Proporcjonalność prosta i odwrotna, hiperbola, funkcja homograficzna, asymptoty i dziedzina funkcji wymiernej.
22 definicjiTo równość dwóch ilorazów:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$
Podstawowa własność — iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi środkowych:
$$a\cdot d=b\cdot c$$
Przykład: z $\frac{x}{6}=\frac{10}{4}$ otrzymujemy $4x=60$, więc $x=15$.
$$y=ax,\qquad \frac{y}{x}=a\ (\text{stałe})$$
Obie wielkości rosną w tym samym tempie. Dwa razy więcej towaru to dwa razy większa zapłata.
$$y=\frac{a}{x},\qquad x\cdot y=a\ (\text{stałe})$$
Gdy jedna wielkość rośnie, druga maleje. Przykład: dwa razy więcej robotników to dwa razy krótszy czas pracy.
Aby podzielić $600$ zł w stosunku $2:3$: sumujemy części ($2+3=5$), wyznaczamy jedną część ($600:5=120$) i mnożymy ($2\cdot120=240$ oraz $3\cdot120=360$).
Skala $1:50\,000$ oznacza, że $1$ cm na mapie to $50\,000$ cm w terenie, czyli $500$ m. Odcinek $4$ cm odpowiada więc $2$ km.
Przed użyciem proporcji ustal typ zależności. Test: podwój jedną wielkość — jeśli druga też się podwaja, to proporcjonalność prosta; jeśli maleje o połowę — odwrotna. Zależność z opłatą stałą (np. $y=4x+10$) nie jest proporcjonalnością.
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff a\cdot d=b\cdot c$$
Mnożenie na krzyż to podstawowe narzędzie — zamienia proporcję w zwykłe równanie.
Wzrost jednej wielkości powoduje wzrost drugiej w tym samym stosunku. Iloraz jest stały:
$$\frac{y}{x}=k \quad\Rightarrow\quad y=kx$$
Przykłady: liczba biletów i kwota, droga i zużycie paliwa, ilość składników i liczba porcji.
Wzrost jednej wielkości powoduje spadek drugiej. Stały jest iloczyn:
$$x\cdot y=k$$
Przykłady: liczba robotników i czas pracy, prędkość i czas przejazdu.
Jak rozpoznać: zadaj sobie pytanie „czy więcej znaczy więcej, czy mniej?”. Czterech malarzy pracuje $9$ dni, więc sześciu — krócej. Stała jest praca: $4\cdot9=36$ dniówek, stąd $36:6=6$ dni.
Schemat jest zawsze ten sam:
Przykład: $120$ zł w stosunku $2:3$. Części jest $5$, jedna warta $24$ zł, więc podział to $48$ zł i $72$ zł.
Kontrola: suma otrzymanych wartości musi dać całość.
Zapis $1:n$ oznacza, że $1$ jednostka na mapie odpowiada $n$ jednostkom w rzeczywistości.
$$\text{odległość rzeczywista}=\text{odległość na mapie}\times n$$
Warto zapamiętać: przy skali $1:100\,000$ każdy centymetr mapy to dokładnie $1$ km.
Obie odległości sprowadzamy do tych samych jednostek i tworzymy stosunek. Dla $8$ cm na mapie i $4$ km w terenie: $4$ km $=400\,000$ cm, więc skala to $\frac{8}{400\,000}=1:50\,000$.
Długości zmieniają się jak skala, ale pola jak jej kwadrat. W skali $1:100$ pole rzeczywiste jest $10\,000$ razy większe niż na planie — nie $100$ razy.
Najczęstszy błąd to podanie wartości jednej części zamiast szukanej części podziału. Drugi — zastosowanie proporcji prostej tam, gdzie działa odwrotna; wtedy wynik wychodzi sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem (więcej pracowników, a dłużej), co warto wychwycić.
To liczby, które można zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych ($q\neq0$) — dodatnie, ujemne oraz zero.
Iloczyn i iloraz o zgodnych znakach są dodatnie, o różnych — ujemne: $\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-4)=2$.
