Definicje: Funkcja kwadratowa

Trzy postacie funkcji kwadratowej

Ogólna: $f(x)=ax^2+bx+c$ — widać $c$, czyli punkt przecięcia z osią $OY$.

Kanoniczna: $f(x)=a(x-p)^2+q$ — widać wierzchołek $W=(p,q)$.

Iloczynowa: $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ — widać miejsca zerowe (istnieje przy $\Delta\ge0$).

Wyróżnik i pierwiastki

$$\Delta=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$$

• $\Delta>0$ — dwa różne pierwiastki
• $\Delta=0$ — jeden pierwiastek podwójny $x_0=\frac{-b}{2a}$
• $\Delta\lt 0$ — brak pierwiastków rzeczywistych

Wierzchołek paraboli

$$p=\frac{-b}{2a},\qquad q=\frac{-\Delta}{4a}$$

W praktyce bezpieczniej policzyć $p$, a potem po prostu $q=f(p)$ — mniej okazji do pomyłki ze znakiem.

Wzory Viète’a

$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania — np. znaki: oba dodatnie gdy suma i iloczyn są dodatnie, różnych znaków gdy iloczyn jest ujemny. Przydatna tożsamość: $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$.

Nierówności kwadratowe

Wyznaczamy miejsca zerowe, szkicujemy parabolę (ramiona wg znaku $a$) i odczytujemy przedziały. Dla $a>0$: nierówność $>0$ daje dwa przedziały zewnętrzne, $\lt 0$ — jeden wewnętrzny.

Na co uważać

Równania niezupełne rozwiązuj bez delty: $x^2-9=0\Rightarrow x=\pm3$; $x^2-5x=0\Rightarrow x(x-5)=0$. Nigdy nie dziel przez $x$ — stracisz rozwiązanie $x=0$. W zadaniach z parametrem najpierw sprawdź warunek na $\Delta$.

Najprostsza postać

$$f(x)=ax^2,\qquad a\ne0$$

Wykresem jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych. Dla $a>0$ ramiona skierowane są w górę, dla $a\lt 0$ — w dół. Im większe $|a|$, tym parabola węższa.

Przesunięcia wykresu

$$y=ax^2+q\ :\ \text{przesunięcie o } q \text{ wzdłuż } OY$$

$$y=a(x-p)^2\ :\ \text{przesunięcie o } p \text{ wzdłuż } OX$$

Łącznie o wektor $[p,q]$:

$$y=a(x-p)^2+q$$

Postać kanoniczna

Z zapisu $f(x)=a(x-p)^2+q$ odczytujemy wierzchołek $W=(p,q)$ oraz oś symetrii $x=p$. Dla $a>0$ wartość $q$ jest najmniejszą wartością funkcji, dla $a\lt 0$ — największą.

Postać ogólna

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

Współczynnik $c$ to rzędna punktu przecięcia z osią $OY$. Przejście z kanonicznej do ogólnej polega na rozwinięciu kwadratu: $(x-1)^2-4=x^2-2x-3$.

Miejsca zerowe

Zależą od położenia wierzchołka i kierunku ramion. Jeśli $a>0$ i $q>0$, parabola leży w całości nad osią $OX$ — miejsc zerowych nie ma (np. $f(x)=x^2+3$).

Na co uważać

Znak w nawiasie jest mylący: $(x-3)^2$ przesuwa wykres w prawo o $3$, a $(x+2)^2$ w lewo o $2$. Przy osi $OY$ działa intuicyjnie: $+q$ to w górę.

Na czym polegają

W równaniu lub nierówności występuje dodatkowa litera (parametr, zwykle $m$). Pytamy, dla jakich jej wartości spełniony jest zadany warunek. Kluczem jest zwykle delta.

Warunki na liczbę pierwiastków

$$\Delta>0 \Rightarrow \text{dwa różne pierwiastki}$$

$$\Delta=0 \Rightarrow \text{jeden pierwiastek podwójny}$$

$$\Delta\lt 0 \Rightarrow \text{brak pierwiastków rzeczywistych}$$

Przykład: $x^2+mx+4=0$ ma dwa pierwiastki, gdy $m^2-16>0$, czyli $m\lt -4$ lub $m>4$.

Warunek na funkcję kwadratową

Zanim policzysz deltę, sprawdź, czy funkcja w ogóle jest kwadratowa — współczynnik przy $x^2$ musi być różny od zera. Dla $f(x)=(m-1)x^2+3x+1$ potrzeba $m\ne1$.

Znaki pierwiastków (wzory Viète’a)

$$x_1+x_2=\frac{-b}{a},\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}$$

• oba dodatnie: $\Delta\ge0$, suma $>0$, iloczyn $>0$
• oba ujemne: $\Delta\ge0$, suma $\lt 0$, iloczyn $>0$
• różnych znaków: iloczyn $\lt 0$ (delta wtedy automatycznie dodatnia)

Nierówność spełniona dla każdego x

Wyrażenie $ax^2+bx+c>0$ jest prawdziwe dla wszystkich $x$ dokładnie wtedy, gdy $a>0$ i $\Delta\lt 0$ — parabola leży w całości nad osią.

