Wzory: Grawitacja i astronomia

Do czego służy: Obliczanie siły grawitacyjnej przyciągania między dowolnymi dwoma masami — od atomów po planety.

Zmienne

• $F$ — siła grawitacji (N)
• $G = 6{,}674 \times 10^{-11} \text{ N·m}^2/\text{kg}^2$ — stała grawitacyjna
• $m_1, m_2$ — masy obu ciał (kg)
• $r$ — odległość między ich środkami masy (m)

Kiedy używać?

Przy obliczaniu sił w układach planetarnych, prędkości kosmicznych, przyspieszenia grawitacyjnego na innej planecie. Dla codziennych ciał siła jest znikoma (małe $G$).

Jak stosować

1. Podstaw masy i odległość w jednostkach SI
2. Oblicz: $F = 6{,}674 \times 10^{-11} \cdot \frac{m_1 m_2}{r^2}$
3. Siła jest wzajemna — działa na oba ciała (III zasada Newtona)

Przykład

Ziemia ($M = 6 \times 10^{24}$ kg, $R = 6{,}4 \times 10^6$ m). Siła na człowieka 70 kg?

1. $F = 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{6\times10^{24} \cdot 70}{(6{,}4\times10^6)^2} \approx 686 \text{ N}$
2. Zgadza się: $mg = 70 \cdot 9{,}81 \approx 687 \text{ N}$ ✓

⚠️ Częsty błąd: $r$ to odległość środków mas (np. od środka Ziemi), nie od powierzchni! Dla obiektów blisko Ziemi dodaj promień Ziemi.

Do czego służy: Obliczanie przyspieszenia grawitacyjnego na powierzchni lub powyżej planety dowolnej masy.

Zmienne

• $g$ — przyspieszenie grawitacyjne (m/s²)
• $G = 6{,}674 \times 10^{-11}$ N·m²/kg² — stała grawitacyjna
• $M$ — masa planety (kg)
• $r$ — odległość od środka planety (m)

Na powierzchni Ziemi

$g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$ (często zaokrąglamy do $g = 10 \text{ m/s}^2$)

Ciężar: $Q = mg$ [N] — siła z jaką Ziemia przyciąga ciało (≠ masa!)

Jak zmienia się $g$ z wysokością?

$g \propto \frac{1}{r^2}$ — podwojenie odległości od środka Ziemi → czterokrotny spadek $g$

Przykład

Na jakiej wysokości $h$ nad Ziemią $g$ spada do $g/4$?

1. $\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{4R^2} \Rightarrow (R+h)^2 = 4R^2 \Rightarrow R+h = 2R \Rightarrow h = R$
2. Odpowiedź: na wysokości równej promieniowi Ziemi ($\approx 6400$ km)

⚠️ Częsty błąd: Masa i ciężar to różne rzeczy! Masa (kg) jest stała wszędzie. Ciężar (N) zależy od $g$ — na Księżycu ($g = 1{,}6$ m/s²) ciężar jest 6× mniejszy.

Do czego służy: Obliczanie okresu obiegu planety lub promienia jej orbity — bez znajomości mas, tylko z porównania z inną planetą.

Zmienne

• $T_1, T_2$ — okresy obiegu obu planet (dowolna jednostka, byle ta sama)
• $a_1, a_2$ — wielkie półosie orbit (średnie odległości od Słońca)

Jak stosować

1. Przyjmij planetę odniesienia: Ziemia ($T = 1$ rok, $a = 1$ j.a.)
2. Dla badanej planety z $a_2$ oblicz: $T_2 = T_1 \cdot \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}$
3. Lub odwrotnie: masz $T_2$ → oblicz $a_2 = a_1 \cdot \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2/3}$

Przykład

Mars ma $a = 1{,}52$ j.a. Jaki jest jego rok?

1. $T_{\text{Mars}} = 1^{\text{rok}} \cdot (1{,}52)^{3/2} = (1{,}52)^{1{,}5} \approx 1{,}87$ lat

⚠️ Częsty błąd: Wzór to $T^2 \propto a^3$, nie $T \propto a^3$. Stosunek kwadratów okresu = stosunkowi sześcianów półosi. Pomylenie potęg to częsty błąd na sprawdzianach.

Co liczy: siłę grawitacji między dwoma ciałami.

Co liczy: natężenie pola; przy powierzchni równe $g$.

Co liczy: energię potencjalną w polu grawitacyjnym (zero w nieskończoności).

Co liczy: związek okresu obiegu z rozmiarem orbity.

Co liczy: prędkość na niskiej orbicie kołowej; $v_{II}=\sqrt{2}\,v_I$.

Co liczy: prędkość oddalania galaktyk rosnącą z odległością.

Do czego służy: opisuje budowę naszego układu planetarnego. W centrum jest Słońce (gwiazda), wokół którego krąży 8 planet (Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz, Saturn, Uran, Neptun) oraz mniejsze ciała: księżyce, planetoidy, komety. Ruch planet opisują prawa Keplera.

Do czego służy: tłumaczy, skąd gwiazdy czerpią energię. W ich wnętrzu, w wysokiej temperaturze i ciśnieniu, zachodzi synteza (fuzja) jąder wodoru w hel. Część masy zamienia się w energię ($E=\Delta m c^2$), którą gwiazda wypromieniowuje jako światło i ciepło.

Do czego służy: opisuje wielkoskalową strukturę Wszechświata. Galaktyka to olbrzymi, związany grawitacyjnie układ miliardów gwiazd wraz z gazem i pyłem. Nasza galaktyka to Droga Mleczna. Galaktyki dzielimy m.in. na spiralne, eliptyczne i nieregularne.