrzymamy \(x\neq1\), a z drugiego \(x\neq-1\). Pierwsze zdanie jest więc nieprawdą, bo wynika z niego, że moglibyśmy mieć \(x=-1\).
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Naszym celem jest uproszczenie podanego wyrażenia. Jak dodać do siebie dwa ułamki, które znajdują się w nawiasach? Musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu licznik oraz mianownik pierwszego ułamka musimy przemnożyć przez \(x+1\), a licznik oraz mianownik drugiego ułamka przez \(x-1\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)=$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{(x+1)\cdot(x+1)}{(x-1)\cdot(x+1)}-\frac{(x-1)\cdot(x-1)}{(x+1)\cdot(x+1)}\right)=$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}-\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}\right)=$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-(x^2-2x+1)}{x^2-1}\right)=$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1}\right)=$$
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{4x}{x^2-1}\right)=$$
$$=\frac{2x}{x^2-1}$$
Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie nr 13 · Matura 2023
Rozwiąż równanie \((x-1)^4-5(x-1)^2+6=0\)
Krok 1. Zapisanie równania kwadratowego.
Aby rozwiązać tego typu równanie czwartego stopnia, musimy zapisać, że \(t=(x-1)^2\). Dzięki temu będziemy mogli zapisać równanie z treści zadania jako równanie kwadratowe:
$$(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0$$
$$((x-1)^2)^2-5(x-1)^2+6=0$$
$$t^2-5t+6=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Równanie jest zapisane w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$
Krok 3. Rozwiązanie równania.
W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że \(t=(x-1)^2\). Wiemy już, że \(t=2\) lub \(t=3\), a skoro tak, to:
$$(x-1)^2=2 \quad\lor\quad (x-1)^2=3$$
Otrzymaliśmy dwa równania kwadratowe, w których po prawej stronie nie mamy zera (nie możemy więc przyrównać wartości w nawiasach do zera). Możemy je oczywiście przekształcić do postaci ogólnej i całość obliczyć za pomocą delty, jednak będzie to dość czasochłonne. Tego typu równania najprościej będzie rozwiązać korzystając z wartości bezwzględnej. Pierwiastkując obydwie strony równań, możemy zapisać, że:
$$|x-1|=\sqrt{2} \quad\lor\quad |x-1|=\sqrt{3}$$
$$x-1=\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{2} \quad\lor\quad x-1=\sqrt{3} \quad\lor\quad x-1=-\sqrt{3}$$
$$x=\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=\sqrt{3}+1 \quad\lor\quad x=-\sqrt{3}+1$$
Zadanie nr 14 · Matura 2023
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).
Kluczem do rozwiązania tego typu zadań jest umiejętne wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias. Haczyk polega na tym, że aby tego dokonać, musimy liczbę \(7\) rozbić na sumę \(5+2\). Otrzymamy wtedy następującą sytuację:
$$20n^2+30n+7=20n^2+30n+5+2=5\cdot(4n^2+6n+1)+2$$
Mówiąc wprost - otrzymany zapis mówi nam, że nasza liczba dzieli się przez \(5\), dając wynik równy \(4n^2+6n+1\) i resztę równą \(2\). Warto też dodać, że wartość \(4n^2+6n+1\) jest na pewno liczbą naturalną, ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, a suma liczb naturalnych daje na pewno liczbę naturalną.
Zadanie nr 15 · Matura 2023
Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że obie są niepodzielne przez \(3\).
Udowodnij, że liczba 𝒂\(a^3+b^3\) jest podzielna przez \(9\).
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy, że \(k\) jest liczbą całkowitą nieujemną, to liczbę niepodzielną przez \(3\) możemy zapisać jako \(3k+1\). Przykładowo, gdy \(k=4\), to otrzymamy \(3\cdot4+1=13\) i faktycznie, jest to liczba niepodzielna przez \(3\). W takim razie oznaczmy sobie taką liczbę jako \(a\), czyli \(a=3k+1\). Liczba \(b\) musi być o \(1\) większa (bo z treści zadania wynika, że \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi), więc \(b=3k+2\).
Krok 2. Rozpisanie podanej liczby
Musimy teraz podstawić do zapisu \(a^3+b^3\) wartości \(a=3k+1\) oraz \(b=3k+2\) i skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(3k+1)^3+(3k+2)^3=$$
$$=27k^3+27k^2+9k+1+27k^3+54k^2+36k+8=$$
$$=54k^3+81k^2+45k+9$$
Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Aby udowodnić, że otrzymane \(54k^3+81k^2+45k+9\) jest podzielne przez \(9\), wystarczy wyłączyć dziewiątkę przed nawias, otrzymując:
$$9\cdot(6k^3+9k^2+5k+1)$$
Wartość \(6k^3+9k^2+5k+1\) jest na pewno liczbą całkowitą, bo \(6k^3, 9k^2, 5k\) oraz \(1\) to liczby całkowite. Otrzymaliśmy więc wynik z którego wynika, że liczba \(a^3+b^3\) jest jak najbardziej podzielna przez \(9\), a wynikiem tego dzielenia byłoby właśnie \(6k^3+9k^2+5k+1\).
Zadanie nr 16 · Matura 2023
Dany jest wielomian \(W(x)=3x^3+mx^2+3x-2\), gdzie \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci iloczynowej \(W(x)=(x+2)Q(x)\), gdzie \(Q(x)\) jest pewnym trójmianem kwadratowym. Wyznacz wielomian \(Q(x)\) oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu \(W(x)\).
Krok 1. Rozpisanie wielomianu \(W(x)\).
Na początku ustalmy o co chodzi w zapisie \(W(x)=(x+2)Q(x)\). Mówiąc wprost - jeżeli podzielimy wielomian \(W(x)\) przez \(x+2\), to otrzymamy wielomian \(Q(x)\) (którego wartości poszukujemy).
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie skorzystać z informacji, że wielomian \(Q(x)\) jest trójmianem kwadratowym, co oznacza, że możemy go zapisać jako \(ax^2+bx+c\). Skoro tak, to:
$$W(x)=(x+2)Q(x)$$
$$W(x)=(x+2)(ax^2+bx+c)$$
$$W(x)=ax^3+bx^2+cx+2ax^2+2bx+2c$$
$$W(x)=ax^3+2ax^2+bx^2+2bx+cx+2c$$
$$W(x)=ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości wszystkich współczynników.
Z treści zadania wiemy, że wielomian \(W(x)\) jest równy \(3x^3+mx^2+3x-2\). Musimy więc przyrównać to do otrzymanej postaci \(ax^3+(2a+b)x^2+(2b+c)x+2c\) i w ten sposób poznamy wszystkie wartości współczynników:
$$\color{green}{a}x^3+\color{red}{(2a+b)}x^2+\color{blue}{(2b+c)}x+\color{purple}{2}c$$
$$\color{green}{3}x^3+\color{red}{m}x^2+\color{blue}{3}x\color{purple}{-2}$$
Wynika z tego, że:
$$a=3$$
$$2a+b=m$$
$$2b+c=3$$
$$2c=-2 \Rightarrow c=-1$$
Z powyższej rozpiski wiemy już, że \(a=3\) oraz \(c=-1\). Jak spojrzymy na trzecie równanie, to będziemy mogli teraz obliczyć wartość \(b\), zatem:
$$2b+c=3$$
$$2b-1=3$$
$$2b=4$$
$$b=2$$
I teraz wracamy do drugiego równania, otrzymując:
$$2a+b=m$$
$$2\cdot3+2=m$$
$$m=8$$
Mamy więc komplet informacji: \(a=3, b=2, c=-1\) oraz \(m=8\), zatem \(W(x)=3x^3+8x^2+3x-2\) oraz \(Q(x)=3x^2+2x-1\).
Krok 3. Wyznaczenie pierwiastków wielomianu \(W(x)\).
Musimy jeszcze wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu \(W(x)\), czyli mówiąc wprost - musimy ustalić kiedy \(3x^3+8x^2+3x-2\) będzie równe \(0\). Jest to wielomian trzeciego stopnia, więc nie będzie to takie proste, ale przecież mamy informację, że \(W(x)=(x+2)Q(x)\), czyli tym samym \(W(x)=(x+2)(3x^2+2x-1)\). Skoro tak, to pierwiastki wyznaczymy w następujący sposób:
$$(x+2)(3x^2+2x-1)=0$$
$$x+2=0 \quad\lor\quad 3x^2+2x-1=0$$
Z pierwszego równania widzimy, że otrzymamy \(x=-2\). Drugie równanie jest równaniem kwadratowym zapisanym w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=3,\;b=2,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot3\cdot(-1)=4-(-12)=16$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$
Skoro tak, to pierwiastkami wielomianu będą:
$$x=-2 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad \frac{1}{3}$$
Zadanie nr 17 · Matura 2023
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^3-b-5\sqrt{2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(x=\sqrt{2}+1\).
Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy:
A\(b=1\)
B\(b=7\)
C\(b=1-3\sqrt{2}\)
D\(b=3-3\sqrt{2}\)
Miejsce zerowe to taki argument \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Skoro tak, to:
$$0=(\sqrt{2}+1)^3-b-5\sqrt{2}$$
$$0=(\sqrt{2})^3+3\cdot(\sqrt{2})^2\cdot1+3\sqrt{2}\cdot1^2+1^3-b-5\sqrt{2}$$
$$0=2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1-b-5\sqrt{2}$$
$$0=7-b$$
$$b=7$$
Zadanie nr 18 · Matura 2023
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x^2+bx-5\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Współczynnik \(b\) jest liczbą rzeczywistą mniejszą od zera.
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Funkcja \(f\):
A. ma dwa rzeczywiste miejsca zerowe,
B. ma jedno rzeczywiste miejsce zerowe,
C. nie ma rzeczywistych miejsc zerowych,
ponieważ
1. \(b^2+60\gt0\)
2. \(b^2+60=0\)
3. \(b^2+60\lt0\)
O tym, ile miejsc zerowych ma dana funkcja, decyduje tak zwana delta, którą obliczamy rozwiązując równania kwadratowe. Wypiszmy zatem współczynniki funkcji \(f(x)=3x^2+bx-5\) i obliczmy deltę:
Współczynniki: \(a=3,\;b=b,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=b^2-4\cdot3\cdot(-5)=b^2-(-60)=b^2+60$$
Z treści zadania wynika, że \(b\) jest liczbą mniejszą od zera. Taka liczba, podniesiona do kwadratu, daje wynik dodatni. W związku z tym cała delta zapisana jako \(b^2+60\) jest na pewno dodatnia. Dodatnia delta oznacza, że mamy dwa miejsca zerowe. Tak więc ta funkcja ma dwa miejsca zerowe, ponieważ \(b^2+60\gt0\).
Zadanie nr 19 · Matura 2023
Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok. Ta funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\in\langle-5,8\rangle\).
Zadanie 1.
Zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór rozwiązań nierówności: \(f(x)\gt2\)
$$...................$$
Zadanie 2.
Zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej maksymalny przedział lub maksymalne przedziały, w których funkcja \(f\) jest malejąca.
Zadanie 3.
Największa wartość funkcji \(f\) jest równa liczbie \(...............\) , a najmniejsza wartość funkcji \(f\) jest równa liczbie \(...............\) .
Zadanie 1.
Z wykresu musimy odczytać, kiedy nasza funkcja przyjmuje wartości większe od \(2\). Widzimy, że tak się stanie dla dwóch przedziałów: od \(x=-5\) aż do \(x=-1\) oraz od \(x=7\) do \(x=8\). Zwróćmy uwagę jeszcze na krańce przedziałów - przy argumencie \(x=-5\) oraz \(x=8\) mamy zamalowane kropki, więc nawiasy muszą być domknięte. Matematyczny zapis wyglądałby więc następująco:
$$x\in\langle-5;-1)\cup(7;8\rangle$$
Zadanie 2.
Spoglądamy na wykres funkcji i szukamy fragmentu, w którym funkcja "kieruje się w dół". Widzimy, że mamy tylko jeden taki przedział, funkcja maleje od \(x=-3\) aż do \(x=3\). Zapisując przedziały monotoniczności (czyli gdzie funkcja maleje/rośnie/jest stała) używamy zwyczajowo nawiasów domkniętych, stąd też:
$$x\in\langle-3;3\rangle$$
Zadanie 3.
Spoglądamy na naszą funkcję i sprawdzamy, jakie są największe i najmniejsze wartości przez nią przyjmowane. Widzimy, że największą przyjmowaną wartością jest \(y=6\), natomiast najmniejszą będzie \(y=-6\).
Zadanie nr 20 · Matura 2023
Dana jest funkcja \(y=f(x)\), której wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok.
Ta funkcja jest określona dla \(x\in\langle−3, 5\rangle\). Funkcje \(g\) oraz \(h\) są określone za pomocą funkcji \(f\) następująco:
$$y=g(x)=f(x+2) \quad\quad\quad y=h(x)=f(-x)$$
Na rysunkach A-F przedstawiono wykresy różnych funkcji - w tym wykresy funkcji \(g\) oraz \(h\). Każdej z funkcji \(y=g(x)\) oraz \(y=h(x)\) przyporządkuj jej wykres. Wpisz obok symboli funkcji w tabeli poniżej właściwe odpowiedzi wybrane spośród A-F.
Zapis \(g(x)=f(x+2)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) jest wynikiem przesunięcia funkcji \(f(x)\) o dwie jednostki w lewo. Taką sytuację mamy na rysunku D.
Zapis \(h(x)=f(-x)\) oznacza, że funkcja \(h(x)\) jest wynikiem przekształcenia funkcji \(f(x)\) względem osi \(OY\) (czyli takim odbiciem lustrzanym względem osi \(OX\)). Taką sytuację mamy na rysunku B.
Zadanie nr 21 · Matura 2023
Wzór funkcji kwadratowej można zapisać w postaci ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej (o ile istnieje).
Zadanie 1.
Dana jest funkcja kwadratowa \(y=f(x)\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych, jeżeli wiadomo, że jeden ze wzorów podanych w odpowiedziach A-D to wzór funkcji \(f\).
Funkcja kwadratowa \(y=f(x)\) jest określona wzorem:
A. \(y=-(x+5)^2-6\)
B. \(y=-(x+5)^2+6\)
C. \(y=-(x-5)^2-6\)
D. \(y=-(x-5)^2+6\)
Zadanie 2.
Do wykresu pewnej funkcji kwadratowej \(y=g(x)\) należy punkt o współrzędnych \(P=(2,-6)\). Osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu \(x=3\), a jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\) jest \(x_{1}=1\).
Wyznacz i zapisz wzór funkcji \(y=g(x)\) w postaci iloczynowej.
Zadanie 1.