Sprowadzamy do wspólnego mianownika i uwzględniamy znaki: $-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$.
$\left|-\frac{3}{4}\right|=\frac{3}{4}$.
Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako ułamek $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych, gdzie $q\neq0$.
$\frac{1}{2}$, $-3$, $0{,}25$ oraz $\frac{7}{3}$ — wszystkie są wymierne.
Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone lub nieskończone okresowe.
Działania wykonujemy jak na ułamkach, pamiętając o regule znaków.
Wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały: $y=ax$.
$a$ to współczynnik proporcjonalności.
Prosta przechodząca przez początek układu.
Droga przy stałej prędkości jest wprost proporcjonalna do czasu.
$$f(x)=\frac{a}{x},\qquad a\ne0,\ x\ne0$$
Dla $a>0$ gałęzie leżą w I i III ćwiartce, dla $a\lt 0$ — w II i IV. Osie układu są asymptotami.
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\ne0,\ ad-bc\ne0$$
$$\text{asymptota pionowa: } x=-\frac{d}{c},\qquad \text{pozioma: } y=\frac{a}{c}$$
Warunek $ad-bc\ne0$ gwarantuje, że funkcja nie redukuje się do stałej.
Wyznaczamy ją zawsze na początku: mianownik musi być różny od zera. Dla $f(x)=\frac{x+2}{x^2-9}$ mamy $x\ne\pm3$.
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=0 \iff P(x)=0 \ \land\ Q(x)\ne0$$
Ułamek jest zerem, gdy licznik się zeruje, a mianownik nie.
$$\frac{P(x)}{Q(x)}>0 \iff P(x)\cdot Q(x)>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc nierówność wymierną sprowadzamy do iloczynowej i rozwiązujemy metodą siatki znaków.
Nigdy nie mnóż nierówności przez mianownik — nie znasz jego znaku, więc nie wiesz, czy odwrócić kierunek. Zamiast tego przenieś wszystko na jedną stronę i sprowadź do wspólnego mianownika. Na końcu odrzuć rozwiązania spoza dziedziny.
To równanie, w którym niewiadoma występuje w mianowniku. Przez to pojawia się ograniczenie dziedziny, którego nie wolno pominąć.
Krok pierwszy i czwarty są równie ważne jak sam rachunek.
$$\frac{W(x)}{M(x)}=0 \iff W(x)=0 \ \text{ oraz } \ M(x)\neq0$$
O zerowaniu decyduje wyłącznie licznik — mianownik odpowiada tylko za dziedzinę.
Równanie $\frac{x+2}{x-1}=2$. Dziedzina: $x\neq1$.
$$x+2=2(x-1) \quad\Rightarrow\quad x+2=2x-2 \quad\Rightarrow\quad x=4$$
Wynik $4$ należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem.
Równanie $\frac{x+3}{x-2}=1$ prowadzi do $x+3=x-2$, czyli $3=-2$ — sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązań.
Wykresem $f(x)=\frac{a}{x}$ jest hiperbola z asymptotami $x=0$ i $y=0$. Postać $f(x)=\frac{a}{x-p}+q$ przesuwa ją o wektor $[p,\,q]$, a asymptoty stają się $x=p$ i $y=q$.
Mnożenie równania przez wyrażenie z niewiadomą może wprowadzić rozwiązania obce — dlatego końcowe sprawdzenie dziedziny jest obowiązkowe. Po skróceniu wyrażenia założenia nadal obowiązują: $\frac{x^2-4}{x+2}=x-2$, ale wyłącznie dla $x\neq-2$.
Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów. Zanim cokolwiek policzymy, wykluczamy miejsca zerowe mianownika.
Dla $\frac{x}{x^2-16}$ mamy $x\neq4$ i $x\neq-4$. Pominięcie wartości ujemnej to najczęstszy błąd.
