Pojęcia dotyczące liczb: naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste, system dziesiątkowy, zaokrąglanie, kolejność działań i liczby rzymskie — wyjaśnione krok po kroku.
19 definicjiPrzykład: $2+3\cdot4^2=2+3\cdot16=2+48=50$.
$$a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r\lt b$$
gdzie $a$ — dzielna, $b$ — dzielnik, $q$ — iloraz, $r$ — reszta. Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika.
Przykład: $47:5=9$ r. $2$, bo $47=5\cdot9+2$.
O zaokrągleniu decyduje pierwsza cyfra odrzucana. Jeśli jest mniejsza niż $5$ — zaokrąglamy w dół, jeśli $5$ lub więcej — w górę.
Przykład: $3\,748$ do setek → cyfra dziesiątek to $4$, więc $3\,700$.
$I=1$, $V=5$, $X=10$, $L=50$, $C=100$, $D=500$, $M=1000$. Znak mniejszy przed większym oznacza odejmowanie: $IV=4$, $IX=9$, $XL=40$.
Mnożenie i dzielenie mają równy priorytet — liczymy je po kolei od lewej: $24:4\cdot2=6\cdot2=12$, a nie $24:8=3$. Podobnie dodawanie i odejmowanie.
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne oraz zero:
$$\ldots,-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots$$
Na osi liczbowej im dalej w prawo, tym liczba większa. Każda liczba ujemna jest mniejsza od zera.
Dodawanie liczby dodatniej przesuwa nas w prawo, ujemnej — w lewo:
$$-8+12=4,\qquad -5-3=-8$$
Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej:
$$7-(-3)=7+3=10$$
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Przykłady: $-4\cdot(-6)=24$; $-20:4=-5$.
Potęga o wykładniku parzystym daje wynik dodatni, o nieparzystym — ujemny:
$$(-2)^2=4,\qquad (-2)^3=-8$$
$|a|$ to odległość liczby od zera, zawsze nieujemna: $|-7|=7$, $|7|=7$.
Rozróżniaj $-2^2$ i $(-2)^2$. W pierwszym przypadku potęgujemy tylko dwójkę, a minus zostaje: $-2^2=-4$. W drugim potęgujemy całą liczbę ujemną: $(-2)^2=4$.
Mnożymy od prawej strony, cyfra po cyfrze, przenosząc nadmiar do następnej kolumny.
Przykład: $234\cdot6$
$$234\cdot6=1404$$
Dzielimy od lewej strony, zabierając kolejne cyfry dzielnej.
Przykład: $852:4$
$$852:4=213$$
Wynik zawsze warto sprawdzić mnożeniem: $213\cdot4=852$.
Siedem podstawowych znaków:
$$I=1,\quad V=5,\quad X=10,\quad L=50,\quad C=100,\quad D=500,\quad M=1000$$
Przykład: $MMXXVI=1000+1000+10+10+5+1=2026$.
Przy mnożeniu pisemnym najczęstszym błędem jest zgubienie przeniesienia — warto zapisywać je drobną cyfrą nad kolumną. Przy zapisie rzymskim uważaj na kolejność: $XL$ to $40$, ale $LX$ to już $60$.
Przykład: $2+3\cdot4=2+12=14$. Liczenie po kolei od lewej dałoby błędne $20$ — to najczęstsza pomyłka w tym dziale.
Mnożymy przez każdą cyfrę drugiego czynnika osobno, przesuwając kolejne wyniki o jedno miejsce w lewo, a na końcu dodajemy.
Przykład: $128\cdot25$. Liczymy $128\cdot5=640$ oraz $128\cdot20=2560$, w sumie $3200$.
Sprytniej: $25=100:4$, więc $128\cdot25=12\,800:4=3200$.
Dzielimy od najstarszej cyfry, zapisując reszty. Przykład: $748:4$ — kolejno $7:4=1$ r. $3$, potem $34:4=8$ r. $2$, wreszcie $28:4=7$. Wynik: $187$.
Sprawdzenie zawsze przez mnożenie: $187\cdot4=748$ ✔
$$a=b\cdot q+r,\qquad 0\le r\lt b$$
Litera $q$ to iloraz, $r$ to reszta. Reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika — gdyby była równa lub większa, można by wykonać jeszcze jedno pełne dzielenie.
Przykład: $47:5=9$ r. $2$, bo $47=5\cdot9+2$.