Musimy podać wzór funkcji w postaci kanonicznej, czyli postaci typu \(y=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Z rysunku odczytujemy, że wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(W=(-5;6)\), czyli \(p=-5\) oraz \(q=6\). Skoro tak, to wzorem naszej funkcji będzie:
$$y=a(x-(-5))^2+6$$
$$y=a(x+5)^2+6$$
Teoretycznie powinniśmy jeszcze wyznaczyć wartość współczynnika \(a\), choć widzimy, że w każdej z proponowanych odpowiedzi jest on równy -1. Ujemna wartość współczynnika \(a\) jest jak najbardziej w porządku, ponieważ ramiona paraboli są skierowane do dołu. Stąd też odpowiedzią do tego zadania będzie \(y=-(x+5)^2+6\).
Zadanie 2.
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Jedną z własności funkcji kwadratowych jest to, że miejsca zerowe są oddalone od osi symetrii o jednakową liczbę jednostek. Mówiąc bardzo obrazowo, sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:
Z rysunku pomocniczego wynika wprost, że miejscami zerowymi są \(x=1\) oraz \(x=5\).
Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.
Znajomość miejsc zerowych pozwala nam zapisać wzór funkcji w postaci iloczynowej, zatem:
$$y=a(x-1)(x-5)$$
Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Poznamy go, podstawiając do wyznaczonej przed chwilą postaci współrzędne punktu \(P=(2;-6)\), zatem:
$$-6=a(2-1)(2-5)$$
$$-6=a\cdot1\cdot(-3)$$
$$-3a=-6$$
$$a=2$$
To oznacza, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie \(y=2(x-1)(x-5)\).
Zadanie nr 22 · Matura 2023
Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odległości \(x_{k}=7,01m\), licząc od środka piłki do środka obręczy kosza w linii poziomej. Do opisu toru ruchu przyjmiemy układ współrzędnych, w którym środek piłki w chwili początkowej znajdował się w punkcie \(x_{0}=0\), \(y_{0}=2,50m\). Środek piłki podczas rzutu poruszał się po paraboli danej równaniem:
$$y=-0,174x^2+1,3x+2,5$$
Rzut okazał się udany, a środek piłki przeszedł dokładnie przez środek kołowej obręczy kosza. Na rysunku poniżej przedstawiono tę sytuację oraz tor ruchu piłki w układzie współrzędnych.
Zadanie 1.
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Obręcz kosza znajduje się na wysokości (podanej w zaokrągleniu z dokładnością do \(0,01m\))
A. \(3,04m\)
B. \(3,06m\)
C. \(3,80m\)
D. \(4,93m\)
Zadanie 2.
Oblicz wysokość maksymalną, na jaką wzniesie się środek piłki podczas opisanego rzutu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.
Zadanie 3.
W opisanym rzucie piłka przeleciała swobodnie przez obręcz kosza i upadła na parkiet. Przyjmij, że obręcz kosza nie miała siatki, a na drodze rzutu nie było żadnej przeszkody. Promień piłki jest równy \(0,12m\). Oblicz współrzędną \(x\) punktu środka piłki w momencie, w którym piłka dotknęła parkietu. Zapisz wynik w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.
Zadanie 1.
Naszym zadaniem jest poznanie wartości funkcji \(y=-0,174x^2+1,3x+2,5\) dla \(x=7,01\) (bowiem na odległości \(x=7,01\) jest ustawiony kosz). W związku z tym:
$$y=-0,174\cdot(7,01)^2+1,3\cdot7,01+2,5$$
$$y=-0,174\cdot49,1401+9,113+2,5$$
$$y=-8,5503774+9,113+2,5$$
$$y=3,0626226\approx3,06$$
To oznacza, że obręcz jest zawieszona na wysokości ok. \(3,06m\).
Zadanie 2.
Maksymalna wysokość paraboli osiągana jest w jej wierzchołku. Interesuje nas więc poznanie współrzędnej \(q\) wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). W tym celu możemy skorzystać ze wzoru z tablic:
$$q=\frac{-Δ}{4a}$$
Widzimy, że do tego wzoru musimy podstawić deltę (to jest dokładnie ta sama delta, którą obliczamy w równaniach kwadratowych), zatem wypiszmy współczynniki i policzmy wartość tej delty:
Współczynniki: \(a=-0,174,\;b=1,3,\;c=2,5\)
$$Δ=b^2-4ac=(1,3)^2-4\cdot(-0,174)\cdot2,5=1,69-(1,74)=3,43$$
W związku z tym:
$$q=\frac{-3,43}{4\cdot(0,174)}$$
$$q=\frac{-3,43}{0,696}$$
$$q\approx4,93$$
To oznacza, że maksymalną wysokością na jaką wzniesie się środek piłki będzie ok. \(4,93m\).
Zadanie 3.
Musimy sprawdzić, kiedy nasza funkcja \(y=-0,174x^2+1,3x+2,5\) przyjmie wartość \(0,12\), zatem:
$$0,12=-0,174x^2+1,3x+2,5$$
$$0,174x^2-1,3x-2,38=0$$
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=0,174,\;b=-1,3,\;c=-2,38\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1,3)^2-4\cdot0,174\cdot(-2,38)=1,69-(-1,65648)=3,34648$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{3,34648}\approx1,8293$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo nasza współrzędna \(x\) nie może być ujemna. To oznacza, że poszukiwaną współrzędną \(x\) punktu środka piłki jest \(x\approx8,99m\).
Zadanie nr 23 · Matura 2023
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem rekurencyjnym: \(\begin{cases}a_{1}=-2 \\ a_{n+1}=n\cdot a_{n}+4 \end{cases}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\).
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu.
Wartość pierwszego wyrazu już znamy, widzimy że \(a_{1}=-2\). Korzystając z drugiej części wzoru rekurencyjnego, musimy obliczyć wartości drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu, zatem:
$$a_{2}=a_{1+1}=1\cdot a_{1}+4=1\cdot(-2)+4=-2+4=2$$
$$a_{3}=a_{2+1}=2\cdot a_{2}+4=2\cdot2+4=4+4=8$$
$$a_{4}=a_{3+1}=3\cdot a_{3}+4=3\cdot8+4=24+4=28$$
Krok 2. Obliczenie sumy czterech początkowych wyrazów ciągu.
Korzystając z obliczeń z poprzedniego kroku, możemy zapisać, że suma czterech początkowych wyrazów będzie równa:
$$S_{4}=-2+2+8+28=36$$
Zadanie nr 24 · Matura 2023
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem ogólnym: \(a_{n}=4n-9\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Wykaż, że ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\).
Chcąc udowodnić, że dany ciąg jest arytmetyczny, możemy skorzystać z własności związanej z trzema kolejnymi wyrazami ciągu, czyli \(a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}\). Oczywiście nie możemy wprost obliczyć wartości \(a_{1}, a_{2}\) oraz \(a_{3}\), bo to nie będzie żaden dowód. Aby przeprowadzić poprawne dowodzenie, musimy obliczyć np. wartości \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\), zatem:
$$a_{n+1}=4(n+1)-9$$
$$a_{n+1}=4n+4-9$$
$$a_{n+1}=4n-5$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Mamy wyrażenia opisujące trzy kolejne wyrazy ciągu, czyli \(a_{n}\), \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\). Środkowym z tych trzech wyrazów jest \(a_{n+1}\), zatem:
$$a_{n+1}=\frac{a_{n}+a_{n+2}}{2}$$
$$4n-5=\frac{4n-9+4n-1}{2}$$
$$4n-5=\frac{8n-10}{2}$$
$$4n-5=4n-5$$
$$L=P$$
W ten sposób udało się udowodnić, że ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.
Zadanie nr 25 · Matura 2023
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=n^2-n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) jest
A. rosnący,
B. malejący,
C. stały,
ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)
1. różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest liczbą ujemną
2. różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest równa zero
3. różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest liczbą dodatnią
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{n+1}\).
Widzimy, że musimy obliczyć wartość \(a_{n+1}\), zatem:
$$a_{n+1}=(n+1)^2-(n+1)$$
$$a_{n+1}=n^2+2n+1-n-1$$
$$a_{n+1}=n^2+n$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{n+1}-a_{n}\).
Znamy wartość \(a_{n+1}\), znamy też \(a_{n}\), zatem:
$$a_{n+1}-a_{n}=n^2+n-(n^2-n)$$
$$a_{n+1}-a_{n}=n^2+n-n^2+n$$
$$a_{n+1}-a_{n}=2n$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wiemy, że \(n\) jest liczbą naturalną większą lub równą \(1\). To pozwala nam stwierdzić, że w takim razie otrzymane 2n jest dodatnią liczbą naturalną. To oznacza, że ciąg będzie rosnący, ponieważ różnica \(a_{n+1}-a_{n}\) jest liczbą dodatnią.
Zadanie nr 26 · Matura 2023
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\).
Oblicz wartość \(m\), dla której liczby \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.
Krok 1. Obliczenie wartości \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\).
Podstawiając do wzoru funkcji wartości \(m\), \(1\) oraz \(2\), otrzymamy:
$$f(m)=\frac{1}{m}$$
$$f(1)=\frac{1}{1}=1$$
$$f(2)=\frac{1}{2}$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości \(m\).
Chcemy, by obliczone przed chwilą liczby tworzyły ciąg geometryczny. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów takiego ciągu musi zachodzić następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
W naszym przypadku \(a_{1}=\frac{1}{m}\), \(a_{2}=1\) oraz \(a_{3}=\frac{1}{2}\), zatem:
$$1^2=\frac{1}{m}\cdot\frac{1}{2}$$
$$1=\frac{1}{2m} \quad\bigg/\cdot2m$$
$$2m=1$$
$$m=\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 27 · Matura 2023
Czas \(T\) połowicznego rozpadu izotopu promieniotwórczego to czas, po którym liczba jąder danego izotopu (a zatem i masa tego izotopu) zmniejsza się o połowę - tzn. połowa jąder danego izotopu przemienia się w inne jądra. Liczba jąder \(N(t)\) izotopu promieniotwórczego pozostających w próbce po czasie \(t\), licząc od chwili \(t_{0}=0\), wyraża się zależnością wykładniczą:
gdzie \(N_{0}\) jest liczbą jąder izotopu promieniotwórczego w chwili początkowej \(t_{0}=0\).
Zadanie 1.
Na poniższych rysunkach 1.-4. przedstawiono wykresy różnych zależności.
Wykres zależności wykładniczej \(N(t)\) - opisanej we wstępie do zadania - przedstawiono na
A. rysunku 1
B. rysunku 2
C. rysunku 3
D. rysunku 4
Zadanie 2.
Czas połowicznego rozpadu węgla \(^{14}C\) to około \(5700\) lat. Naukowcy oszacowali za pomocą datowania radiowęglowego, że masa izotopu węgla \(^{14}C\) w pewnym organicznym znalezisku archeologicznym \(\frac{1}{16}\) masy tego izotopu, jaka utrzymywała się podczas życia organizmu.
Oblicz, ile lat ma opisane znalezisko archeologiczne. Wynik podaj z dokładnością do stu lat.
Zadanie 1.
Naszym zadaniem jest poprawne dopasowanie wykresu funkcji wykładniczej. I tu od razu nasz wzrok musimy kierować w stronę rysunku 1 oraz 3 - bowiem tak właśnie wyglądają wykresy funkcji wykładniczych typu \(y=a^x\), gdy \(0\lt a\lt1\) (w naszym przypadku \(a=\frac{1}{2}\)).
Ustalmy zatem teraz, który z tych wykresów jest prawidłowy. Widzimy wyraźnie, że sytuacja z trzeciego rysunku musi zostać przez nas odrzucona, ponieważ nasz wykres musi zaczynać się od punktu \((0;0)\) i to właśnie w tym momencie musimy mieć początkową liczbę jąder naszego izotopu. Na trzecim wykresie funkcja ta jest nieco przesunięta w prawo, przez co początkowa liczba jąder izotopu przypada na czas \(\frac{1}{2}T\).
W związku z tym poprawnym wykresem jest jedynie ten z pierwszej odpowiedzi. Możemy to jeszcze sobie zweryfikować, widząc że dla czasu \(T\) nasza funkcja przyjmuje połowę wartości \(N_{0}\), a dla np. \(2T\) przyjmuje jedną czwartą wartości \(N_{0}\).
Zadanie 2.
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie zapisać to w następujący sposób:
\(m\) - początkowa masa izotopu węgla
\(\frac{1}{2}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(1T\), czyli \(5700\) lat
\(\frac{1}{4}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(2T\), czyli \(11400\) lat
\(\frac{1}{8}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(3T\), czyli \(17100\) lat
\(\frac{1}{16}m\) - masa izotopu węgla po upływie \(4T\), czyli \(22800\) lat
To oznacza, że znalezisko archeologiczne ma \(22800\) lat.
Zadanie nr 28 · Matura 2023
Powierzchnia magazynowa będzie się składała z dwóch identycznych prostokątnych działek połączonych wspólnym bokiem. Całość ma być ogrodzona płotem, przy czym obie działki będzie rozdzielał wspólny płot. W ogrodzeniu będą zamontowane dwie bramy wjazdowe, każda o szerokości \(10m\) (zobacz rysunek poniżej). Łączna długość płotu ogradzającego oraz rozdzielającego obie działki wyniesie \(580\) metrów, przy czym szerokości obu bram wjazdowych nie wliczają się w długość płotu.
Oblicz wymiary \(x\) i \(y\) każdej z dwóch prostokątnych działek, tak aby całkowite pole powierzchni magazynowej było największe.
Krok 1. Zapisanie równań.
Wiemy, że długość płotu wynosi \(580m\). Jak spojrzymy na rysunek, to zauważymy, że ten płot musi znaleźć się na trzech odcinkach o długości \(x\) (dwie granice zewnętrzne oraz wewnętrzna) oraz na czterech odcinkach o długości \(y\), które są pomniejszone dwukrotnie o \(10m\). To oznacza, że możemy zapisać następujące równanie:
$$3x+4y-20=580$$
$$3x+4y=600$$
Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni obliczamy ze wzoru \(P=ab\), co po podstawianiu danych z rysunku możemy zapisać jako:
$$P=x\cdot2y$$
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, wyznaczmy wartość \(y\) z równania \(3x+4y=600\).
$$3x+4y=600$$
$$4y=600-3x$$
$$y=150-\frac{3}{4}x$$
Podstawiając teraz \(y=150-\frac{3}{4}x\) do równania \(P=x\cdot2y\) otrzymamy:
$$P=x\cdot2\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right)$$
$$P=2x\cdot\left(150-\frac{3}{4}x\right)$$
$$P=300x-\frac{6}{4}x^2$$
$$P=-\frac{6}{4}x^2+300x$$
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni działki można opisać wzorem \(-\frac{6}{4}x^2+300x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-\frac{6}{4}\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) ta pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$
$$x_{W}=\frac{-300}{2\cdot\left(-\frac{6}{4}\right)}$$
$$x_{W}=\frac{-300}{-3}$$
$$x_{W}=100$$
Wiemy już, że największa wartość jest przyjmowana, gdy \(x=100\). Gdybyśmy chcieli obliczyć ile wynosi ta największa wartość, to moglibyśmy skorzystać ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale nas to nie interesuje. My musimy poznać wartość \(y\). Skoro tak, to wracamy do równania \(y=150-\frac{3}{4}x\) i podstawiając teraz \(x=100\), otrzymamy:
$$y=150-\frac{3}{4}x$$
$$y=150-\frac{3}{4}\cdot100$$
$$y=150-75$$
$$y=75$$
To oznacza, że powierzchnia magazynu będzie największa wtedy, gdy \(x=100\) oraz \(y=75\).
