Czym jest procent i punkt procentowy, procent z liczby, podwyżki i obniżki, stężenia, lokaty i odsetki — pojęcia z życia codziennego.
22 definicjiProcent to setna część całości. Zapis $p\%$ oznacza dokładnie $\frac{p}{100}$, więc $1\%=0{,}01$, $50\%=0{,}5$, a $100\%$ to cała wielkość.
Wygodnie liczyć je jednym mnożeniem przez wskaźnik zmiany:
$$c_{\text{po}}=c\cdot\left(1\pm\frac{p}{100}\right)$$
Cena $80$ zł po obniżce o $25\%$: $80\cdot0{,}75=60$ zł.
Procenty liczy się zawsze od aktualnej podstawy. Podwyżka o $20\%$, a potem obniżka o $20\%$ nie wraca do ceny wyjściowej: $100\to120\to96$. Podobnie dwie obniżki po $10\%$ to łącznie $19\%$, a nie $20\%$.
Przyległe — mają wspólne ramię i dopełniają się do $180^\circ$.
Wierzchołkowe — leżą naprzeciw siebie i są równe.
Gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, kąty odpowiadające oraz naprzemianległe są równe, a kąty jednostronne dopełniają się do $180^\circ$.
$$|b-c|\lt a\lt b+c$$
Trójkąt istnieje, gdy każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Wystarczy sprawdzić warunek dla najdłuższego boku.
Trójkąty przystające mają identyczny kształt i rozmiar. Cechy przystawania:
Uwaga: trzy równe kąty (kkk) dają jedynie podobieństwo, nie przystawanie.
$$\text{suma kątów}=(n-2)\cdot180^\circ$$
W wielokącie foremnym (wszystkie boki i kąty równe) jeden kąt wynosi:
$$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$$
Przykład: sześciokąt foremny ma kąt $\frac{720^\circ}{6}=120^\circ$.
Dzielenie sumy kątów przez $n$ wolno stosować tylko dla wielokąta foremnego. Równość kątów odpowiadających wymaga, by proste rzeczywiście były równoległe — musi to wynikać z treści zadania, a nie z wyglądu rysunku.
Diagram zamienia liczby na obraz — dzięki temu od razu widać, co jest największe, a co najmniejsze.
Wysokość słupka odpowiada wartości. Najlepiej nadaje się do porównywania grup między sobą. Jeśli podano legendę „jedna kratka = $5$ osób”, wartość odczytujemy mnożeniem: słupek o $7$ kratkach to $7\cdot5=35$ osób.
Całe koło to całość, czyli $100\%$ oraz pełny kąt $360^\circ$. Stąd przelicznik:
$$1\%=3{,}6^\circ,\qquad \text{kąt}=\frac{\text{procent}}{100}\cdot360^\circ$$
$$\text{procent z liczby}=\frac{p}{100}\cdot a$$
Przykład: $40\%$ z $30$ uczniów to $0{,}4\cdot30=12$ uczniów.
$$\text{średnia}=\frac{\text{suma wartości}}{\text{liczba wartości}}$$
Przykład: dla $12$, $15$, $9$ i $20$ mamy $\frac{12+15+9+20}{4}=\frac{56}{4}=14$.
Sprawdzaj, czy wszystkie części diagramu kołowego sumują się do $100\%$ — jeśli nie, gdzieś jest błąd. Uważaj też na osie diagramów słupkowych: gdy oś nie zaczyna się od zera, różnice wyglądają na dużo większe, niż są w rzeczywistości.
Bank dopisuje do wpłaconej kwoty odsetki liczone jako procent od kapitału:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}$$
Przykład: od $2000$ zł przy $5\%$ rocznie odsetki wynoszą $0{,}05\cdot2000=100$ zł.
Od odsetek pobierany jest podatek $19\%$. Zamiast liczyć podatek i odejmować, szybciej od razu policzyć, ile zostaje:
$$\text{do wypłaty}=\text{odsetki}\cdot0{,}81$$
Przykład: z $300$ zł odsetek zostaje $300\cdot0{,}81=243$ zł.
Po dopisaniu odsetek do kapitału w kolejnym roku procent liczy się już od większej kwoty:
$$K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
Przykład: $1000$ zł na $2$ lata przy $10\%$ daje $1000\cdot1{,}1^2=1210$ zł — o $10$ zł więcej niż przy prostym naliczaniu.
$$\text{po podwyżce o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{po obniżce o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Podwyżka o $10\%$ i następnie obniżka o $10\%$ nie wraca do ceny wyjściowej: $200\to220\to198$ zł, bo drugi procent liczymy od większej kwoty.