Na co uważać

Warunki trzeba łączyć: najpierw dziedzina parametru (np. $a\ne0$), potem warunek na deltę, na końcu ewentualne warunki Viète’a. Rozwiązaniem jest część wspólna wszystkich, a nie tylko ostatni otrzymany przedział.

Schemat rozwiązywania nierówności kwadratowej

1. przenieś wszystko na jedną stronę, tak aby po drugiej został zero
2. znajdź miejsca zerowe trójmianu
3. ustal kierunek ramion paraboli ze znaku $a$
4. naszkicuj parabolę i odczytaj przedziały
5. dobierz nawiasy: ostre przy nierówności nieostrej, okrągłe przy ostrej

Klucz — kierunek ramion

Dla $a>0$ (ramiona w górę):

• wartości ujemne — między miejscami zerowymi
• wartości dodatnie — na zewnątrz, w dwóch przedziałach

Dla $a\lt 0$ obszary zamieniają się miejscami — to najczęstsze źródło błędów.

Przykład

Nierówność $x^2-5x+6\ge0$. Miejsca zerowe to $2$ i $3$, a $a=1>0$, więc wartości nieujemne leżą na zewnątrz:

$$x\in(-\infty,\,2\rangle\cup\langle 3,\,+\infty)$$

Przypadki bez miejsc zerowych

Gdy $\Delta\lt 0$, parabola nie przecina osi OX. Wtedy dla $a>0$ cała leży nad osią (np. $x^2+1>0$ jest spełnione zawsze), a dla $a\lt 0$ — pod osią.

Wzory Viete

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania. Wymagają jednak, aby pierwiastki istniały, czyli $\Delta\ge0$ — ten warunek trzeba sprawdzać zawsze.

Typowe zastosowania Viete

• oba pierwiastki dodatnie: $\Delta>0$ oraz suma $>0$ i iloczyn $>0$
• oba ujemne: $\Delta>0$ oraz suma $\lt 0$ i iloczyn $>0$
• różnych znaków: wystarczy iloczyn $\lt 0$
• $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ — pozwala policzyć sumę kwadratów

Równania sprowadzalne do kwadratowych

Równanie dwukwadratowe $ax^4+bx^2+c=0$ rozwiązujemy podstawieniem $t=x^2$ przy warunku $t\ge0$. Każde nieujemne $t$ daje dwa rozwiązania w $x$: $x=\pm\sqrt{t}$.

Na co uważać

Sama dodatnia suma pierwiastków nie gwarantuje, że oba są dodatnie — potrzebny jest jeszcze dodatni iloczyn. Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną odwracamy znak. Odpowiedź $x\le3$ dla nierówności $x^2\le9$ jest błędna: brakuje ograniczenia od dołu.

Treść wzorów

Dla równania $ax^2+bx+c=0$ o pierwiastkach $x_1$, $x_2$:

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},\qquad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$$

Dla $a=1$ upraszcza się to do: suma $=-b$, iloczyn $=c$.

Po co je stosować

Pozwalają badać pierwiastki bez ich obliczania — poznać ich sumę, iloczyn, znaki czy wartości wyrażeń symetrycznych.

Znaki pierwiastków

• iloczyn ujemny → pierwiastki różnych znaków,
• iloczyn dodatni i suma dodatnia → oba dodatnie,
• iloczyn dodatni i suma ujemna → oba ujemne.

Wyrażenia symetryczne

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$

$$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$$

Każde wyrażenie symetryczne w pierwiastkach da się zapisać przez sumę i iloczyn.

Budowa równania

Znając sumę $s$ i iloczyn $p$ pierwiastków, równanie (o wiodącym $1$) to:

$$x^2-sx+p=0$$

Zastrzeżenie

Wzory zakładają istnienie pierwiastków. W zadaniach z parametrem trzeba osobno sprawdzić warunek $\Delta\ge0$ — sam znak sumy i iloczynu go nie gwarantuje.

Na co uważać

Pamiętaj o minusie w sumie ($-\frac ba$) i o dzieleniu przez $a$, gdy współczynnik wiodący jest różny od $1$.

Wyróżnik decyduje o liczbie pierwiastków

$$\Delta>0 \Rightarrow \text{dwa różne},\quad \Delta=0 \Rightarrow \text{jeden podwójny},\quad \Delta\lt 0 \Rightarrow \text{brak}$$

Warunki na parametr zaczynamy zwykle od odpowiedniej nierówności na $\Delta$.