Zadanie nr 29 · Matura 2023
Dany jest kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(sin\alpha=\frac{4}{5}\) oraz \(90°\lt\alpha\lt180°\).
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\) Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(|tg\alpha|=\frac{3}{4}\)
Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\)
Dla kąta \(\alpha\) spełnione jest równanie \(|tg\alpha|=\frac{3}{4}\)
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$$
$$\left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2\alpha=1$$
$$\frac{16}{25}+cos^2\alpha=1$$
$$cos^2\alpha=\frac{9}{25}$$
$$cos\alpha=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cos\alpha=-\frac{3}{5}$$
Z treści zadania wynika, że kąt \(\alpha\) jest kątem rozwartym. Cosinus dla takich kątów przyjmuje wartości ujemne, stąd też rozwiązanie \(cos\alpha=\frac{3}{5}\) musimy odrzucić. Zostaje nam zatem, że \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\), czyli zdanie jest prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Z treści zadania wiemy, że \(sin\alpha=\frac{4}{5}\). Dodatkowo obliczyliśmy sobie przed chwilą, że \(cos\alpha=-\frac{3}{5}\). Korzystając zatem ze wzoru na tangens, możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$$
$$tg\alpha=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}$$
$$tg\alpha=\frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)$$
$$tg\alpha=-\frac{4}{3}$$
To oznacza, że \(|tg\alpha|=\frac{4}{3}\), więc zdanie jest fałszem.
Zadanie nr 30 · Matura 2023
W trójkącie \(ABC\) dane są długości dwóch boków \(|AB|=12\), \(|BC|=8\) oraz miara kąta \(|\sphericalangle ABC|=60°\).
Oblicz długość środkowej tego trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka \(A\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Środkowa trójkąta to prosta łącząca wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku tego trójkąta. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco:
Krok 2. Obliczenie długości środkowej tego trójkąta.
Spójrzmy na trójkąt \(ABD\). Znamy długości dwóch boków tego trójkąta i miarę kąta między tymi bokami. Chcąc więc poznać długość boku \(AD\) (czyli boku naprzeciwko kąta o znanej mierze), możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów:
$$|AD|^2=|AB|^2+|BD|^2-2\cdot|AB|\cdot|BD|\cdot cos60°$$
$$|AD|^2=12^2+4^2-2\cdot12\cdot4\cdot\frac{1}{2}$$
$$|AD|^2=112$$
$$|AD|=\sqrt{112} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{112}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy (bo długość boku nie może być ujemna), zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{112}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(|AD|=\sqrt{16\cdot7}=4\sqrt{7}\).
Zadanie nr 31 · Matura 2023
Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej). Długości boków \(AB\) i \(AC\) są równe odpowiednio \(|AB|=3r\) oraz \(|AC|=\sqrt{3}r\).
Oblicz miary wszystkich kątów trójkąta \(ABC\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zwróćmy uwagę, że z wierzchołka \(C\) możemy dorysować bok w taki sposób, że otrzymamy trójkąt oparty na średnicy okręgu. Z własności trójkątów wiemy, że taki trójkąt oparty na średnicy będzie zawsze prostokątny i to będzie punkt wyjścia do dalszych obliczeń. Nanosząc dane z treści zadania otrzymamy następujący rysunek szkicowy:
Ustalmy jeszcze skąd wiemy, że odcinek \(DB\) ma długość \(r\). Z treści zadania wynika, że \(|AB|=3r\), a skoro odcinek \(AS\) ma długość \(r\) oraz \(SD\) ma długość \(r\), to odcinek \(DB\) musi mieć \(3r-2r=r\).
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(CD\).
Skoro trójkąt \(ACD\) jest prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa.
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem \(|CD|=r\).
Krok 3. Dostrzeżenie trójkąta o kątach \(30°, 60°, 90°\).
Powinniśmy zauważyć, że trójkąt \(ADC\) jest trójkątem o kątach \(30°, 60°, 90°\). Wynika to wprost z własności trójkąta, gdyż jedna przyprostokątna ma długość \(r\), a przeciwprostokątna ma \(2r\), czyli jest dwa razy od niej dłuższa. Dodatkowo druga przyprostokątna jest \(\sqrt{3}\) razy większa od pierwszej. To wszystko to cechy charakterystyczne właśnie dla trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\).
W związku z tym \(|\sphericalangle CAD|=30°\) oraz \(|\sphericalangle ADC|=60°\).
Krok 4. Obliczenie miary kąta \(CDB\).
Spójrzmy na kąt \(CBD\). Jest to kąt przyległy do kąta o mierze \(60°\), a wiemy, że suma miar kątów przyległych jest zawsze równa \(180°\). Skoro tak, to:
$$|\sphericalangle CDB|=180°-60°=120°$$
Krok 5. Obliczenie pozostałych miar kątów trójkąta \(DBC\) oraz \(ABC\).
Wiemy już, że trójkąt \(DBC\) jest trójkątem równoramiennym (ramiona o długości \(r\)). Kąt między tymi ramionami ma miarę \(120°\), a więc na dwa pozostałe kąty zostało nam \(180°-120°=60°\). Kąty przy podstawie \(BC\) będą jednakowej miary (wynika to wprost z własności trójkątów równoramiennych), zatem każdy z nich będzie miał \(60°:2=30°\). Mamy więc następującą sytuację:
Zadanie polega na podaniu miar kątów trójkąta \(ABC\), a więc:
$$|\sphericalangle CAB|=30°$$
$$|\sphericalangle ABC|=30°$$
$$|\sphericalangle BCA|=90°+30°=120°$$
Zadanie nr 32 · Matura 2023
Dane są okrąg o środku \(S\) oraz prosta \(k\) styczna do okręgu w punkcie \(A\). Odcinek \(AB\) jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą \(k\) a cięciwą \(AB\) jest równa \(50°\). Punkt \(C\) leży na okręgu. Kąt \(\sphericalangle BCA\) jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej.
Miara kąta \(\sphericalangle BCA\) jest równa:
A\(100°\)
B\(80°\)
C\(50°\)
D\(40°\)
W tym zadaniu tak naprawdę nie musimy niczego liczyć. Istota zadania polega na tym, aby skorzystać z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą.
Z rysunku wynika, że styczna tworzy z cięciwą \(AB\) kąt \(50°\). Kąt \(BCA\) jest kątem wpisanym w okrąg, który oparty jest właśnie na cięciwie \(AB\). Taka sytuacja oznacza, że kąt \(BCA\) będzie miał także \(50°\).
Zadanie nr 33 · Matura 2023
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=5\), \(|BC|=\sqrt{21}\), \(|AC|=4\). Dwusieczna kąta \(\sphericalangle CAB\) przecina bok \(BC\) w punkcie \(D\) (zobacz rysunek poniżej).
Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź \(A\), \(B\) albo \(C\) oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Długość odcinka \(BD\) jest równa:
A. \(|BD|=\frac{1}{2}\sqrt{21}\)
B. \(|BD|=\frac{5}{9}\sqrt{21}\)
C. \(|BD|=\frac{4}{5}\sqrt{21}\)
ponieważ z twierdzenia o dwusiecznej wynika, że:
1. \(\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BC|}{|BD|}\)
2. \(|BD|=|DC|\)
3. \(\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|DC|}\)
Z twierdzenia o dwusiecznej kąta, wynika, że stosunek długości jednego ramienia (czyli \(AB\)) względem drugiego ramienia (czyli \(AC\)), musi być taki sam jak stosunek długości odcinka \(BD\) względem \(DC\). Matematycznie zapis będzie wyglądał następująco:
$$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BD|}{|DC|}$$
Podstawiając do tego równania dane z rysunku, otrzymamy:
$$\frac{5}{4}=\frac{|BD|}{|DC|}$$
$$|BD|=\frac{5}{4}|DC|$$
Odcinek \(|DC|\) ma miarę \(\sqrt{21}-|BD|\), zatem:
$$|BD|=\frac{5}{4}\cdot(\sqrt{21}-|BD|)$$
$$|BD|=\frac{5}{4}\cdot\sqrt{21}-\frac{5}{4}|BD|$$
$$\frac{9}{4}|BD|=\frac{5}{4}\cdot\sqrt{21} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{9}$$
$$|BD|=\frac{5}{9}\sqrt{21}$$
Zadanie nr 34 · Matura 2023
Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) tego trójkąta wybrano punkt \(D\), taki, że \(|AD|=\frac{1}{4}|AB|\), a na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że \(|BE|=\frac{1}{5}|BC|\) (zobacz rysunek poniżej). Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(20\).
Oblicz pole trójkąta \(DBE\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprostszą metodą wydaje się być wykorzystanie tak zwanego "wzoru na pole trójkąta z sinusem", czyli wzoru \(P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha\).
Oznaczmy sobie kąt przy wierzchołku \(B\) jako kąt \(\alpha\).
Krok 2. Zapisanie wzorów na pole trójkąta \(ABC\) oraz \(DBE\).
Wiemy, że pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(20\). Rozpiszmy sobie zatem ten trójkąt przy wykorzystaniu wzoru na pole z sinusem:
$$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha$$
$$20=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha$$
$$|AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha=40$$
Teraz rozpiszmy w identyczny sposób pole trójkąta \(DBE\):
$$P_{DBE}=\frac{1}{2}\cdot |DB|\cdot|BE|\cdot sin\alpha$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(DBE\).
Z treści zadania wiemy, że \(|AD|=\frac{1}{4}|AB|\), czyli tym samym \(|DB|=\frac{3}{4}|AB|\) Dodatkowo wiemy, że \(|BE|=\frac{1}{5}|BC|\). Podstawiając te dane do powyższego wzoru, otrzymamy:
$$P_{DBE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}|AB|\cdot\frac{1}{5}|BC|\cdot sin\alpha$$
$$P_{DBE}=\frac{3}{40}\cdot|AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha$$
W poprzednim kroku obliczyliśmy, że \(|AB|\cdot|BC|\cdot sin\alpha=40\), zatem:
$$P_{DBE}=\frac{3}{40}\cdot40$$
$$P_{DBE}=3$$
Zadanie nr 35 · Matura 2023
Na podstawie twierdzenia Pitagorasa można udowodnić bardziej ogólną własność niż ta, o której mówi samo to twierdzenie.
Rozważmy trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie prostym przy wierzchołku \(A\). Niech każdy z boków tego trójkąta: \(CA\), \(AB\), \(BC\) będzie podstawą trójkątów podobnych, odpowiednio: \(CAW_{1}\), \(ABW_{2}\), \(CBW_{3}\). Trójkąty te mają odpowiadające sobie kąty o równych miarach, odpowiednio przy wierzchołkach: \(W_{1}\), \(W_{2}\), \(W_{3}\).
Pola trójkątów \(CAW_{1}\), \(ABW_{2}\), \(CBW_{3}\) oznaczymy odpowiednio jako \(P_{1}\), \(P_{2}\), \(P_{3}\).
Udowodnij, że: \(P_{3}=P_{1}+P_{2}\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenie wysokości trójkątów, które są opuszczone z wierzchołków \(W_{1}\), \(W_{2}\) oraz \(W_{3}\) i niech to będą odpowiednio: \(h_{1}\), \(h_{2}\) oraz \(h_{3}\):
Możemy zapisać, że w takim razie:
$$P_{1}=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h_{1}$$
$$P_{2}=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot h_{2}$$
$$P_{3}=\frac{1}{2}\cdot|BC|\cdot h_{3}$$
Krok 2. Wykorzystanie własności trójkątów podobnych.
Wiemy, że trójkąty z zadania są podobne. Możemy więc zapisać, że przykładowo stosunek wysokości drugiego trójkąta względem pierwszego musi być taki sam jak stosunek długości podstawy drugiego trójkąta względem pierwszego. Matematycznie zapisalibyśmy więc, że:
$$\frac{h_{2}}{h_{1}}=\frac{|AB|}{|AC|} \quad\bigg/\cdot h_{1}$$
$$h_{2}=\frac{|AB|}{|AC|}\cdot h_{1}$$
I analogicznie możemy zapisać, że:
$$\frac{h_{3}}{h_{1}}=\frac{|CB|}{|AC|} \quad\bigg/\cdot h_{1}$$
$$h_{3}=\frac{|BC|}{|AC|}\cdot h_{1}$$
Krok 3. Rozpisanie \(P_{1}\), \(P_{2}\) oraz \(P_{3}\) i zakończenie dowodzenia.
Wracamy do wzorów na pole trójkąta \(P_{2}\) oraz \(P_{3}\), które zapisaliśmy w pierwszym kroku. Podstawiając wyznaczone przed chwilą wartości \(h_{2}\) oraz \(h_{3}\), otrzymamy:
$$P_{2}=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot\frac{|AB|}{|AC|}\cdot h_{1}$$
$$P_{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{|AB|^2}{|AC|}\cdot h_{1}$$
To oznacza, że suma \(P_{1}+P_{2}\) będzie równa:
$$P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h_{1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{|AB|^2}{|AC|}\cdot h_{1}$$
$$P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot h_{1}\cdot\left(|AC|+\frac{|AB|^2}{|AC|}\right)$$
$$P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot h_{1}\cdot\left(\frac{|AC|\cdot|AC|}{|AC|}+\frac{|AB|^2}{|AC|}\right)$$
$$P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot h_{1}\cdot\left(\frac{|AC|^2+|AB|^2}{|AC|}\right)$$
Z Twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:
$$|AC|^2+|AB|^2=|BC|^2$$
Skoro tak, to:
$$P_{1}+P_{2}=\frac{1}{2}\cdot h_{1}\cdot\left(\frac{|BC|^2}{|AC|}\right)$$
Wyrażenie po prawej stronie jest dokładnie takie samo jak nasze \(P_{3}\), stąd też \(P_{1}+P_{2}=P_{3}\) i na tym możemy zakończyć dowodzenie.
Zadanie nr 36 · Matura 2023
Dany jest prostokąt \(ABCD\), w którym \(|AD|=2\). Kąt \(BDA\) ma miarę \(\alpha\), taką, że \(tg\alpha=2\). Przekątna \(BD\) i prosta przechodząca przez wierzchołek \(C\) prostopadła do \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\) (zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka \(|CE|\).
