Definicje i Teorie — Fizyka

Inne

Promieniotwórczość — typy rozpadu i prawo zaniku

Szkoła średnia

Promieniotwórczość — spontaniczny rozpad niestabilnych jąder atomowych z emisją promieniowania.
Typy:

$\alpha$: emisja jądra helu $^4_2\text{He}$ (duże, mało przenikliwe — zatrzymuje kartka papieru)
$\beta^-$: elektron + antyneutrino ($n\to p+e^-+\bar{\nu}$)
$\beta^+$: pozyton + neutrino ($p\to n+e^++\nu$)
$\gamma$: foton wysokoenergetyczny (brak zmiany $Z$ ani $A$ — wymaga grubego ołowiu)

Prosto mówiąc: Jądro "niestabilne" jak kostka lodu — chce przejść w stabilniejszy stan, oddając energię jako cząstki lub promieniowanie. Nie można przewidzieć KIEDY rozpadnie się jedno jądro — ale dla miliardów jąder prawo zaniku działa dokładnie.

Prawo zaniku promieniotwórczego: $$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} = N_0 e^{-\lambda t}$$ Gdzie $T_{1/2}$ — czas połowicznego zaniku, $\lambda = \dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}$ — stała rozpadu.
Aktywność: $A = \lambda N$ [Bq = 1 rozpad/s]

Przykład — datowanie izotopem C-14 ($T_{1/2}=5730$ lat):
Znaleziono szczątki z $A = 0{,}25\cdot A_0$ (¼ aktywności pierwotnej). $$0{,}25 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \Rightarrow \frac{t}{5730} = 2 \Rightarrow t = 11\,460 \text{ lat}$$

⚡ Zapamiętaj: Po każdym czasie $T_{1/2}$ połowa jąder się rozpada. Po $n$ półokresach pozostaje $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ ilości początkowej. Zasada zachowania liczby masowej $A$ i atomowej $Z$ obowiązuje w każdym rozpadzie.

Ruch harmoniczny prosty

Szkoła średnia

Definicja: Ruch harmoniczny prosty (RHP) to ruch, w którym siła przywracająca jest proporcjonalna do wychylenia i skierowana ku pozycji równowagi: $$F = -kx \quad \text{(prawo Hooke'a)}$$ Równanie ruchu: $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$
Gdzie: $A$ — amplituda, $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$ — częstość kołowa, $\varphi_0$ — faza początkowa.
Okres: $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$ (wahadło sprężynowe); $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$ (wahadło matematyczne)

Prosto mówiąc: Ciężarek na sprężynie kiwający w górę i dół. Raz w górę, raz w dół — symetrycznie, regularnie, bez tłumienia. Matem. opisuje go cosinus lub sinus czasu.

Energie w RHP:

Energia potencjalna: $E_p = \dfrac{1}{2}kx^2$
Energia kinetyczna: $E_k = \dfrac{1}{2}mv^2 = \dfrac{1}{2}k(A^2-x^2)$
Energia całkowita: $E = \dfrac{1}{2}kA^2$ (stała — zasada zachowania energii)
Prędkość max. w $x=0$: $v_{max} = A\omega$

Przykład: Wahadło matematyczne długości 1 m. Jaki okres na Ziemi ($g = 9{,}81$ m/s²)? $$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}} \approx 2\pi \cdot 0{,}319 \approx 2{,}006\ \text{s}$$

⚡ Zapamiętaj: Okres wahadła matematycznego zależy od długości i $g$ — NIE zależy od masy wahadła ani amplitudy (dla małych wychyleń). Dlatego wahadła zegarowe zachowują stały rytm.

Energia potencjalna — grawitacyjna i sprężystości

Szkoła średnia

Energia potencjalna grawitacyjna: $$E_{pg} = mgh$$ Gdzie $h$ — wysokość nad przyjętym poziomem odniesienia, $g = 9{,}81$ m/s².
Energia potencjalna sprężystości (Hooke'a): $$E_{ps} = \frac{1}{2}kx^2$$ Gdzie $k$ — stała sprężyny [N/m], $x$ — odkształcenie od położenia równowagi.

Prosto mówiąc: Grawitacyjna: im wyżej ciało, tym więcej energii "zgromadzone" (może spaść). Sprężystości: im bardziej naciągnięta sprężyna, tym więcej energii (wyrzucenie piłki). Obie to "zmagazynowana zdolność do pracy".

