Przekrojowe powtórzenia materiału przed egzaminem ósmoklasisty i maturą oraz sposoby i strategie rozwiązywania zadań.
19 definicjiKolejność: nawiasy, potęgi i pierwiastki, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie.
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^0=1$$
$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad \sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}$$
Liczbę zapisujemy jako $a\cdot10^n$, gdzie $1\le a\lt 10$. Wykładnik dodatni oznacza liczbę dużą, ujemny — mniejszą od $1$: $0{,}00042=4{,}2\cdot10^{-4}$.
Wzrost o $p\%$ to mnożenie przez $1+\frac{p}{100}$, spadek — przez $1-\frac{p}{100}$. Cenę sprzed obniżki znajdujemy dzieleniem, nigdy doliczaniem tego samego procentu.
Opuszczając nawias po minusie, zmieniamy znak każdego składnika: $3(2x-1)-2(x-4)=6x-3-2x+8=4x+5$.
Równanie rozwiązujemy, grupując niewiadome po jednej stronie, a liczby po drugiej. Wynik zawsze warto sprawdzić przez podstawienie.
$$c^2=a^2+b^2,\qquad S_{\text{kątów } n\text{-kąta}}=(n-2)\cdot180^\circ$$
$$P_{\triangle}=\frac{a\cdot h}{2},\qquad P_{\text{trapezu}}=\frac{(a+b)\cdot h}{2},\qquad P_{\text{koła}}=\pi r^2,\qquad L=2\pi r$$
Trójki pitagorejskie warte zapamiętania: $3$–$4$–$5$, $6$–$8$–$10$, $9$–$12$–$15$, $5$–$12$–$13$, $8$–$15$–$17$.
$$V_{\text{graniastosłupa}}=P_p H,\qquad V_{\text{ostrosłupa}}=\tfrac13 P_p H$$
$$1\ \text{m}^3=1000\ \text{litrów},\qquad 1\ \text{dm}^3=1\ \text{litr}$$
Średnia to suma podzielona przez liczbę elementów. Znając średnią i liczbę elementów, odzyskujemy sumę — to klucz do zadań o brakującej ocenie.
$$P(A)=\frac{\text{liczba zdarzeń sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich zdarzeń}}$$
$$v=\frac{s}{t},\qquad s=v\cdot t,\qquad t=\frac{s}{v}$$
Czas podajemy w godzinach zapisanych ułamkiem: $2$ h $15$ min $=2{,}25$ h.
Czytaj, o co pytano — obwód czy pole, ile zostało czy ile zużyto. Sprawdzaj jednostki w odpowiedzi. W zadaniach otwartych zapisuj obliczenia: punkty przyznaje się także za metodę, nawet gdy wynik końcowy jest błędny.
Pisemnie wykonujemy dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, podpisując liczby zgodnie z pozycjami cyfr.
Mnożymy przez kolejne cyfry drugiego czynnika i sumujemy odpowiednio przesunięte wyniki częściowe.
Dzielimy od najwyższego rzędu, zapisując kolejne cyfry ilorazu oraz reszty.
Dzielenie sprawdzamy mnożeniem: iloraz razy dzielnik plus reszta daje dzielną.
Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i dodajemy (odejmujemy) liczniki: $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$.
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik: $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
Dzielenie to mnożenie przez odwrotność: $\frac{1}{2}:\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\cdot4=2$.
Wynik przedstawiamy w postaci nieskracalnej.
Graniastosłup ma dwie przystające podstawy oraz ściany boczne, które w graniastosłupie prostym są prostokątami.
$$V=P_p\cdot H$$ pole podstawy razy wysokość.
$$P_c=2P_p+P_b$$ gdzie $P_b$ to pole powierzchni bocznej.
Dla sześcianu o krawędzi $a$: $V=a^3$ oraz $P_c=6a^2$.
Pole prostokąta o bokach $a$ i $b$: $a\cdot b$. Pole kwadratu o boku $a$: $a^2$.
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h$$ podstawa razy wysokość podzielone przez dwa.
Pole równoległoboku: $a\cdot h$. Pole rombu: $\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$ (połowa iloczynu przekątnych).
$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$$
Obliczamy podwyżki, obniżki, podatki i odsetki.
Zamieniamy jednostki długości, masy, czasu i pola.
Skala wiąże odległość na mapie z odległością rzeczywistą.
$v=\frac{s}{t}$ w zadaniach o ruchu.
Przeczytaj treść, wypisz dane i szukane, wykonaj rysunek.
Dobierz metodę: równanie, wzór, proporcję.
Prowadź rachunki starannie, pilnuj jednostek.
Oceń, czy wynik ma sens i odpowiedz pełnym zdaniem.
$$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$
$$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\qquad \log_a x^n=n\log_a x$$
$$\text{po zmianie o } p\%:\ a\left(1\pm\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{procent składany: } K_n=K_0\left(1+\tfrac{p}{100}\right)^n$$
Podwyżka i obniżka o ten sam procent nie znoszą się — drugi procent liczony jest od innej kwoty.
