Wzory: Drgania i fale mechaniczne

Co liczy: częstotliwość jako liczbę drgań na sekundę.

Jednostka: herc.

Co liczy: prędkość rozchodzenia się fali.

Oznaczenia: $\lambda$ — długość fali, $f$ — częstotliwość.

Co opisuje: prędkość fal elektromagnetycznych w próżni.

Uwaga: najwyższa możliwa prędkość w przyrodzie.

Do czego służy: opisuje ruch drgający (powtarzający się). Okres $T$ to czas jednego pełnego drgania (s). Częstotliwość $f$ to liczba drgań na sekundę (Hz), równa $\tfrac{1}{T}$. Amplituda to największe wychylenie z położenia równowagi.

Do czego służy: do obliczeń (echo, odległość burzy). Dźwięk to fala mechaniczna podłużna — potrzebuje ośrodka (powietrza, wody, ciała stałego), w próżni się nie rozchodzi. W powietrzu biegnie z prędkością ok. $340\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Do czego służy: opisuje, czym różnią się dźwięki. Wysokość zależy od częstotliwości (większa częstotliwość → wyższy dźwięk). Głośność zależy od amplitudy (większa amplituda → głośniejszy dźwięk). Barwa pozwala odróżnić instrumenty grające ten sam ton.

Do czego służy: Podstawowy związek łączący prędkość fali z jej długością i częstotliwością — dotyczy fal mechanicznych i elektromagnetycznych.

Zmienne

• $v$ — prędkość fali (m/s)
• $\lambda$ (lambda) — długość fali (m) — odległość między sąsiednimi grzbietami
• $f$ — częstotliwość (Hz = 1/s)
• $T = 1/f$ — okres drgań (s)

Stałe do zapamiętania

• Światło w próżni: $c = 3 \times 10^8$ m/s
• Dźwięk w powietrzu: $v \approx 340$ m/s

Jak stosować

1. Wypisz dane: dwie z trzech (v, λ, f)
2. Oblicz brakującą: $\lambda = v/f$, lub $f = v/\lambda$
3. Pamiętaj: $v = \lambda f = \lambda/T$

Przykład

Stacja radiowa nadaje na 100 MHz. Długość fali?

1. $f = 100 \times 10^6 = 10^8$ Hz, $v = c = 3 \times 10^8$ m/s
2. $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{3\times10^8}{10^8} = 3$ m

⚠️ Częsty błąd: Prędkość fali zależy od ośrodka, częstotliwość zależy od źródła. Gdy fala przechodzi do innego ośrodka — zmienia się $\lambda$ i $v$, ale $f$ pozostaje ta sama!

Do czego służy: Obliczanie okresu drgań wahadła matematycznego (np. zegar) i oscylatora sprężynowego (np. ciężarek na sprężynie).

Zmienne — wahadło matematyczne

• $T$ — okres (czas jednego pełnego wahnięcia, s)
• $l$ — długość nici (m)
• $g \approx 9{,}81$ m/s² — przyspieszenie grawitacyjne

Zmienne — sprężyna (prawo Hooke'a + drgania)

• $m$ — masa na sprężynie (kg)
• $k$ — stała sprężystości (N/m)
• Siła sprężyny: $F = -kx$ (proporcjonalna do wychylenia, skierowana ku równowadze)

Jak stosować

1. Wahadło: $T = 2\pi\sqrt{l/g}$ — okres nie zależy od masy i amplitudy (przy małych wychyleniach)
2. Sprężyna: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ — cięższy ciężarek = dłuższy okres; twardsza sprężyna = krótszy
3. Częstotliwość: $f = 1/T$

Przykład

Wahadło $l = 1$ m na Ziemi. Okres?

1. $T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}} = 2\pi \cdot 0{,}319 \approx 2$ s

⚠️ Częsty błąd: Okres wahadła zależy od długości nici, nie od masy! Cięższy i lżejszy wahadło tej samej długości bije tak samo.

Co opisuje: wychylenie w ruchu harmonicznym.

Co liczy: okres wahadła; zależy od długości i $g$.

Co liczy: okres drgań ciała na sprężynie.

Co liczy: prędkość rozchodzenia się fali.

Do czego służy: podaje całkowitą energię drgań (dla wahadła sprężynowego). $A$ — amplituda, $k$ — stała sprężystości. Energia jest stała, a w trakcie drgań zamienia się energia potencjalna w kinetyczną i odwrotnie.

Do czego służy: opisuje ciągłą wymianę energii. W położeniu równowagi cała energia jest kinetyczna (maksymalna prędkość), a w skrajnym wychyleniu — potencjalna (prędkość zero).

Do czego służy: opisuje warunek rezonansu — gwałtownego wzrostu amplitudy drgań. Gdy siła wymuszająca ma częstotliwość równą częstotliwości drgań własnych układu, amplituda drgań staje się bardzo duża.

Do czego służy: podstawowy wzór falowy. $v$ — prędkość fali, $\lambda$ — długość fali, $f$ — częstotliwość. Wiąże ze sobą wszystkie trzy wielkości opisujące falę.

Do czego służy: przewiduje wynik nakładania się fal. Gdy różnica dróg $\Delta$ jest równa całkowitej wielokrotności długości fali — fale się wzmacniają; gdy nieparzystej wielokrotności połowy fali — wygaszają.

Do czego służy: opisuje odbicie fali od przeszkody. Kąt padania (między falą padającą a prostopadłą do powierzchni) równa się kątowi odbicia. Przy załamaniu fala zmienia kierunek na granicy ośrodków, a dyfrakcja to uginanie fali na przeszkodach.

Do czego służy: opisuje falę stojącą powstałą z nałożenia fali biegnącej i odbitej. Węzły to punkty nieruchome, strzałki — punkty o maksymalnej amplitudzie. Odległość między sąsiednimi węzłami wynosi $\tfrac{\lambda}{2}$.

Do czego służy: do obliczeń echa, odległości burzy itp. Dźwięk to fala podłużna; w powietrzu rozchodzi się z prędkością ok. $340\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ (szybciej w cieczach i ciałach stałych, w próżni się nie rozchodzi).

Do czego służy: tłumaczy zmianę wysokości dźwięku poruszającego się źródła. Gdy źródło się zbliża, słyszymy dźwięk wyższy (większa częstotliwość); gdy się oddala — niższy. Wykorzystywane m.in. w radarach i medycynie (USG dopplerowskie).