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początek oznaczmy kąt \(BDA\) jako \(\alpha\) (zgodnie z treścią zadania) oraz \(ABD\) jako \(\beta\). W tym momencie powinniśmy dostrzec, że kąt \(DBC\) jest kątem naprzemianległym do kąta \(ABD\), zatem on też będzie mieć miarę \(\beta\). W tym momencie widzimy, że trójkąty \(ABD\) oraz \(DEC\) mają już dwa kąty o jednakowej mierze (kąt \(\beta\) oraz kąt prosty). To z kolei prowadzi nas do wniosku, że w takim razie kąt \(ECD\) musi mieć miarę \(\alpha\), a więc trójkąty \(ABD\) oraz \(DEC\) są trójkątami podobnymi (cecha kąt-kąt-kąt).
Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(CD\).
Z treści zadania wiemy, że \(|AD|=2\). Wiemy też, że \(tg\alpha=2\). Skoro tak, to korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{|AB|}{|AD|}$$
$$2=\frac{|AB|}{2}$$
$$|AB|=4$$
Wyszło nam, że \(|AB|=4\), a skoro figura \(ABCD\) jest prostokątem to i analogicznie \(|CD|=4\).
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABD\). Znamy długości przyprostokątnych tego trójkąta, zatem do wyznaczenia przeciwprostokątnej \(BD\) możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa:
$$2^2+4^2=|BD|^2$$
$$4+16=|BD|^2$$
$$|BD|^2=20$$
$$|BD|=\sqrt{20} \quad\lor\quad |BD|=-\sqrt{20}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|BD|=\sqrt{20}\). Teoretycznie moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka (otrzymując postać \(|BD|=2\sqrt{5})\), ale na tym etapie nie jest to konieczne.
Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(CE\).
Ustaliliśmy już, że trójkąty \(ABD\) oraz \(DEC\) są trójkątami podobnymi. Skoro tak, to:
$$\frac{|AD|}{|BD|}=\frac{|CE|}{|CD|}$$
$$\frac{2}{\sqrt{20}}=\frac{|CE|}{4}$$
$$|CE|=\frac{8}{\sqrt{20}}$$
$$|CE|=\frac{8}{2\sqrt{5}}$$
$$|CE|=\frac{4}{\sqrt{5}}$$
$$|CE|=\frac{4\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}$$
$$|CE|=\frac{4\sqrt{5}}{5}$$
Zadanie nr 37 · Matura 2023
Trzy różne punkty \(A\), \(B\) i \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu. Styczne \(k\) i \(l\) do tego okręgu, odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\), przecinają się w punkcie \(C\) (zobacz rysunek poniżej).
Wykaż, że trójkąty \(ACB\) i \(ASD\) są podobne.
Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów równoramiennych.
Z własności stycznych do okręgu wynika, że odcinki \(AC\) oraz \(BC\) mają jednakową miarę, a skoro tak, to trójkąt \(ACB\) jest równoramienny.
Równoramienny będzie także trójkąt \(ASD\), ponieważ odcinki \(SA\) oraz \(SD\) są promieniami okręgu.
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy kąt \(ACB\) jako \(\alpha\) i spójrzmy na czworokąt \(ACBS\). W tym czworokącie mamy nasz kąt alfa oraz dwa kąty proste (kąty \(SAC\) oraz \(SBC\) muszą być proste, bo styczna tworzy z promieniem okręgu zawsze kąt prosty). Suma miar kątów czworokąta jest równa \(360°\), a skoro tak, to kąt \(ASB\) ma miarę:
$$\beta=360°-90°-90°-\alpha$$
$$\beta=180°-\alpha$$
Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(\alpha\).
Kąt \(DSA\) jest kątem przyległym do naszego kąta \(\beta\). Suma miar kątów przyległych jest równa \(180°\), a skoro tak, to:
$$|\sphericalangle DSA|=180°-\beta$$
$$|\sphericalangle DSA|=180°-(180°-\alpha)$$
$$|\sphericalangle DSA|=180°-180°+\alpha$$
$$|\sphericalangle DSA|=\alpha$$
Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Spójrzmy zatem najpierw na trójkąt \(ABC\). Tutaj podstawą trójkąta jest bok \(AB\), więc możemy zapisać, że kąty przy tej podstawie mają jednakową miarę, niech to będzie \(\gamma\). Możemy sobie nawet zapisać, że miara takiego kąta \(\gamma\) będzie równa \(\frac{180°-\alpha}{2}\).
Analogiczna sytuacja jest w trójkącie \(ASD\). Tutaj podstawą trójkąta jest bok \(AD\) i to tutaj także kąty przy podstawie będą miały jednakową miarę. Skoro kąt między ramionami tego trójkąta to \(\alpha\) (czyli identycznie jak w trójkącie \(ABC\)), to tutaj także kąty przy podstawie będą miały miarę równą \(\gamma\).
W ten sposób udowodniliśmy, że kąty w trójkątach \(ABC\) oraz \(ASD\) są jednakowej miary, a to oznacza, że te trójkąty są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.
Zadanie nr 38 · Matura 2023
Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości: \(|AB|=4\), \(|BC|=5\), \(|AC|=6\). Na tym trójkącie opisano okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(R\).
Oblicz promień \(R\) okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\).
Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cos\alpha\).
Chcielibyśmy na pewno skorzystać z twierdzenia sinusów, ale nie znamy miary żadnego z kątów, przez co nie mamy dobrego punktu zaczepienia. Możemy jednak poznać miarę takiego kąta, korzystając z twierdzenia cosinusów. Jeżeli oznaczymy sobie kąt przy wierzchołku \(A\) jako \(\alpha\), to zgodnie z twierdzeniem cosinusów będziemy mogli zapisać, że:
$$|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2-2\cdot|AC|\cdot|AB|\cdot cos\alpha$$
Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$5^2=6^2+4^2-2\cdot6\cdot4\cdot cos\alpha$$
$$25=36+16-48\cdot cos\alpha$$
$$25=52-48\cdot cos\alpha$$
$$-27=-48\cdot cos\alpha$$
$$cos\alpha=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości \(sin\alpha\).
Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy teraz zapisać, że:
$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1$$
$$sin^2\alpha+\left(\frac{9}{16}\right)^2=1$$
$$sin^2\alpha+\frac{81}{256}=1$$
$$sin^2\alpha=\frac{175}{256}$$
$$sin\alpha=\sqrt{\frac{175}{256}} \quad\lor\quad sin\alpha=-\sqrt{\frac{175}{256}}$$
Nasz kąt \(\alpha\) jest kątem ostrym, a dla takich kątów sinus przyjmuje jedynie dodatnie wartości. Stąd też zostaje nam jedynie \(sin\alpha=\sqrt{\frac{175}{256}}\), co możemy jeszcze rozpisać jako:
$$sin\alpha=\sqrt{\frac{175}{256}}=\frac{\sqrt{25\cdot7}}{16}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$$
Krok 3. Obliczenie długości promienia \(R\).
Teraz możemy przystąpić do działania, które planowaliśmy od samego początku, czyli do wykorzystania twierdzenia sinusów. Możemy zapisać, że:
$$\frac{|BC|}{sin\alpha}=2R$$
$$\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}=2R$$
$$2R=5\cdot\frac{16}{5\sqrt{7}}$$
$$2R=\frac{16}{\sqrt{7}}$$
$$R=\frac{8}{\sqrt{7}}$$
$$R=\frac{8\cdot\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}$$
$$R=\frac{8\sqrt{7}}{7}$$
Zadanie nr 39 · Matura 2023
Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(A\). Proste \(m\), \(n\) i \(s\) są do siebie równoległe i przecinają obie proste \(k\) i \(l\) w punktach \(B, C, D, E, F, G\) (zobacz rysunek poniżej), w taki sposób, że:
$$|BC|=30, |CD|=20, |GF|=21$$
Oblicz długość odcinka \(FE\).
Korzystając z Twierdzenia Talesa możemy zapisać, że:
$$\frac{|GF|}{|BC|}=\frac{|FE|}{|CD|}$$
Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$\frac{21}{30}=\frac{|FE|}{20}$$
$$|FE|=14$$
Zadanie nr 40 · Matura 2023
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dany jest okrąg \(O\) określony równaniem:
$$(x-2)^2+(y+3)^2=16$$
Zadanie 1.
Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-G.
1. Środek \(S\) okręgu \(O\) ma współrzędne:
A. \(S=(2,-3)\)
B. \(S=(-2,-3)\)
C. \(S=(-2,3)\)
D. \(S=(-2,3)\)
2. Promień \(r\) okręgu \(O\) jest równy:
E. \(r=16\)
F. \(r=4\)
G. \(r=5\)
Zadanie 2.
Oblicz współrzędne \(x\) punktów przecięcia okręgu \(O\) z osią \(Ox\).
Zadanie 1.
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu.
Równanie okręgu opisujemy w następujący sposób:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Wartości \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a;b)\), natomiast \(r\) to promień tego okręgu. Na początek wyznaczmy współrzędne tego środka. W tym celu musimy "dopasować" równanie z treści do postaci równania okręgu (w nawiasach muszą być minusy!), zatem:
$$(x-2)^2+(y+3)^2=16$$
$$(x-2)^2+(y-(-3))^2=16$$
To oznacza, że \(S=(2;-3)\).
Krok 2. Wyznaczenie długości promienia okręgu.
Widzimy, że po prawej stronie równania mamy \(16\), a zgodnie z równaniem okręgu jest to wartość \(r^2\), zatem:
$$r^2=16$$
$$r=4 \quad\lor\quad r=-4$$
Ujemny wynik odrzucamy, bo promień okręgu musi mieć dodatnią długość. Zostaje nam zatem \(r=4\).
Zadanie 2.
Chcemy sprawdzić kiedy okrąg przetnie się z osią \(Ox\), czyli chcemy sprawdzić, dla jakich argumentów \(x\) otrzymamy wartość \(y=0\). Skoro tak, to podstawiając \(y=0\) otrzymamy:
$$(x-2)^2+(0+3)^2=16$$
$$(x-2)^2+3^2=16$$
$$(x-2)^2+9=16$$
$$(x-2)^2=7$$
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Nie jest to postać iloczynowa, ponieważ po prawej stronie nie mamy zera, więc nie możemy przyrównać wartości w nawiasie do zera. Najprościej będzie spierwiastkować obydwie strony równania i rozwiązać powstałe równanie z wartością bezwzględną:
$$|x-2|=\sqrt{7}$$
$$x-2=\sqrt{7} \quad\lor\quad x-2=-\sqrt{7}$$
$$x=2+\sqrt{7} \quad\lor\quad x=2-\sqrt{7}$$
Jeżeli nie dostrzegliśmy takiej możliwości, to śmiało można całość rozpisać, doprowadzić do postaci ogólnej i policzyć wszystko deltą:
$$x^2-4x+4=7$$
$$x^2-4x-3=0$$
To oznacza, że okrąg przecina się z osią \(Ox\) wtedy, gdy \(x=2-\sqrt{7}\) oraz \(x=2+\sqrt{7}\).
Zadanie nr 41 · Matura 2023
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S=(3,-4)\) i prosta \(k\) o równaniu \(2x-y-11=0\).
Okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\) w punkcie \(P\).
Zadanie 1.
Wyznacz i zapisz równanie okręgu \(O\).
Zadanie 2.
Oblicz współrzędne punktu \(P\), w którym okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\).
Zadanie 1.
Krok 1. Obliczenie długości promienia.
Do zapisania równania okręgu potrzebujemy długości promienia. Długość promienia będzie równa odległości punktu \(S\) od prostej \(k\), zatem z pomocą przyjdzie nam wzór na odległość punktu od prostej:
$$r=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
\(A\), \(B\) oraz \(C\), pojawiające się we wzorze, to współczynniki równania prostej zapisanego w postaci ogólnej. Zatem u nas \(A=2\), \(B=-1\) oraz \(C=-11\). Skoro tak, to:
$$r=\frac{|2\cdot3-1\cdot(-4)-11|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$$
$$r=\frac{|6-(-4)-11|}{\sqrt{4+1}}$$
$$r=\frac{|6+4-11|}{\sqrt{5}}$$
$$r=\frac{|-1|}{\sqrt{5}}$$
$$r=\frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$r=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}$$
$$r=\frac{\sqrt{5}}{5}$$
Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Wiemy już, że \(r=\frac{\sqrt{5}}{5}\). W treści zadania mamy podane współrzędne środka okręgu, czyli \(S=(3,-4)\). Podstawiając te dane do równania okręgu, otrzymamy:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
$$(x-3)^2+(y-(-4))^2=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2$$
$$(x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}$$
Zadanie 2.
Krok 1. Zbudowanie układu równań.
Z poprzedniego punktu wiemy, że nasz okrąg wyraża się równaniem \((x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}\). Naszym zadaniem jest poznanie współrzędnych punktu, który tak naprawdę jest punktem wspólnym okręgu i prostej \(k\), a więc pomocny będzie układ równań:
\begin{cases} (x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5} \\ y=2x-11 \end{cases}
Podstawiając drugie równanie do pierwszego, otrzymamy:
$$(x-3)^2+(2x-11+4)^2=\frac{1}{5}$$
$$(x-3)^2+(2x-7)^2=\frac{1}{5}$$
$$x^2-6x+9+4x^2-28x+49=\frac{1}{5}$$
$$5x^2-34x+58=\frac{1}{5}$$
$$5x^2-34x+\frac{290}{5}=\frac{1}{5}$$
$$5x^2-34x+\frac{289}{5}=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Z pomocą przyjdzie nam oczywiście delta:
Współczynniki: \(a=5,\;b=-34,\;c=\frac{289}{5}\)
$$Δ=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot5\cdot\frac{289}{5}=1156-1156=0$$
Krok 3. Zapisanie współrzędnych punktu \(P\).
Wiemy już, że współrzędna \(x=3\frac{2}{5}\). Potrzebujemy jeszcze współrzędnej \(y\), a obliczymy ją, podstawiając \(x=3\frac{2}{5}\) do jednego z równań z układu (np. równania \(y=2x-11\)), zatem:
$$y=2x-11$$
$$y=2\cdot3\frac{2}{5}-11$$
$$y=-4\frac{1}{5}$$
To oznacza, że \(P=\left(3\frac{2}{5};-4\frac{1}{5}\right)\).
Zadanie nr 42 · Matura 2023
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są punkty \(A=(1,2)\) oraz \(B=(3,7)\). Punkty \(A_{0}\) oraz\(B_{0}\) są odpowiednio obrazami punktów \(A\) i \(B\) w symetrii środkowej o środku w punkcie \(O=(0,0)\).
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty \(A_{0}\) i \(B_{0}\) jest równy:
A\(\frac{5}{2}\)
B\(-\frac{5}{2}\)
C\(\frac{2}{5}\)
D\(-\frac{2}{5}\)
Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktów \(A_{0}\) oraz \(B_{0}\).