$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad p=\frac{-b}{2a}$$
Postać kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$ pokazuje wierzchołek $W=(p,\,q)$ wprost.
$$\text{arytmetyczny: } a_n=a_1+(n-1)r,\qquad S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
$$\text{geometryczny: } a_n=a_1q^{n-1},\qquad S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1} \ (q\neq1)$$
$$c^2=a^2+b^2 \ \text{(Pitagoras)},\qquad P_{\triangle}=\tfrac12 ab\sin\gamma$$
Kąt wpisany jest połową środkowego opartego na tym samym łuku; kąt oparty na średnicy ma $90^\circ$.
$$|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\qquad S=\left(\tfrac{x_A+x_B}{2},\ \tfrac{y_A+y_B}{2}\right)$$
$$k\parallel l \iff a_1=a_2,\qquad k\perp l \iff a_1a_2=-1$$
$$V_{gr}=P_p H,\qquad V_{ostr}=\tfrac13 P_p H,\qquad V_{walca}=\pi r^2H,\qquad V_{kuli}=\tfrac43\pi r^3$$
$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|},\qquad P(A\prime)=1-P(A)$$
Mediana jest odporna na wartości odstające, średnia nie. Przy grupach o różnej liczebności liczymy średnią ważoną, a nie zwykłą.
$3$–$4$–$5$, $5$–$12$–$13$, $8$–$15$–$17$ oraz ich wielokrotności (np. $9$–$12$–$15$).
Na maturze najwięcej punktów przepada nie na trudnych rachunkach, lecz na pominiętych warunkach: dziedzinie w równaniach wymiernych i logarytmicznych, warunku $\Delta\ge0$ przy wzorach Viete oraz odrzuceniu wyników bez sensu fizycznego (ujemny bok, ujemny wiek). Zawsze wracaj na koniec do pytania z treści zadania.
Gdy wybór składa się z niezależnych etapów, liczby możliwości mnożymy:
$$N=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$$
Stosujemy ją, gdy wybieramy jedno i drugie.
Gdy wybieramy jedną z rozłącznych grup możliwości (jedno albo drugie), liczby dodajemy. Np. książka fantasy albo kryminał: $6+4=10$.
Liczba $k$-elementowych ciągów ze zbioru $n$-elementowego (kolejność istotna, elementy mogą się powtarzać):
$$n^k$$
Podstawa to liczba dostępnych elementów, wykładnik — liczba pozycji.
Kody i PIN-y ($10^k$), ciągi binarne ($2^k$), tablice rejestracyjne, liczba funkcji ze zbioru $k$-elementowego w $n$-elementowy ($n^k$), liczba podzbiorów zbioru $n$-elementowego ($2^n$).
W liczbach wielocyfrowych pierwsza cyfra nie może być zerem — trzeba to uwzględnić. Zaczynaj zliczanie od pozycji z najostrzejszym warunkiem.
Mnożymy przy „i", dodajemy przy „albo". W $n^k$ nie zamień podstawy z wykładnikiem.
Uporządkowany wybór $k$ różnych elementów z $n$-elementowego zbioru.
$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)$.
Przewodniczący i zastępca z $6$ osób: $6\cdot5=30$.
W wariacji kolejność ma znaczenie (inaczej niż w kombinacji).
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
$(a\pm b)^2$, $a^2-b^2$, $a^3\pm b^3$.
Suma kątów $180^\circ$; twierdzenia sinusów i cosinusów.
Trójkąt $\frac{1}{2}ab\sin C$; koło $\pi r^2$.
Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty; styczna prostopadła do promienia.
Stosunek pól figur podobnych to $k^2$.
$y=ax+b$; równoległe $a_1=a_2$, prostopadłe $a_1 a_2=-1$.
Punkt od prostej $\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
Iloczyn skalarny $a_1b_1+a_2b_2$; wektory prostopadłe mają iloczyn $0$.
W trójkącie prostokątnym i na okręgu jednostkowym.
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
Sumy i różnicy kątów, kąt podwójny, wzory redukcyjne.
Rozwiązujemy z użyciem okręgu jednostkowego i okresowości.
$V=P_p H$, $P_c=2P_p+P_b$.
$V=\frac{1}{3}P_p H$.
Walec $V=\pi r^2 H$; kula $V=\frac{4}{3}\pi r^3$, $P=4\pi r^2$.
Kąt między prostą a płaszczyzną oraz kąt dwuścienny.
$(x^n)'=nx^{n-1}$; pochodna sumy, iloczynu i złożenia.
$f'(x_0)$ to współczynnik kierunkowy stycznej.
Znak pochodnej wyznacza przedziały wzrostu i spadku.
W ekstremum $f'(x_0)=0$; stosujemy w zadaniach na wartość największą i najmniejszą.
Reguła mnożenia i dodawania; $P_n=n!$, $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$; $P(A')=1-P(A)$.
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
Średnia $\bar{x}$, mediana, dominanta.
$\frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$.
Rozstęp, wariancja i odchylenie standardowe $\sigma$.
Mniejsze $\sigma$ oznacza dane bardziej skupione.
Wypisz dane i szukane, wykonaj rysunek.
Dobierz twierdzenie lub wzór; rozbij problem na etapy.
Prowadź je starannie, kontroluj jednostki i dziedzinę.
Oszacuj wynik i sprawdź, czy ma sens w kontekście zadania.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.