Funkcje trygonometryczne kąta ostrego i dowolnego, miara łukowa, jedynka trygonometryczna i związki między funkcjami.
36 definicjiPodstawowe rozwiązania ogólne:
$\sin x = a$ → $x = (-1)^k \arcsin a + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$
$\cos x = a$ → $x = \pm \arccos a + 2k\pi$
$\tan x = a$ → $x = \arctan a + k\pi$
Techniki: podstawienie $t = \tan\frac{x}{2}$ (Weierstrass), tożsamości sumy-iloczynu, sprowadzenie do jednej funkcji.
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ — eliminacja jednej funkcji.
$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$: podstaw $t = \sin x$ → $(2t+1)(t-1)=0$ → $\sin x = -\frac{1}{2}$ lub $\sin x = 1$.
Zawsze sprawdź, czy rozwiązania należą do żądanego przedziału (np. $[0°, 360°]$).
W trójkącie prostokątnym, dla kąta $\alpha$:
$$\sin\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przeciwprostokątna}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}},\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{naprzeciw}}{\text{przy kącie}}$$
$\sin30^\circ=\frac12$, $\ \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\ \sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\ \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\ \cos60^\circ=\frac12$
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\qquad \operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$
Ponadto $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$ — stąd nazwa „cosinus” (co-sinus, sinus kąta dopełniającego).
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Twierdzenie cosinusów uogólnia twierdzenie Pitagorasa — dla $\gamma=90^\circ$ mamy $\cos90^\circ=0$ i wzór redukuje się do $c^2=a^2+b^2$.
$$P=\frac12ab\sin\gamma,\qquad P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\qquad P=\frac{abc}{4R}=sr$$
gdzie $s=\frac{a+b+c}{2}$ (wzór Herona).
We wzorze $\frac12ab\sin\gamma$ kąt musi leżeć między podanymi bokami. Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny, a sinus wciąż dodatni. Przy danych bok-bok-kąt mogą istnieć dwa różne trójkąty.
$$180^\circ=\pi\ \text{rad},\qquad \alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\text{st}}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$$
Najczęstsze: $30^\circ=\frac{\pi}{6}$, $45^\circ=\frac{\pi}{4}$, $60^\circ=\frac{\pi}{3}$, $90^\circ=\frac{\pi}{2}$.
$$l=r\alpha,\qquad P_{\text{wycinka}}=\frac{1}{2}r^2\alpha \qquad(\alpha \text{ w radianach})$$
W I ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w II — tylko sinus, w III — tangens i cotangens, w IV — cosinus.
$$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$$
$$\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha$$
Przy kątach $90^\circ$ i $270^\circ$ funkcja zmienia się na kofunkcję (sin↔cos), przy $180^\circ$ i $360^\circ$ — pozostaje ta sama.
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens i cotangens — okres $\pi$.
$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$
$$\sin x=a \Rightarrow x=\alpha+2k\pi \ \lor\ x=\pi-\alpha+2k\pi$$
$$\cos x=a \Rightarrow x=\pm\alpha+2k\pi,\qquad \operatorname{tg} x=a \Rightarrow x=\alpha+k\pi$$
We wzorach $l=r\alpha$ kąt musi być w radianach. Równanie $\sin x=a$ ma w każdym okresie dwa rozwiązania — pominięcie serii $\pi-\alpha$ to klasyczny błąd. W cosinusie znaki we wzorze na sumę są przeciwne niż w sinusie.
$$\sin 30^\circ=\tfrac12,\quad \sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},\quad \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$$
$$\cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2},\quad \cos 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2},\quad \cos 60^\circ=\tfrac12$$
$$\tg 30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{3},\quad \tg 45^\circ=1,\quad \tg 60^\circ=\sqrt3$$
$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$
Zachodzi dla dowolnego kąta. Pozwala policzyć jedną funkcję ze znajomości drugiej, ale daje tylko wartość bezwzględną — znak rozstrzyga informacja o ćwiartce.
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad 1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$$
Schemat: wyznacz wartość funkcji, znajdź kąt podstawowy, a potem wszystkie kąty w zadanym przedziale.
Równanie $2\sin x=1$ w przedziale $\langle 0^\circ,\,360^\circ)$. Z $\sin x=\frac12$ mamy kąt podstawowy $30^\circ$, a drugie rozwiązanie to $180^\circ-30^\circ=150^\circ$.
$$180^\circ=\pi,\qquad \text{stopnie}\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\text{radiany}$$
Warto pamiętać: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, $\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$, $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens $\pi$. Dlatego równanie trygonometryczne ma na całej osi nieskończenie wiele rozwiązań — zadanie zwykle ogranicza je do przedziału.
