Koło i okrąg, promień, cięciwa i średnica, łuk i wycinek, kąt wpisany i środkowy oraz styczna do okręgu.
21 definicjiOkrąg to linia — zbiór punktów odległych od środka o promień $r$. Koło to okrąg wraz z całym wnętrzem.
$$l=2\pi r=\pi d,\qquad P=\pi r^2$$
gdzie $d=2r$ to średnica, a $\pi\approx3{,}14$ jest stosunkiem obwodu do średnicy — identycznym dla każdego okręgu.
Dla kąta środkowego $\alpha$ bierzemy odpowiednią część pełnego okręgu:
$$l_{\text{łuku}}=2\pi r\cdot\frac{\alpha}{360^\circ},\qquad P_{\text{wycinka}}=\pi r^2\cdot\frac{\alpha}{360^\circ}$$
Koło ma nieskończenie wiele osi symetrii (każda prosta przez środek) oraz środek symetrii. Symetralna odcinka to prosta prostopadła przechodząca przez jego środek — jej punkty są równo oddalone od końców odcinka. Dwusieczna kąta dzieli kąt na połowy, a jej punkty są równo oddalone od ramion.
W polu do kwadratu podnosimy promień, nie średnicę. Mając $d=10$, najpierw policz $r=5$, dopiero potem $P=\pi r^2$ — inaczej wynik będzie czterokrotnie za duży. Nie myl też łuku (długość, cm) z wycinkiem (pole, cm²).
Okrąg to sama linia — zbiór punktów oddalonych od środka dokładnie o promień. Koło to okrąg razem z wnętrzem.
Stąd okrąg ma długość, a koło ma pole.
$$L=2\pi r=\pi d,\qquad P=\pi r^2$$
gdzie $r$ to promień, a $d=2r$ — średnica. Do obliczeń przybliżonych przyjmujemy $\pi\approx3{,}14$.
$$r=\frac{L}{2\pi},\qquad r=\sqrt{\frac{P}{\pi}}$$
Przykład: z $L=18\pi$ dostajemy $r=9$; z $P=49\pi$ dostajemy $r=7$.
Wstawienie średnicy zamiast promienia do wzoru na pole. Dla $d=8$ poprawnie jest $P=\pi\cdot4^2=16\pi$, a nie $64\pi$ — błąd czterokrotny.
Długość okręgu zależy od promienia liniowo, a pole — od jego kwadratu. Podwojenie promienia podwaja obwód, ale zwiększa pole czterokrotnie.
$$P_{\text{półkola}}=\frac{\pi r^2}{2},\qquad P_{\text{ćwiartki}}=\frac{\pi r^2}{4}$$
Uwaga przy obwodzie: obwód półkola to łuk plus średnica, czyli $\pi r+2r$ — sam łuk nie zamyka figury.
$$P=\pi R^2-\pi r^2=\pi\left(R^2-r^2\right)$$
Nie wolno liczyć $\pi(R-r)^2$ — najpierw podnosimy do kwadratu, potem odejmujemy.
Średnica koła równa się bokowi kwadratu. Odpad (część kwadratu poza kołem) stanowi zawsze około $21{,}5\%$ powierzchni — niezależnie od rozmiaru.
Jeden obrót koła to droga równa jego obwodowi. Koło o średnicy $70$ cm po $100$ obrotach przejedzie $100\cdot\pi\cdot70\approx21\,980$ cm, czyli około $220$ m.
W figurach złożonych z prostokąta i półkoli sprawdź, które odcinki naprawdę leżą na brzegu. Boki schowane wewnątrz figury nie liczą się do obwodu.
Zaokrąglenie zastępuje liczbę bliską wartością „okrągłą", wygodniejszą w szacowaniu i szybkich rachunkach.
Patrzymy na cyfrę na pozycji niższej niż zaokrąglana. Cyfry $0,1,2,3,4$ zaokrąglają w dół, a $5,6,7,8,9$ — w górę.
$$47\approx50\ (\text{do dziesiątek}),\qquad 430\approx400\ (\text{do setek})$$
Zawsze zaokrąglamy do wskazanego rzędu: dziesiątek, setek, tysięcy.
Okrąg to linia zamknięta — zbiór punktów jednakowo odległych od środka. Ta odległość to promień $r$.
