Zadanie 30 Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2024 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Sprowadzenie do jednej zmiennej.

Z warunku \(x+y=12\) wyznaczamy \(y=12-x\), przy czym \(x\in[0,12]\) (obie liczby są nieujemne).

Podstawiamy do wyrażenia:

\(W(x)=2x^2+(12-x)^2=2x^2+144-24x+x^2=3x^2-24x+144\)

Krok 2. Najmniejsza wartość.

Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=3\gt 0\), więc najmniejszą wartość przyjmuje w wierzchołku:

\(x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-24}{2\cdot 3}=4\)

Wartość \(4\) należy do przedziału \([0,12]\), więc jest dopuszczalna. Wtedy:

\(y=12-4=8\)

Krok 3. Obliczenie wartości.

\(W(4)=3\cdot 16-24\cdot 4+144=48-96+144=96\)

Sprawdzenie: \(2\cdot 4^2+8^2=32+64=96\) ✓

Odpowiedź: \(x=4\), \(y=8\), a najmniejsza wartość wyrażenia wynosi \(96\).