Najczęstszy błąd to podanie tylko jednego rozwiązania. Na pełnym okręgu równanie z sinusem lub cosinusem ma zwykle dwa rozwiązania — sprawdź obie ćwiartki, w których dana funkcja ma właściwy znak.
$$\sin x=0 \Rightarrow x=k\pi$$
$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$
$$\operatorname{tg}x=0 \Rightarrow x=k\pi$$
gdzie $k\in\mathbb{Z}$.
Sinus i cosinus mieszczą się w $\langle-1,\ 1\rangle$. Równania $\sin x=2$ czy $\cos x=-3$ nie mają rozwiązań — warto to sprawdzić na samym początku.
Dla wartości z wnętrza przedziału $(-1,\ 1)$ sinus i cosinus dają zwykle dwa rozwiązania w każdym okresie. Znajdujemy kąt podstawowy i drugą wartość z odpowiedniej ćwiartki.
Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens — $\pi$. Dlatego $\operatorname{tg}x=1$ daje rozwiązania odległe o $\pi$: $\frac{\pi}{4}$ i $\frac{5\pi}{4}$.
Równania typu $2\sin^2x+\sin x-1=0$ rozwiązujemy przez podstawienie $t=\sin x$, gdzie $t\in\langle-1,\ 1\rangle$. Pierwiastki spoza tego przedziału odrzucamy.
W równaniu $\cos2x=\frac12$ podstawiamy $u=2x$. Gdy $x\in\langle0,\ 2\pi)$, to $u\in\langle0,\ 4\pi)$ — przedział dwukrotnie dłuższy, więc rozwiązań jest więcej.
Równanie $\sin x\cos x=0$ rozwiązujemy, przyrównując każdy czynnik do zera. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik znika.
Uwzględniaj oba znaki przy $\cos^2x=\frac14$. Pilnuj przedziału, w którym szukasz rozwiązań, i pamiętaj o różnych okresach funkcji.
Miara łukowa to stosunek długości łuku do promienia — wielkość bezwymiarowa. Pełny kąt to $2\pi$ radianów:
$$360^\circ=2\pi,\qquad 180^\circ=\pi$$
$$\text{stopnie}\to\text{radiany}:\ \cdot\frac{\pi}{180^\circ},\qquad \text{radiany}\to\text{stopnie}:\ \cdot\frac{180^\circ}{\pi}$$
Warto znać: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, $\frac{\pi}{4}=45^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$, $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
$$l=r\alpha,\qquad P=\frac12 r^2\alpha$$
Wzory działają tylko dla kątów w radianach — to główny powód wprowadzenia miary łukowej.
Funkcja jest okresowa o okresie $T$, gdy $f(x+T)=f(x)$. Sinus i cosinus mają okres $2\pi$, tangens — $\pi$. Dla $y=\sin(bx)$ okres to $\frac{2\pi}{|b|}$.
Cosinus jest parzysty ($\cos(-x)=\cos x$, wykres symetryczny względem osi $OY$), a sinus nieparzysty ($\sin(-x)=-\sin x$, symetryczny względem początku układu).
Wzory $l=r\alpha$ i $P=\frac12 r^2\alpha$ wymagają radianów. Najmniejszy okres dodatni charakteryzuje funkcję — wielokrotności okresu też są okresami.
Dla kątów od $0^\circ$ do $180^\circ$ definiujemy sinus, cosinus i tangens.
$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ oraz $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$.
W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni, a cosinus ujemny.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
Dla kąta $\alpha$ punkt na okręgu ma współrzędne $(\cos\alpha,\sin\alpha)$.
I: wszystkie dodatnie; II: sin$+$; III: tg$+$; IV: cos$+$.
$\sin90^\circ=1$, $\cos180^\circ=-1$, $\sin270^\circ=-1$.
$\sin$ i $\cos$ mają okres $360^\circ$ ($2\pi$), $\operatorname{tg}$ okres $180^\circ$.
$\sin\alpha=\frac{a}{c}$, $\cos\alpha=\frac{b}{c}$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}$.
$a$ — przyprostokątna przeciwległa, $b$ — przyległa, $c$ — przeciwprostokątna.
$\sin30^\circ=\frac12$, $\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$.
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$.
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.
Obliczanie wartości kątów $15^\circ$, $75^\circ$ oraz przekształcanie wyrażeń.
Kąt dodatni odmierzamy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, ujemny — zgodnie.
Różnią się o wielokrotność $360^\circ$ ($2\pi$).
$180^\circ=\pi$ rad; kąt pełny to $2\pi$.