Znając dzielnik, iloraz i resztę, odzyskujemy liczbę ze wzoru wyżej. Dla dzielnika $9$, ilorazu $12$ i reszty $5$: $9\cdot12+5=113$.
Uwaga na interpretację. Przy $180$ uczniach i autokarach na $52$ miejsca $180:52=3$ r. $24$ — ale trzeba zamówić cztery autokary, bo dwudziestu czterech uczniów nie zostawimy. W innych zadaniach (np. „ile pełnych pudełek”) resztę się odrzuca. Zawsze decyduje treść.
Przed zapisaniem wyniku warto go oszacować: $27\cdot24$ to mniej więcej $27\cdot25=675$, więc wynik $648$ jest wiarygodny, a np. $6480$ od razu wyglądałby podejrzanie.
Trzy klasyczne błędy: liczenie od lewej bez uwzględnienia pierwszeństwa mnożenia, zgubienie przeniesienia przy mnożeniu pisemnym oraz podanie reszty większej od dzielnika.
To liczby naturalne, ich liczby przeciwne i zero:
$$\dots,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots$$
Na osi liczbowej rozmieszczone są w równych odstępach — ujemne po lewej od zera, dodatnie po prawej.
Zasada jest prosta: większa jest ta liczba, która leży bardziej na prawo.
$$-7\lt -3\lt 0\lt 2\lt 5$$
Wśród liczb ujemnych działa to odwrotnie niż intuicja podpowiada: $-7$ jest mniejsze od $-3$, choć „siódemka jest większa od trójki”. Decyduje położenie na osi, a nie sama cyfra.
To odległość liczby od zera — zawsze nieujemna:
$$|{-6}|=6,\qquad |6|=6,\qquad |0|=0$$
Dwie liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną, bo leżą w tej samej odległości od zera, tylko po przeciwnych stronach.
Liczbą przeciwną do $a$ jest $-a$. Ich suma zawsze wynosi zero:
$$a+(-a)=0$$
Nie myl z liczbą odwrotną — odwrotnością $5$ jest $\frac15$, a liczbą przeciwną $-5$.
Dodawanie liczby dodatniej to ruch w prawo, odejmowanie — w lewo:
$$-3+5=2,\qquad -3-5=-8$$
Gdy znaki są różne, odejmujemy wartości bezwzględne, a wynik dostaje znak liczby o większym module: $-7+12=5$, bo $12>7$ i dwunastka jest dodatnia.
$$a-(-b)=a+b$$
Dwa minusy dają plus. Przykład: $3-(-5)=8$ — to właśnie odległość między $3$ a $-5$ na osi liczbowej.
$$(+)\cdot(+)=+,\qquad (-)\cdot(-)=+,\qquad (+)\cdot(-)=-$$
Jednakowe znaki dają plus, różne — minus. Ta sama reguła obowiązuje przy dzieleniu.
Liczb całkowitych ściśle między $a$ i $b$ jest $b-a-1$. Między $-4$ a $3$ mamy $3-(-4)-1=6$ liczb: $-3,-2,-1,0,1,2$. Zera nie wolno pominąć.
Temperatury poniżej zera, poziomy w budynku, stan konta, wysokość względem poziomu morza. Dług $150$ zł zapisujemy jako $-150$ — i wtedy „większy dług” to mniejsza liczba.
Trzy typowe błędy: uznanie $-5>-2$, pomylenie liczby przeciwnej z odwrotną oraz pominięcie zera przy zliczaniu liczb w przedziale.
Liczby zapisujemy dziesięcioma cyframi: $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Wartość cyfry zależy od miejsca (pozycji), na którym stoi.
Kolejne pozycje od prawej to jedności, dziesiątki, setki, tysiące. W liczbie $3572$ mamy $3$ tysiące, $5$ setek, $7$ dziesiątek i $2$ jedności.
$$3572=3\cdot1000+5\cdot100+7\cdot10+2$$
Zero „trzyma" puste miejsce i zmienia wartość: $50$ to inna liczba niż $5$.
Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym punktem $0$, obraną jednostką i zwrotem. Każdej liczbie odpowiada dokładnie jeden punkt osi.
Odcinek między $0$ a $1$ to jednostka. Kolejne liczby $2,3,4,\ldots$ odkładamy co jednostkę, idąc w prawo.
Im dalej w prawo, tym większa liczba. Punkt liczby $5$ leży na prawo od punktu liczby $3$, dlatego $5>3$.
Oś liczbowa pomaga porównywać liczby oraz zaznaczać i odczytywać wyniki.
