Wzory: Kinematyka — opis ruchu

Co liczy: prędkość w ruchu jednostajnym.

Oznaczenia: $s$ — droga, $t$ — czas, $v$ w $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$.

Co liczy: drogę przy stałej prędkości.

Uwaga: wykres $s(t)$ jest linią prostą.

Co liczy: przyspieszenie oraz drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym (start z miejsca).

Prędkość: $v=a t$.

Do czego służy: aby opisać ruch, trzeba wybrać układ odniesienia (ciało, względem którego badamy ruch). Tor to linia, po której porusza się ciało, a droga to długość toru. Ruch jest względny — to samo ciało może być w ruchu względem jednego układu, a w spoczynku względem innego.

Do czego służy: pozwala odczytać wielkości ruchu z wykresów. Wykres drogi od czasu $s(t)$ to prosta rosnąca (im bardziej stroma, tym większa prędkość). Wykres prędkości od czasu $v(t)$ to pozioma linia (prędkość stała).

Do czego służy: opisuje ruch niejednostajny (o zmiennej prędkości) jednym „uśrednionym" wynikiem. $s$ — cała droga, $t$ — cały czas. Prędkość średnia mówi, z jaką stałą prędkością trzeba by jechać, by w tym samym czasie pokonać tę samą drogę.

Do czego służy: Opisuje jak szybko ciało pokonuje odległość — podstawowy parametr każdego ruchu.

Zmienne

• $v$ — prędkość (m/s lub km/h)
• $\Delta s$ — droga pokonana (m)
• $\Delta t$ — czas ruchu (s)

Kiedy używać?

Gdy znasz całkowitą drogę i całkowity czas — niezależnie od tego, czy ciało jechało równomiernie. Pamiętaj: to prędkość średnia, nie chwilowa.

Jak stosować

1. Wypisz dane: $\Delta s$ i $\Delta t$
2. Przelicz jednostki na SI (km → m: ×1000; h → s: ×3600)
3. Oblicz $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$
4. Warianty: $\Delta s = v \cdot \Delta t$ (droga); $\Delta t = \frac{\Delta s}{v}$ (czas)

Przykład

Samochód jedzie 144 km w 1,5 h. Jaka jest prędkość średnia?

1. $\Delta s = 144\,000 \text{ m}$, $\Delta t = 5400 \text{ s}$
2. $v = \frac{144\,000}{5400} \approx 26{,}7 \text{ m/s}$
3. Lub krócej: $v = \frac{144}{1{,}5} = 96 \text{ km/h}$

⚠️ Częsty błąd: Mieszanie jednostek — km z sekundami daje bezsensowny wynik. Zawsze przelicz na SI albo konsekwentnie zostań przy km/h.

Do czego służy: Mierzy jak szybko zmienia się prędkość ciała. Przyspieszenie dodatnie = przyspieszanie; ujemne = hamowanie (opóźnienie).

Zmienne

• $a$ — przyspieszenie (m/s²)
• $\Delta v = v - v_0$ — zmiana prędkości (m/s)
• $\Delta t$ — czas zmiany (s)

Kiedy używać?

Gdy znasz prędkość początkową i końcową oraz czas — do obliczenia przyspieszenia. Lub odwrotnie: znasz $a$ i $\Delta t$, szukasz zmiany prędkości.

Jak stosować

1. Wypisz $v_0$, $v$, $\Delta t$
2. Oblicz zmianę prędkości: $\Delta v = v - v_0$
3. Podstaw: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$
4. Jeśli wynik ujemny — ciało hamuje (opóźnia się)

Przykład

Auto przyspiesza od 0 do 100 km/h w 8 s. Jakie przyspieszenie?

1. $v_0 = 0$, $v = 100 \text{ km/h} = \frac{100}{3{,}6} \approx 27{,}8 \text{ m/s}$
2. $a = \frac{27{,}8 - 0}{8} \approx 3{,}47 \text{ m/s}^2$

⚠️ Częsty błąd: Prędkość musi być w m/s — przelicz km/h dzieląc przez 3,6, a nie przez 3,6 po obliczeniu!

Do czego służy: Trzy równoważne wzory opisujące ruch z stałym przyspieszeniem $a$ — dobierz ten, który pasuje do danych zadania.

Zmienne

• $v_0$ — prędkość początkowa (m/s)
• $v$ — prędkość końcowa (m/s)
• $a$ — przyspieszenie (m/s²)
• $t$ — czas (s)
• $s$ — droga przebyta od chwili $t=0$ (m)

Który wzór wybrać?

• Masz $v_0$, $a$, $t$ → szukasz $s$: użyj $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$
• Masz $v_0$, $a$, $t$ → szukasz $v$: użyj $v = v_0 + at$
• Nie masz czasu $t$ → szukasz $v$ przez $s$: użyj $v^2 = v_0^2 + 2as$

Swobodny spadek

Wstaw $a = g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$ (lub 10 m/s²) i $v_0 = 0$ (upuszczamy z ręki).

Przykład

Ciało spada swobodnie z $h = 20 \text{ m}$. Jaka prędkość przy zderzeniu?

1. $v_0 = 0$, $a = g = 10 \text{ m/s}^2$, $s = 20 \text{ m}$
2. $v^2 = 0 + 2 \cdot 10 \cdot 20 = 400 \Rightarrow v = 20 \text{ m/s}$

⚠️ Częsty błąd: Wzór $s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ — to $\frac{1}{2}at^2$, nie $at^2$! Jedynka nad dwójką jest nieodłączna.

