Definicja ciągu liczbowego, ciąg arytmetyczny i geometryczny, monotoniczność ciągu i szereg geometryczny.
24 definicji$f$ ciągła w $a$ gdy: (1) $f(a)$ istnieje, (2) $\lim_{x\to a}f(x)$ istnieje, (3) $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
Rodzaje nieciągłości:
$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$: nieciągłość usuwalna w $x=1$ (granica $=2$, $f(1)$ nie istnieje).
$f(x)=\text{sgn}(x)$: skok w $x=0$ (lewa granica $-1$, prawa $+1$).
$f(x)=\frac{1}{x}$: nieciągłość istotna w $x=0$.
Funkcje: wielomian, trygonometryczne, exp, log — ciągłe na całej dziedzinie. Złożenie funkcji ciągłych — ciągłe.
Definicja $\varepsilon$-$\delta$ (Cauchy): $\lim_{x\to a} f(x) = L$ gdy:
$$\forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0:\; 0\lt |x-a|\lt \delta \Rightarrow |f(x)-L|\lt \varepsilon$$Ciągłość w punkcie $a$: $\lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = f(a)$.
Nieciągłości: usuwalna ($\lim$ istnieje, ale $\ne f(a)$), skokowa (granice jednostronne różne), istotna (brak granicy).
Tw. Weierstrassa: funkcja ciągła na $[a,b]$ osiąga max i min. Tw. Darboux (wartości pośredniej): $f(a)\lt 0\lt f(b)$ → $\exists c\in(a,b): f(c)=0$.
Wielomiany, funkcje trygonometryczne, wykładnicze — ciągłe wszędzie. $\frac{1}{x}$ — nieciągła w $x=0$.
Podstawowe rozwinięcia:
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots$ (wszystkie $x$)
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots$
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots$ ($|x|\lt 1$)
Dla małych $x$: $\sin x \approx x$, $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$, $e^x \approx 1+x$ — aproksymacje liniowe i kwadratowe.
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Wyraz o numerze $n$ oznaczamy $a_n$. Ciąg można zadać wzorem ogólnym (jawnym) albo rekurencyjnym.
Stała różnica $r$ między kolejnymi wyrazami:
$$a_n=a_1+(n-1)r$$
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Własność charakterystyczna: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.
Stały iloraz $q$ kolejnych wyrazów:
$$a_n=a_1q^{n-1}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\qquad(q\ne1)$$
Własność: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
Dla $|q|\lt 1$ suma nieskończenie wielu wyrazów jest skończona:
$$S=\frac{a_1}{1-q}$$
Przykład: $1+\frac12+\frac14+\ldots=\frac{1}{1-\frac12}=2$.
$$K_n=K_0\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
To bezpośrednie zastosowanie ciągu geometrycznego — kapitał rośnie geometrycznie.
We wzorze ogólnym ciągu arytmetycznego jest $(n-1)r$, a nie $nr$ — do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy. Wzór na sumę ciągu geometrycznego nie działa dla $q=1$ (dzielenie przez zero) — ten przypadek rozpatruj osobno. Przy szeregu najpierw sprawdź warunek $|q|\lt 1$.
Zapis $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=g$ oznacza, że gdy argument zbliża się do $x_0$, wartości funkcji zbliżają się do $g$. Sama wartość $f(x_0)$ może przy tym nie istnieć.
Dla funkcji ciągłych wystarczy podstawić:
$$\lim_{x\to2}(3x+1)=7$$
Gdy podstawienie daje symbol nieoznaczony $\frac00$, przekształcamy wyrażenie — najczęściej przez rozkład na czynniki i skrócenie:
$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6$$
Dla ilorazu wielomianów decyduje porównanie stopni:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2-3}=2,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{3x+2}{x^2+1}=0$$
Funkcja jest ciągła w punkcie $x_0$, gdy spełnione są trzy warunki naraz: istnieje $f(x_0)$, istnieje granica w $x_0$, i te dwie wartości są równe.
Pionowa $x=a$ — gdy granica jednostronna w $a$ jest niewłaściwa (typowo tam, gdzie zeruje się mianownik). Pozioma $y=g$ — gdy $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=g$.
Symbol $\frac00$ nie oznacza, że granica nie istnieje — to sygnał, że wyrażenie wymaga przekształcenia. Granice jednostronne mogą się różnić; wtedy granica w punkcie nie istnieje, mimo że obie jednostronne są dobrze określone.
Arytmetyczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$.
Geometryczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$.
$$a_n=a_1+(n-1)r \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1} \qquad\text{(geometryczny)}$$
W obu wzorach występuje $n-1$, a nie $n$ — od pierwszego do $n$-tego wyrazu wykonujemy $n-1$ kroków.