$405^\circ$ jest współkońcowy z $45^\circ$.
Rozwiązujemy je, korzystając z okręgu jednostkowego lub wykresu funkcji.
$-1\le\sin x\le1$ oraz $-1\le\cos x\le1$.
$\sin x\ge\frac{1}{2}$ dla $x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]$ w jednym okresie.
Rozwiązania powtarzają się co okres funkcji.
Kąt nachylenia krawędzi do podstawy wyznaczamy z trójkąta prostokątnego utworzonego przez wysokość i rzut.
$\sin$, $\cos$, $\operatorname{tg}$ kąta ostrego jak w planimetrii.
Mierzymy go w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi.
W sześcianie przekątna ściany i krawędź tworzą kąt $45^\circ$.
Sinusoida; wartości z przedziału $[-1,1]$.
$T=2\pi$; $y=\sin(bx)$ ma okres $\frac{2\pi}{b}$.
$y=a\sin(x)+c$ zmienia amplitudę $a$ i przesuwa pionowo o $c$.
$\sin x=0$ dla $x=k\pi$; $\cos x=0$ dla $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$.
Tangens i cotangens mają okres $\pi$.
Tangens ma asymptoty pionowe w $\frac{\pi}{2}+k\pi$.
Cały zbiór liczb rzeczywistych.
Tangens rośnie w każdym przedziale między asymptotami.
W $y=a\sin x$ liczba $|a|$ to amplituda (rozciągnięcie pionowe).
W $y=\sin(bx)$ okres wynosi $\frac{2\pi}{|b|}$.
$y=\sin(x-p)+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$.
$y=-\sin x$ to odbicie względem osi $OX$.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Sprowadzają funkcje dowolnego kąta do kąta ostrego.
$\sin(\alpha\pm\beta)$, $\cos(\alpha\pm\beta)$ oraz wzory na kąt podwójny.
Rozwiązujemy z użyciem okręgu jednostkowego i okresowości.
Obliczamy wysokości i odległości niedostępne bezpośrednio.
Z tangensa wyznaczamy nachylenie stoku lub drogi.
Twierdzenie sinusów i cosinusów rozwiązują dowolny trójkąt.
Wysokość drzewa: $h=d\cdot\operatorname{tg}\alpha$, gdzie $d$ to odległość, $\alpha$ kąt.
Wynikają z pięciokąta foremnego i związane są z liczbą złotą.
$\cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}{4}$.
$\sin18^\circ=\cos72^\circ$ oraz $\cos54^\circ=\sin36^\circ$ (kąty dopełniające).
Konstrukcje pięciokąta i obliczenia w wielokątach foremnych.
Okres $T$ to czas jednego obiegu; częstotliwość $f=\frac{1}{T}$.
$\omega=\frac{2\pi}{T}$ (radiany na sekundę).
$l=r\alpha$ (kąt w radianach).
Modelowanie obrotów, zegarów, kół.
Wartości odczytujemy z tablic lub kalkulatora.
Dla kątów $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ znamy wartości dokładne.
Wyniki podajemy z ustaloną dokładnością, np. do dwóch miejsc.
Obliczenia w zadaniach praktycznych i geometrii.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.
$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ dla $\cos\alpha\neq0$.
Znając jedną funkcję i ćwiartkę, wyznaczamy pozostałe.
Jeśli $\sin\alpha=\frac35$ i $\alpha$ ostry, to $\cos\alpha=\frac45$.
$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
Zamiana sumy na iloczyn ułatwia rozwiązywanie równań trygonometrycznych.
Sprowadzają wartości funkcji dowolnego kąta do funkcji kąta ostrego.
$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$, $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$, $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$.
Znak zależy od ćwiartki, a zamiana funkcji — od tego, czy kąt liczymy od osi $OX$, czy $OY$.
$y=\sin(x-p)$ przesuwa wykres w prawo o $p$.
$y=\sin x+q$ przesuwa wykres w górę o $q$.
Przesunięcia nie zmieniają okresu ani amplitudy.
$\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$.
$y=a\sin x$ ma amplitudę $|a|$; $a\lt 0$ odbija wykres względem osi $OX$.
$y=\sin(bx)$ ma okres $\frac{2\pi}{|b|}$.
$y=a\sin(bx)$ łączy zmianę amplitudy i okresu.
$y=2\sin(3x)$ ma amplitudę $2$ i okres $\frac{2\pi}{3}$.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Sumy i różnicy kątów, kąt podwójny, wzory redukcyjne.
Rozwiązujemy z użyciem okręgu jednostkowego i okresowości.
Wyznaczanie odległości i wysokości w zadaniach praktycznych.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.