Do czego służy: Opisuje lot ciała wyrzuconego poziomo — rozkłada ruch na niezależne składowe: poziomą (jednostajną) i pionową (swobodny spadek).

Zmienne

• $v_0$ — prędkość pozioma (stała przez cały lot, m/s)
• $x$ — przemieszczenie poziome (m)
• $y$ — przemieszczenie pionowe (m, liczone w dół)
• $g \approx 9{,}81 \text{ m/s}^2$ — przyspieszenie grawitacyjne
• $t$ — czas (s)

Jak stosować — krok po kroku

1. Rozdziel ruch: poziomo $x = v_0 t$, pionowo $y = \frac{1}{2}gt^2$
2. Wyznacz czas lotu z wysokości $h$: $h = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
3. Oblicz zasięg poziomy: $x = v_0 \cdot t$
4. Prędkość wypadkowa w dowolnej chwili: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$, gdzie $v_x = v_0$, $v_y = gt$

Przykład

Piłka wyrzucona poziomo z $v_0 = 15 \text{ m/s}$ z wysokości $h = 20 \text{ m}$. Jaki zasięg?

1. $t = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{10}} = \sqrt{4} = 2 \text{ s}$
2. $x = 15 \cdot 2 = 30 \text{ m}$

⚠️ Częsty błąd: W rzucie poziomym $v_x$ jest stała i równa $v_0$ przez cały lot — grawitacja nie wpływa na składową poziomą!

Do czego służy: Opisuje ruch ciała po okręgu — prędkość, przyspieszenie dośrodkowe i siłę potrzebną do utrzymania ruchu.

Zmienne

• $r$ — promień okręgu (m)
• $v$ — prędkość liniowa (m/s)
• $T$ — okres obiegu (s)
• $f = 1/T$ — częstotliwość (Hz)
• $\omega = 2\pi f$ — prędkość kątowa (rad/s)
• $a_d$ — przyspieszenie dośrodkowe (m/s²) — skierowane ku środkowi
• $F_d$ — siła dośrodkowa (N) — np. tarcie, napięcie liny, grawitacja

Jak stosować

1. Znajdź prędkość: $v = \frac{2\pi r}{T}$ lub podano
2. Oblicz przyspieszenie: $a_d = \frac{v^2}{r}$
3. Oblicz siłę: $F_d = ma_d = \frac{mv^2}{r}$
4. Identyfikuj, co dostarcza siły dośrodkowej (tarcie, lina, grawitacja...)

Przykład

Samochód 1000 kg jedzie po zakręcie $r = 50$ m z $v = 20$ m/s. Minimalne tarcie?

1. $F_d = \frac{mv^2}{r} = \frac{1000 \cdot 400}{50} = 8000 \text{ N}$

⚠️ Częsty błąd: „Siła odśrodkowa" to siła pozorna (fikcyjna) w nieinercjalnym układzie odniesienia. W zadaniach używaj siły dośrodkowej.

Do czego służy: Opisuje tor lotu ciała wyrzuconego pod kątem $\alpha$ do poziomu (np. piłki, pocisku). Rozkłada ruch na składową poziomą i pionową.

Zmienne

• $v_0$ — prędkość początkowa (m/s)
• $\alpha$ — kąt wyrzutu (od poziomu)
• $v_{0x} = v_0\cos\alpha$ — składowa pozioma (stała)
• $v_{0y} = v_0\sin\alpha$ — składowa pionowa (maleje do zera w szczycie)

Ważne wyniki

• Czas lotu: $t_{\text{lotu}} = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$
• Zasięg: $x_{\text{max}} = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$ (max dla $\alpha = 45°$)
• Wysokość max: $h_{\text{max}} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g}$

Jak stosować

1. Rozłóż $v_0$ na składowe: $v_{0x} = v_0\cos\alpha$, $v_{0y} = v_0\sin\alpha$
2. Traktuj poziomo i pionowo niezależnie
3. Poziomo: $x = v_{0x} \cdot t$ (ruch jednostajny)
4. Pionowo: $y = v_{0y} t - \frac{1}{2}gt^2$ (ruch opóźniony, potem swobodny spadek)

Przykład

Piłka wyrzucona pod $\alpha = 30°$ z $v_0 = 20$ m/s. Zasięg?

1. $x = \frac{20^2 \cdot \sin 60°}{10} = \frac{400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{10} = 20\sqrt{3} \approx 34{,}6$ m

⚠️ Częsty błąd: Nie mylić rzutu poziomego (gdzie $v_{0y} = 0$) z rzutem ukośnym (gdzie $v_{0y} = v_0\sin\alpha \neq 0$). W rzucie poziomym $\alpha = 0°$.

Co liczy: wartość wektora z jego składowych prostopadłych.

Co liczy: położenie w ruchu jednostajnym prostoliniowym.

Co liczy: prędkość średnią na odcinku.

Co liczy: prędkość i drogę w ruchu ze stałym przyspieszeniem.

Co liczy: prędkość i wysokość spadku bez prędkości początkowej.

Co liczy: maksymalną wysokość w rzucie pionowym w górę.

Co liczy: czas spadku i zasięg rzutu poziomego.

Co liczy: zasięg rzutu ukośnego; największy dla $\alpha=45^\circ$.

Co liczy: prędkość kątową, liniową i przyspieszenie dośrodkowe.