Definicje: Przekształcenia wykresów funkcji

Na czym to polega

Przekształcanie wzoru to wyznaczenie z niego innej wielkości. Obowiązuje jedna zasada: to, co robimy z jedną stroną równania, musimy zrobić z drugą.

Działania odwrotne

• dodawanie $\leftrightarrow$ odejmowanie
• mnożenie $\leftrightarrow$ dzielenie
• podnoszenie do kwadratu $\leftrightarrow$ pierwiastkowanie

Przykład 1 — pole prostokąta

Ze wzoru $P=a\cdot b$ wyznaczamy $b$, dzieląc obie strony przez $a$:

$$b=\frac{P}{a}$$

Przykład 2 — pole trójkąta

Ze wzoru $P=\frac{a\cdot h}{2}$ wyznaczamy $h$ w dwóch krokach:

$$2P=a\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{a}$$

Przykład 3 — wzór z dodawaniem

Ze wzoru $y=2x+3$ wyznaczamy $x$. Najpierw odejmujemy $3$, potem dzielimy przez $2$:

$$y-3=2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y-3}{2}$$

Najważniejsze wzory do ćwiczeń

• $s=v\cdot t \ \Rightarrow\ t=\frac{s}{v}$, $v=\frac{s}{t}$
• $O=2\pi r \ \Rightarrow\ r=\frac{O}{2\pi}$
• $V=P_p\cdot H \ \Rightarrow\ H=\frac{V}{P_p}$
• $P=a^2 \ \Rightarrow\ a=\sqrt{P}$ (dla $a>0$)

Na co uważać

Kolejność działań ma znaczenie: $\frac{y-3}{2}$ to nie to samo co $\frac{y}{2}-3$. Gdy nie masz pewności, czy wzór przekształciłeś dobrze, podstaw konkretne liczby i sprawdź, czy obie wersje dają ten sam wynik. Warto też kontrolować jednostki — kilometry dzielone przez km/h muszą dać godziny.

Wzór

$P=\pi r^2$, gdzie $r$ to promień koła.

Ze średnicy

Jeśli dana jest średnica $d$, to $r=\frac{d}{2}$.

Przykład

Dla $r=5$ pole wynosi $25\pi$.

Liczba pi

$\pi$ to liczba niewymierna, w przybliżeniu $\pi\approx3{,}14$.

Oś symetrii

To prosta, względem której figura odbija się na siebie. Kwadrat ma $4$ osie symetrii, a prostokąt $2$.

Środek symetrii

To punkt, względem którego figura jest symetryczna — obrót o $180^\circ$ nakłada ją na siebie.

Przykłady

Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii oraz środek symetrii w środku.

Litery

Litera A ma oś symetrii, a litera S ma środek symetrii.

Wzory

Długość okręgu $L=2\pi r$, a pole koła $P=\pi r^2$.

Ze średnicy

$L=\pi d$, ponieważ $d=2r$.

Przykład

Dla $r=4$: $L=8\pi$ oraz $P=16\pi$.

Odwrotnie

Znając obwód, wyznaczymy promień: z $L=2\pi r$ mamy $r=\frac{L}{2\pi}$.

Krok po kroku

Wyznacz dziedzinę, miejsca zerowe i punkty przecięcia z osiami.

Tabela wartości

Oblicz wartości funkcji dla wybranych argumentów.

Przebieg

Zaznacz punkty i połącz je zgodnie z charakterem funkcji.

Kontrola

Sprawdź monotoniczność i znak funkcji w przedziałach.

Przesunięcia

$y=f(x-p)+q$ przesuwa wykres o wektor $[p,q]$.

Symetrie

$y=-f(x)$ odbija względem osi $OX$, $y=f(-x)$ względem osi $OY$.

Strategia

Zaczynamy od wykresu podstawowego, potem stosujemy kolejne przekształcenia.