Jeśli po podwyżce o $20\%$ cena wynosi $360$ zł, to cena początkowa to:
$$360:1{,}2=300\ \text{zł}$$
Dzielimy, a nie odejmujemy $20\%$ od $360$ — to dałoby błędne $288$ zł.
To dwie różne miary tej samej zmiany:
Zawsze sprawdzaj, od czego liczysz procent. Ta sama zmiana z $4\%$ na $6\%$ to jednocześnie $2$ punkty procentowe i aż $50\%$ wzrostu — obie odpowiedzi są poprawne, ale odpowiadają na inne pytania.
$$\text{wzrost o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{spadek o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Wzrost o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$, spadek o $35\%$ — przez $0{,}65$.
Jeśli po obniżce o $30\%$ towar kosztuje $91$ zł, to $91$ stanowi $70\%$ ceny pełnej:
$$91:0{,}7=130\ \text{zł}$$
Częsty błąd to doliczenie $30\%$ do $91$ zł — daje $118{,}30$ zł, czyli wynik fałszywy, bo procent liczy się od innej podstawy.
Przy dwóch zmianach po kolei mnożymy współczynniki, a nie dodajemy procenty:
$$+10\%,\ \text{potem} +10\%:\quad 1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21 \ \text{(a nie } 1{,}2)$$
$$+50\%,\ \text{potem} -50\%:\quad 1{,}5\cdot0{,}5=0{,}75$$
Wzrost i taki sam procentowo spadek nigdy nie wracają do punktu wyjścia — drugi procent liczony jest od innej kwoty.
Gdy porównujemy dwie wartości wyrażone w procentach, ich różnicę podajemy w punktach procentowych.
Frekwencja wzrosła z $54\%$ do $61\%$ — to wzrost o $7$ punktów procentowych. Wzrost względny to $\frac{7}{54}\approx13\%$. Obie liczby są poprawne, ale opisują co innego i nie wolno ich mylić.
$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{VAT}{100}\right)$$
Marża doliczana do ceny zakupu działa tak samo jak podwyżka. Odsetki od lokaty za jeden rok to $K\cdot\frac{p}{100}$, a stan konta to $K\left(1+\frac{p}{100}\right)$.
$$C_p=\frac{m_{\text{substancji}}}{m_{\text{roztworu}}}\cdot100\%$$
W mianowniku jest masa całego roztworu, a nie samej wody. Dolewanie wody nie zmienia masy substancji — zmienia tylko mianownik.
Zawsze ustal, od czego liczony jest procent. Ten sam procent od innej podstawy daje inną kwotę — to źródło większości błędów w zadaniach o rabatach, podwyżkach i stężeniach.
$$P_{\text{równoległoboku}}=a\cdot h$$
$$P_{\text{trójkąta}}=\frac{a\cdot h}{2}$$
$$P_{\text{trapezu}}=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$
$$P_{\text{rombu}}=a\cdot h=\frac{e\cdot f}{2}$$
Przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty. Każdy z nich ma więc połowę pola — stąd $\frac{a h}{2}$ we wzorze na trójkąt.
Podobnie romb mieści się dokładnie w prostokącie o bokach równych jego przekątnym i zajmuje połowę jego pola — stąd $\frac{e f}{2}$.
We wzorach występuje wysokość, czyli odcinek prostopadły do podstawy. W równoległoboku wysokość jest zawsze krótsza od drugiego boku (chyba że figura jest prostokątem). Podstawienie boku zamiast wysokości to najczęstszy błąd w tym dziale.
Gdy dane są bok i wysokość — używamy $a\cdot h$. Gdy dane są przekątne — $\frac{e f}{2}$. Oba dają ten sam wynik, ale każdy wymaga innych danych.
Przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości, więc pole to po prostu połowa ich iloczynu. Dla przyprostokątnych $5$ i $12$ pole wynosi $30$.
$$h=\frac{2P}{a} \ \text{(trójkąt)},\qquad a=\frac{P}{h} \ \text{(równoległobok)}$$
$$a+b=\frac{2P}{h} \ \text{(trapez)},\qquad f=\frac{2P}{e} \ \text{(romb)}$$
W trójkącie, trapezie i rombie pamiętaj o mnożeniu przez $2$ — to najczęściej gubiony element.
Figurę dzielimy na znane kształty i dodajemy pola, albo uzupełniamy do prostokąta i odejmujemy nadmiar. Wybieramy sposób dający mniej rachunków.