Siła sprężystości (prawo Hooke'a): $F = -kx$ (skierowana przeciwnie do odkształcenia).
Praca sił grawitacji: $W_g = mgh$ (niezależna od drogi — siła zachowawcza).
Praca przy rozciąganiu sprężyny: $W = \dfrac{1}{2}kx^2 = E_{ps}$.

Przykład: Sprężyna $k=500$ N/m, odkształcenie 0,2 m. Energia? $$E_{ps} = \frac{1}{2}\cdot500\cdot(0{,}2)^2 = \frac{1}{2}\cdot500\cdot0{,}04 = 10 \text{ J}$$

⚡ Zapamiętaj: Poziom odniesienia dla $E_{pg}$ wybieramy dowolnie (zwykle podłogę lub niższy punkt). Liczy się tylko zmiana energii potencjalnej, nie jej wartość bezwzględna.

Gaz doskonały — równanie stanu i przemiany

Szkoła średnia

Równanie Clapeyrona (gaz doskonały): $$pV = nRT$$ Gdzie: $p$ — ciśnienie [Pa], $V$ — objętość [m³], $n$ — liczba moli [mol], $R = 8{,}314$ J/(mol·K), $T$ — temperatura bezwzględna [K].
Dla stałej ilości gazu: $\dfrac{p_1V_1}{T_1} = \dfrac{p_2V_2}{T_2}$

Prosto mówiąc: Gaz doskonały to model — cząsteczki punktowe, bez oddziaływań (z wyjątkiem zderzeń sprężystych). Powietrze w typowych warunkach zachowuje się prawie jak gaz doskonały.

Izoprocesy — przemiany przy stałej wielkości:

Izotermiczna ($T=\text{const}$): $p_1V_1 = p_2V_2$ (prawo Boyle'a)
Izobaryczna ($p=\text{const}$): $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$ (prawo Gay-Lussaca)
Izochoryczna ($V=\text{const}$): $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$ (prawo Charlesa)
Adiabatyczna ($Q=0$): $pV^\gamma = \text{const}$

Przykład: Gaz w zbiorniku: $p_1=2$ atm, $V_1=10$ L, $T_1=300$ K. Po podgrzaniu do $T_2=450$ K, ciśnienie? $$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \Rightarrow p_2 = \frac{2\cdot450}{300} = 3 \text{ atm}$$

⚡ Zapamiętaj: Temperatura musi być w Kelwinach! $T[K] = T[°C] + 273{,}15$. Błąd Celsiuszy w Kelvinach = błąd w całym wyniku. 0 K = −273,15°C to minimum absolutne.

Ruch po okręgu i siła odśrodkowa

Szkoła średnia

Ruch jednostajny po okręgu: stała wartość prędkości, ale zmienny kierunek → przyspieszenie dośrodkowe: $$a_d = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$$ Gdzie $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ — prędkość kątowa [rad/s].
Siła dośrodkowa (skierowana do środka): $F_d = ma_d = \dfrac{mv^2}{r}$

Prosto mówiąc: Piłka na sznurku kręcona w kółko potrzebuje siły do środka — to naciąg sznurka. Zwolnij sznurek: piłka leci po stycznej (nie od środka!). "Siła odśrodkowa" to tylko efekt inercji w układzie obracającym się.

Okres i częstotliwość: $T = \dfrac{2\pi r}{v}$; $f = \dfrac{1}{T}$; $v = \omega r = \dfrac{2\pi r}{T}$
Zastosowania: Wirówki (oddzielanie substancji), zakręty na drodze (nachylenie = tarcie dośrodkowe), orbity planet (grawitacja dośrodkowa).

Przykład: Samochód (masa 1000 kg) jedzie z prędkością 20 m/s po łuku o promieniu 50 m. Minimalne tarcie? $$F_d = \frac{mv^2}{r} = \frac{1000\cdot400}{50} = 8000 \text{ N}$$ Tarcie musi dostarczyć tę siłę: $\mu mg \geq 8000$ N → $\mu \geq \dfrac{8000}{9810} \approx 0{,}82$.

⚡ Zapamiętaj: Siła dośrodkowa nie jest nowym rodzajem siły — to rola, jaką pełni np. grawitacja (satelita), naciąg liny (młocarz), tarcie (zakręt). Bez siły dośrodkowej ciało leci po prostej!

Obwody prądu stałego — prawa Kirchhoffa

Szkoła średnia

Prawa Kirchhoffa:

I prawo (prądowe): Suma prądów wpływających do węzła = sumie prądów wypływających: $\sum I_{we} = \sum I_{wy}$ (zasada zachowania ładunku)
II prawo (napięciowe): Suma SEM w oczku = sumie spadków napięć: $\sum \varepsilon = \sum IR$ (zasada zachowania energii)

Prawo Ohma dla całego obwodu: $I = \dfrac{\varepsilon}{R + r}$, gdzie $r$ — opór wewnętrzny źródła, $\varepsilon$ — SEM.