Uwaga na współczynnik wiodący

Gdy parametr stoi przy $x^2$, trzeba osobno rozważyć przypadek, gdy jest zerem — wtedy równanie przestaje być kwadratowe. To standardowe zastrzeżenie.

Znaki pierwiastków przez Viète'a

Aby oba pierwiastki były dodatnie, potrzeba trzech warunków naraz:

$$\Delta\ge0,\qquad x_1+x_2>0,\qquad x_1 x_2>0$$

Dla dwóch ujemnych zmienia się tylko warunek na sumę (musi być ujemna). Dla różnych znaków wystarcza $x_1 x_2\lt 0$ (wyróżnik jest wtedy automatycznie dodatni).

Parabola zawsze dodatnia

Nierówność $ax^2+bx+c>0$ zachodzi dla każdego $x$, gdy $a>0$ i $\Delta\lt 0$ (parabola w górę, bez pierwiastków). Dla nieostrej $\ge0$ dopuszczamy $\Delta=0$.

Część wspólna warunków

Gdy zadanie daje kilka warunków, rozwiązaniem jest ich przecięcie. Warto wyznaczyć każdy osobno i nanieść na oś.

Styczność do osi

Parabola jest styczna do osi $OX$ dokładnie wtedy, gdy $\Delta=0$ — ma wtedy jeden punkt wspólny z osią (pierwiastek podwójny).

Na co uważać

Nie zapomnij o przypadku zerowego współczynnika wiodącego. Przy „co najmniej jeden pierwiastek” bierz $\Delta\ge0$, przy „dwa różne” — $\Delta>0$.

Model

$y=ax^2+bx+c$ opisuje zależności z ekstremum, np. lot ciała lub pole figury.

Wierzchołek

$p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$, gdzie $\Delta=b^2-4ac$.

Wartość ekstremalna

Dla $a>0$ najmniejsza wartość to $q$, dla $a\lt 0$ największa to $q$.

Przykład

Prostokąt o danym obwodzie ma największe pole, gdy jest kwadratem.

Postacie funkcji

Ogólna $ax^2+bx+c$, kanoniczna $a(x-p)^2+q$, iloczynowa $a(x-x_1)(x-x_2)$.

Miejsca zerowe

$\Delta=b^2-4ac$, a pierwiastki $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Optymalizacja

Wartość największą lub najmniejszą znajdujemy w wierzchołku paraboli.

Nierówności kwadratowe

Znak trójmianu zależy od znaku $a$ oraz od wyróżnika $\Delta$.

Wyróżnik

$\Delta=b^2-4ac$ decyduje o liczbie pierwiastków: $\Delta>0$ dwa, $\Delta=0$ jeden, $\Delta\lt 0$ brak pierwiastków rzeczywistych.

Wzory Viète’a

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ oraz $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$.

Postać iloczynowa

$a(x-x_1)(x-x_2)$ istnieje, gdy $\Delta\ge0$.

Zastosowanie

Równania i nierówności kwadratowe oraz zadania optymalizacyjne.

Postać ogólna

$y=ax^2+bx+c$, gdzie $a\neq0$.

Postać kanoniczna

$y=a(x-p)^2+q$; wierzchołek $(p,q)$.

Współrzędne wierzchołka

$p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$.

Ramiona

Skierowane w górę dla $a>0$, w dół dla $a\lt 0$.

Wzdłuż OY

$y=ax^2+q$ przesuwa wykres pionowo o $q$.

Wzdłuż OX

$y=a(x-p)^2$ przesuwa poziomo o $p$.

O wektor

$y=a(x-p)^2+q$ to przesunięcie o $[p,q]$; wierzchołek $(p,q)$.

Przykład

$y=(x-2)^2+3$ ma wierzchołek $(2,3)$.

Ogólna na kanoniczną

Wyznaczamy $p=-\frac{b}{2a}$ i $q$ z podstawienia.

Kanoniczna na ogólną

Rozwijamy kwadrat $a(x-p)^2+q$.

Postać iloczynowa

$a(x-x_1)(x-x_2)$ istnieje, gdy $\Delta\ge0$.

Wyróżnik

$\Delta=b^2-4ac$ decyduje o liczbie miejsc zerowych.

Wierzchołek

$(p,q)$, gdzie $p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$.

Ramiona

W górę dla $a>0$, w dół dla $a\lt 0$.

Miejsca zerowe

Z $\Delta$: dwa, jedno lub brak.

Oś symetrii

Prosta $x=p$.

Postacie

Ogólna $y=ax^2+bx+c$, kanoniczna $y=a(x-p)^2+q$, iloczynowa $y=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Wierzchołek

$p=-\frac{b}{2a}$, $q=-\frac{\Delta}{4a}$.

Wykres

Parabola; kierunek ramion zależy od znaku $a$.

Miejsca zerowe

Liczba zależy od wyróżnika $\Delta=b^2-4ac$.