Symetria względem punktu \(O=(0,0)\) oznacza, że każdy przekształcony punkt zmieni wartości obydwu współrzędnych na liczby przeciwne. W związku z tym:
\(A_{0}=(-1,-2)\)
\(B_{0}=(-3,-7)\)
Dany jest prostopadłościan \(ABCDEFGH\), w którym prostokąty \(ABCD\) i \(EFGH\) są jego postawami. Odcinek \(BH\) jest przekątną tego prostopadłościanu.
Zadanie 1.
Na którym rysunku prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt \(\alpha\) pomiędzy przekątną \(BH\) prostopadłościanu a jego ścianą boczną \(ADHE\)? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
A.
B.
C.
D.
Zadanie 2.
W prostopadłościanie \(ABCDEFGH\) dane są:
\(tg\beta=\frac{9}{7}\)
\(|BG|=2\cdot\sqrt{130}\)
\(|BH|=2\cdot\sqrt{194}\)
gdzie odcinek \(BH\) jest przekątną prostopadłościanu, odcinek \(BG\) jest przekątną ściany bocznej \(BCGF\), \(\beta\) jest miarą kąta \(\sphericalangle GBC\). Sytuację ilustruje rysunek poniżej.
Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu \(ABCDEFGH\).
Zadanie 1.
Kąt między przekątną prostopadłościanu i ścianą boczną został oznaczony na trzecim rysunku.
Zadanie 2.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi \(CG\) oraz \(BC\).
Spójrzmy na trójkąt \(BCG\). Z treści zadania wiemy, że \(tg\beta=\frac{9}{7}\). Nie możemy zapisać, że w takim razie bok \(CG\) jest równy \(7\), a \(BC\) ma długość \(9\) (bo równie dobrze mogłyby te boki mieć długości \(14\) i \(18\)), ale możemy zapisać, że \(|CG|=7x\) oraz \(|BC|=9x\). Dodatkowo wiemy, że odcinek \(BG\) ma długość \(2\cdot\sqrt{130}\). Skoro tak, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$(7x)^2+(9x)^2=(2\sqrt{130})^2$$
$$49x^2+81x^2=4\cdot130$$
$$130x^2=520$$
$$x^2=4$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(x=2\). Skoro tak, to długości krawędzi \(CG\) oraz \(BC\) są następujące:
$$|CG|=7x=7\cdot2=14$$
$$|BC|=9x=9\cdot2=18$$
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi \(GH\) (oraz \(AB\)).
Do obliczenia pola powierzchni całkowitej brakuje nam jeszcze znajomości długości krawędzi \(AB\). Będzie ona taka sama jak krawędź \(GH\), a tę będziemy mogli wyznaczyć z trójkąta \(BGH\).
Okazuje się, że trójkąt \(BGH\) jest trójkątem prostokątnym (kąt prosty jest przy wierzchołku \(G\)). Z treści zadania znamy długość \(BG=2\cdot\sqrt{130}\) oraz \(|BH|=2\cdot\sqrt{194}\), zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszemy, że:
$$|GH|^2+(2\sqrt{130})^2=(2\sqrt{194})^2$$
$$|GH|^2+4\cdot130=4\cdot194$$
$$|GH|^2+520=776$$
$$|GH|^2=256$$
$$|GH|=16 \quad\lor\quad |GH|=-16$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|GH|=16\).
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na sam koniec musimy obliczyć pole powierzchni całkowitej. Korzystając ze wzoru z tablic możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2ab+2bc+2ac$$
$$P_{c}=2\cdot16\cdot14+2\cdot14\cdot18+2\cdot16\cdot18$$
$$P_{c}=448+504+576$$
$$P_{c}=1528$$
Zadanie nr 6 · Matura 2023
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)\le\frac{2-x}{3}\) jest przedział:
A\((-\infty;-4\rangle\)
B\((-\infty;4\rangle\)
C\(\langle-4;\infty)\)
D\(\langle4;\infty)\)
Rozwiązywanie nierówności możemy rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \(3\), otrzymując:
$$-2(x+3)\le\frac{2-x}{3} \quad\bigg/\cdot3$$
$$-6(x+3)\le2-x$$
$$-6x-18\le2-x$$
$$-5x\le20 \quad\bigg/:(-5)$$
$$x\ge-4$$
Zwróć uwagę na zmianę znaku po podzieleniu obydwu stron przez \(-5\). Zawsze, kiedy w nierówności dzielimy lub mnożymy obydwie strony przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też właśnie rozwiązaniem tej nierówności jest \(x\ge-4\), co możemy zapisać w formie przedziału jako \(\langle-4;\infty)\).
Zadanie nr 6 · Matura 2023
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)\le\frac{2-x}{3}\) jest przedział:
A\((-\infty;-4\rangle\)
B\((-\infty;4\rangle\)
C\(\langle-4;\infty)\)
D\(\langle4;\infty)\)
Rozwiązywanie nierówności możemy rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \(3\), otrzymując:
$$-2(x+3)\le\frac{2-x}{3} \quad\bigg/\cdot3$$
$$-6(x+3)\le2-x$$
$$-6x-18\le2-x$$
$$-5x\le20 \quad\bigg/:(-5)$$
$$x\ge-4$$
Zwróć uwagę na zmianę znaku po podzieleniu obydwu stron przez \(-5\). Zawsze, kiedy w nierówności dzielimy lub mnożymy obydwie strony przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też właśnie rozwiązaniem tej nierówności jest \(x\ge-4\), co możemy zapisać w formie przedziału jako \(\langle-4;\infty)\).
Zadanie nr 6 · Matura 2023
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(-2(x+3)\le\frac{2-x}{3}\) jest przedział:
A\((-\infty;-4\rangle\)
B\((-\infty;4\rangle\)
C\(\langle-4;\infty)\)
D\(\langle4;\infty)\)
Rozwiązywanie nierówności możemy rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez \(3\), otrzymując:
$$-2(x+3)\le\frac{2-x}{3} \quad\bigg/\cdot3$$
$$-6(x+3)\le2-x$$
$$-6x-18\le2-x$$
$$-5x\le20 \quad\bigg/:(-5)$$
$$x\ge-4$$
Zwróć uwagę na zmianę znaku po podzieleniu obydwu stron przez \(-5\). Zawsze, kiedy w nierówności dzielimy lub mnożymy obydwie strony przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też właśnie rozwiązaniem tej nierówności jest \(x\ge-4\), co możemy zapisać w formie przedziału jako \(\langle-4;\infty)\).
Zadanie nr 6 · Matura 2022
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\dfrac{8x-3}{4}\gt6x\) jest przedział:
A\(\left(-\infty;-\frac{3}{4}\right)\)
B\(\left(-\frac{3}{4};+\infty\right)\)
C\(\left(-\infty;-\frac{3}{16}\right)\)
D\(\left(-\frac{3}{16};+\infty\right)\)
Zaczynając od mnożenia obu stron przez \(4\), otrzymamy:
$$\frac{8x-3}{4}\gt6x \quad\bigg/\cdot4$$
$$8x-3\gt24x$$
$$-16x-3\gt0$$
$$-16x\gt3 \quad\bigg/:(-16)$$
$$x\lt-\frac{3}{16}$$
Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez \(-16\), należało zmienić znak nierówności na przeciwny (to największa pułapka w tym zadaniu).
To oznacza, że zbiorem rozwiązań tej nierówności będzie przedział \(\left(-\infty;-\frac{3}{16}\right)\).
Zadanie nr 29 · Matura 2022
Rozwiąż nierówność \(3x^2-8x\ge3\)
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Rozwiązywanie należy zacząć od przekształcenia nierówności, tak aby po prawej stronie otrzymać zero. Odejmując obustronnie \(3\), otrzymamy:
$$3x^2-8x\ge3$$
$$3x^2-8x-3\ge0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych, korzystając z tradycyjnej delty.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-8,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot3\cdot(-3)=64-(-36)=100$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{100}=10$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczając na osi obliczone miejsca zerowe, otrzymamy taką oto sytuację:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero. Patrzymy się zatem co znajduje się nad osią lub na osi i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie w takim razie \(x\in(-\infty; -\frac{1}{3}\rangle\cup \langle3;+\infty)\).
Aby odpowiedzieć na pytanie, musimy rozwiązać podaną nierówność. W trakcie obliczeń musimy pamiętać o tym, że dzieląc lub mnożąc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną, musimy zmienić znak na przeciwny:
$$3x-12\le5x-30+29$$
$$3x-12\le5x-1$$
$$-2x\le11$$
$$x\ge-5\frac{1}{2}$$
Musimy teraz ustalić, jaka jest najmniejsza liczba całkowita większa od \(-5\frac{1}{2}\). Taką liczbą będzie \(-5\) i taka też będzie nasza odpowiedź.
Zadanie nr 26 · Próbny 2022
Rozwiąż nierówność \(x(2x-1)+4\gt8x\).
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć, musimy przekształcić zapis nierówności. Będziemy dążyć do postaci ogólnej, zatem wszystkie wyrazy musimy przenieść na lewą stronę i poprawnie wymnożyć nawias:
$$x(2x-1)+4\gt8x$$
$$x(2x-1)+4-8x\gt0$$
$$2x^2-x+4-8x\gt0$$
$$2x^2-9x+4\gt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-9,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot2\cdot4=81-32=49$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy otrzymane wyniki na osi liczbowej i rysujemy parabolę. Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni, zatem:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości większe zera. Patrzymy się zatem co znajduje się nad osią i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie suma przedziałów \(x\in(-\infty;\frac{1}{2})\cup(4;+\infty)\)
Zadanie nr 1 · Próbny 2022
Wartość wyrażenia \((1+3\cdot2^{-1})^{-2}\) jest równa:
A\(\frac{25}{4}\)
B\(\frac{4}{25}\)
C\(\frac{36}{49}\)
D\(\frac{40}{9}\)
Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$(1+3\cdot2^{-1})^{-2}=\left(1+3\cdot\frac{1}{2}\right)^{-2}=\left(1+\frac{3}{2}\right)^{-2}=$$
$$=\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2022
Wartość wyrażenia \(2log_{5}5+1-\frac{1}{2}log_{5}625\) jest równa:
A\(1\)
B\(5\)
C\(10\)v
D\(25\)
W wyrażeniu pojawiają nam się dwa kluczowe logarytmy, więc dla lepszego zobrazowania może rozwiążmy je osobno (bo mamy taką możliwość):
$$log_{5}5=1$$
$$log_{5}625=log_{5}5^4=4$$
Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$2log_{5}5+1-\frac{1}{2}log_{5}625=2\cdot1+1-\frac{1}{2}\cdot4=2+1-2=1$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2022
Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez \(25\), jest:
A\(9\cdot9\cdot2\)
B\(9\cdot10\cdot2\)
C\(9\cdot9\cdot4\)
D\(9\cdot10\cdot4\)
Aby liczba była podzielna przez \(25\), to dwie ostatnie jej cyfry muszą być równe: \(25, 50, 75\) lub \(00\). My chcemy, by dodatkowo ta liczba była jeszcze nieparzysta, czyli interesująca nas liczba może przybrać jedną z dwóch postaci:
$$■■25$$
$$■■75$$
Spróbujmy zatem ustalić, ile jest takich liczb czterocyfrowych, analizując ile mamy możliwości uzupełnienia cyfr tysięcy i setek liczby:
• cyfra tysięcy - tutaj możemy mieć cyfry od \(1\) do \(9\) włącznie, czyli mamy \(9\) możliwości uzupełnienia cyfry tysięcy
• cyfra setek - tutaj możemy mieć cyfr od \(0\) do \(9\) włącznie, czyli mamy \(10\) możliwości uzupełnienia cyfry setek
• cyfra dziesiątek i jedności - tu jak już ustaliliśmy, pasują nam tylko warianty \(25\) lub \(75\), czyli mamy \(2\) możliwości
To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będzie:
$$9\cdot10\cdot2$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2022
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) wyrażenie \(\frac{2}{x-1}-5\) jest równe:
A\(\frac{-5x+1}{x-1}\)
B\(\frac{-5x+7}{x-1}\)
C\(\frac{-5x+3}{x-1}\)
D\(\frac{-5x-3}{x-1}\)
Celem zadania jest zapisanie tego wyrażenia w formie pojedynczego ułamka. Musimy więc odjąć od siebie podane liczby, a żeby tego dokonać, to trzeba sprowadzić je do wspólnego mianownika. W tym celu musimy liczbę \(5\) rozpisać jako \(\frac{5\cdot(x-1)}{x-1}\), co sprawi, że otrzymamy:
$$\frac{2}{x-1}-5=\frac{2}{x-1}-\frac{5\cdot(x-1)}{x-1}=\frac{2}{x-1}-\frac{5x-5}{x-1}=$$
$$\frac{2-(5x-5)}{x-1}=\frac{2-5x+5}{x-1}=\frac{-5x+7}{x-1}$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2022
Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \(9-(x^2-2xy+y^2)\) jest równe:
A. \([3-(x-2y)]^2\)
B. \([3+(x-2y)]^2\)
C. \([3-(x+2y)]^2\)
D. \([3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]\)
E. \([3-(x+2y)]\cdot[3+(x+2y)]\)
F. \(-[(x-y)-3]\cdot[(x-y)+3]\)
Teoretycznie moglibyśmy rozpisać każde z wyrażeń znajdujących się w odpowiedziach i sprawdzić, kiedy otrzymamy wyrażenie \(9-(x^2-2xy+y^2)\). Do tego zadania można jednak podejść nieco sprytniej. Powinniśmy zauważyć, że \(9=3^2\) oraz \(x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\) (to wynika wprost ze wzorów skróconego mnożenia). Nasze wyrażenie przyjęłoby więc postać:
$$3^2+(x-y)^2$$
Jeżeli teraz zapisalibyśmy sobie, że \(a=3\) oraz \(b=(x-y)\), to nasze wyrażenie przyjęłoby postać \(a^2-b^2\), co zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia moglibyśmy rozpisać jako \((a-b)\cdot(a+b)\). Czyli tym samym:
$$3^2+(x-y)^2=[3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]$$
Wyznaczony zapis znajduje się w czwartej odpowiedzi, więc jedną poprawną odpowiedź mamy już wybraną.