Trapez o podstawach $a$ i $b$ ma takie samo pole jak trójkąt o podstawie $a+b$ i tej samej wysokości — oba wzory sprowadzają się do tego samego rachunku.
Pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych. Przy trójkącie i trapezie łatwo zapomnieć o dzieleniu przez $2$ — warto na koniec sprawdzić, czy wynik nie jest podejrzanie duży.
Zamiast liczyć rabat i odejmować, mnożymy od razu przez jedną liczbę:
$$\text{podwyżka o } p\%:\ \times\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{obniżka o } p\%:\ \times\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Podwyżka o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$, obniżka o $30\%$ — przez $0{,}7$.
1. Znamy cenę wyjściową, szukamy końcowej. Mnożymy: $200\cdot1{,}15=230$ zł.
2. Znamy cenę końcową, szukamy wyjściowej. Dzielimy: $\frac{850}{0{,}85}=1000$ zł.
3. Znamy obie ceny, szukamy procentu. Dzielimy zmianę przez cenę wyjściową: $\frac{15}{60}=25\%$.
Procent zawsze liczymy od czegoś. To „coś” nazywamy podstawą i stanowi ono $100\%$.
Przy obniżce podstawą jest cena sprzed obniżki. Gdy cena wzrosła z $18$ do $27$ zł, wzrost wynosi $\frac{9}{18}=50\%$ — dzielimy przez $18$, a nie przez $27$.
Kolejne zmiany procentowe mnożymy, nie dodajemy:
$$1{,}1\cdot0{,}9=0{,}99$$
Podwyżka o $10\%$, a potem obniżka o $10\%$ nie wraca do punktu wyjścia — daje spadek o $1\%$. Powód: obniżkę liczymy od większej kwoty.
Ogólnie $(1+p)(1-p)=1-p^2\lt 1$ — końcowa cena jest zawsze niższa od wyjściowej.
Dwa rabaty $30\%$ i $10\%$ dają mnożnik $0{,}7\cdot0{,}9=0{,}63$, czyli łączny rabat $37\%$ — mniej niż $40\%$. Sprzedawcy chętnie eksponują sumę procentów, ale liczy się iloczyn mnożników.
Spadek o $50\%$ wymaga wzrostu o $100\%$, by wrócić do punktu wyjścia. Wzrost o $50\%$ odwraca spadek o $33\tfrac13\%$.
Dzieje się tak, bo za każdym razem procent liczymy od innej podstawy.
Narzut liczymy od ceny zakupu, a rabat — od ceny sprzedaży. Towar kupiony za $80$ zł z narzutem $50\%$ kosztuje $120$ zł; po rabacie $30\%$ sprzedamy go za $84$ zł, wciąż z zyskiem $4$ zł. Odejmowanie tych procentów od siebie nie ma sensu.
Nie odejmuj $20\%$ od ceny po podwyżce, gdy szukasz ceny sprzed niej. Nie dodawaj procentów kolejnych rabatów. I zawsze sprawdzaj, od czego liczony jest dany procent.
Oprocentowanie zawsze podaje się w skali roku, nawet gdy lokata trwa krócej:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}\cdot\frac{\text{liczba miesięcy}}{12}$$
Lokata półroczna na $6\%$ daje faktycznie $3\%$, kwartalna na $8\%$ — $2\%$.
Bank pobiera $19\%$ od odsetek — nigdy od wpłaconego kapitału.
$$\text{odsetki netto}=\text{odsetki brutto}\cdot0{,}81$$
Przykład: $2000$ zł na $5\%$ daje $100$ zł odsetek, podatek to $19$ zł, więc na konto trafia $2081$ zł.
$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{\text{VAT}}{100}\right)$$
Przy stawce $23\%$ mnożnikiem jest $1{,}23$:
$$\text{netto}=\frac{\text{brutto}}{1{,}23}$$
Aby z ceny brutto $123$ zł otrzymać netto, dzielimy przez $1{,}23$ i dostajemy $100$ zł. Odjęcie $23\%$ od $123$ zł daje błędne $94{,}71$ zł — bo podatek liczony jest od netto, a nie od brutto.
Podstawowa $23\%$, obniżone $8\%$ (m.in. usługi budowlane) i $5\%$ (książki, część żywności), a niektóre towary są zwolnione.
Oferty sprowadzamy do wspólnego okresu — zwykle do roku. Bank dający $1{,}2\%$ kwartalnie daje w roku $4{,}8\%$, czyli więcej niż konkurent z $4\%$ rocznie.