Koło to okrąg wraz z jego wnętrzem. Brzegiem koła jest okrąg.
Promień $r$ łączy środek z okręgiem, a średnica $d$ przechodzi przez środek. Zachodzi $d=2r$.
Cięciwa to odcinek łączący dwa punkty okręgu; najdłuższą cięciwą jest średnica.
Dane odczytujemy z tabel oraz diagramów słupkowych, kołowych i wykresów liniowych.
Cały okrąg odpowiada $100\%$ (czyli $360^\circ$); część danych to odpowiedni wycinek.
Jeśli jeden słupek pokazuje $12$, a drugi $8$, to łącznie mamy $20$.
Zwracaj uwagę na jednostki i skalę osi — może zaczynać się od wartości innej niż zero.
Okrąg o środku $S=(a,\,b)$ i promieniu $r$ opisuje równanie:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
Dla środka w początku układu upraszcza się ono do $x^2+y^2=r^2$.
Uwaga na znaki: w równaniu $(x-2)^2+(y+3)^2=25$ mamy $(y+3)=(y-(-3))$, więc:
$$S=(2,\,-3),\qquad r=\sqrt{25}=5$$
Po prawej stronie stoi kwadrat promienia — to najczęstsze źródło pomyłek.
Podstawiamy współrzędne punktu do lewej strony równania i porównujemy z $r^2$:
Równoważnie: porównujemy odległość punktu od środka z promieniem.
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
To twierdzenie Pitagorasa zapisane we współrzędnych.
Dla prostej w postaci ogólnej $Ax+By+C=0$ i punktu $P=(x_0,\,y_0)$:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
Przykład: odległość punktu $(3,\,4)$ od prostej $3x+4y-10=0$ wynosi $\frac{|9+16-10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{15}{5}=3$.
Porównujemy odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem $r$:
Wzoru na odległość punktu od prostej wolno użyć dopiero wtedy, gdy prosta jest zapisana w postaci ogólnej (z zerem po prawej stronie). Równanie $y=2x+1$ trzeba najpierw przekształcić do $2x-y+1=0$.
Okrąg opisany — środek w przecięciu symetralnych boków, bo każdy punkt symetralnej jest równo oddalony od końców odcinka, a więc od wierzchołków.
Okrąg wpisany — środek w przecięciu dwusiecznych kątów, bo punkt dwusiecznej jest równo oddalony od ramion kąta, a więc od boków.
$$r=\frac{P}{p},\qquad R=\frac{abc}{4P}$$
gdzie $p=\frac{a+b+c}{2}$ to połowa obwodu.
Pierwszy wzór wynika z podziału trójkąta na trzy mniejsze o wspólnym wierzchołku w środku okręgu — każdy ma wysokość $r$, więc łączne pole to $\frac{r\cdot O}{2}=rp$.
$$R=\frac{c}{2},\qquad r=\frac{a+b-c}{2}$$
Przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego — to twierdzenie Talesa czytane wstecz: kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.
Dla trójkąta $5$, $12$, $13$: $R=6{,}5$ oraz $r=\frac{5+12-13}{2}=2$. Kontrola wzorem ogólnym: $P=30$, $p=15$, $r=\frac{30}{15}=2$ ✔
$$R=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac{a\sqrt3}{6},\qquad R=2r$$
Oba środki to ten sam punkt — przecięcie wysokości, które dzieli każdą z nich w stosunku $2:1$ od wierzchołka. Stąd $R=\frac23h$ i $r=\frac13h$.
Konsekwencja dla pól: koło opisane ma pole czterokrotnie większe, bo pola zależą od kwadratu promienia.
$$\alpha+\gamma=180^\circ,\qquad \beta+\delta=180^\circ$$
Przeciwległe kąty muszą się dopełniać. Sama poprawna suma wszystkich kątów ($360^\circ$) nie wystarcza — kąty $36^\circ$, $72^\circ$, $108^\circ$, $144^\circ$ sumują się do $360^\circ$, ale $36+108=144\neq180$, więc takiego czworokąta nie da się wpisać w okrąg.
Okrąg zawsze da się opisać na prostokącie i kwadracie; na rombie tylko wtedy, gdy jest kwadratem.
$$a+c=b+d$$
Sumujemy boki przeciwległe. Trapez o podstawach $4$ i $10$ oraz ramionach po $7$ spełnia warunek, bo $4+10=7+7$.