Prosto mówiąc: I prawo: ile "wody" wpływa do rury — tyle musi wypłynąć (prąd nie ginie w węźle). II prawo: suma "podbić" napięcia (baterie) = suma "spadków" (opory) w zamkniętej pętli.

Moc elektryczna i energia:

Moc: $P = UI = I^2R = \dfrac{U^2}{R}$ [W]
Energia: $E = P \cdot t = UIt$ [J]; w kWh: $E[\text{kWh}] = \dfrac{P[\text{W}] \cdot t[\text{h}]}{1000}$
Efekt Joule'a: $Q = I^2 R t$ (ciepło wydzielone)

Przykład: Bateria $\varepsilon = 9$ V, $r = 0{,}5\ \Omega$, zewnętrzny opór $R = 8{,}5\ \Omega$.

$I = \dfrac{9}{8{,}5 + 0{,}5} = \dfrac{9}{9} = 1$ A
Napięcie na zaciskach: $U = \varepsilon - Ir = 9 - 0{,}5 = 8{,}5$ V
Moc: $P = UI = 8{,}5 \cdot 1 = 8{,}5$ W

⚡ Zapamiętaj: Napięcie na zaciskach baterii jest mniejsze od SEM o spadek napięcia na oporze wewnętrznym ($Ir$). Im większy prąd pobieramy, tym bardziej "siada" napięcie baterii.

Zasada zachowania energii mechanicznej

Szkoła średnia

Zasada zachowania energii mechanicznej: W układzie, gdzie działają tylko siły zachowawcze (np. grawitacja, sprężystość), całkowita energia mechaniczna jest stała: $$E_k + E_p = \text{const}$$ $$\frac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{const}$$ Wzrost $E_k$ = spadek $E_p$ i odwrotnie.

Prosto mówiąc: Piłka spada z wysokości $h$: zamienia $E_p$ w $E_k$. Tuż przed uderzeniem o ziemię: cała $E_p$ stała się $E_k$. Na huśtawce: na górze max $E_p$, na dole max $E_k$ — suma zawsze ta sama.

Wzór na prędkość przy swobodnym spadku z $h$: $$mgh = \frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v = \sqrt{2gh}$$ Z tarciem: energia mechaniczna NIE jest zachowana. Tarcie zamienia $E_k$ i $E_p$ w ciepło: $$\Delta E_{mech} = -W_{tarcia} = -F_{tarcia}\cdot s$$

Przykład: Kulka spada z wysokości 5 m bez oporu powietrza. Prędkość przy ziemi? $$v = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot5} = \sqrt{98{,}1} \approx 9{,}9 \text{ m/s}$$

⚡ Zapamiętaj: Zasada zachowania energii obowiązuje ZAWSZE — nawet z tarciem. Energia nie znika — zamienia się w ciepło. Sprawność: co nie trafia na wyjście, idzie "w ciepło".

Pole elektryczne — natężenie i linie pola

Szkoła średnia

Natężenie pola elektrycznego: $$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q} \quad [E] = \frac{\text{N}}{\text{C}} = \frac{\text{V}}{\text{m}}$$ Dla pola ładunku punktowego $Q$: $E = k\dfrac{Q}{r^2}$ (prawo Coulomba).
Potencjał elektryczny: $V = k\dfrac{Q}{r}$; napięcie: $U = V_1 - V_2 = \dfrac{W}{q}$.

Prosto mówiąc: Natężenie pola to "siła na jednostkę ładunku" — jak bardzo pole chce przesunąć ładunek w danym miejscu. Kierunek: zgodny z siłą na ładunek dodatni.

Pole jednorodne (między płytami kondensatora): $$E = \frac{U}{d} \quad \text{(stałe — linie pola równoległe)}$$ Energia ładunku $q$ w polu: $E_p = qV = qEd$.
Zasada superpozycji: Pole od wielu ładunków = wektorowa suma pól składowych.

Przykład: Ładunek $+2\ \mu\text{C}$ i $-2\ \mu\text{C}$ w odległości 10 cm od siebie. Natężenie w środku?