Zgodnie z treścią zadania, to zadanie ma jednak dwie poprawne odpowiedzi. Musimy więc się zastanowić, która z pozostałych odpowiedzi będzie równie poprawna. Na pewno warianty A-C możemy od ręki odrzucić, bo prezentują one zupełnie inny wzór skróconego mnożenia. Odpowiedź E jest błędna, gdyż w nawiasach mamy \(+2y\). Po takiej krótkiej analizie możemy dostrzec, że poprawna będzie jeszcze ostatnia odpowiedź, gdyż da się ten zapis przekształcić do tego co otrzymaliśmy w odpowiedzi D:
$$-[(x-y)-3]\cdot[(x-y)+3]=[-(x-y)+3]\cdot[(x-y)+3]=[3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]$$
Zadanie nr 6 · Próbny 2022
Rozwiąż równanie
$$3x^3-6x^2-27x+54=0$$
Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania:
$$3x^3-6x^2-27x+54=0$$
$$x^2(3x-6)-9(3x-6)=0$$
$$(x^2-9)\cdot(3x-6)=0$$
Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-9=0 \quad\lor\quad 3x-6=0$$
$$x^2=9 \quad\lor\quad 3x=6$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=2$$
Zadanie nr 7 · Próbny 2022
Równanie \(\dfrac{(x^2+x)(x+3)(x-1)}{x^2-1}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:
Ajedno rozwiązanie: \(x=-3\)
Bdwa rozwiązania: \(x=-3, x=0\)
Ctrzy rozwiązania: \(x=-3, x=-1, x=0\)
Dcztery rozwiązania: \(x=-3, x=-1, x=0, x=1\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Jest to równanie wymierne, w którym mamy niewiadomą \(x\) w mianowniku. Wiedząc, że na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, musimy zapisać odpowiednie założenia, tak aby nasz mianownik nie był równy zero, zatem:
$$x^2-1\neq0$$
$$x^2\neq1$$
$$x\neq1 \quad\lor\quad x\neq-1$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając zapisane założenia, możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Aby lewa strona była równa \(0\), to wartość przynajmniej jednego z nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2+x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \quad\lor\quad x-1=0$$
$$x(x+1)=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$
$$x=0 \quad\lor\quad x+1=0 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-1 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=1$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy aż cztery różne rozwiązania, ale wyniki \(x=-1\) oraz \(x=1\) musimy odrzucić ze względu na założenia. To oznacza, że nasze równanie ma tylko dwa rozwiązania i są to \(x=-3\) oraz \(x=0\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2022
Spośród nierówności A–D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.
A\(|x+2|\le2\)
B\(|x-2|\le2\)
C\(|x+2|\ge2\)
D\(|x-2|\ge2\)
Do tego typu zadań można podchodzić na różne sposoby (w niektórych przypadkach można z samej analizy rysunku wywnioskować poprawną odpowiedź), ale tutaj odpowiedzi są do siebie na tyle podobne, że najprościej i najbezpieczniej będzie po prostu rozwiązać podane nierówności:
Odp. A.
$$|x+2|\le2$$
$$x+2\le2 \quad\land\quad x+2\ge-2$$
$$x\le0 \quad\land\quad x\ge-4$$
Odp. B.
$$|x-2|\le2$$
$$x-2\le2 \quad\land\quad x-2\ge-2$$
$$x\le4 \quad\land\quad x\ge0$$
Odp. C.
$$|x+2|\ge2$$
$$x+2\ge2 \quad\lor\quad x+2\le-2$$
$$x\ge0 \quad\lor\quad x\le-4$$
Odp. D.
$$|x-2|\ge2$$
$$x-2\ge2 \quad\lor\quad x-2\le-2$$
$$x\ge4 \quad\lor\quad x\le0$$
Interesujący nas zbiór rozwiązań otrzymaliśmy zatem w trzeciej odpowiedzi.
Zadanie nr 9 · Próbny 2022
Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę \(1040 zł\). Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach \(20 zł\), \(50 zł\) oraz \(100 zł\). Banknotów \(100\)-złotowych było dwa razy więcej niż \(50\)-złotowych, a banknotów \(20\)-złotowych było o \(2\) mniej niż \(50\)-złotowych.
Niech \(x\) oznacza liczbę banknotów \(50\)-złotowych, a \(y\) – liczbę banknotów \(20\)-złotowych, które otrzymał ten klient. Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb \(x\) i \(y\) to:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - liczba banknotów \(50zł\)
\(2x\) - liczba banknotów \(100zł\)
\(y\) - liczba banknotów \(20zł\)
To oznacza, że:
\(50x\) - wartość wyrażona banknotami \(50zł\)
\(100\cdot2x\) - wartość wyrażona banknotami \(100zł\)
\(20y\) - wartość wyrażona banknotami \(20zł\)
Krok 2. Ułożenie pierwszego równania.
Pierwsze równanie opiera się na sumie wypłaty. Skoro suma wypłaty wynosi \(1040zł\), to bazując na oznaczeniach z kroku pierwszego, możemy stwierdzić, że pierwszym równaniem jakie ułożymy będzie:
$$20y+50x+100\cdot2x=1040$$
Krok 3. Ułożenie drugiego równania.
Drugie równanie to zależność między banknotami o nominale \(20zł\) i \(50zł\). Banknotów \(20\)-złotowych (oznaczonych jako \(y\)) było o \(2\) mniej niż \(50\)-złotowych (oznaczonych jako \(x\)), czyli:
$$y=x-2$$
To oznacza, że pasującym układem równań będzie ten z pierwszej odpowiedzi.
Zadanie nr 10 · Próbny 2022
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej dla każdego \(x\in\langle-5, 4)\). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.
Zadanie 1. Zapisz w wykropkowanym miejscu zbiór wartości funkcji \(f\).
$$.....................$$
Zadanie 2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Dla każdego argumentu z przedziału \((-4, -2)\) funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne.
2. Funkcja \(f\) ma trzy miejsca zerowe.
Zadanie 3. Najmniejsza wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-4, 0\rangle\) jest równa:
A. \((-4)\)
B. \((-3)\)
C. \((-2)\)
D. \(0\)
Odpowiedź 1.
Chcąc ustalić zbiór wartości, musimy spojrzeć jakie wartości przyjmuje nasza funkcja, czyli zerkamy na oś \(OY\). Widzimy wyraźnie, że funkcja przyjmuje wartości od \(-4\) do \(4\) włącznie, czyli zbiorem wartości będzie przedział \(Y=\langle-4;4\rangle\).
Odpowiedź 2.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Patrząc się na wykres widzimy, że dla wartości od mniej więcej argumentu \(x=-2\frac{1}{3}\) funkcja zaczyna przyjmować wartości dodatnie, a więc zdanie jest fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Miejsca zerowe to argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Mówiąc bardzo obrazowo, musimy spojrzeć ile razy wykres przecina oś \(OX\). Widzimy, że mamy faktycznie trzy miejsca zerowe (bez \(x=4\), bo tutaj kropka jest niezamalowana), czyli zdanie jest prawdą.
Odpowiedź 3.
Patrząc się na wykres widzimy, że najmniejsza wartość funkcji w danym przedziale jest przyjmowana dla argumentu \(x=-3\) i wynosi ona \(y=-2\).
Zadanie nr 11 · Próbny 2022
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są: punkt \(A=(8, 11)\) oraz okrąg o równaniu \((x-3)^2+(y+1)^2=25\).
Odległość punktu \(A\) od środka tego okręgu jest równa:
A\(25\)
B\(13\)
C\(\sqrt{125}\)
D\(\sqrt{265}\)
Krok 1. Odczytanie współrzędnych środka okręgu.
Równanie okręgu o środku \(S=(a;b)\) i promieniu \(r\) zapisujemy jako:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Z równania \((x-3)^2+(y+1)^2=25\) wynika, że w takim razie \(a=3\) oraz \(b=-1\). To oznacza, że środek okręgu znajduje się w punkcie \(S=(3;-1)\).
Krok 2. Obliczenie odległości punktu \(A\) od środka okręgu.
Celem zadania jest obliczenie odległości punktu \(A\) od naszego punktu \(S\). W tym celu możemy skorzystać ze wzoru na długość odcinka, zatem:
$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2}$$
$$|AS|=\sqrt{(3-8)^2+(-1-11)^2}$$
$$|AS|=\sqrt{(-5)^2+(-12)^2}$$
$$|AS|=\sqrt{25+144}$$
$$|AS|=\sqrt{169}$$
$$|AS|=13$$
Zadanie nr 12 · Próbny 2022
Basen ma długość \(25 m\). W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa \(1,2 m\). Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku.
Głębokość \(y\) basenu zmienia się wraz z odległością \(x\) od brzegu w sposób opisany funkcją:
$$y=\begin{cases} ax+b\quad \text{ dla }\quad 0\le x\le15 m \\ 0,18x-0,9\quad \text{ dla }\quad 15 m\le x\le25 m \end{cases}$$
Odległość \(x\) jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości \(x\) i \(y\) są wyrażone w metrach.
Zadanie 1. Największa głębokość basenu jest równa:
A. \(5,4 m\)
B. \(3,6 m\)
C. \(2,2 m\)
D. \(1,8 m\)
Zadanie 2. Oblicz wartość współczynnika \(a\) oraz wartość współczynnika \(b\).
Odpowiedź 1.
Zgodnie z zapisem funkcji, głębokość basenu na długości \(25m\) obliczymy ze wzoru \(y=0,18x-0,9\). Podstawiając zatem \(x=25\), otrzymamy:
$$y=0,18x-0,9$$
$$y=0,18\cdot25-0,9$$
$$y=4,5-0,9$$
$$y=3,6[m]$$
To oznacza, że największa głębokość basenu jest równa \(3,6m\).
Odpowiedź 2.
Z treści zadania wynika, że w najpłytszym miejscu głębokość basenu jest równa \(1,2m\). Czyli moglibyśmy powiedzieć, że dla \(x=0\) ta funkcja przyjmuje wartość \(y=1,2\). Skoro tak, to podstawiając te dane do wzoru \(y=ax+b\), otrzymamy:
$$1,2=a\cdot0+b$$
$$b=1,2$$
To oznacza, że pierwszy wzór z funkcji przybiera postać \(y=ax+1,2\).
Musimy jeszcze ustalić wartość współczynnika \(a\). Z całego wzoru wynika, że dla \(x=15\) funkcja może być opisana jednym i drugim wzorem (czyli z jednego i drugiego wzoru wyjdzie nam wtedy ta sama wartość) i to będzie właśnie nasz punkt zaczepienia. Korzystając ze wzoru \(y=0,18x-0,9\), spróbujmy obliczyć głębokość basenu dla \(x=15\):
$$y=0,18\cdot15-0,9$$
$$y=2,7-0,9$$
$$y=1,8$$
Otrzymaną głębokość musimy także otrzymać gdy podstawimy \(x=15\) do wyznaczonej postaci \(y=ax+1,2\), zatem:
$$1,8=a\cdot15+1,2$$
$$0,6=15a$$
$$a=0,04=\frac{1}{25}$$
To oznacza, że \(a=\frac{1}{25}\) oraz \(b=1,2\).
Zadanie nr 13 · Próbny 2022
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x-1)^2+2\).
Zadanie 1. Wykresem funkcji \(f\) jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne:
A. \((1, 2)\)
B. \((-1, 2)\)
C. \((1, -2)\)
D. \((-1, -2)\)
Zadanie 2. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
A. \((-\infty,2\rangle\)
B. \((-\infty,2)\)
C. \((2;+\infty)\)
D. \(\langle2;+\infty)\)
Odpowiedź 1.
Funkcja zapisana jest w postaci kanonicznej \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Skoro tak, to interesujące nas współrzędne możemy odczytać wprost ze wzoru (uważając na znaki!) i będzie to \(p=1\) oraz \(q=2\). Wierzchołkiem wykresu tej funkcji będzie więc punkt o współrzędnych \((1,2)\).
Odpowiedź 2.
Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą, a w tym przypadku ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-1\), czyli jest ujemny). To oznacza, że zbiorem wartości będą liczby z przedziału od minus nieskończoności, aż do wartości przyjmowanej w wierzchołku, czyli do \(2\) włącznie. Zbiorem wartości będzie więc przedział \((-\infty,2\rangle\).
Zadanie nr 14 · Próbny 2022
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\dfrac{7^n}{21}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Zadanie 1. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu \((a_{n})\) jest:
A. \(\dfrac{7^{49}}{3}\)
B. \(\dfrac{7^{50}}{3}\)
C. \(\dfrac{7^{51}}{3}\)
D. \(\dfrac{7^{52}}{3}\)
Zadanie 2. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Ciąg \((a_{n})\) jest geometryczny.
2. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\) jest równa \(20\).
Odpowiedź 1.
Wartość pięćdziesiątego wyrazu możemy obliczyć podstawiając do wzoru ciągu \(n=50\), zatem:
$$a_{50}=\frac{7^{50}}{21}$$
Takiej odpowiedzi jednak nie mamy wśród proponowanych. Musimy więc jeszcze przekształcić podany zapis. Patrząc na odpowiedzi widzimy, że dążymy do tego, aby w mianowniku ułamka znalazła się liczba \(3\), zatem:
$$a_{50}=\frac{7\cdot7^{49}}{7\cdot3}$$
$$a_{50}=\frac{7^{49}}{3}$$
Odpowiedź 2.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Już po samym wzorze widać wyraźnie, że jest to ciąg geometryczny, ale, jeśli chcemy się dokładnie upewnić, to nie pozostaje nam nic innego jak obliczyć wartość \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\), zatem:
$$\frac{\frac{7^{n+1}}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{\frac{7^{n}\cdot7}{21}}{\frac{7^n}{21}}=\frac{7^{n}\cdot7}{21}\cdot\frac{21}{7^n}=7$$
Otrzymany wynik oznacza, że jest to ciąg geometryczny, w którym \(q=7\). Zdanie jest więc prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu, czyli:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
Ustaliliśmy już, że \(q=7\), więc obliczmy jeszcze wartość \(a_{1}\), zatem:
$$a_{1}=\frac{7^1}{21}$$
$$a_{1}=\frac{7}{21}$$
$$a_{1}=\frac{1}{3}$$
Skoro tak, to suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu będzie równa:
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-7^3}{1-7}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1-343}{-6}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{-342}{-6}$$
$$S_{3}=\frac{1}{3}\cdot57$$
$$S_{3}=19$$
Zdanie jest więc fałszem.
Zadanie nr 15 · Próbny 2022
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=3x+b\), przechodząca przez punkt \(A=(-1, 3)\). Współczynnik \(b\) w równaniu tej prostej jest równy:
A\(0\)
B\(6\)
C\((-10)\)
D\(8\)
Podstawiając do równania \(y=3x+b\) współrzędne punktu \(A\), otrzymamy:
$$3=3\cdot(-1)+b$$
$$3=-3+b$$
$$b=6$$
Zadanie nr 16 · Próbny 2022
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3n-1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Zadanie 1. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Ciąg \((a_{n})\) jest:
A. rosnący,
B. malejący,
C. stały,
ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)
1. \(a_{n+1}-a_{n}=-1\)
2. \(a_{n+1}-a_{n}=0\)
3. \(a_{n+1}-a_{n}=3\)
Zadanie 2. Najmniejszą wartością \(n\), dla której wyraz \((a_{n})\) jest większy od \(25\), jest:
A. \(8\)
B. \(9\)
C. \(7\)
D. \(26\)
Zadanie 3. Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \(a_{n}\) jest równa \(57\) dla \(n\) równego:
A. \(6\)
B. \(23\)
C. \(5\)
D. \(11\)
Odpowiedź 1.