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1} \qquad\text{(geometryczny, } q\neq1)$$
Pierwszy wzór to po prostu liczba wyrazów razy ich średnia — parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim, a każda para daje tę samą sumę.
$$b=\frac{a+c}{2} \ \text{(arytm.)},\qquad b=\sqrt{ac} \ \text{(geom., dodatnie)}$$
To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.
Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.
Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.
Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r\lt 0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.
Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.
$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|\lt 1$$
Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q\lt 1$, ale szereg jest rozbieżny.
Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.
$$K_n=K_0(1+p)^n$$
To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:
$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$
Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.
Ten sam wzór z $q\lt 1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.
Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|\lt 1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
Ciąg zadany rekurencyjnie ma podany pierwszy wyraz i regułę wyznaczania następnego: $a_1=c$, $a_{n+1}=f(a_n)$.
$a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+2$ daje $1,3,5,7,\ldots$
$a_1=a_2=1$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$.
Aby obliczyć daleki wyraz, trzeba wyznaczyć wyrazy pośrednie.
Ciąg jest rosnący, gdy $a_{n+1}>a_n$ dla każdego $n$, i malejący, gdy $a_{n+1}\lt a_n$.
Wyznaczamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ lub ilorazu $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ (dla wyrazów dodatnich).
$a_n=2n-1$ jest rosnący, bo $a_{n+1}-a_n=2>0$.
Gdy $a_{n+1}=a_n$ dla każdego $n$.
Ciąg rozbieżny nie ma skończonej granicy.
Np. $a_n=n$ dąży do $+\infty$.
Np. $a_n=(-1)^n$ przyjmuje na przemian $-1$ i $1$ — brak granicy.
Rozbieżność do $\pm\infty$ to granica niewłaściwa.
Ciąg jest zbieżny do $g$, gdy jego wyrazy dowolnie zbliżają się do $g$ dla dużych $n$: $\lim_{n\to\infty} a_n=g$.
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$, $\lim_{n\to\infty} c=c$.
Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$.
$\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}=2$.
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych; wartości $a_1,a_2,a_3,\ldots$ to wyrazy ciągu.
Wzorem ogólnym $a_n$, rekurencyjnie lub opisem.
$a_n$ pozwala obliczyć dowolny wyraz, np. $a_n=2n$ daje $a_5=10$.
To zbiór odizolowanych punktów $(n,a_n)$.
Każdy wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$: $a_{n+1}=a_n+r$.
$a_n=a_1+(n-1)r$.
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
Każdy wyraz (poza skrajnymi) to średnia sąsiadów: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.
Każdy wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$: $a_{n+1}=a_n\cdot q$.
$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.
$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\neq1$.
Kwadrat wyrazu to iloczyn sąsiadów: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
W ilorazach wielomianów dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$.
$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{n^2+n}=3$.
Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych to odpowiednie działania na granicach.
Dla $|q|\lt 1$ zachodzi $\lim_{n\to\infty} q^n=0$.
Ciąg, którego wszystkie wyrazy są liczbami całkowitymi.
$a_n=2n-1$ (nieparzyste), $a_n=(-1)^n$ (naprzemienny).
Badamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$.
Modelowanie sytuacji o wartościach całkowitych (liczba obiektów).
Badamy znak $a_{n+1}-a_n$: dodatni — rosnący, ujemny — malejący.
Dla wyrazów dodatnich porównujemy $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ z $1$.
Ciąg jest ograniczony, gdy istnieją stałe $m\le a_n\le M$.
Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Podaje $a_n$ wprost, np. $a_n=2n+1$.
Pierwszy wyraz i reguła przejścia, np. $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+3$.
Np. „kolejne liczby pierwsze".
Przedstawienie pierwszych wyrazów.
$a_n=a_1+(n-1)r$, $S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
$a_n=a_1 q^{n-1}$, $S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\neq1$.
Wyraz środkowy to średnia (arytmetyczna lub geometryczna) sąsiadów.
Odsetki, spłaty, wzrost i rozpad.
Arytmetyczne, geometryczne, monotoniczne, ograniczone, rekurencyjne.
$a_n$ i $S_n$ dla ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
Ciąg zbieżny ma granicę skończoną; rozbieżny — nie.
Procent składany, spłaty rat, modele wzrostu.
Szereg geometryczny to suma wyrazów ciągu geometrycznego.
Dla $|q|\lt 1$ suma nieskończona wynosi $S=\frac{a_1}{1-q}$.
$1+\frac12+\frac14+\ldots=\frac{1}{1-\frac12}=2$.
Zamiana ułamka okresowego na zwykły, modele wygaszania.
Funkcja jest ciągła, gdy jej wykres można narysować bez odrywania ołówka; granica w punkcie równa się wartości.
Funkcja ciągła na przedziale przyjmuje wszystkie wartości pośrednie.
Jeśli na krańcach przedziału wartości mają różne znaki, wewnątrz istnieje miejsce zerowe.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.