Skracać wolno wyłącznie wspólny czynnik licznika i mianownika, nigdy składnik sumy.
$$\frac{x(x+2)}{x}=x+2 \ ✔ \qquad \frac{x+3}{x+5}\neq\frac{3}{5} \ ✘$$
Test liczbowy rozstrzyga wątpliwości: dla $x=1$ mamy $\frac{4}{6}=\frac23$, a nie $\frac35$.
$$\frac{x^2-4}{x+2}=x-2 \quad\text{ale tylko dla } x\neq-2$$
Skrócenie nie „naprawia” dziedziny — wyrażenie po lewej stronie dla $x=-2$ nie istnieje, choć prawa strona dałaby $-4$.
$$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\qquad \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Dzielenie to mnożenie przez odwrotność. Przy dzieleniu dochodzi dodatkowy warunek: dzielnik też nie może być zerem.
Sprowadzamy do wspólnego mianownika. Dla $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$ wspólnym mianownikiem jest $x(x+1)$:
$$\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x^2+x}$$
Przy odejmowaniu uwaga na minus przed nawiasem: $\frac{3x-(x-2)}{\dots}=\frac{2x+2}{\dots}$, a nie $3x-x-2$.
Po wyznaczeniu dziedziny mnożymy przez mianownik (wolno, bo w dziedzinie jest niezerowy) i rozwiązujemy. Na końcu obowiązkowo sprawdzamy, czy wynik należy do dziedziny — inaczej ryzykujemy rozwiązanie obce.
Gdy jeden malarz kończy w $4$ h, a drugi w $6$ h, ich wydajności to $\frac14$ i $\frac16$ pokoju na godzinę. Razem: $\frac14+\frac16=\frac{5}{12}$, więc czas to odwrotność, czyli $\frac{12}{5}=2{,}4$ h.
Nigdy nie uśredniaj czasów — średnia z $4$ i $6$ dałaby $5$ h, czyli dłużej niż praca szybszego malarza samego. To oczywisty nonsens.
Trzy pułapki: skracanie składników zamiast czynników, pominięcie ujemnego pierwiastka w dziedzinie oraz zapomnienie o sprawdzeniu wyniku równania.
$$f(x)=\frac{a}{x},\qquad a\neq0$$
Wykresem jest hiperbola — dwie gałęzie. Dla $a>0$ leżą w I i III ćwiartce, dla $a\lt 0$ w II i IV.
Podstawowa hiperbola $\frac ax$ ma asymptotę pionową $x=0$ i poziomą $y=0$. To proste, do których wykres się zbliża, ale ich nie dotyka.
Dziedzina i zbiór wartości to $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Funkcja jest nieparzysta (wykres symetryczny względem początku układu) i malejąca w każdym przedziale osobno (dla $a>0$).
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad c\neq0$$
Dziedzinę wyznacza warunek $cx+d\neq0$. To przesunięta i przeskalowana hiperbola.
$$f(x)=\frac{1}{x-p}+q$$
To hiperbola $\frac1x$ przesunięta o wektor $[p,\ q]$. Asymptoty przesuwają się razem: pionowa $x=p$, pozioma $y=q$.
W liczniku „odtwarzamy” mianownik i dzielimy: $\frac{2x+1}{x+1}=\frac{2(x+1)-1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$. Stąd od razu widać asymptoty.
Gdy iloczyn dwóch wielkości jest stały ($xy=\text{const}$), zależność jednej od drugiej to proporcjonalność odwrotna — np. bok prostokąta o ustalonym polu.
Zawsze wyklucz z dziedziny miejsce zerowania mianownika. Monotoniczność rozpatruj w każdym przedziale osobno — między gałęziami jest asymptota.
W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być zerem. Dziedzinę wyznaczamy zawsze przed rozwiązaniem i na końcu sprawdzamy, czy wynik do niej należy.
$$\frac{L(x)}{M(x)}=0 \iff L(x)=0 \ \text{i} \ M(x)\neq0$$
O zerowaniu decyduje licznik; mianownik musi być tylko różny od zera.
Mnożymy obie strony przez mianownik (lub przez wspólny mianownik), rozwiązujemy i odrzucamy pierwiastki spoza dziedziny. Alternatywnie mnożymy „na krzyż”.