Już po samym wzorze widać, że jest to ciąg rosnący, ponieważ mamy klasyczny wzór ciągu arytmetycznego, a liczba stojąca przed \(n\) to różnica ciągu, czyli tutaj \(r=3\). Możemy jednak standardowo ustalić monotoniczność, tak jak jest to wskazane w sugerowanych odpowiedziach, czyli obliczając różnicę \(a_{n+1}-a_{n}\). Skoro tak, to:
$$a_{n+1}-a_{n}=3(n+1)-1-(3n-1)=3n+3-1-3n+1=3$$
Otrzymaliśmy dodatni wynik, a to oznacza, że ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_{n}=3\).
Odpowiedź 2.
Chcemy sprawdzić kiedy wartość wyrazów tego ciągu jest większa od \(25\), czyli musimy sprawdzić kiedy \(3n-1\) jest większe od \(25\). Zatem:
$$3n-1\gt25$$
$$3n\gt26$$
$$n\gt8\frac{2}{3}$$
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, a najmniejszą liczbą naturalną od \(8\frac{2}{3}\) jest \(9\).
Odpowiedź 3.
Krok 1. Podstawienie danych do wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
Wiemy już, że nasz ciąg jest arytmetyczny, a skoro tak, to możemy w tym zadaniu skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Do tego wzoru potrzebujemy podstawić \(r\) i ustaliliśmy już, że \(r=3\). Oprócz tego musimy obliczyć jeszcze \(a_{1}\), zatem podstawiając do wzoru \(n=1\), otrzymamy:
$$a_{1}=3\cdot1-1$$
$$a_{1}=3-1$$
$$a_{1}=2$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam do rozwiązania równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=3,\;b=1,\;c=-114\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-114)=1-(-1368)$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1369}=37$$
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, zatem zostaje nam jedynie \(n=6\) i taka też będzie odpowiedź do tego zadania.
Zadanie nr 17 · Próbny 2022
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są:
• prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+5\)
• prosta \(l\) o równaniu \(y-1=-2x\)
Proste \(k\) i \(l\):
Asię pokrywają
Bnie mają punktów wspólnych
Csą prostopadłe
Dprzecinają się pod kątem \(30°\)
Krok 1. Zapisanie równań w postaci kierunkowej.
Aby rozpocząć analizę tych dwóch prostych, musimy zapisać je w postaci kierunkowej typu \(y=ax+b\). Pierwsza prosta \(k\) jest już zapisana w tej postaci, natomiast prostą \(l\) musimy przekształcić, zatem:
$$y-1=-2x$$
$$y=-2x+1$$
Krok 2. Ustalenie wzajemnego położenia prostych.
Widzimy, że prosta \(k\) ma współczynnik kierunkowy \(a=\frac{1}{2}\), natomiast prosta \(l\) ma ten współczynnik równy \(a=-2\). Iloczyn tych współczynników wynosi \(\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\), a to oznacza, że te dwie proste są względem siebie prostopadłe.
Zadanie nr 18 · Próbny 2022
Wartość wyrażenia \((1-cos20°)\cdot(1+cos20°)-sin^2 20°\) jest równa:
A\((-1)\)
B\(0\)
C\(1\)
D\(20\)
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), wyrażenie \((1-cos20°)\cdot(1+cos20°)\) możemy rozpisać jako \(1^2-cos^2 20°\). To oznacza, że całe wyrażenie podane w treści zadania przyjmie postać:
$$(1-cos20°)\cdot(1+cos20°)-sin^2 20°=$$
$$=1-cos^2 20°-sin^2 20°$$
Teraz możemy skorzystać z jedynki trygonometrycznej, czyli z zależności \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Wynika z niej, że \(1\) możemy rozpisać jako np. \(sin^2 20°+cos^2 20°\), a skoro tak, to podstawiając to do naszego wyrażenia, otrzymamy:
$$(sin^2 20°+cos^2 20°)-cos^2 20°-sin^2 20°=0$$
Zadanie nr 19 · Próbny 2022
W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy \(4:5\). Z pojemnika losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:
A\(\frac{4}{9}\)
B\(\frac{4}{5}\)
C\(\frac{1}{9}\)
D\(\frac{1}{4}\)
Skoro stosunek liczby kul jest równy \(4:5\), to możemy zapisać, że:
\(4x\) - liczba kul białych
\(5x\) - liczba kul czarnych
\(4x+5x=9x\) - liczba wszystkich kul
To oznacza, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi:
$$p=\frac{4x}{9x}=\frac{4}{9}$$
Zadanie nr 20 · Próbny 2022
Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ABO\) ma miarę \(40°\), a kąt \(OBC\) ma miarę \(10°\) (zobacz rysunek).
Miara kąta \(ACO\) jest równa:
A\(30°\)
B\(40°\)
C\(50°\)
D\(60°\)
Krok 1. Obliczenie miary kąta \(AOC\).
Z rysunku wynika, że kąt \(ABC\) ma miarę \(40°+10°=50°\). Kąt \(AOC\) jest kątem środkowym, opartym na tym samym łuku co kąt \(ABC\), a skoro tak, to jego miara będzie dwa razy większa, czyli:
$$|\sphericalangle AOC|=2\cdot50°=100°$$
Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ACO\).
Spójrzmy na trójkąt \(AOC\). Jest to trójkąt równoramienny (ramiona są promieniami okręgu), a to oznacza, że kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro kąt między ramionami ma miarę \(100°\), to na dwa pozostałe kąty przy podstawie zostaje nam \(180°-100°=80°\). W związku z tym, poszukiwany kąt \(ACO\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle OAB|=80°:2=40°$$
Zadanie nr 21 · Próbny 2022
Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości \(6\), \(7\) oraz \(8\). Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.
Kąt o największej mierze będą tworzyć dwa najkrótsze boki, które możemy oznaczyć jako \(a=6\) oraz \(b=7\). Najdłuższy bok będzie leżał naprzeciwko tego kąta, czyli \(c=8\). Mając te dane, możemy teraz skorzystać z twierdzenia cosinusów, zatem:
$$8^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cdot cos\gamma$$
$$64=36+49-84cos\gamma$$
$$64=85-84cos\gamma$$
$$-21=-84cos\gamma$$
$$cos\gamma=\frac{1}{4}$$
Zadanie nr 22 · Próbny 2022
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(4\), a bok \(BC\) ma długość \(4,6\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) w punkcie \(D\) takim, że \(|AD|=3,2\) (zobacz rysunek).
Odcinek \(CD\) ma długość:
A\(\frac{64}{23}\)
B\(\frac{16}{5}\)
C\(\frac{23}{4}\)
D\(\frac{92}{25}\)
W zadaniu musimy skorzystać z tak zwanego twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego. Wynika z niego, że dwusieczna kąta dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków. To oznacza, że w naszym przykładzie zachodzi następująca proporcja:
$$\frac{|AB|}{|AD|}=\frac{|BC|}{|CD|}$$
Podstawiając dane z rysunku, otrzymamy:
$$\frac{4}{3,2}=\frac{4,6}{|CD|}$$
Mnożąc na krzyż, wyjdzie nam, że:
$$4\cdot|CD|=3,2\cdot4,6$$
$$4\cdot|CD|=14,72$$
$$|CD|=3,68=\frac{92}{25}$$
Zadanie nr 23 · Próbny 2022
Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:
• przychód \(P\) (w złotych) z tygodniowej sprzedaży \(x\) wiatraków można opisać funkcją \(P(x)=251x\)
• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją \(K(x)=x^2+21x+170\).
Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(150\) wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.
Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.
Krok 1. Zapisanie wzoru na zysk.
Zysk to różnica między przychodami i kosztami. Wiemy, że przychód możemy opisać jako \(251x\), a koszty to \(x^2+21x+170\). To oznacza, że zysk jest równy:
$$251x-(x^2+21x+170)=251x-x^2-21x-170=-x^2+230x-170$$
To oznacza, że zysk możemy zapisać w postaci funkcji \(Z(x)=-x^2+230x-170\).
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli (czyli liczby sprzedanych wiatraków, aby zysk był największy).
Otrzymana funkcja \(Z(x)=-x^2+230x-170\) jest funkcją kwadratową, której ramiona będą skierowane do dołu (bo współczynnik \(a\) jest ujemny). Chcemy, by zysk był jak największy, czyli tak naprawdę szukamy największej wartości naszej funkcji \(Z(x)\). Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że w takim przypadku ta największa wartość przyjmowana będzie w wierzchołku. Obliczmy zatem współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli. Korzystając ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\) i wiedząc, że \(a=-1\) oraz \(b=230\), możemy zapisać, że:
$$p=\frac{-b}{2a}$$
$$p=\frac{-230}{2\cdot(-1)}$$
$$p=\frac{-230}{-2}$$
$$p=115$$
To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje największą wartość dla argumentu \(x=115\). Ta wartość mieści się w przedziale \(x\in(0;150\rangle\), więc ta odpowiedź jest dla nas ostateczna. Mówiąc wprost, największe zyski osiągniemy przy produkcji \(115\) wiatraków.
Krok 3. Obliczenie największego zysku.
Wiemy już, że największy zysk osiągniemy, gdy liczba wiatraków będzie równa \(x=115\). To, ile wyniesie ten zysk możemy obliczyć na dwa sposoby - możemy obliczyć współrzędną \(q\) wierzchołka paraboli ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\) lub też podstawiając po prostu \(x=115\) to wzoru naszej funkcji opisującej zysk, czyli \(Z(x)=-x^2+230x-170\). Prostsza jest chyba ta druga metoda (uważajmy tylko na znaki!), zatem:
$$Z(115)=-115^2+230\cdot115-170$$
$$Z(115)=-13225+26450-170$$
$$Z(115)=13055$$
To oznacza, że największy zysk wynosi \(13055\) złotych.
Zadanie nr 24 · Próbny 2022
Firma \(F\) zatrudnia \(160\) osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy \(F\), którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.
Zadanie 1. Średnia miesięczna płaca brutto w firmie \(F\) jest równa:
A. \(4 593,75 zł\)
B. \(4 800,00 zł\)
C. \(5 360,00 zł\)
D. \(2 399,33 zł\)
Zadanie 2. Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy \(F\) jest równa:
A. \(4 000 zł\)
B. \(4 800 zł\)
C. \(5 000 zł\)
D. \(5 500 zł\)
Zadanie 3. Liczba pracowników firmy \(F\), których miesięczna płaca brutto nie przewyższa \(5 000 zł\), stanowi (w zaokrągleniu do \(1\%\)):
A. \(91\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy
B. \(78\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy
C. \(53\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy
D. \(22\%\) liczby wszystkich pracowników tej firmy
Odpowiedź 1.
Chcąc obliczyć średnią arytmetyczną, musimy dodać do siebie iloczyny liczby pracowników i ich pensji, a następnie całość podzielić przez liczbę wszystkich zatrudnionych (czyli przez \(160\)). Średnia miesięczna płaca brutto jest więc równa:
$$śr=\frac{75\cdot4000+50\cdot4800+20\cdot5000+10\cdot6000+5\cdot7000}{160}$$
$$śr=\frac{300000+240000+100000+60000+35000}{160}$$
$$śr=\frac{735000}{160}$$
$$śr=4 593,75[zł]$$
Odpowiedź 2.
Mamy parzystą liczbę pracowników, zatem jeśli uporządkowujemy pensje każdej osoby w ciągu niemalejącym (czyli od najmniejszej do największej) to mediana będzie równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wartości. W tym przypadku mediana będzie średnią zarobków osoby \(80.\) oraz \(81.\) (ponieważ mamy \(160\) pracowników). Z wykresu wynika, że \(75\) osób ma pensję \(4000zł\), a potem \(50\) osób ma pensję \(4800zł\), więc zarobki osoby \(80.\) i \(81.\) wynoszą \(4800zł\). To oznacza, że mediana będzie równa \(4800zł\), co możemy jeszcze rozpisać matematycznie jako:
$$m=\frac{4800+4800}{2}$$
$$m=\frac{9600}{2}$$
$$m=4800[zł]$$
Odpowiedź 3.
Pracowników zarabiających nie więcej niż \(5000zł\) jest łącznie:
$$75+50+20=145$$
Skoro wszystkich pracowników jest \(160\), to zarabiający nie więcej niż \(5000zł\) stanowią:
$$\frac{145}{160}=0,90625\approx91\%$$
Zadanie nr 25 · Próbny 2022
Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość \(10\sqrt{3}\), a każda jego krawędź boczna ma długość \(15\). Oblicz wysokość tego ostrosłupa.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że w podstawie mamy trójkąt równoboczny, a ostrosłup wygląda mniej więcej w ten oto sposób:
Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie.
Skoro w podstawie mamy trójkąt równoboczny, to jego wysokość obliczymy korzystając ze wzoru:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
Podstawiając do tego wzoru \(a=10\sqrt{3}\), otrzymamy:
$$h_{p}=\frac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}$$
$$h_{p}=\frac{10\cdot3}{2}$$
$$h_{p}=\frac{30}{2}$$
$$h_{p}=15$$
Tym samym odcinek o długości \(\frac{2}{3}h_{p}\) będzie miał długość \(\frac{2}{3}\cdot15=10\).
Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na nasz kluczowy trójkąt prostokątny, który tworzą odcinek o długości \(\frac{2}{3}h\), wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna. Znamy dwie długości boków tego trójkąta, zatem możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$10^2+H^2=15^2$$
$$100+H^2=225$$
$$H^2=125$$
$$H=\sqrt{125} \quad\lor\quad H=-\sqrt{125}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ wysokość ostrosłupa musi być dodatnia. Stąd też zostaje nam jedynie \(H=\sqrt{125}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(H=\sqrt{25\cdot5}=5\sqrt{5}\).
Zadanie nr 26 · Próbny 2022
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(10n^2+30n+8\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).
Kluczem do sukcesu będzie rozbicie liczby \(8\) na sumę \(5+3\). To pozwoli nam wyłączyć wspólny czynnik równy \(5\) z podanego wyrażenia. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$10n^2+30n+8=$$
$$=10n^2+30n+5+3=$$
$$=5\cdot(2n^2+6n+1)+3$$
Wartość \(2n^2+6n+1\) jest na pewno dodatnią liczbą całkowitą, ponieważ mamy tutaj same liczby naturalne, które są do siebie dodawane. To oznacza, że dzieląc liczbę \(10n^2+30n+8\) przez \(5\) otrzymamy właśnie \(2n^2+6n+1\), a stojąca na końcu liczba \(3\) to reszta z tego dzielenia, co należało udowodnić.