Przy porównaniach z podatkiem liczy się kwota po opodatkowaniu. Lokata $5\%$ obciążona podatkiem $19\%$ daje efektywnie $4{,}05\%$ — mniej niż zwolniona z podatku obligacja na $4{,}2\%$.
Gdy znamy odsetki po opodatkowaniu, cofamy się o dwa kroki. Kwota $81$ zł to $81\%$ odsetek brutto, więc brutto wynosiło $100$ zł, a przy kapitale $2000$ zł daje to oprocentowanie $5\%$.
Przy paliwie VAT nalicza się od kwoty zawierającej już akcyzę. Dla ceny netto $4$ zł i akcyzy $1{,}50$ zł podstawą jest $5{,}50$ zł, a VAT wynosi $1{,}265$ zł — cena końcowa to około $6{,}77$ zł.
Nie zapomnij przeliczyć stopy rocznej na faktyczny okres. Nie obciążaj podatkiem kapitału. I nie odejmuj procentu VAT od ceny brutto.
Procent to setna część całości: $1\%=\frac{1}{100}=0{,}01$.
$50\%$ to połowa, $25\%$ to jedna czwarta, a $100\%$ to cała całość.
Aby obliczyć $p\%$ z liczby, mnożymy ją przez $\frac{p}{100}$. Np. $20\%$ z $50$ to $50\cdot0{,}2=10$.
Procenty spotykamy w rabatach, podwyżkach i oprocentowaniu.
Aby obliczyć, jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$, dzielimy $a$ przez $b$ i mnożymy przez $100\%$.
$$\frac{a}{b}\cdot100\%$$
Jakim procentem liczby $50$ jest $10$? $\frac{10}{50}\cdot100\%=20\%$.
W mianowniku stoi całość — liczba, do której odnosimy porównanie.
Rabat lub podatek to procent kwoty: $20\%$ z $80$ zł to $16$ zł.
Cena po podwyżce o $p\%$ to cena powiększona o $p\%$ jej wartości: $100$ zł $+10\%=110$ zł.
Cena po obniżce o $p\%$ to cena pomniejszona o $p\%$: $100$ zł $-20\%=80$ zł.
Tak liczymy ceny w sklepach oraz oprocentowanie lokat i kredytów.
Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe.
$\alpha=\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.
Trójkąt równoboczny ($60^\circ$), kwadrat ($90^\circ$), sześciokąt foremny ($120^\circ$).
Każdy wielokąt foremny można wpisać w okrąg i opisać na okręgu.
$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\beta_{\text{wpisany}}$$
gdy oba są oparte na tym samym łuku. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są sobie równe.
Wniosek: kąt wpisany oparty na średnicy ma $90^\circ$ (twierdzenie Talesa o okręgu).
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. Odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu zewnętrznego są równe.
Środek okręgu opisanego to punkt przecięcia symetralnych boków; środek okręgu wpisanego — punkt przecięcia dwusiecznych kątów.
W trójkącie prostokątnym $R=\frac{c}{2}$, bo przeciwprostokątna jest średnicą.
$$\text{okrąg opisany} \iff \alpha+\gamma=\beta+\delta=180^\circ$$
$$\text{okrąg wpisany} \iff a+c=b+d \quad\text{(twierdzenie Pitota)}$$
$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$$
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$
Warunki na okrąg opisany i wpisany w czworokąt są niezależne. Prostokąt zawsze ma okrąg opisany, ale wpisany tylko wtedy, gdy jest kwadratem.
Stosunek boków odpowiednich to skala podobieństwa $k$.
Pola figur podobnych są w stosunku $k^2$.
Obwody są w stosunku $k$.
Dla $k=3$ pole rośnie $9$ razy.
$p\%$ z $A$ to $\frac{p}{100}\cdot A$.
Liczba $a$ stanowi $\frac{a}{b}\cdot100\%$ liczby $b$.
Zmiana o $p\%$: nowa wartość to $A(1\pm\frac{p}{100})$.
$K_n=K_0(1+p)^n$.
Wielokąt foremny ma wszystkie boki i kąty równe.
W $n$-kącie foremnym każdy kąt ma $\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.
$n$-kąt foremny ma $n$ osi symetrii.
W każdy wielokąt foremny można wpisać i opisać okrąg o wspólnym środku.
Wielokąty podobne mają równe kąty i proporcjonalne boki; stosunek boków to skala $k$.
Stosunek obwodów to $k$, a stosunek pól to $k^2$.
Przy skali $k=2$ pole rośnie czterokrotnie.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.