Nie wolno mnożyć nierówności przez mianownik o zmiennym znaku — nie wiadomo, czy odwrócić znak. Zamiast tego:
$$\frac{L}{M}>0 \iff L\cdot M>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc badamy znak iloczynu w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe licznika i mianownika.
Przy nierówności nieostrej pierwiastek licznika domykamy (ułamek równy zeru jest dozwolony), ale pierwiastek mianownika zawsze wykluczamy — to punkt spoza dziedziny.
Dodajemy wydajności (odwrotności czasów). Gdy jedna ekipa robi coś w $6$ dni, druga w $12$, to $\frac x6+\frac x{12}=1$ daje $x=4$ dni wspólnej pracy.
Najczęstszy błąd to pominięcie dziedziny i przyjęcie pierwiastka „obcego”, który zeruje mianownik.
W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być zerem. Dziedzinę wyznaczamy zawsze na początku i pilnujemy jej przez całe zadanie.
Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki, a potem skracamy wspólne. Przykład: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ (dla $x\neq2$).
Dziedzina zostaje z pierwotnego wyrażenia — punkt wykluczony nie znika po skróceniu.
Mnożymy licznik przez licznik, mianownik przez mianownik (najlepiej skracając przed mnożeniem). Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność:
$$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$$
Sprowadzamy do wspólnego mianownika, potem dodajemy lub odejmujemy liczniki. Przy odejmowaniu pamiętaj o nawiasie: $\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$, a nie $\frac{a-b}{m}$ z pominiętym znakiem przy $b$.
Dodajemy wydajności (odwrotności czasów). Gdy jedna ekipa robi coś w $6$ dni, druga w $12$, to $\frac x6+\frac x{12}=1$ daje $4$ dni.
Najczęstszy błąd to pominięcie nawiasu przy odejmowaniu licznika oraz zapomnienie o dziedzinie po skróceniu.
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$. Liczby wymierne to ułamki $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych, gdzie $q\neq0$.
Liczby wymierne mają rozwinięcie skończone albo nieskończone okresowe.
W zbiorze $\mathbb{Q}$ wykonalne są cztery działania (poza dzieleniem przez $0$).
Każdej liczbie wymiernej odpowiada punkt osi, lecz nie każdemu punktowi — liczba wymierna.
Liczby niewymiernej nie da się zapisać jako $\frac{p}{q}$; jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.
$\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$. Niewymierność $\sqrt{2}$ dowodzimy nie wprost.
Suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna, ale suma dwóch niewymiernych bywa wymierna, np. $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$.
Wymierne i niewymierne razem tworzą zbiór $\mathbb{R}$.
$y=\frac{a}{x}$ to hiperbola o asymptotach $x=0$ i $y=0$.
$y=\frac{a}{x-p}+q$ ma asymptoty $x=p$ i $y=q$.
Wykluczamy argument zerujący mianownik.
Znak $a$ decyduje o położeniu gałęzi hiperboli.
Wykluczamy argumenty zerujące mianownik.
Rozwiązujemy, mnożąc przez mianownik i sprawdzając dziedzinę.
Pionowe w miejscach zerowania mianownika, pozioma zależna od stopni.
Po skróceniu punkt wykluczony pozostaje poza dziedziną.
$y=\frac{a}{x}$; iloczyn $x\cdot y=a$ jest stały.
Hiperbola o asymptotach $x=0$ i $y=0$.
Gdy $x$ rośnie, $y$ maleje.
Stała droga: prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.
Ułamki algebraiczne dodajemy po sprowadzeniu do wspólnego mianownika.
Wykluczamy wartości zerujące mianowniki.
$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{2x+1}{x(x+1)}$ dla $x\neq0,-1$.
Wynik upraszczamy, o ile to możliwe.
Licznik i mianownik dzielimy przez najwyższą potęgę $n$.
Dla równych stopni granica to iloraz współczynników wiodących; przy niższym stopniu licznika granica wynosi $0$.
$\lim\frac{3n^2+1}{2n^2-n}=\frac{3}{2}$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.