$E_+ = 9\times10^9\cdot\frac{2\times10^{-6}}{(0{,}05)^2} = 7{,}2\times10^6$ N/C (ku $-$ ładunkowi)
$E_- = 7{,}2\times10^6$ N/C (też ku $-$ ładunkowi)
Pola dodają się: $E = 1{,}44\times10^7$ N/C

⚡ Zapamiętaj: Linie pola elektrycznego wychodzą z ładunków $+$ i wchodzą do $-$. Gęstość linii = natężenie pola. Ruch zgodny z polem: ładunek $+$ traci, ładunek $-$ zyskuje energię potencjalną.

Indukcja elektromagnetyczna

Szkoła średnia

Prawo Faradaya: SEM indukcji jest proporcjonalna do szybkości zmiany strumienia magnetycznego przez obwód: $$\varepsilon = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \quad \text{(1 zwój)}; \qquad \varepsilon = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \quad \text{(N zwojów)}$$ Strumień magnetyczny: $\Phi = B \cdot S \cdot \cos\alpha$ [Wb = V·s], gdzie $B$ — indukcja [T], $S$ — pole powierzchni, $\alpha$ — kąt między $\vec{B}$ i normalną do powierzchni.

Prosto mówiąc: Zmienne pole magnetyczne generuje prąd elektryczny — i odwrotnie. To zasada działania prądnic, transformatorów i silników elektrycznych.

Reguła Lenza (znak minus w prawie Faradaya): Indukowany prąd ma taki kierunek, by przeciwdziałać zmianie strumienia, która go wywołuje (zasada zachowania energii).

Samoindukcja: $\varepsilon_L = -L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$, gdzie $L$ — indukcyjność [H].

Przykład: Cewka 200 zwojów, strumień zmienia się z 0,01 Wb do 0,05 Wb w ciągu 0,1 s. $$\varepsilon = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -200 \cdot \frac{0{,}05-0{,}01}{0{,}1} = -200 \cdot 0{,}4 = -80\ \text{V}$$ Wartość bezwzględna SEM = 80 V.

⚡ Zapamiętaj: Transformator zmienia napięcie dzięki indukcji wzajemnej: $\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{N_1}{N_2}$. Podwyższeniu napięcia towarzyszy zmniejszenie prądu (zasada zachowania mocy: $P_1 \approx P_2$).

Kondensator — pojemność i energia

Szkoła średnia

Pojemność elektryczna: $$C = \frac{q}{U} \quad [C] = \text{F (farad)}$$ Kondensator płaski: $C = \varepsilon_0\varepsilon_r\dfrac{S}{d}$
Gdzie $\varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}$ F/m, $\varepsilon_r$ — przenikalność względna, $S$ — pole płyt, $d$ — odległość.

Prosto mówiąc: Kondensator to "zbiornik ładunku". Pojemność 1 F oznacza: przy napięciu 1 V gromadzi 1 C ładunku. 1 F to ogromna pojemność — typowe: pF ($10^{-12}$) do $\mu$F ($10^{-6}$).

Energia kondensatora: $$E = \frac{1}{2}CU^2 = \frac{q^2}{2C} = \frac{qU}{2}$$ Kondensatory w układach:

Szeregowo: $\dfrac{1}{C_{zast}} = \dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}+\ldots$ (pojemność maleje)
Równolegle: $C_{zast} = C_1+C_2+\ldots$ (pojemność rośnie)

Przykład: Kondensator $C = 10\ \mu\text{F}$ naładowany do $U=100$ V.

Ładunek: $q = CU = 10^{-5}\cdot100 = 10^{-3}$ C $= 1$ mC
Energia: $E = \frac{1}{2}\cdot10^{-5}\cdot100^2 = 0{,}05$ J $= 50$ mJ

⚡ Zapamiętaj: Kondensatory równoległe — napięcie takie samo, ładunki się sumują. Szeregowe — ładunek taki sam, napięcia się sumują. Odwrotnie niż oporniki! (R szeregowo rośnie; C szeregowo maleje).

Siła Lorentza — ruch ładunku w polu magnetycznym

Szkoła średnia

Siła Lorentza na ładunek $q$ poruszający się z prędkością $v$ w polu $B$: $$\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}, \quad F = qvB\sin\alpha$$ Gdzie $\alpha$ — kąt między $\vec{v}$ i $\vec{B}$.
Kierunek: prostopadły do obu $\vec{v}$ i $\vec{B}$ (reguła prawej ręki / trójpalcowa).

Prosto mówiąc: Naładowana cząstka leci przez pole magnetyczne — "skręca". Siła zawsze prostopadle do ruchu, więc NIE wykonuje pracy (zmienia kierunek, nie prędkość). Wynik: ruch po okręgu lub spirali.