Używamy znaków: $\lt $ (mniejsze), $>$ (większe) oraz $=$ (równe). Na przykład $7>4$ oraz $3\lt 9$.
Większa jest liczba, która ma więcej cyfr. Przy tej samej liczbie cyfr porównujemy od lewej pierwszą różniącą się cyfrę.
$$253\lt 261$$ bo setki są równe ($2=2$), a wśród dziesiątek $5\lt 6$.
Liczba większa leży dalej w prawo na osi liczbowej.
Zapisujemy liczby jedną pod drugą: jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami. Działanie wykonujemy od prawej strony.
Gdy suma cyfr w kolumnie jest równa co najmniej $10$, przenosimy jedną dziesiątkę do następnej kolumny w lewo.
Przy odejmowaniu, gdy cyfra u góry jest za mała, pożyczamy dziesiątkę z sąsiedniej kolumny.
Odejmowanie sprawdzamy dodawaniem: jeśli $a-b=c$, to $c+b=a$.
Iloczyn i iloraz liczb o tych samych znakach są dodatnie, a o różnych znakach — ujemne.
$$(-3)\cdot(-4)=12,\qquad (-3)\cdot4=-12$$
$$(-12):(-3)=4,\qquad 12:(-3)=-4$$
Iloczyn z zerem jest zerem, a przez zero nie dzielimy.
Szacowanie daje przybliżony wynik, którym sprawdzamy sensowność dokładnych obliczeń.
Zaokrąglamy liczby do wygodnych wartości, np. $198+403\approx200+400=600$.
$$49\cdot21\approx50\cdot20=1000$$
Gdy dokładny wynik mocno różni się od oszacowania, warto sprawdzić rachunki.
To liczby $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$ — dodatnie, ujemne oraz zero.
Dodanie liczby ujemnej to odejmowanie: $5+(-3)=2$. Odjęcie liczby ujemnej to dodawanie: $5-(-3)=8$.
Wynik o zgodnych znakach jest dodatni, o różnych — ujemny: $(-2)\cdot(-3)=6$, a $(-2)\cdot3=-6$.
$|-4|=4$ — to odległość liczby od zera na osi liczbowej.
Najpierw nawiasy, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
$$10-2\cdot3+4=10-6+4=8$$
$2+3^2=2+9=11$ — potęgę liczymy przed dodawaniem.
Nawiasy zmieniają kolejność: $(10-2)\cdot3=24$.
To prosta z punktem $0$, jednostką i zwrotem. Liczby dodatnie leżą na prawo, a ujemne na lewo od zera.
Liczba położona bardziej na prawo jest większa: $-2\lt 1$ oraz $-5\lt -3$.
$|a|$ to odległość liczby $a$ od zera, np. $|-4|=4$.
Liczby przeciwne, np. $3$ i $-3$, leżą symetrycznie względem zera.
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki. Każdą liczbę naturalną większą od $1$ można jednoznacznie rozłożyć na czynniki pierwsze.
Wyznaczamy je z rozkładu na czynniki. Zachodzi $\operatorname{NWD}(a,b)\cdot\operatorname{NWW}(a,b)=a\cdot b$.
Przez $2$, $5$, $10$ — z ostatniej cyfry; przez $3$ i $9$ — z sumy cyfr.
Skracanie ułamków, wspólny mianownik, zadania o okresowości.
$L=2\pi r=\pi d$, gdzie $r$ to promień, a $d$ średnica.
$\pi=\frac{L}{d}$ — stały stosunek obwodu do średnicy; liczba niewymierna, $\pi\approx3{,}14159$.
Dla kąta środkowego $\alpha$ (w stopniach): $\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r$.
Obwody kół, długości łuków oraz miara łukowa kąta.
$\mathbb{R}$ obejmuje liczby wymierne i niewymierne — wypełniają całą oś liczbową.
Zbiory liczb zapisujemy jako przedziały, np. $\langle 2,5)$ oznacza $2\le x\lt 5$.
$|x|$ to odległość od zera; nierówność $|x|\lt a$ oznacza $-a\lt x\lt a$.
Zaokrąglenie liczby wiąże się z błędem bezwzględnym i względnym.
Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone lub nieskończone okresowe.
Mają rozwinięcie nieskończone nieokresowe, np. $\sqrt{2}$, $\pi$.
Ułamek okresowy zamieniamy na zwykły, korzystając z sumy szeregu geometrycznego.
$0{,}\overline{3}=\frac{1}{3}$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.