Zadanie nr 29 · Matura 2022
Rozwiąż nierówność \(-3x^2+8\ge10x\)
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Zanim przystąpimy do wykonywania obliczeń musimy przenieść \(10x\) na lewą stronę, tak aby po prawej stronie zostało nam tylko zero. Zatem:
$$-3x^2+8\ge10x$$
$$-3x^2-10x+8\ge0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Rozwiązywanie nierówności kwadratowej zaczynamy od obliczenia miejsc zerowych, a zrobimy to tradycyjnie przy pomocy delty:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=-10,\;c=8\)
$$Δ=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot(-3)\cdot8=100-(-96)=196$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i mamy taką oto sytuację:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero, a więc rozwiązaniem nierówności będzie przedział:
$$x\in\langle-4;\frac{2}{3}\rangle$$
Zadanie nr 7 · Matura 2022
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\gt\frac{x}{5}\) jest przedział:
A\((-\infty,0)\)
B\((0,+\infty)\)
C\((-\infty,\frac{3}{4})\)
D\((\frac{3}{4},+\infty)\)
Celem zadania jest rozwiązania nierówności. Aby tego dokonać, najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wszystkich wyrazów przez \(15\), dzięki czemu od razu pozbędziemy się ułamków:
$$\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\gt\frac{x}{5} \quad\bigg/\cdot15$$
$$6-5x\gt3x$$
$$6\gt8x$$
$$\frac{6}{8}\gt x$$
$$x\lt\frac{3}{4}$$
To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \((-\infty,\frac{3}{4})\).
Zadanie nr 29 · Matura 2022
Rozwiąż nierówność: \(3x^2-2x-9\ge7\)
Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy przenieść wszystkie liczby na lewą stronę, tak aby po prawej stronie mieć jedynie zero. W związku z tym:
$$3x^2-2x-9\ge7$$
$$3x^2-2x-16\ge0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Chcąc rozwiązać nierówność musimy sprawdzić jakie mamy miejsca zerowe, czyli musimy sprawdzić dla jakich argumentów \(3x^2-2x-16=0\). Musimy więc rozwiązać równanie kwadratowe w postaci ogólnej, a to oznacza, że z pomocą przyjdzie nam więc niezawodna delta.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-2,\;c=-16\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-16)=4-(-192)=4+192=196$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi obliczone miejsca zerowe i rysujemy przechodzącą przez te punkty parabolę z ramionami skierowanymi do góry (bo współczynnik \(a\) jest dodatni).
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów, dla których nierówność przyjmuje wartości większe od zera lub równe zero, czyli patrzymy się na to, co znalazło się nad osią lub na osi. W związku z tym rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-2\rangle\cup\langle\frac{8}{3};+\infty)$$
Zadanie nr 6 · Matura 2021
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(5-\frac{2-6x}{4}\ge2x+1\) jest przedział:
A\((-\infty,1\rangle\)
B\(\langle1,+\infty)\)
C\((-\infty,7\rangle\)
D\(\langle7,+\infty)\)
Naszym celem jest po prostu rozwiązanie tej nierówności, choć czyha na nas tutaj sporo arytmetycznych trudności. Całość najlepiej zacząć od pomnożenia obydwu stron przez \(4\), pamiętając przy tym, że po lewej stronie mamy odejmowanie, czyli piątkę stojącą na początku także trzeba będzie przez tą czwórkę pomnożyć. Całość będzie wyglądać następująco:
$$5-\frac{2-6x}{4}\ge2x+1 \quad\bigg/\cdot4$$
$$20-(2-6x)\ge8x+4$$
$$20-2+6x\ge8x+4$$
$$18+6x\ge8x+4$$
$$-2x\ge-14 \quad\bigg/:(-2)$$
$$x\le7$$
Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną \(-2\), trzeba było zmienić znak nierówności na przeciwny.
Wyszło nam, że rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby mniejsze lub równe \(7\), czyli interesującym nas przedziałem będzie \((-\infty,7\rangle\).
Zadanie nr 29 · Matura 2021
Rozwiąż nierówność \(x^2-5\ge4x\)
Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie nierówności musimy zacząć od przeniesienia wyrazów na lewą stronę, tak aby doprowadzić nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$x^2-5\ge4x$$
$$x^2-4x-5\ge0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=16-(-20)=16+20=36$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-1\) oraz \(x=5\) (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy parabolę:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesuje nas to, co znalazło się nad osią oraz to, co jest na osi. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle5;+\infty)$$
Rozwiązanie tej nierówności najlepiej jest zacząć od mnożenia po prawej stronie:
$$\frac{12-5x}{2}\lt3\left(1-\frac{1}{2}x\right)+7x$$
$$\frac{12-5x}{2}\lt3-\frac{3}{2}x+7x \quad\bigg/\cdot2$$
$$12-5x\lt6-3x+14x$$
$$12-5x\lt6+11x$$
$$-16x\lt-6 \quad\bigg/:(-16)$$
$$x\gt\frac{6}{16}$$
$$x\gt\frac{3}{8}$$
To oznacza, że zbiorem rozwiązań tej nierówności będzie \(\left(\frac{3}{8};+\infty\right)\).
Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną, czyli \(-16\) musieliśmy zmienić znak nierówności na przeciwny!
Zadanie nr 29 · Próbny 2021
Rozwiąż nierówność: \(3x(x+1)\gt x^2+x+24\)
Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Spróbujmy doprowadzić całość do dobrze znanej nam postaci ogólnej, dzięki czemu będziemy mogli za chwilę skorzystać z delty. Wymnażając więc to co jest po lewej stronie i przenosząc wszystkie wyrazy z prawej na lewą stronę, otrzymamy:
$$3x(x+1)\gt x^2+x+24$$
$$3x^2+3x\gt x^2+x+24$$
$$2x^2+2x-24\gt0$$
Możemy jeszcze (choć nie musimy) podzielić wszystko przez \(2\), dzięki czemu będziemy bazować na mniejszych liczbach. Otrzymamy wtedy nierówność:
$$x^2+x-12\gt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=1,\;c=-12\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-12)=1-(-48)=1+48=49$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni (bo \(a=1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-4\) oraz \(x=3\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)$$
Zadanie nr 26 · Próbny 2021
Rozwiąż nierówność \((2x-1)^2-4(2x-1)\gt0\).
Tę nierówność możemy rozwiązać na różne sposoby, oto dwa z nich:
I sposób - korzystając z delty
Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Na początek spróbujmy doprowadzić zapis do postaci ogólnej, a w tym celu musimy wymnożyć wszystkie wyrazy znajdujące się po lewej stronie. Przyda nam się tu przy okazji wzór skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), zatem:
$$(2x-1)^2-4(2x-1)\gt0$$
$$4x^2-4x+1-(8x-4)\gt0$$
$$4x^2-4x+1-8x+4\gt0$$
$$4x^2-12x+5\gt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=4,\;b=-12,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot4\cdot5=144-80=64$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\frac{1}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem przyglądamy się temu co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;\frac{1}{2})\cup(2\frac{1}{2};+\infty)$$
II sposób - wyłączając wspólny czynnik przed nawias
Krok 1. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias.
Jeśli przyjrzymy się tej nierówności to zauważymy, że wspólnym elementem \((2x-1)^2\) oraz \(4(2x-1)\) jest \(2x-1\). Skoro tak, to możemy wyłączyć tę wartość przed nawias. Cały proces będzie wyglądał następująco:
$$(2x-1)^2-4(2x-1)\gt0$$
$$(2x-1)\cdot(2x-1)-4(2x-1)\gt0$$
$$(2x-1-4)\cdot(2x-1)\gt0$$
$$(2x-5)\cdot(2x-1)\gt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Mając taki zapis, poznanie miejsc zerowych jest bardzo proste, ponieważ wystarczy zachować się tak jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównać wartości w nawiasach do zera. W związku z tym:
$$2x-5=0 \quad\lor\quad 2x-1=0$$
$$2x=5 \quad\lor\quad 2x=1$$
$$x=2\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=\frac{1}{2}$$
Cała reszta rozwiązania jest już taka sama jak w trzecim i czwartym kroku I sposobu. Wyjdzie nam więc, że \(x\in(-\infty;\frac{1}{2})\cup(2\frac{1}{2};+\infty)\).
Zadanie nr 6 · Próbny 2021
Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\sqrt{2}-\frac{x}{3}\ge0\) jest:
A\(-3\sqrt{2}\)
B\(4\)
C\(3\sqrt{2}\)
D\(-4\)
Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na wstępie powinniśmy zauważyć, że odpowiedzi A oraz C możemy od razu odrzucić, gdyż nie są to liczby całkowite. Aby poznać prawidłową odpowiedź, musimy rozwiązać podaną nierówność:
$$\sqrt{2}\ge\frac{x}{3}$$
$$3\sqrt{2}\ge x$$
$$x\le3\sqrt{2}$$
Krok 2. Wyznaczenie największej liczby całkowitej spełniającej nierówność.
Wartość \(3\sqrt{2}\) to w przybliżeniu \(3\cdot1,41\approx4,23\). Nasza niewiadoma \(x\) musi być mniejsza od tej wartości, a skoro tak, to najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność będzie \(4\).
Zadanie nr 29 · Próbny 2021
Rozwiąż nierówność \((x-1)^2\le\frac{3}{2}\).
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Rozwiązywanie zadania musimy zacząć od przekształcenia zapisu nierówności. Po pierwsze, musimy przenieść \(\frac{3}{2}\) na lewą stronę (tak aby po prawej stronie zostało \(0\)). Po drugie, musimy wykonać potęgowanie zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). Całość będzie wyglądać następująco:
$$(x-1)^2\le\frac{3}{2}$$
$$(x-1)^2-\frac{3}{2}\le0$$
$$x^2-2x+1-\frac{3}{2}\le0$$
$$x^2-2x-\frac{1}{2}\le0 \quad\bigg/\cdot2$$
$$2x^2-4x-1\le0$$
Mnożenie obydwu stron przez \(2\) nie jest konieczne (na koniec uzyskamy te same wyniki), ale dzięki temu nie będziemy mieć już ułamków w dalszej części obliczeń.
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-4,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-1)=16-(-8)=24$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt{6}$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Otrzymane miejsca zerowe zaznaczamy na osi liczbowej i przystępujemy do rysowania paraboli. Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni, zatem:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zera. Patrzymy się zatem co znajduje się pod osią lub na osi i widzimy, że rozwiązaniem tej nierówności będzie w takim razie przedział \(x\in\langle\frac{2-\sqrt{6}}{2};\frac{2+\sqrt{6}}{2}\rangle\)
Zadanie nr 6 · Matura 2021
Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(x\), spełniających jednocześnie nierówności \(0\lt7-3x\) oraz \(7-3x\le5x-3\).
A
B
C
D
Krok 1. Rozwiązanie nierówności.
Na początek, rozwiążmy obydwie podane nierówności. Przy okazji musimy pamiętać, że gdy zajdzie konieczność pomnożenia lub podzielenia obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, to trzeba będzie zmienić znak nierówności na przeciwny. W związku z tym:
Pierwsza nierówność:
$$0\lt7-3x$$
$$3x\lt7$$
$$x\lt\frac{7}{3}$$
Druga nierówność:
$$7-3x\le5x-3$$
$$7-8x\le-3$$
$$-8x\le-10 \quad\bigg/:(-8)$$
$$x\ge\frac{10}{8}$$
$$x\ge\frac{5}{4}$$
Krok 2. Wybór właściwego rysunku.
Interesuje nas przedział liczb, które są jednocześnie mniejsze od \(\frac{7}{3}\) i większe lub równe \(\frac{5}{4}\). Taki przedział znajduje się na rysunku z odpowiedzi B.
Zadanie nr 29 · Matura 2021
Rozwiąż nierówność: \(2(x+1)(x-3)\lt x^2-9\)
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Zanim przystąpimy do wykonywania obliczeń, musimy zapisać tę nierówność w postaci ogólnej. Musimy zatem wymnożyć nawiasy znajdujące się po lewej stronie i całość zapisu przekształcić w taki sposób, by po prawej stronie zostało samo zero.
$$2(x+1)(x-3)\lt x^2-9$$
$$2(x^2-3x+x-3)\lt x^2-9$$
$$2x^2-6x+2x-6\lt x^2-9$$
$$2x^2-4x-6\lt x^2-9$$
$$x^2-4x+3\lt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)). Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, czyli całość będzie wyglądać następująco:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera, a więc rozwiązaniem nierówności będzie przedział:
$$x\in(1;3)$$
Zadanie nr 30 · Matura 2021
Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a, b\) i \(c\) takich, że \(\frac{a+b}{2}\gt c\) i \(\frac{b+c}{2}\gt a\), prawdziwa jest nierówność \(\frac{a+c}{2}\lt b\)
Skoro \(\frac{a+b}{2}\gt c\) oraz \(\frac{b+c}{2}\gt a\), to możemy zapisać, że suma \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\) musi być większa od sumy \(c+a\). Zapiszmy zatem, że:
$$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\gt c+a$$
$$\frac{a+2b+c}{2}\gt c+a$$
$$a+2b+c\gt2c+2a$$
$$2b\gt a+c$$
$$b\gt\frac{a+c}{2}$$
$$\frac{a+c}{2}\lt b$$
Zadanie nr 6 · Matura 2021
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2-x}{2}-2x\ge1\) jest przedział:
A\(\langle0;\infty)\)
B\((-\infty,0\rangle\)
C\((-\infty,5)\)
D\((-\infty,\frac{1}{3}\rangle\)
Zadanie wydaje się bardzo proste i takie rzeczywiście jest, choć należy tutaj dobrze wykonać wszystkie działania arytmetyczne. Na początek chcielibyśmy pewnie pozbyć się ułamka i pomnożyć wszystko przez \(2\) i to jest bardzo dobry pomysł, ale trzeba to mnożenie dobrze wykonać (pamiętając o tym, że trzeba wymnożyć także \(-2x\)). Otrzymamy zatem:
$$\frac{2-x}{2}-2x\ge1 \quad\bigg/\cdot2$$
$$2-x-4x\ge2$$
$$2-5x\ge2$$
$$-5x\ge0 \quad\bigg/:(-5)$$
$$x\le0$$
Zwróć uwagę, że dzieląc przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny.
Otrzymany wynik \(x\le0\) oznacza, że zbiorem wszystkich rozwiązań tej nierówności jest przedział \((-\infty,0\rangle\).
Zadanie nr 29 · Matura 2021
Rozwiąż nierówność: \(x^2-5x\le14\)
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy zapisać tę nierówność w postaci ogólnej. Musimy zatem obustronnie odjąć \(14\), otrzymując:
$$x^2-5x\le14 \quad\bigg/-14$$
$$x^2-5x-14\le0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=-14\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-14)=25-(-56)=81$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, ponieważ współczynnik \(a\) był dodatni. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)).
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera lub równe zero, a więc:
$$x\in\langle-2;7\rangle$$
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