Ruch po okręgu w polu $B$: siła Lorentza = siła dośrodkowa: $$qvB = \frac{mv^2}{r} \Rightarrow r = \frac{mv}{qB}$$ Aplikacje: akceleratory cząstek (LHC!), spektrometry masowe, silniki elektryczne DC.
Efekt Halla: nagromadzenie ładunków na boku przewodnika — pozwala mierzyć $B$.

Przykład: Proton ($m=1{,}67\times10^{-27}$ kg, $q=1{,}6\times10^{-19}$ C) leci z $v=10^6$ m/s w polu $B=0{,}1$ T (prostopadle). Promień toru? $$r = \frac{mv}{qB} = \frac{1{,}67\times10^{-27}\cdot10^6}{1{,}6\times10^{-19}\cdot0{,}1} = \frac{1{,}67\times10^{-21}}{1{,}6\times10^{-20}} \approx 0{,}10 \text{ m}$$

⚡ Zapamiętaj: Siła Lorentza NIE wykonuje pracy (prostopadła do $v$). Dlatego cząstka krąży z stałą prędkością — pole magnetyczne nie przyspiesza ani nie hamuje, tylko zakrzywia tor.

Optyka falowa — dyfrakcja i interferencja

Szkoła średnia

Definicje:

Dyfrakcja: ugięcie fal przy przechodzeniu przez wąską szczelinę lub omijaniu przeszkody. Widoczna, gdy rozmiar przeszkody $\sim \lambda$.
Interferencja: nakładanie się dwóch (lub więcej) spójnych fal tego samego rodzaju.
- Wzmocnienie (konstruktywne): różnica dróg $\delta = k\lambda$ ($k \in \mathbb{Z}$)
- Wygaszenie (destruktywne): $\delta = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2}$
Spójność: fale muszą mieć tę samą częstotliwość i stałą różnicę faz

Prosto mówiąc: Interferencja: dwie fale wodne krzyżują się — tam gdzie oba "garby" się spotkają, tworzy się wyższy garb (wzmocnienie); garb + dolina = zero (wygaszenie). Dyfrakcja: fala "zakręca za róg".

Siatka dyfrakcyjna: $d\sin\theta = k\lambda$ — wyznaczanie długości fali; stosowane w spektroskopii.
Doświadczenie Younga (dwie szczeliny): $\Delta y = \dfrac{\lambda L}{d}$ — odległość prążków interferencyjnych.

Przykład: Dwie szczeliny odległe o $d = 0{,}5$ mm, ekran w odległości $L = 2$ m, $\lambda = 600$ nm. Odległość prążków? $$\Delta y = \frac{600\cdot10^{-9} \cdot 2}{0{,}5\cdot10^{-3}} = \frac{1{,}2\cdot10^{-6}}{5\cdot10^{-4}} = 2{,}4\cdot10^{-3}\ \text{m} = 2{,}4\ \text{mm}$$

⚡ Zapamiętaj: Dyfrakcja i interferencja są dowodem na falową naturę światła (Young, 1801). Zjawiska te NIE da się wytłumaczyć modelem korpuskularnym — to fundamentalny dowód na dualizm korpuskularno-falowy.

Kwantowy model atomu — poziomy energetyczne

Szkoła średnia

Model Bohra (wodór):

Elektrony krążą tylko po dozwolonych orbitach o kwantowanych momentach pędu: $L = n\hbar$
Energie poziomów: $E_n = -\dfrac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}$, $n = 1, 2, 3, \ldots$ (liczba kwantowa główna)
Stan podstawowy: $n=1$, $E_1 = -13{,}6$ eV; stany wzbudzone: $n > 1$
Foton emitowany przy przejściu $n_2 \to n_1$ ($n_2 > n_1$): $E_{foton} = E_{n_2} - E_{n_1} = hf$

Prosto mówiąc: Elektrony w atomie nie mogą mieć dowolnej energii — tylko "schodkowe" wartości. Przeskok elektronu na niższy poziom = emisja fotonu o ściśle określonej barwie. Dlatego widma atomów są liniowe, nie ciągłe.

Serie spektralne wodoru:

Lyman ($n \to 1$): UV
Balmer ($n \to 2$): widzialna
Paschen ($n \to 3$): podczerwień

Wzór Rydberga: $\dfrac{1}{\lambda} = R_H\left(\dfrac{1}{n_1^2} - \dfrac{1}{n_2^2}\right)$, $R_H = 1{,}097 \times 10^7\