W romb okrąg da się wpisać zawsze — wszystkie boki są równe, więc warunek zachodzi automatycznie.
To najczęstsze źródło pomyłek: warunek wpisania okręgu dotyczy boków, a warunek opisania — kątów.
$$R=\frac{a\sqrt2}{2},\qquad r=\frac{a}{2},\qquad \frac{R}{r}=\sqrt2$$
Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki (średnica = przekątna), wpisany dotyka boków (średnica = bok).
Nie zamieniaj symetralnych z dwusiecznymi. Przy warunku $a+c=b+d$ pilnuj, które boki są przeciwległe. I sprawdzaj sensowność wyniku: $R$ musi być większe od połowy najdłuższego boku.
Kąt środkowy oparty na danym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:
$$\alpha_{\text{środkowy}}=2\alpha_{\text{wpisany}}$$
Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) jest prosty. To narzędzie do rozpoznawania trójkątów prostokątnych wpisanych w okrąg.
Przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$. To warunek konieczny i wystarczający wpisania czworokąta w okrąg.
Styczna ma z okręgiem jeden punkt wspólny i jest prostopadła do promienia w punkcie styczności. Prosta jest styczna, gdy odległość środka od niej równa się promieniowi ($d=r$).
Dwa odcinki styczne z jednego punktu zewnętrznego są równe.
$$e\cdot f=a\cdot c+b\cdot d$$
Dla czworokąta wpisanego w okrąg iloczyn przekątnych równa się sumie iloczynów boków przeciwległych.
Kąt wpisany to połowa środkowego (nie odwrotnie). Prostopadłość stycznej do promienia tworzy trójkąt prostokątny — klucz do zadań ze styczną.
Pochodna $f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie $x_0$. Równanie stycznej:
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$
Pochodna drogi po czasie to prędkość chwilowa, a pochodna prędkości — przyspieszenie:
$$v(t)=s'(t),\qquad a(t)=v'(t)$$
$$(x^n)'=nx^{n-1},\qquad (c)'=0,\qquad (cx)'=c$$
Pochodną wielomianu liczymy wyraz po wyrazie.
$$f'>0 \Rightarrow \text{funkcja rośnie},\qquad f'\lt 0 \Rightarrow \text{maleje}$$
Gdy $f'(x_0)=0$, styczna jest pozioma — to kandydat na ekstremum.
Chwile zatrzymania ciała znajdujemy z warunku $v(t)=0$. Wierzchołek paraboli to punkt, w którym pochodna się zeruje.
Pochodna to nachylenie, nie wartość funkcji. Pochodna stałej wynosi zero — nie przepisujemy wyrazu wolnego do wyniku.
Okrąg to zbiór punktów odległych od środka o promień $r$; koło to okrąg wraz z wnętrzem.
$L=2\pi r$ oraz $P=\pi r^2$.
W układzie współrzędnych: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Pole wycinka o kącie środkowym $\alpha$: $\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2$.
Prosta mająca z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny; jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
Dwa okręgi mają do czterech wspólnych stycznych — zewnętrznych i wewnętrznych.
Zależy od odległości środków $d$ oraz sumy i różnicy promieni.
Przekładnie pasowe, koła zębate, konstrukcje geometryczne.
Okrąg to zbiór punktów płaszczyzny odległych od środka o promień $r$.
$L=2\pi r=\pi d$.
W układzie współrzędnych: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.
$(x-a)^2+(y-b)^2\le r^2$ opisuje koło o środku $(a,b)$ i promieniu $r$.
Równość daje okrąg — brzeg koła.
Sprawdzamy, podstawiając współrzędne do nierówności.
$(0,0)$ należy do $x^2+y^2\le4$, bo $0\le4$.
Doświadczenie wieloetapowe przedstawiamy jako drzewo; na gałęziach zapisujemy prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwa mnożymy.
Prawdopodobieństwa rozłącznych ścieżek do zdarzenia dodajemy.
Suma prawdopodobieństw gałęzi z jednego węzła wynosi $1$.
To punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta.
$r=\frac{P}{p}$, gdzie $P$ to pole, a $p$ połowa obwodu.
Pole i boki liczymy ze współrzędnych wierzchołków.
Trójkąt $3,4,5$: $P=6$, $p=6$, więc $r=1$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.